Differentialgleichung für das mathematische Pendel

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diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile b/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile
index 931564b..5749ae0 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile
@@ -4,7 +4,7 @@
 # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
 all:	lemniskate.pdf ellipsenumfang.pdf unvollstaendig.pdf rechteck.pdf \
-	ellipse.pdf
+	ellipse.pdf pendel.pdf
 
 lemniskate.pdf:	lemniskate.tex
 	pdflatex lemniskate.tex
@@ -33,4 +33,6 @@ unvollpath.tex:	unvollstaendig.m
 ellipse.pdf:	ellipse.tex
 	pdflatex ellipse.tex
 
+pendel.pdf:	pendel.tex
+	pdflatex pendel.tex
 
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.pdf
index fc27f21..b5eba91 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.pdf
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.pdf
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/pendel.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/pendel.pdf
new file mode 100644
index 0000000..c3a267a
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/pendel.pdf
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/pendel.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/images/pendel.tex
new file mode 100644
index 0000000..d2ff9b6
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/pendel.tex
@@ -0,0 +1,59 @@
+%
+% pendel.tex -- mathematisches Pendel
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.7,0}
+
+\def\winkel{25}
+
+\fill[color=red!20] (0,0) -- (0,-2) arc (-90:{-\winkel}:2) -- cycle;
+
+\node at ({0.5*(-90-\winkel)}:1) {$\vartheta$};
+\draw[color=red,shorten >= 0.25cm] (0,0) -- ({-\winkel}:3);
+\node[color=red] at ({-\winkel}:1.5) [above right] {$l$};
+
+\draw[->] (0,3.1) -- (0,-3.5) coordinate[label={left:$x$}];
+%\draw[->] (-3.1,0) -- (3.5,0) coordinate[label={$y$}];
+
+\draw[color=blue] (0,0) -- (0,{-3*sin(\winkel)})
+	-- ({3*cos(\winkel)},{-3*sin(\winkel)});
+
+\fill[color=white] (0,0) circle[radius=0.05];
+\draw (0,0) circle[radius=0.05];
+
+\draw[line width=0.2pt] (0,0) circle[radius=3];
+
+\node at ($({-\winkel}:3)+(0.1,0)$) [below right] {$P$};
+
+\draw[->,color=darkgreen]
+	({-\winkel}:3) -- ($({-\winkel}:3)+(0,-3)$);
+\draw[->,color=darkgreen]
+	({-\winkel}:3) -- ($({-\winkel}:3)+({-\winkel-90}:{3*cos(\winkel)})$);
+\draw[line width=0.3pt,color=darkgreen]
+	($({-\winkel}:3)+(0,-3)$)
+	-- ($({-\winkel}:3)+({-\winkel-90}:{3*cos(\winkel)})$);
+
+\node[color=darkgreen] at ($({-\winkel}:3)+(0,-2)$) [right] {$g$};
+
+\definecolor{darkred}{rgb}{0.6,0,0}
+\fill[color=darkred] ({-\winkel}:3) circle[radius=0.25];
+\draw[color=red] ({-\winkel}:3) circle[radius=0.25];
+\node[color=white] at ({-\winkel}:3) {$m$};
+
+\node at (0,0) [left] {$O$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/rechteck.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/rechteck.pdf
index 894091f..ea5869d 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/rechteck.pdf
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/rechteck.pdf
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/unvollstaendig.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/unvollstaendig.pdf
index 4da2c0c..f28495c 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/unvollstaendig.pdf
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/unvollstaendig.pdf
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex
index 4dc533a..1f52c2a 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex
@@ -716,6 +716,137 @@ wobei die Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ auf Grund der Vorzeichen
 von $A$, $B$ und $C$ gewählt werden müssen.
 
 \subsubsection{Das mathematische Pendel}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/pendel.pdf}
+\caption{Mathematisches Pendel
+\label{buch:elliptisch:fig:mathpendel}}
+\end{figure}
+Das in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} dargestellte
+Mathematische Pendel besteht aus einem Massepunkt der Masse $m$
+im Punkt $P$,
+der über eine masselose Stange der Länge $l$ mit dem Drehpunkt $O$
+verbunden ist.
+Das Pendel bewegt sich unter dem Einfluss der Schwerebeschleunigung $g$.
+
+Das Trägheitsmoment des Massepunktes um den Drehpunkt $O$ ist
+\(
+I=ml^2
+\).
+Das Drehmoment der Schwerkraft ist
+\(M=gl\sin\vartheta\).
+Die Bewegungsgleichung wird daher
+\[
+\begin{aligned}
+\frac{d}{dt} I\dot{\vartheta}
+&=
+M
+=
+gl\sin\vartheta
+\\
+ml^2\ddot{\vartheta}
+&=
+gl\sin\vartheta
+&&\Rightarrow&
+\ddot{\vartheta}
+&=\frac{g}{l}\sin\vartheta
+\end{aligned}
+\]
+Dies ist eine nichtlineare Differentialgleichung zweiter Ordnung, die
+wir nicht unmittelbar mit den Differentialgleichungen erster Ordnung
+der elliptischen Funktionen vergleichen können.
+
+Die Differentialgleichungen erster Ordnung der elliptischen Funktionen
+enthalten das Quadrat der ersten Ableitung.
+In unserem Fall entspricht das einer Gleichung, die $\dot{\vartheta}^2$
+enthält.
+Der Energieerhaltungssatz kann uns eine solche Gleichung geben.
+Die Summe von kinetischer und potentieller Energie muss konstant sein.
+Dies führt auf
+\[
+E_{\text{kinetisch}}
++
+E_{\text{potentiell}}
+=
+\frac12I\dot{\vartheta}^2
++
+mgl(1-\cos\vartheta)
+=
+\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2
++
+mgl(1-\cos\vartheta)
+=
+E
+\]
+Durch Auflösen nach $\dot{\vartheta}$ kann man jetzt die
+Differentialgleichung
+\[
+\dot{\vartheta}^2
+=
+-
+\frac{2g}{l}(1-\cos\vartheta)
++\frac{2E}{ml^2}
+\]
+finden.
+In erster Näherung, d.h. wenn man die rechte Seite bis zu vierten
+Potenzen in eine Taylor-Reihe in $\vartheta$ entwickelt,  ist dies
+tatsächlich eine Differentialgleichung der Art, wie wir sie für
+elliptische Funktionen gefunden haben, wir möchten aber eine exakte
+Lösung konstruieren.
+
+Wir verwenden als neue Variable 
+\[
+y = \sin\frac{\vartheta}2
+\]
+mit der Ableitung
+\[
+\dot{y}=\frac12\cos\frac{\vartheta}{2}\cdot \dot{\vartheta}.
+\]
+Man beachte, dass $y$ nicht eine Koordinate in
+Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} ist.
+
+Aus den Halbwinkelformeln finden wir
+\[
+\cos\vartheta
+=
+1-2\sin^2 \frac{\vartheta}2
+=
+1-2y^2.
+\]
+Dies können wir zusammen mit der
+Identität $\cos^2\vartheta/2 = 1-\sin^2\vartheta/2 = 1-y^2$
+in die Energiegleichung einsetzen und erhalten
+\[
+\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 + mgly^2 = E.
+\]
+Durch Multiplizieren mit $\cos^2\frac{\vartheta}{2}=1-y^2$
+erhalten wir auf der linken Seite einen Ausdruck, den wir
+als Funktion von $\dot{y}$ ausdrücken können.
+Wir erhalten
+\begin{align*}
+\frac12ml^2
+\cos^2\frac{\vartheta}2
+\dot{\vartheta}^2
+&=
+(1-y^2)
+(E -mgly^2)
+\\
+\frac{1}{4}\cos^2\frac{\vartheta}{2}\dot{\vartheta}^2
+&=
+\frac{1}{2}
+(1-y^2)
+\biggl(\frac{E}{ml^2} -\frac{g}{l}y^2\biggr)
+\\
+\dot{y}^2
+&=
+\frac{E}{2ml^2}
+(1-y^2)\biggl(
+1-\frac{2gml}{E}y^2
+\biggr).
+\end{align*}
+Dies ist genau die Form der Differentialgleichung für die elliptische
+Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$
+mit $k^2 = gml/2E$.
 
 XXX Differentialgleichung \\
 XXX Mathematisches Pendel \\