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% algebraisch.tex -- algebraische Definition der Symmetrien
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% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
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\bgroup
\begin{frame}[t]
\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
\frametitle{Erhaltungsgrössen und Algebra}
\vspace{-20pt}
\begin{columns}[t,onlytextwidth]
\begin{column}{0.48\textwidth}
\begin{block}{Längen und Winkel}
Längenmessung mit Skalarprodukt
\begin{align*}
\|\vec{v}\|^2
&=
\langle \vec{v},\vec{v}\rangle
=
\vec{v}\cdot \vec{v}
=
\vec{v}^t\vec{v}
\end{align*}
\end{block}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
\begin{block}{Flächeninhalt/Volumen}
$n$ Vektoren $V=(\vec{v}_1,\dots,\vec{v}_n)$
\\
Volumen des Parallelepipeds: $\det V$
\end{block}
\end{column}
\end{columns}
%
\vspace{-7pt}
\begin{columns}[t,onlytextwidth]
\begin{column}{0.48\textwidth}
\begin{block}{Längenerhaltende Transformationen}
$A\in\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$
\begin{align*}
\vec{x}^t\vec{y}
&=
(A\vec{x})
\cdot
(A\vec{y})
=
(A\vec{x})^t
(A\vec{y})
\\
\vec{x}^tI\vec{y}
&=
\vec{x}^tA^tA\vec{y}
\Rightarrow I=A^tA
\end{align*}
Begründung: $\vec{e}_i^t B \vec{e}_j = b_{ij}$
\end{block}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
\begin{block}{Volumenerhaltende Transformationen}
$A\in\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$
\begin{align*}
\det(V)
&=
\det(AV)
=
\det(A)\det(V)
\\
1&=\det(A)
\end{align*}
(Produktsatz für Determinante)
\end{block}
\end{column}
\end{columns}
%
\vspace{-3pt}
\begin{columns}[t,onlytextwidth]
\begin{column}{0.48\textwidth}
\begin{block}{Orthogonale Matrizen}
Längentreue Abbildungen = orthogonale Matrizen:
\[
O(n)
=
\{
A \in \operatorname{GL}_n(\mathbb{R})
\;|\;
A^tA=I
\}
\]
\end{block}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
\begin{block}{``Spezielle'' Matrizen}
Volumen-/Orientierungserhaltende Transformationen:
\[
\operatorname{SL}_n(\mathbb R) 
=
\{ A \in \operatorname{GL}_n(\mathbb{R}) \;|\; \det A = 1\}
\]
\end{block}
\end{column}
\end{columns}

\end{frame}
\egroup