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% erwartung.tex -- slide template
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% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
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\bgroup
\begin{frame}[t]
\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
\frametitle{Erwartung}
\vspace{-20pt}
\begin{columns}[t,onlytextwidth]
\begin{column}{0.48\textwidth}
\begin{block}{Zufallsvariable}
\begin{center}
\[
\begin{array}{c|c}
\text{Werte $X$}&\text{Wahrscheinlichkeit $p$}\\
\hline
x_1&p_1=P(X=x_1)\\
x_2&p_2=P(X=x_2)\\
\vdots&\vdots\\
x_n&p_n=P(X=x_n)
\end{array}
\]
\end{center}
\end{block}
\begin{block}{Einervektoren/-matrizen}
\[
U=\begin{pmatrix}
1&1&\dots&1\\
1&1&\dots&1\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
1&1&\dots&1
\end{pmatrix}
\in
M_{n\times m}(\Bbbk)
\]
\end{block}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
\begin{block}{Erwartungswerte}
\begin{align*}
E(X)
&=
\sum_i x_ip_i
=
x^tp
=
U^t x\odot p
\\
E(X^2)
&=
\sum_i x_i^2p_i
=
(x\odot x)^tp
=
U^t (x\odot x) \odot p
\\
E(X^k)
&=
\sum_i x_i^kp_i
=
U^t x^{\odot k}\odot p
\end{align*}
Substitution:
\begin{align*}
\sum_i &\to U^t\\
x_i^k &\to x^{\odot k}
\end{align*}
Kann für Übergangsmatrizen von Markov-Ketten verallgemeinert werden
\end{block}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\egroup