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% matrix-vektor-dgl.tex -- DGL mit Matrix-Koeffizienten und Vektor-Variablen
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% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
% Erstellt durch Roy Seitz
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% !TeX spellcheck = de_CH
\bgroup
%\begin{frame}[t]
%\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
%\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
%\frametitle{Matrix-Vektor-DGL}
%\vspace{-20pt}
%\begin{columns}[t,onlytextwidth]
%\begin{column}{0.48\textwidth}
% \begin{block}{Bekannt}
% Vorgehen für DGL 1.~Ordnung mit Skalaren.
% Aufgabe: Sei $a, x, x_0 \in \mathbb R$,
% \[
% \dot x = ax,
% \quad
% x(0) = x_0
% \]
% Lösung: $x(t) = \exp(at) x_0$, wobei
% \begin{align*}
% \exp(at)
% &= 1 + at + \frac{a^2t^2}{2!} + \ldots\\
% &= e^{at}
% \end{align*}
% \end{block}
%\end{column}
%\begin{column}{0.48\textwidth}
% \begin{block}{Mit Matrizen}
% Wir können:
% \begin{itemize}
% \item Matrizen potenzieren: $A$, $A^2$, $A^3$
% \item Matrizen skalieren: $At$
% \item Matrizen addieren: $A_1 + A_2$
% \end{itemize}
% Also ist auch
% \[
% \exp(At) = 1 + At + \frac{A^2t^2}{2!} + \ldots
% \]
% wohldefiniert.
% \end{block}
%\end{column}
%\end{columns}
%Folglich, sei $A \in M_n$ und $x \in \mathbb R^n$,
%\[ \dot x = Ax, \quad x(0) = x_0, \]
%dann ist
%\[ x = \exp(At)x_0. \]
%\end{frame}
\begin{frame}[t]
\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
\frametitle{1.~Ordnung mit Skalaren}
\vspace{-20pt}
\begin{columns}[t,onlytextwidth]
\begin{column}{0.48\textwidth}
\begin{block}{Aufgabe}
Sei $a, x(t), x_0 \in \mathbb R$,
\[
\dot x(t) = ax(t),
\quad
x(0) = x_0
\]
\end{block}
\begin{block}{Potenzreihen-Ansatz}
Sei $a_k \in \mathbb R$,
\[
x(t) = a_0 + a_1t + a_2t^2 + a_3t^3 \ldots
\]
\end{block}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
\begin{block}{Lösung}
Einsetzen in DGL, Koeffizientenvergleich liefert
\[ x(t) = \exp(at) \, x_0, \]
wobei
\begin{align*}
\exp(at)
&= 1 + at + \frac{a^2t^2}{2} + \frac{a^3t^3}{3!} + \ldots \\
&{\color{gray}(= e^{at}.)}
\end{align*}
\end{block}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}[t]
\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
\frametitle{1.~Ordnung mit Matrizen}
\vspace{-20pt}
\begin{columns}[t,onlytextwidth]
\begin{column}{0.48\textwidth}
\begin{block}{Aufgabe}
Sei $A \in M_n$, $x(t), x_0 \in \mathbb R^n$,
\[
\dot x(t) = Ax(t),
\quad
x(0) = x_0
\]
\end{block}
\begin{block}{Potenzreihen-Ansatz}
Sei $A_k \in \mathbb M_n$,
\[
x(t) = A_0 + A_1t + A_2t^2 + A_3t^3 \ldots
\]
\end{block}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
\begin{block}{Lösung}
Einsetzen in DGL, Koeffizientenvergleich liefert
\[ x(t) = \exp(At) \, x_0, \]
wobei
\[
\exp(At)
= 1 + At + \frac{A^2t^2}{2} + \frac{A^3t^3}{3!} + \ldots
\]
\end{block}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\egroup
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