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3. Überarbeitung

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diff --git a/buch/papers/sturmliouville/Makefile.inc b/buch/papers/sturmliouville/Makefile.inc
index 7ffdad2..4000fa7 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/Makefile.inc
+++ b/buch/papers/sturmliouville/Makefile.inc
@@ -9,6 +9,5 @@ dependencies-sturmliouville =							\
 	papers/sturmliouville/references.bib				\
 	papers/sturmliouville/einleitung.tex				\
 	papers/sturmliouville/eigenschaften.tex				\
-	papers/sturmliouville/beispiele.tex					\
 	papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex	\
 	papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex b/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex
deleted file mode 100644
index 4df5619..0000000
--- a/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex
+++ /dev/null
@@ -1,13 +0,0 @@
-%
-% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2 
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Beispiele 
-\label{sturmliouville:sec:examples}}
-
-% Fourier: Erik work
-\input{papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex}
-
-% Tschebyscheff
-\input{papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex}
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
index 8616172..0f1f235 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
@@ -5,25 +5,11 @@
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 
-% TODO:
-%  state goal
-%  use only what is necessary
-%  make sure it is easy enough to understand (sentences as shot as possible)
-%    -> Eigenvalue problem with matrices only
-%    -> prepare reader for following examples
-%
-% order:
-%  1. Eigenvalue problems with matrices
-%  2. Sturm-Liouville is an Eigenvalue problem
-%  3. Sturm-Liouville operator (self-adjacent)
-%  4. Spectral theorem (brief)
-%  5. Base of orthonormal functions
-
 \section{Eigenschaften von Lösungen
 \label{sturmliouville:sec:solution-properties}}
 \rhead{Eigenschaften von Lösungen}
 
-Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösung eines
+Im Weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösung eines
 Sturm-Liouville-Problems diskutiert.
 Im wesentlichen wird darauf eingegangen, wie die Orthogonalität der Lösungen
 zustande kommt, damit diese später in den Beispielen verwendet werden kann.
@@ -97,13 +83,25 @@ Um auf die Orthogonalität der Lösungsfunktion zu schliessen, wird dafür der
 Operator $L$ genauer betrachtet.
 Analog zur Matrix $A$ aus 
 Abschnitt~\ref{sturmliouville:sec:eigenvalue-problem-matrix} kann auch für
-$L$ gezeigt werden, dass dieser Operator selbstadjungiert ist, also dass
+$L$ gezeigt werden, dass dieser Operator selbstadjungiert ist.
+
+Dazu wird das modifizierte Skalarprodukt
+\begin{equation}
+    \label{sturmliouville:eq:modified-dot-product}
+    \langle f, g \rangle_w
+    =
+    \int_a^b f(x)g(x)w(x)\,dx
+\end{equation}
+aus Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} verwendet,
+welches auch die Gewichtsfunktion $w(x)$ berücksichtigt.
+Damit $L$ bezüglich dieses Skalarproduktes selbstadjungiert ist, muss also
 \[
-    \langle L v, w\rangle
+    \langle L u, v\rangle_w
     =
-    \langle v, L w\rangle
+    \langle u, L v\rangle_w
 \]
-gilt.
+gelten.
+
 Wie in Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} bereits
 gezeigt, ist dies durch die
 Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen} des
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
index 2299c3c..16dba19 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
@@ -26,7 +26,7 @@ Wenn die lineare homogene Differentialgleichung
 als
 \begin{equation}
 	\label{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation}
-	\frac{d}{dx} (p(x) \frac{dy}{dx}) + (q(x) +
+	\frac{d}{dx} \biggl ( p(x) \frac{dy}{dx}\biggr ) + (q(x) +
 	\lambda w(x)) y
 	=
 	0 
@@ -40,12 +40,12 @@ in die Form der Gleichung \eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation}
 umgewandelt werden.
 
 Damit es sich um ein Sturm-Liouville-Problem handelt, benötigt es noch die
-Randbedingungen, die im nächsten Unterkapitel behandelt wird.
+Randbedingungen, die im nächsten Unterkapitel behandelt werden.
 
 \subsection{Randbedingungen
 \label{sturmliouville:sub:was-ist-das-slp-randbedingungen}}
 Geeignete Randbedingungen sind erforderlich, um die Lösungen einer
-Differentialgleichung genau zu bestimmen.
+Differentialgleichung eindeutig zu bestimmen.
 Die Sturm-Liouville-Gleichung mit homogenen Randbedingungen des dritten Typs
 \begin{equation}
 	\begin{aligned}
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/main.tex b/buch/papers/sturmliouville/main.tex
index 887e085..b18e220 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/main.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/main.tex
@@ -18,12 +18,17 @@ Zuletzt wird anhand von zwei Beispielen gezeigt, dass durch das
 Sturm-Liouville-Problem die Eigenschaften der Lösungen bereits vor dem
 vollständingen Lösen der Beispiele bekannt sind.
 
-\input{papers/sturmliouville/einleitung.tex}
 %einleitung "was ist das sturm-liouville-problem"
-\input{papers/sturmliouville/eigenschaften.tex}
+\input{papers/sturmliouville/einleitung.tex}
+
 %Eigenschaften von Lösungen eines solchen Problems
-\input{papers/sturmliouville/beispiele.tex}
-%Beispiele sind: Wärmeleitung in einem Stab, Tschebyscheff-Polynome
+\input{papers/sturmliouville/eigenschaften.tex}
+
+% Fourier: Erik work
+\input{papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex}
+
+% Tschebyscheff
+\input{papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex}
 
 \printbibliography[heading=subbibliography]
 \end{refsection}
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
index 5fb3a0c..341a358 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
@@ -5,7 +5,7 @@
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 
-\subsection{Tschebyscheff-Polynome
+\section{Beispiel: Tschebyscheff-Polynome
 \label{sturmliouville:sub:tschebyscheff-polynome}}
 \rhead{Tschebyscheff-Polynome}
 In diesem Unterkapitel wird anhand der
@@ -16,7 +16,7 @@ Zu diesem Zweck werden die Koeffizientenfunktionen nochmals dargestellt, so dass
 Sobald feststeht, ob das Problem regulär oder singulär ist, zeigt eine
 kleine Rechnung, dass die Lösungen orthogonal sind.
 
-\subsubsection*{Definition der Koeffizientenfunktion}
+\subsection*{Definition der Koeffizientenfunktion}
 Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die
 Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgelistet:
 \begin{align*}
@@ -27,8 +27,8 @@ Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgelistet:
 Da die Sturm-Liouville-Gleichung
 \begin{equation}
 	\label{eq:sturm-liouville-equation-tscheby}
-	\frac{d}{dx} (\sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx}) +
-	(0 + \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}) y
+	\frac{d}{dx} \biggl (\sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx}\biggr ) +
+	\biggl (0 + \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\biggr ) y
 	=
 	0 
 \end{equation}
@@ -36,7 +36,7 @@ nun mit den Koeffizientenfunktionen aufgestellt werden kann, bleibt die Frage,
 ob es sich um ein reguläres oder singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt.
 Zunächst werden jedoch die Randbedingungen betrachtet.
 
-\subsubsection*{Randwertproblem}
+\subsection*{Randwertproblem}
 Für die Verifizierung der Randbedingungen benötigt man erneut $p(x)$.
 Die Randwerte setzt man $a = -1$ und $b = 1$.
 Beim Einsetzen in die Randbedingung \eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen},
@@ -63,7 +63,7 @@ damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, beliebige
 $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden.
 Es wurde somit gezeigt, dass die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt sind.
 
-\subsubsection*{Handelt es sich um ein reguläres oder singuläres Problem?}
+\subsection*{Handelt es sich um ein reguläres oder singuläres Problem?}
 Für das reguläre Problem muss laut der
 Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} die funktion
 $p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und
@@ -91,14 +91,14 @@ Da auch die Randbedingungen erfüllt sind, handelt es sich um ein reguläres Stu
 	illustriert.
 	Dazu verwendet man das Skalarprodukt
 	\[
-		\int_{a}^{b} w(x) y_m y_n = 0.
+		\int_{a}^{b} w(x) y_m(x) y_n(x) = 0.
 	\]
 	mit $y_m(x) = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$, sowie $a=-1$ und $b = 1$.
 	Eigesetzt ergibt dies
 	\[
 	\begin{aligned}
 	\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} x (2x^2-1) dx &=
-	\lbrack - \frac{\sqrt{1-x^2}(2x^2+1)}{3}\rbrack_{-1}^{1}\\
+	\biggl [ - \frac{\sqrt{1-x^2}(2x^2+1)}{3} \biggr ]_{-1}^{1}\\
 	&= 0.
 	\end{aligned}
 	\]
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
index 0ef1072..93a1eb0 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -5,12 +5,11 @@
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 
-\subsection{Wärmeleitung in homogenem Stab}
-\rhead{Wärmeleitung in homogenem Stab}
+\section{Beispiel: Wärmeleitung in homogenem Stab}
 
 In diesem Abschnitt wird das Problem der Wärmeleitung in einem homogenen Stab
 betrachtet, angeschaut wie das Sturm-Liouville-Problem bei der Beschreibung
-dieses physikalischen Phänomenes auftritt und hergeleitet wie die Fourierreihe
+dieses physikalischen Phänomens auftritt und hergeleitet wie die Fourierreihe
 als Lösung des Problems zustande kommt.
 
 Zunächst wird ein eindimensionaler homogener Stab der Länge $l$ und
@@ -35,6 +34,7 @@ werden.
 %
 % Randbedingungen für Stab mit konstanten Endtemperaturen
 %
+\subsection{Randbedingungen}
 \subsubsection{Randbedingungen für Stab mit Enden auf konstanter Temperatur}
 
 Die Enden des Stabes auf konstanter Temperatur zu halten bedeutet, dass die
@@ -83,7 +83,8 @@ als Randbedingungen.
 % Lösung der Differenzialgleichung mittels Separation
 %
 
-\subsubsection{Lösung der Differenzialgleichung}
+\subsection{Separation der Differenzialgleichung
+\label{sturmliouville:subsec:separation}}
 
 Da die Lösungsfunktion $u$ von zwei Variablen abhängig ist, wird die
 Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-heat-equation} zunächst
@@ -113,7 +114,7 @@ der neuen Variablen $\mu$ gekoppelt werden:
     =
     \frac{X^{\prime \prime}(x)}{X(x)}
     =
-    \mu
+    \mu.
 \]
 Durch die Einführung von $\mu$ kann das Problem nun in zwei separate
 Differenzialgleichungen aufgeteilt werden:
@@ -127,18 +128,37 @@ Differenzialgleichungen aufgeteilt werden:
     \label{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-t}
     T^{\prime}(t) - \kappa \mu T(t)
     =
-    0
+    0.
 \end{equation}
 
 %
-% Überprüfung Orthogonalität der Lösungen
+% Überprüfung SLP, dann Orthogonalität der Lösungen
 %
 
-Es ist an dieser Stelle zu bemerken, dass die Gleichung in $x$ in 
-Sturm-Liouville-Form ist.
-Erfüllen die Randbedingungen des Stab-Problems auch die Randbedingungen des
-Sturm-Liouville-Problems, kann bereits die Aussage getroffen werden, dass alle
-Lösungen für die Gleichung in $x$ orthogonal sein werden.
+An dieser Stelle wird nun gezeigt, dass die Gleichung in $x$ ein
+Sturm-Liouville-Problem ist.
+Dazu werden zunächst die Koeffizientenfunktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$
+benötigt.
+Um diese zu erhalten, wird die 
+Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} mit der
+Sturm-Liouville-Form~\eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation}
+verglichen, was zu 
+\[
+\begin{aligned} 
+    p(x) &= 1 \\
+    q(x) &= 0 \\
+    w(x) &= 1
+\end{aligned}
+\]
+führt.
+
+Diese können bereits auf die Bedingungen in
+Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} geprüft
+werden.
+Es ist schnell ersichtlich, dass die ersten drei Kriterien erfüllt sind.
+Werden nun auch noch die Randbedingungen erfüllt, handelt es sich also um ein
+reguläres Sturm-Liouville-Problem und es kann bereits die Aussage gemacht
+werden, dass alle Lösungen für die Gleichung in $x$ orthogonal sein werden.
 
 Da die Bedingungen des Stab-Problems nur Anforderungen an $x$ stellen, können
 diese direkt für $X(x)$ übernomen werden.
@@ -146,7 +166,7 @@ Es gilt also beispielsweise wegen
 \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant},
 dass $X(0) = X(l) = 0$.
 
-Damit die Lösungen von $X$ orthogonal sind, müssen nun also die Gleichungen
+Damit die Lösungen von $X$ orthogonal sind, müssen also die Gleichungen
 \begin{equation}
 \begin{aligned}
 	\label{sturmliouville:eq:example-fourier-randbedingungen}
@@ -164,28 +184,6 @@ erfüllt sein und es muss ausserdem
 \end{equation}
 gelten.
 
-Um zu verifizieren, dass die Randbedingungen erfüllt sind, werden also die
-Koeffizientenfunktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ benötigt.
-Dazu wird die Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x}
-mit der
-Sturm-Liouville-Form~\eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation}
-verglichen, was zu 
-\[
-\begin{aligned} 
-    p(x) &= 1 \\
-    q(x) &= 0 \\
-    w(x) &= 1
-\end{aligned}
-\]
-führt.
-
-Diese können bereits auf die Bedingungen in
-Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} geprüft
-werden.
-Es ist schnell ersichtlich, dass die ersten drei Kriterien erfüllt sind.
-Werden nun auch noch die Randbedingungen erfüllt, handelt es sich also um ein
-reguläres Sturm-Liouville-Problem.
-
 Es werden nun $p(x)$ und die 
 Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant}
 des Stab-Problems in \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-randbedingungen}
@@ -204,6 +202,7 @@ und $k_b \neq 0$ gewählt werden.
 
 Somit ist gezeigt, dass die Randbedingungen des Stab-Problems für Enden auf
 konstanter Temperatur auch die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen.
+
 Daraus folg zunächst, dass es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem
 handelt und weiter, dass alle daraus resultierenden Lösungen orthogonal sind.
 Analog dazu kann gezeit werden, dass die Randbedingungen für einen Stab mit
@@ -216,7 +215,7 @@ somit auch zu orthogonalen Lösungen führen.
 %   Lösung von X(x), Teil mu
 %
 
-\subsubsection{Lösung der Differentialgleichung in $x$}
+\subsection{Lösung der Differentialgleichung in \texorpdfstring{$x$}{x}}
 Als erstes wird auf die
 Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} eingegangen.
 Aufgrund der Struktur der Gleichung
@@ -259,14 +258,14 @@ ergibt dies
     =
     0
 \]
-und durch umformen somit
+und durch Umformen somit
 \[
     -\alpha^{2}A\cos(\alpha x) - \beta^{2}B\sin(\beta x)
     =
     \mu A\cos(\alpha x) + \mu B\sin(\beta x).
 \]
 
-Mittels Koeffizientenvergleich von
+Mittels Koeffizientenvergleich auf beiden Seiten von
 \[
 \begin{aligned}
     -\alpha^{2}A\cos(\alpha x)
@@ -288,16 +287,19 @@ und \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated}
 benötigt.
 
 Da die Koeffizienten $A$ und $B$, sowie die Parameter $\alpha$ und $\beta$ im
-allgemeinen ungleich $0$ sind, müssen die Randbedingungen durch die
+Allgemeinen ungleich $0$ sind, müssen die Randbedingungen durch die
 trigonometrischen Funktionen erfüllt werden.
 
+\subsubsection{Einsetzen der 
+Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant}}
+
 Es werden nun die 
 Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant}
 für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur in die
 Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} eingesetzt.
 
 Betrachten wir zunächst die Bedingung für $x = 0$.
-Dies fürht zu
+Dies führt zu
 \[
     X(0)
     =
@@ -324,7 +326,7 @@ Es bleibt noch nach $\beta$ aufzulösen:
 \begin{aligned}
     \sin(\beta l) &= 0 \\
     \beta l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N}_0 \\
-    \beta &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N}_0
+    \beta &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N}_0.
 \end{aligned}
 \]
 
@@ -337,6 +339,9 @@ Ausserdem ist zu bemerken, dass dies auch gleich $-\alpha^{2}$ ist.
 Da aber $A = 0$ gilt und der Summand mit $\alpha$ verschwindet, ist dies keine
 Verletzung der Randbedingungen.
 
+\subsubsection{Einsetzen der 
+Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated}}
+
 Durch analoges Vorgehen kann nun auch das Problem mit isolierten Enden gelöst
 werden.
 Setzt man die 
@@ -384,7 +389,7 @@ wie auch für den Stab mit isolierten Enden
     -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}.
 \end{equation}
 
-\subsubsection{Fourierreihe als Lösung}
+\subsection{Fourierreihe als Lösung}
 
 Das Resultat~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-mu-solution} gibt nun
 wegen der neuen Variablen $n \in \mathbb{N}_0$ vor, dass es potenziell
@@ -420,9 +425,21 @@ gilt, endet man somit bei
     \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right).
 \]
 Dies ist die allgemeine Fourierreihe, welche unsere Stab-Probleme löst.
-Wie zuvor bereits erwähnt, wissen wir dass sämtliche Lösungsfunktionen
-orthogonal zueinander sind, da es sich hier um die Lösung eines
-Sturm-Liouville-Problems handelt.
+Wie zuvor bereits erwähnt, wissen wir, dass sämtliche Lösungsfunktionen
+orthogonal zueinander sind bezüglich des
+Skalarproduktes~\eqref{sturmliouville:eq:modified-dot-product}.
+Dieses vereinfacht sich noch etwas, da aus
+Abschnitt~\ref{sturmliouville:subsec:separation} bereits $w(x) = 1$ gegeben ist.
+Somit ist das Skalarprodukt
+\begin{equation}
+    \label{sturmliouville:eq:example-fourier-dot-product}
+    \langle f, g \rangle_w
+    =
+    \int_a^b f(x)g(x)w(x)\,dx
+    =
+    \int_a^b f(x)g(x)\,dx.
+\end{equation}
+
 Es gilt also
 \[
 \begin{aligned}
@@ -460,7 +477,8 @@ Es gilt also nun die Gleichung
 nach allen $a_n$ und $b_n$ aufzulösen.
 Da aber $a_n$ und $b_n$ jeweils als Faktor zu einer trigonometrischen Funktion
 gehört, von der wir wissen, dass sie orthogonal zu allen anderen
-trigonometrischen Funktionen der Lösung ist, kann direkt das Skalarprodukt
+trigonometrischen Funktionen der Lösung ist, kann direkt das
+Skalarprodukt~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-dot-product}
 verwendet werden um die Koeffizienten $a_n$ und $b_n$ zu bestimmen.
 Es wird also die Tatsache ausgenutzt, dass die Gleichheit in
 \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-initial-conditions} nach Anwendung des
@@ -472,14 +490,14 @@ Skalarprodukt mit der Basisfunktion $ \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)$
 gebildet:
 \begin{equation}
     \label{sturmliouville:eq:dot-product-cosine}
-    \langle u(0, x), \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) \rangle
+    \biggl\langle u(0, x), \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) \biggr\rangle _w
     =
-    \langle a_0
+    \biggl\langle a_0
     +
     \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
     +
     \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right),
-    \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)\rangle
+    \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)\biggr\rangle _w
 \end{equation}
 
 Bevor diese Form in die Integralform umgeschrieben werden kann, muss überlegt
@@ -513,7 +531,7 @@ gerade, respektive ungerade auf $[-l, 0]$ fortsetzen:
 \]
 
 Diese Funktionen wurden gerade so gewählt, dass nun das Resultat der Integrale
-um den Faktor zwei skalliert wurde.
+um den Faktor $2$ skalliert wurde.
 Es gilt also
 \[
     \int_{-l}^{l}\hat{u}_c(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
@@ -586,8 +604,9 @@ Es bleibt also lediglich der Summand mit $a_m$ stehen, was die Gleichung zu
 vereinfacht.
 
 Im nächsten Schritt wird nun das Integral auf der rechten Seite
-berechnet und dann nach $a_m$ aufgelöst. Am einnfachsten geht dies, wenn zuerst
-mit $u = \frac{m \pi}{l}x$ substituiert wird:
+berechnet und dann nach $a_m$ aufgelöst.
+Am einfachsten geht dies, wenn zuerst mit $u = \frac{m \pi}{l}x$ substituiert
+wird:
 \[
     \begin{aligned}
     2\int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
@@ -609,7 +628,7 @@ mit $u = \frac{m \pi}{l}x$ substituiert wird:
     \\
     a_m
     &=
-    \frac{2}{l} \int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
+    \frac{2}{l} \int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx.
     \end{aligned}
 \]
 
@@ -676,7 +695,7 @@ was sich wie folgt nach $a_0$ auflösen lässt:
     \\
     a_0
     &=
-    \frac{1}{l} \int_{0}^{l}u(0, x)dx
+    \frac{1}{l} \int_{0}^{l}u(0, x)dx.
 \end{aligned}
 \]
 
@@ -684,10 +703,10 @@ was sich wie folgt nach $a_0$ auflösen lässt:
 % Lösung von T(t) 
 %
 
-\subsubsection{Lösung der Differentialgleichung in $t$}
+\subsection{Lösung der Differentialgleichung in \texorpdfstring{$t$}{t}}
 Zuletzt wird die zweite Gleichung der 
 Separation~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-t} betrachtet.
-Dazu betrachtet man das charakteristische Polynom
+Dazu nimmt man das charakteristische Polynom
 \[
     \lambda - \kappa \mu
     =
@@ -716,7 +735,9 @@ führt und mit dem Resultat~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-mu-solution
 \]
 ergibt.
 
-Dieses Resultat kann nun mit allen vorhergehenden Resultaten zusammengesetzt
+\subsection{Lösung des Wärmeleitungsproblems}
+
+Nun können alle vorhergehenden Resultate zusammengesetzt
 werden um die vollständige Lösung für das Stab-Problem zu erhalten.
 
 \subsubsection{Lösung für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur}