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% drehung.tex -- Drehung aus streckungen
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% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
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\bgroup
\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
\begin{frame}[t]
\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
\frametitle{Drehung aus Streckungen und Scherungen}
\vspace{-20pt}
\begin{columns}[t,onlytextwidth]
\begin{column}{0.38\textwidth}
\begin{block}{Drehung}
\[
\operatorname{SO}(2)
=
\operatorname{SL}_2(\mathbb{R}) \cap \operatorname{O}(2)
\]
\end{block}
\begin{block}{Zusammensetzung}
Eine Drehung muss als Zusammensetzung geschrieben werden können:
\[
D_{\alpha} 
=
\begin{pmatrix}
\cos\alpha & -\sin\alpha\\
\sin\alpha &\phantom{-}\cos\alpha
\end{pmatrix}
=
DST
\]
\end{block}
\begin{block}{Beispiel}
\vspace{-12pt}
\[
D_{60^\circ}
=
{\tiny
\begin{pmatrix}2&0\\0&\frac12\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1&-\frac{\sqrt{3}}4\\0&1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1&0\\\frac{\sqrt{3}}2&1\end{pmatrix}
}
\]
\end{block}
\end{column}
\begin{column}{0.58\textwidth}
\begin{block}{Ansatz}
\vspace{-12pt}
\begin{align*}
DST
&=
\begin{pmatrix}
c^{-1}&0\\
  0   &c
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&-s\\
0&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&0\\
t&1
\end{pmatrix}
\\
&=
\begin{pmatrix}
c^{-1}&0\\
  0   &c
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-st&-s\\
  t& 1
\end{pmatrix}
\\
&=
\begin{pmatrix}
-stc^{-1}&{\color{darkgreen}sc^{-1}}\\
{\color{blue}ct}&{\color{red}c}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos\alpha & {\color{darkgreen}- \sin\alpha} \\
{\color{blue}\sin\alpha} & \phantom{-}  {\color{red}\cos\alpha}
\end{pmatrix}
\end{align*}
\end{block}
\vspace{-10pt}
\begin{block}{Koeffizientenvergleich}
\vspace{-15pt}
\begin{align*}
{\color{red} c}
&=
{\color{red}\cos\alpha }
&&
&
{\color{blue}
t}&=\rlap{$\displaystyle\frac{\sin\alpha}{c} = \tan\alpha$} \\
{\color{darkgreen}sc^{-1}}&={\color{darkgreen}-\sin\alpha}
&
&\Rightarrow&
{\color{darkgreen}s}&={\color{darkgreen}-\sin\alpha}\cos\alpha
\\
{\color{orange} -stc^{-t}}
&=
\rlap{$\sin\alpha\tan\alpha = \cos\alpha \quad $}
\end{align*}
\end{block}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\egroup