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% semidirekt.tex -- slide template
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% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
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\bgroup
\begin{frame}[t]
\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
\frametitle{Semidirektes Produkt}
\vspace{-20pt}
\begin{columns}[t,onlytextwidth]
\begin{column}{0.48\textwidth}
\begin{block}{Definition}
Gegeben $H$ eine Gruppe, eine abelsche Gruppe $A$,
$\vartheta\colon H\to\operatorname{Aut}(A)$.
\[
G
=
G\ltimes A
=
\{(h,a) \;|\; h\in H,a\in A\}
\]
heisst {\em semidirektes Produkt}.
\begin{itemize}
\item
Neutrales Element: $(e,0)$
\item
Gruppenoperation
\[
(h_1,a_1)\cdot(h_2,a_2)
=
(h_1h_2, a_1 + \vartheta(h_1)a_2)
\]
\item
Inverse:
$(h,a)^{-1}
=
(h^{-1},-\vartheta(h)^{-1}a)
$
Kontrolle:
\begin{align*}
&\phantom{\mathstrut=\mathstrut}
(h,a)\cdot (h^{-1},-\vartheta(h)^{-1}a)
\\
&=(hh^{-1},a-\vartheta(h)\vartheta(h)^{-1}a)
=(e,0)
\end{align*}
\end{itemize}
\end{block}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
\begin{block}{Drehungen und Spiegelungen von $\mathbb{R}^2$}
Spiegelung: $C_2$
Drehungen der: $\operatorname{SO}(2)$
Drehungen und Spiegelungen:
$C_2\ltimes \operatorname{SO}(2)=O(2)$
\end{block}
\begin{block}{Drehungen und Translationen}
Drehungen: $H=\operatorname{SO}(2)$
\\
Translationen: $A=\mathbb{R}^2$
\\
Bewegungen der Ebene: $\operatorname{SO}(2)\ltimes \mathbb{R}^2$
\end{block}
\begin{block}{Dopplereffekt und Laufzeit}
Dopplereffekt: $\mathbb{R}^+$ (Skalierung)
\\
Laufzeit: $\mathbb{R}$ (Verschiebung)
\\
Skalierung und Verschiebung: $\mathbb{R}^+\ltimes \mathbb{R}$
\end{block}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\egroup