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authorAndreas Müller <andreas.mueller@ost.ch>2022-03-13 23:26:58 +0100
committerAndreas Müller <andreas.mueller@ost.ch>2022-03-13 23:26:58 +0100
commitf5047d4d780e996a8b8f7738c1ac7c884a07f135 (patch)
treed1f249001ee30abf9609efe8dcbad8b77ed0fd76
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SeminarSpezielleFunktionen-f5047d4d780e996a8b8f7738c1ac7c884a07f135.zip
new stuff about beta, test2
Diffstat (limited to '')
-rw-r--r--buch/aufgaben2.tex4
-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc1
-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/beta.tex104
-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/images/Makefile16
-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/images/beta.pdfbin0 -> 109772 bytes
-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/images/beta.tex236
-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/images/betadist.m58
-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/images/order.m119
-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/images/order.pdfbin0 -> 32692 bytes
-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/images/order.tex125
-rw-r--r--buch/chapters/070-orthogonalitaet/Makefile.inc1
-rw-r--r--buch/chapters/070-orthogonalitaet/chapter.tex2
-rw-r--r--buch/chapters/070-orthogonalitaet/uebungsaufgaben/701.tex137
-rw-r--r--buch/chapters/090-pde/Makefile.inc1
-rw-r--r--buch/chapters/090-pde/chapter.tex12
-rw-r--r--buch/chapters/090-pde/kreis.tex2
-rw-r--r--buch/chapters/090-pde/uebungsaufgaben/901.tex82
-rw-r--r--buch/papers/dreieck/images/beta.pdfbin100791 -> 109717 bytes
-rw-r--r--buch/papers/dreieck/images/beta.tex208
-rw-r--r--buch/papers/dreieck/images/betadist.m24
20 files changed, 938 insertions, 194 deletions
diff --git a/buch/aufgaben2.tex b/buch/aufgaben2.tex
index bed14fb..f98562e 100644
--- a/buch/aufgaben2.tex
+++ b/buch/aufgaben2.tex
@@ -8,4 +8,8 @@
%\input chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4004.tex
%\item
%\input chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4005.tex
+\item
+\input{chapters/090-pde/uebungsaufgaben/901.tex}
+\item
+\input{chapters/070-orthogonalitaet/uebungsaufgaben/701.tex}
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc b/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc
index ed8fd51..a222b1c 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc
@@ -9,6 +9,7 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \
chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex \
chapters/040-rekursion/integral.tex \
chapters/040-rekursion/beta.tex \
+ chapters/040-rekursion/betaverteilung.tex \
chapters/040-rekursion/linear.tex \
chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex \
chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/401.tex \
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex b/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex
index ea847bc..ff59bad 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex
@@ -3,11 +3,17 @@
%
% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
%
-\subsection{Die Beta-Funktion
-\label{buch:rekursion:gamma:subsection:beta}}
+\section{Die Beta-Funktion
+\label{buch:rekursion:gamma:section:beta}}
Die Eulersche Integralformel für die Gamma-Funktion in
-Definition~\ref{buch:rekursion:def:gamma} wurde bisher nicht
-gerechtfertigt.
+Definition~\ref{buch:rekursion:def:gamma} wurde in
+Abschnitt~\ref{buch:subsection:integral-eindeutig}
+mit dem Satz von Mollerup gerechtfertigt.
+Man kann Sie aber auch als Grenzfall der Beta-Funktion verstehen,
+die in diesem Abschnitt dargestellt wird.
+
+
+\subsection{Beta-Integral}
In diesem Abschnitt wird das Beta-Integral eingeführt, eine Funktion
von zwei Variablen, welches eine Integral-Definition mit einer
reichaltigen Menge von Rekursionsbeziehungen hat, die sich direkt auf
@@ -233,6 +239,16 @@ B(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}
berechnet werden.
\end{satz}
+%
+% Info über die Beta-Verteilung
+%
+\input{chapters/040-rekursion/betaverteilung.tex}
+
+\subsection{Weitere Eigenschaften der Gamma-Funktion}
+Die nahe Verwandtschaft der Gamma- mit der Beta-Funktion ermöglicht
+nun, weitere Eigenschaften der Gamma-Funktion mit Hilfe der Beta-Funktion
+herzuleiten.
+
\subsubsection{Nochmals der Wert von $\Gamma(\frac12)$?}
Der Wert von $\Gamma(\frac12)=\sqrt{\pi}$ wurde bereits in
\eqref{buch:rekursion:gamma:wert12}
@@ -484,83 +500,3 @@ Setzt man $x=\frac12$ in die Verdoppelungsformel ein, erhält man
in Übereinstimmung mit dem aus \eqref{buch:rekursion:gamma:gamma12}
bereits bekannten Wert.
-\subsubsection{Beta-Funktion und Binomialkoeffizienten}
-Die Binomialkoeffizienten können mit Hilfe der Fakultät als
-\begin{align*}
-\binom{n}{k}
-&=
-\frac{n!}{(n-k)!\,k!}
-\intertext{geschrieben werden.
-Drückt man die Fakultäten durch die Gamma-Funktion aus, erhält man}
-&=
-\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n-k+1)\Gamma(k+1)}.
-\intertext{Schreibt man $x=k-1$ und $y=n-k+1$, wird daraus
-wegen $x+y=k+1+n-k+1=n+2=(n+1)+1$}
-&=
-\frac{\Gamma(x+y-1)}{\Gamma(x)\Gamma(y)}.
-\intertext{Die Rekursionsformel für die Gamma-Funktion erlaubt,
-den Zähler umzuwandeln in $\Gamma(x+y-1)=\Gamma(x+y)/(x+y-1)$, so dass
-der Binomialkoeffizient schliesslich}
-&=
-\frac{\Gamma(x+y)}{(x+y-1)\Gamma(x)\Gamma(y)}
-=
-\frac{1}{(n-1)B(n-k+1,k+1)}
-\label{buch:rekursion:gamma:binombeta}
-\end{align*}
-geschrieben werden kann.
-Die Rekursionsbeziehung
-\[
-\binom{n+1}{k} = \binom{n}{k-1} + \binom{n}{k}
-\]
-der Binomialkoeffizienten erzeugt das vertraute Pascal-Dreieck,
-die Formel \eqref{buch:rekursion:gamma:binombeta} für die
-Binomialkoeffizienten macht daraus
-\[
-\frac{n-1}{B(n-k,k-1)}
-=
-\frac{n-2}{B(n-k,k-2)}
-+
-\frac{n-2}{B(n-k-1,k-1)},
-\]
-die für ganzzahlige Argumente gilt.
-Wir wollen nachrechnen, dass dies für beliebige Argumente gilt.
-\begin{align*}
-\frac{(n-1)\Gamma(n-1)}{\Gamma(n-k)\Gamma(k-1)}
-&=
-\frac{(n-2)\Gamma(n-2)}{\Gamma(n-k)\Gamma(k-2)}
-+
-\frac{(n-2)\Gamma(n-2)}{\Gamma(n-k-1)\Gamma(k-1)}
-\\
-\frac{\Gamma(n)}{\Gamma(n-k)\Gamma(k-1)}
-&=
-\frac{\Gamma(n-1)}{\Gamma(n-k)\Gamma(k-2)}
-+
-\frac{\Gamma(n-1)}{\Gamma(n-k-1)\Gamma(k-1)}
-\intertext{Durch Zusammenfassen der Faktoren im Zähler mit Hilfe
-der Rekursionsformel für die Gamma-Funktion und Multiplizieren
-mit dem gemeinsamen Nenner
-$\Gamma(n-k)\Gamma(k-1)=(n-k-1)\Gamma(n-k-1)(k-2)\Gamma(k-2)$ wird daraus}
-\Gamma(n)
-&=
-(k-2)
-\Gamma(n-1)
-+
-(n-k-1)
-\Gamma(n-1)
-\intertext{Indem wir die Rekursionsformel für die Gamma-Funktion auf
-die rechte Seite anwenden können wir erreichen, dass in allen Termen
-ein Faktor
-$\Gamma(n-1)$ auftritt:}
-(n-1)\Gamma(n-1)
-&=
-(k-2)\Gamma(n-1)
-+
-(n+k-1)\Gamma(n-1)
-\\
-n-1
-&=
-k-2
-+
-n-k-1
-\end{align*}
-
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/Makefile b/buch/chapters/040-rekursion/images/Makefile
index 9608a94..86dfa1e 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/images/Makefile
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/Makefile
@@ -3,7 +3,7 @@
#
# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
#
-all: gammaplot.pdf fibonacci.pdf
+all: gammaplot.pdf fibonacci.pdf order.pdf beta.pdf
gammaplot.pdf: gammaplot.tex gammapaths.tex
pdflatex gammaplot.tex
@@ -16,3 +16,17 @@ fibonaccigrid.tex: fibonacci.m
fibonacci.pdf: fibonacci.tex fibonaccigrid.tex
pdflatex fibonacci.tex
+
+order.pdf: order.tex orderpath.tex
+ pdflatex order.tex
+
+orderpath.tex: order.m
+ octave order.m
+
+beta.pdf: beta.tex betapaths.tex
+ pdflatex beta.tex
+
+betapaths.tex: betadist.m
+ octave betadist.m
+
+
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/beta.pdf b/buch/chapters/040-rekursion/images/beta.pdf
new file mode 100644
index 0000000..0e6567b
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/beta.pdf
Binary files differ
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/beta.tex b/buch/chapters/040-rekursion/images/beta.tex
new file mode 100644
index 0000000..1e1a1b3
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/beta.tex
@@ -0,0 +1,236 @@
+%
+% beta.tex -- display some symmetric beta distributions
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc}
+\input{betapaths.tex}
+\begin{document}
+\def\skala{12}
+\definecolor{colorone}{rgb}{1.0,0.6,0.0}
+\definecolor{colortwo}{rgb}{1.0,0.0,0.0}
+\definecolor{colorthree}{rgb}{0.6,0.0,0.6}
+\definecolor{colorfour}{rgb}{0.6,0.0,1.0}
+\definecolor{colorfive}{rgb}{0.0,0.0,1.0}
+\definecolor{colorsix}{rgb}{0.4,0.6,1.0}
+\definecolor{colorseven}{rgb}{0.0,0.0,0.0}
+\definecolor{coloreight}{rgb}{0.0,0.8,0.8}
+\definecolor{colornine}{rgb}{0.0,0.8,0.2}
+\definecolor{colorten}{rgb}{0.2,0.4,0.0}
+\definecolor{coloreleven}{rgb}{0.6,1.0,0.0}
+\definecolor{colortwelve}{rgb}{1.0,0.8,0.4}
+
+\def\achsen{
+ \foreach \x in {0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9}{
+ \draw ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) -- ({\x*\dx},{0.1/\skala});
+ \node at ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) [below] {$\x$};
+ }
+ \foreach \y in {1,2,3,4}{
+ \draw ({-0.1/\skala},{\y*\dy}) -- ({0.1/\skala},{\y*\dy});
+ \node at ({-0.1/\skala},{\y*\dy}) [left] {$\y$};
+ }
+ \def\x{1}
+ \draw ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) -- ({\x*\dx},{0.1/\skala});
+ \node at ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) [below] {$\x$};
+ \def\x{0}
+ \node at ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) [below] {$\x$};
+
+ \draw[->] ({-0.1/\skala},0) -- ({1*\dx+0.4/\skala},0)
+ coordinate[label={$x$}];
+ \draw[->] (0,{-0.1/\skala}) -- (0,{\betamax*\dy+0.4/\skala},0)
+ coordinate[label={right:$\beta(a,b,x)$}];
+}
+
+\def\farbcoord#1#2{
+ ({\dx*(0.63+((#1)/5)*0.27)},{\dx*(0.18+((#2)/5)*0.27)})
+}
+\def\farbviereck{
+ \foreach \x in {1,2,3,4}{
+ \draw[color=gray!30] \farbcoord{\x}{0} -- \farbcoord{\x}{4};
+ \draw[color=gray!30] \farbcoord{0}{\x} -- \farbcoord{4}{\x};
+ }
+ \draw[->] \farbcoord{0}{0} -- \farbcoord{4.4}{0}
+ coordinate[label={$a$}];
+ \draw[->] \farbcoord{0}{0} -- \farbcoord{0}{4.4}
+ coordinate[label={left: $b$}];
+ \foreach \x in {1,2,3,4}{
+ \node[color=gray] at \farbcoord{4}{\x} [right] {\tiny $b=\x$};
+ %\fill[color=white,opacity=0.7]
+ % \farbcoord{(\x-0.1)}{3.3}
+ % rectangle
+ % \farbcoord{(\x+0.1)}{4};
+ \node[color=gray] at \farbcoord{\x}{4} [right,rotate=90]
+ {\tiny $a=\x$};
+ }
+}
+\def\farbpunkt#1#2#3{
+ \fill[color=#3] \farbcoord{#1}{#2} circle[radius={0.1/\skala}];
+}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\def\dx{1.15}
+\def\dy{0.1}
+\def\opa{0.1}
+
+\def\betamax{4.9}
+
+\begin{scope}
+\clip (0,0) rectangle ({1*\dx},{\betamax*\dy});
+\fill[color=colorone,opacity=\opa] (0,0) -- \betaaa -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colortwo,opacity=\opa] (0,0) -- \betabb -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorthree,opacity=\opa] (0,0) -- \betacc -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorfour,opacity=\opa] (0,0) -- \betadd -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorfive,opacity=\opa] (0,0) -- \betaee -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorsix,opacity=\opa] (0,0) -- \betaff -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorseven,opacity=\opa] (0,0) -- \betagg -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=coloreight,opacity=\opa] (0,0) -- \betahh -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colornine,opacity=\opa] (0,0) -- \betaii -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorten,opacity=\opa] (0,0) -- \betajj -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=coloreleven,opacity=\opa] (0,0) -- \betakk -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colortwelve,opacity=\opa] (0,0) -- \betall -- (\dx,0) -- cycle;
+
+\draw[color=colorone] \betaaa;
+\draw[color=colortwo] \betabb;
+\draw[color=colorthree] \betacc;
+\draw[color=colorfour] \betadd;
+\draw[color=colorfive] \betaee;
+\draw[color=colorsix] \betaff;
+\draw[color=colorseven] \betagg;
+\draw[color=coloreight] \betahh;
+\draw[color=colornine] \betaii;
+\draw[color=colorten] \betajj;
+\draw[color=coloreleven] \betakk;
+\draw[color=colortwelve] \betall;
+
+\end{scope}
+
+\achsen
+
+\farbviereck
+
+\farbpunkt{\alphatwelve}{\betatwelve}{colortwelve}
+\farbpunkt{\alphaeleven}{\betaeleven}{coloreleven}
+\farbpunkt{\alphaten}{\betaten}{colorten}
+\farbpunkt{\alphanine}{\betanine}{colornine}
+\farbpunkt{\alphaeight}{\betaeight}{coloreight}
+\farbpunkt{\alphaseven}{\betaseven}{colorseven}
+\farbpunkt{\alphasix}{\betasix}{colorsix}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betafive}{colorfive}
+\farbpunkt{\alphafour}{\betafour}{colorfour}
+\farbpunkt{\alphathree}{\betathree}{colorthree}
+\farbpunkt{\alphatwo}{\betatwo}{colortwo}
+\farbpunkt{\alphaone}{\betaone}{colorone}
+
+
+\def\betamax{4.9}
+
+\begin{scope}[yshift=-0.6cm]
+
+\begin{scope}
+\clip (0,0) rectangle ({1*\dx},{\betamax*\dy});
+\fill[color=colorone,opacity=\opa] (0,0) -- \betaea -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colortwo,opacity=\opa] (0,0) -- \betaeb -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorthree,opacity=\opa] (0,0) -- \betaec -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorfour,opacity=\opa] (0,0) -- \betaed -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorfive,opacity=\opa] (0,0) -- \betaee -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorsix,opacity=\opa] (0,0) -- \betaef -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorseven,opacity=\opa] (0,0) -- \betaeg -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=coloreight,opacity=\opa] (0,0) -- \betaeh -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colornine,opacity=\opa] (0,0) -- \betaei -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorten,opacity=\opa] (0,0) -- \betaej -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=coloreleven,opacity=\opa] (0,0) -- \betaek -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colortwelve,opacity=\opa] (0,0) -- \betael -- (\dx,0) -- cycle;
+
+\draw[color=colorone] \betaea;
+\draw[color=colortwo] \betaeb;
+\draw[color=colorthree] \betaec;
+\draw[color=colorfour] \betaed;
+\draw[color=colorfive] \betaee;
+\draw[color=colorsix] \betaef;
+\draw[color=colorseven] \betaeg;
+\draw[color=coloreight] \betaeh;
+\draw[color=colornine] \betaei;
+\draw[color=colorten] \betaej;
+\draw[color=coloreleven] \betaek;
+\draw[color=colortwelve] \betael;
+\end{scope}
+
+\achsen
+
+\farbviereck
+
+\farbpunkt{\alphafive}{\betatwelve}{colortwelve}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betaeleven}{coloreleven}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betaten}{colorten}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betanine}{colornine}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betaeight}{coloreight}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betaseven}{colorseven}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betasix}{colorsix}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betafive}{colorfive}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betafour}{colorfour}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betathree}{colorthree}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betatwo}{colortwo}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betaone}{colorone}
+
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[yshift=-1.2cm]
+
+\begin{scope}
+\clip (0,0) rectangle ({1*\dx},{\betamax*\dy});
+\fill[color=colorone,opacity=\opa] (0,0) -- \betaal -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colortwo,opacity=\opa] (0,0) -- \betabl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorthree,opacity=\opa] (0,0) -- \betacl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorfour,opacity=\opa] (0,0) -- \betadl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorfive,opacity=\opa] (0,0) -- \betael -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorsix,opacity=\opa] (0,0) -- \betafl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorseven,opacity=\opa] (0,0) -- \betagl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=coloreight,opacity=\opa] (0,0) -- \betahl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colornine,opacity=\opa] (0,0) -- \betail -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorten,opacity=\opa] (0,0) -- \betajl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=coloreleven,opacity=\opa] (0,0) -- \betakl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colortwelve,opacity=\opa] (0,0) -- \betall -- (\dx,0) -- cycle;
+
+\draw[color=colorone] \betaal;
+\draw[color=colortwo] \betabl;
+\draw[color=colorthree] \betacl;
+\draw[color=colorfour] \betadl;
+\draw[color=colorfive] \betael;
+\draw[color=colorsix] \betafl;
+\draw[color=colorseven] \betagl;
+\draw[color=coloreight] \betahl;
+\draw[color=colornine] \betail;
+\draw[color=colorten] \betajl;
+\draw[color=coloreleven] \betakl;
+\draw[color=colortwelve] \betall;
+\end{scope}
+
+\achsen
+
+\farbviereck
+
+\farbpunkt{\alphatwelve}{\betatwelve}{colortwelve}
+\farbpunkt{\alphaeleven}{\betatwelve}{coloreleven}
+\farbpunkt{\alphaten}{\betatwelve}{colorten}
+\farbpunkt{\alphanine}{\betatwelve}{colornine}
+\farbpunkt{\alphaeight}{\betatwelve}{coloreight}
+\farbpunkt{\alphaseven}{\betatwelve}{colorseven}
+\farbpunkt{\alphasix}{\betatwelve}{colorsix}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betatwelve}{colorfive}
+\farbpunkt{\alphafour}{\betatwelve}{colorfour}
+\farbpunkt{\alphathree}{\betatwelve}{colorthree}
+\farbpunkt{\alphatwo}{\betatwelve}{colortwo}
+\farbpunkt{\alphaone}{\betatwelve}{colorone}
+
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/betadist.m b/buch/chapters/040-rekursion/images/betadist.m
new file mode 100644
index 0000000..5b466a6
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/betadist.m
@@ -0,0 +1,58 @@
+#
+# betadist.m
+#
+# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+global N;
+N = 201;
+global nmin;
+global nmax;
+nmin = -4;
+nmax = 7;
+n = nmax - nmin + 1
+A = 3;
+
+t = (nmin:nmax) / nmax;
+alpha = 1 + A * t .* abs(t)
+#alpha(1) = 0.01;
+
+#alpha = [ 1, 1.03, 1.05, 1.1, 1.25, 1.5, 2, 2.5, 3, 4, 5 ];
+beta = alpha;
+names = [ "one"; "two"; "three"; "four"; "five"; "six"; "seven"; "eight";
+ "nine"; "ten"; "eleven"; "twelve" ]
+
+function retval = Beta(a, b, x)
+ retval = x^(a-1) * (1-x)^(b-1) / beta(a, b);
+ if (retval > 100)
+ retval = 100
+ end
+end
+
+function plotbeta(fn, a, b, name)
+ global N;
+ fprintf(fn, "\\def\\beta%s{\n", strtrim(name));
+ fprintf(fn, "\t({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", 0, Beta(a, b, 0));
+ for x = (1:N-1)/(N-1)
+ X = (1-cos(pi * x))/2;
+ fprintf(fn, "\n\t--({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})",
+ X, Beta(a, b, X));
+ end
+ fprintf(fn, "\n}\n");
+end
+
+fn = fopen("betapaths.tex", "w");
+
+for i = (1:n)
+ fprintf(fn, "\\def\\alpha%s{%f}\n", strtrim(names(i,:)), alpha(i));
+ fprintf(fn, "\\def\\beta%s{%f}\n", strtrim(names(i,:)), beta(i));
+end
+
+for i = (1:n)
+ for j = (1:n)
+ printf("working on %d,%d:\n", i, j);
+ plotbeta(fn, alpha(i), beta(j),
+ char(['a' + i - 1, 'a' + j - 1]));
+ end
+end
+
+fclose(fn);
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/order.m b/buch/chapters/040-rekursion/images/order.m
new file mode 100644
index 0000000..762f458
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/order.m
@@ -0,0 +1,119 @@
+#
+# order.m
+#
+# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+global N;
+N = 10;
+global subdivisions;
+subdivisions = 100;
+global P;
+P = 0.5
+
+function retval = orderF(p, n, k)
+ retval = 0;
+ for i = (k:n)
+ retval = retval + nchoosek(n,i) * p^i * (1-p)^(n-i);
+ end
+end
+
+function retval = orderd(p, n, k)
+ retval = 0;
+ for i = (k:n)
+ s = i * p^(i-1) * (1-p)^(n-i);
+ s = s - p^i * (n-i) * (1-p)^(n-i-1);
+ retval = retval + nchoosek(n,i) * s;
+ end
+end
+
+function retval = orders(p, n, k)
+ retval = k * nchoosek(n, k) * p^(k-1) * (1-p)^(n-k);
+end
+
+function orderpath(fn, k, name)
+ fprintf(fn, "\\def\\order%s{\n\t(0,0)", name);
+ global N;
+ global subdivisions;
+ for i = (0:subdivisions)
+ p = i/subdivisions;
+ fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})",
+ p, orderF(p, N, k));
+ end
+ fprintf(fn, "\n}\n");
+end
+
+function orderdpath(fn, k, name)
+ fprintf(fn, "\\def\\orderd%s{\n\t(0,0)", name);
+ global N;
+ global subdivisions;
+ for i = (1:subdivisions-1)
+ p = i/subdivisions;
+ fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})",
+ p, orderd(p, N, k));
+ end
+ fprintf(fn, "\n\t-- ({1*\\dx},0)");
+ fprintf(fn, "\n}\n");
+end
+
+function orderspath(fn, k, name)
+ fprintf(fn, "\\def\\orders%s{\n\t(0,0)", name);
+ global N;
+ global subdivisions;
+ for i = (1:subdivisions-1)
+ p = i/subdivisions;
+ fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})",
+ p, orders(p, N, k));
+ end
+ fprintf(fn, "\n\t-- ({1*\\dx},0)");
+ fprintf(fn, "\n}\n");
+end
+
+fn = fopen("orderpath.tex", "w");
+
+orderpath(fn, 0, "zero");
+orderdpath(fn, 0, "zero");
+orderspath(fn, 0, "zero");
+
+orderpath(fn, 1, "one");
+orderdpath(fn, 1, "one");
+orderspath(fn, 1, "one");
+
+orderpath(fn, 2, "two");
+orderdpath(fn, 2, "two");
+orderspath(fn, 2, "two");
+
+orderpath(fn, 3, "three");
+orderdpath(fn, 3, "three");
+orderspath(fn, 3, "three");
+
+orderpath(fn, 4, "four");
+orderdpath(fn, 4, "four");
+orderspath(fn, 4, "four");
+
+orderpath(fn, 5, "five");
+orderdpath(fn, 5, "five");
+orderspath(fn, 5, "five");
+
+orderpath(fn, 6, "six");
+orderdpath(fn, 6, "six");
+orderspath(fn, 6, "six");
+
+orderpath(fn, 7, "seven");
+orderdpath(fn, 7, "seven");
+orderspath(fn, 7, "seven");
+
+orderpath(fn, 8, "eight");
+orderdpath(fn, 8, "eight");
+orderspath(fn, 8, "eight");
+
+orderpath(fn, 9, "nine");
+orderdpath(fn, 9, "nine");
+orderspath(fn, 9, "nine");
+
+orderpath(fn, 10, "ten");
+orderdpath(fn, 10, "ten");
+orderspath(fn, 10, "ten");
+
+fclose(fn);
+
+
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/order.pdf b/buch/chapters/040-rekursion/images/order.pdf
new file mode 100644
index 0000000..cc175a9
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/order.pdf
Binary files differ
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/order.tex b/buch/chapters/040-rekursion/images/order.tex
new file mode 100644
index 0000000..9a2511c
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/order.tex
@@ -0,0 +1,125 @@
+%
+% order.tex -- Verteilungsfunktion für Ordnungsstatistik
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{8}
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+
+\def\n{10}
+\def\E#1#2{
+ \draw[color=#2]
+ ({\dx*#1/(\n+1)},{-0.1/\skala}) -- ({\dx*#1/(\n+1)},{4.4*\dy});
+ \node[color=#2] at ({\dx*#1/(\n+1)},{3.2*\dy})
+ [rotate=90,above right] {$k=#1$};
+}
+\def\var#1#2{
+ \pgfmathparse{\dx*sqrt(#1*(\n-#1+1)/((\n+1)*(\n+1)*(\n+2)))}
+ \xdef\var{\pgfmathresult}
+ \fill[color=#2,opacity=0.5]
+ ({\dx*#1/(\n+1)-\var},0) rectangle ({\dx*#1/(\n+1)+\var},{4.4*\dy});
+}
+
+\input{orderpath.tex}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\def\dx{1.6}
+\def\dy{0.5}
+
+\def\pfad#1#2{
+\draw[color=#2,line width=1.4pt] ({-0.1/\skala},0)
+ --
+ #1
+ --
+ ({1*\dx+0.1/\skala},0.5);
+}
+
+\pfad{\orderzero}{darkgreen!20}
+\pfad{\orderone}{darkgreen!20}
+\pfad{\ordertwo}{darkgreen!20}
+\pfad{\orderthree}{darkgreen!20}
+\pfad{\orderfour}{darkgreen!20}
+\pfad{\orderfive}{darkgreen!20}
+\pfad{\ordersix}{darkgreen!20}
+\pfad{\ordereight}{darkgreen!20}
+\pfad{\ordernine}{darkgreen!20}
+\pfad{\orderten}{darkgreen!20}
+\pfad{\orderseven}{darkgreen}
+
+\draw[->] ({-0.1/\skala},0) -- ({1.03*\dx},0) coordinate[label={$x$}];
+\draw[->] (0,{-0.1/\skala}) -- (0,0.6) coordinate[label={right:$F(X)$}];
+\foreach \x in {0,0.2,0.4,0.6,0.8,1}{
+ \draw ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) -- ({\x*\dx},{0.1/\skala});
+ \node at ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) [below] {$\x$};
+}
+\foreach \y in {0.5,1}{
+ \draw ({-0.1/\skala},{\y*\dy}) -- ({0.1/\skala},{\y*\dy});
+ \node at ({-0.1/\skala},{\y*\dy}) [left] {$\y$};
+}
+
+\node[color=darkgreen] at (0.65,{0.5*\dy}) [above,rotate=55] {$k=7$};
+
+\begin{scope}[yshift=-0.7cm]
+\def\dy{0.125}
+
+\foreach \k in {1,2,3,4,5,6,8,9,10}{
+ \E{\k}{blue!30}
+}
+\def\k{7}
+\var{\k}{orange!40}
+\node[color=blue] at ({\dx*\k/(\n+1)},{4.3*\dy}) [above] {$E(X_{7:n})$};
+
+\def\pfad#1#2{
+ \draw[color=#2,line width=1.4pt] ({-0.1/\skala},0)
+ --
+ #1
+ --
+ ({1*\dx+0.1/\skala},0.0);
+}
+
+\begin{scope}
+\clip ({-0.1/\skala},{-0.1/\skala})
+ rectangle ({1*\dx+0.1/\skala},{0.56+0.1/\skala});
+
+\pfad{\orderdzero}{red!20}
+\pfad{\orderdone}{red!20}
+\pfad{\orderdtwo}{red!20}
+\pfad{\orderdthree}{red!20}
+\pfad{\orderdfour}{red!20}
+\pfad{\orderdfive}{red!20}
+\pfad{\orderdsix}{red!20}
+\pfad{\orderdeight}{red!20}
+\pfad{\orderdnine}{red!20}
+\pfad{\orderdten}{red!20}
+\E{\k}{blue}
+\pfad{\orderdseven}{red}
+
+\end{scope}
+
+\draw[->] ({-0.1/\skala},0) -- ({1.03*\dx},0) coordinate[label={$x$}];
+\draw[->] (0,{-0.1/\skala}) -- (0,0.6) coordinate[label={right:$\varphi(X)$}];
+\foreach \x in {0,0.2,0.4,0.6,0.8,1}{
+ \draw ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) -- ({\x*\dx},{0.1/\skala});
+ \node at ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) [below] {$\x$};
+}
+\foreach \y in {1,2,3,4}{
+ \draw ({-0.1/\skala},{\y*\dy}) -- ({0.1/\skala},{\y*\dy});
+ \node at ({-0.1/\skala},{\y*\dy}) [left] {$\y$};
+}
+
+\node[color=red] at ({0.67*\dx},{2.7*\dy}) [above] {$k=7$};
+
+
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/Makefile.inc b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/Makefile.inc
index 48e5356..286ab2e 100644
--- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/Makefile.inc
@@ -13,4 +13,5 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \
chapters/070-orthogonalitaet/jacobi.tex \
chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex \
chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex \
+ chapters/070-orthogonalitaet/uebungsaufgaben/701.tex \
chapters/070-orthogonalitaet/chapter.tex
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/chapter.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/chapter.tex
index 5ebb795..4756844 100644
--- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/chapter.tex
@@ -25,7 +25,7 @@
\rhead{Übungsaufgaben}
\aufgabetoplevel{chapters/070-orthogonalitaet/uebungsaufgaben}
\begin{uebungsaufgaben}
-%\uebungsaufgabe{0}
+\uebungsaufgabe{701}
%\uebungsaufgabe{1}
\end{uebungsaufgaben}
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/uebungsaufgaben/701.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/uebungsaufgaben/701.tex
new file mode 100644
index 0000000..dad489f
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/uebungsaufgaben/701.tex
@@ -0,0 +1,137 @@
+Für Funktionen auf dem Interval $(-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2)$ ist
+\[
+\langle f,g\rangle
+=
+\frac12\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} f(x)g(x)\cos x\,dx
+\]
+ein Skalarprodukt.
+Bestimmen Sie bezüglich dieses Skalarproduktes orthogonale Polynome
+bis zum Grad $2$.
+
+\begin{hinweis}
+Verwenden Sie
+\begin{align*}
+\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} 1\cos x\,dx
+&=
+1,
+&
+\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} x^2\cos x\,dx
+&=
+\frac{\pi^2-8}{2},
+&
+\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} x^4\cos x\,dx
+&=
+\frac{\pi^4-48\pi^2+384}{8}.
+\end{align*}
+\end{hinweis}
+
+\begin{loesung}
+Wir müssen den Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsprozess für die
+Polynome $f_0(x)=1$, $f_1(x)=x$ und $f_2(x)=x^2$ durchführen.
+Zunächst halten wir fest, dass
+\[
+\langle f_0,f_0\rangle
+=
+\frac12
+\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} \cos x\,dx
+=
+1,
+\]
+das Polynom $g_0(x)=f_0(x)$ ist hat also Norm $1$.
+
+Ein dazu orthogonales Polynom ist
+\(
+f_1(x) - \langle g_0,f_1\rangle g_0(x),
+\)
+wir müssen also das Skalarprodukt
+\[
+\langle g_0,f_1\rangle
+=
+\frac{1}{2}
+\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}
+x\cos x\,dx
+\]
+bestimmen.
+Es verschwindet, weil die Funktion $x\cos x$ ungerade ist.
+Somit ist die Funktion $f_1(x)=x$ orthogonal zu $f_0(x)=1$, um sie auch zu
+normieren berechnen wir das Integral
+\[
+\| f_1\|^2
+=
+\frac12\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} x^2\cos x\,dx
+=
+\frac{\pi^2-8}{4},
+\]
+und
+\[
+g_1(x)
+=
+\frac{2}{\sqrt{\pi^2-8}} x.
+\]
+
+Zur Berechnung von $g_2$ müssen wir die Skalarprodukte
+\begin{align*}
+\langle g_0,f_2\rangle
+&=
+\frac{1}{2}
+\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}
+x^2
+\cos x
+\,dx
+=
+\frac{\pi^2-8}{4}
+\\
+\langle g_1,f_2\rangle
+&=
+\frac{1}{2}
+\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}
+\frac{2}{\sqrt{\pi^2-8}}
+x
+\cdot x^2
+\cos x
+\,dx
+=
+0
+\end{align*}
+bestimmen.
+Damit wird das dritte Polynom
+\[
+f_2(x)
+- g_0(x)\langle g_0,f_2\rangle
+- g_1(x)\langle g_1,f_2\rangle
+=
+x^2 - \frac{\pi^2-8}{4},
+\]
+welches bereits orthogonal ist zu $g_0$ und $g_1$.
+Wir können auch noch erreichen, obwohl das nicht verlangt war,
+dass es normiert ist, indem wir die Norm berechnen:
+\[
+\left\| x^2-\frac{\pi^2-8}{4} \right\|^2
+=
+\frac12
+\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}
+\biggl(x^2-\frac{\pi^2-8}{4}\biggr)^2
+\cos x\,dx
+=
+20-2\pi^2
+\]
+woraus sich
+\[
+g_2(x)
+=
+\frac{1}{\sqrt{20-2\pi^2}}
+\biggl(
+x^2 - \frac{\pi^2-8}{4}
+\biggr).
+\]
+Damit haben wir die ersten drei bezüglich des obigen Skalarproduktes
+orthogonalen Polynome
+\begin{align*}
+g_0(x)&=1,
+&
+g_1(x)&=\frac{2x}{\sqrt{\pi^2-8}},
+&
+g_2(x)&=\frac{1}{\sqrt{20-2\pi^2}}\biggl(x^2-\frac{\pi^2-8}{4}\biggr)
+\end{align*}
+gefunden.
+\end{loesung}
diff --git a/buch/chapters/090-pde/Makefile.inc b/buch/chapters/090-pde/Makefile.inc
index a9ef74a..c64af06 100644
--- a/buch/chapters/090-pde/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/090-pde/Makefile.inc
@@ -10,4 +10,5 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \
chapters/090-pde/rechteck.tex \
chapters/090-pde/kreis.tex \
chapters/090-pde/kugel.tex \
+ chapters/090-pde/uebungsaufgaben/901.tex \
chapters/090-pde/chapter.tex
diff --git a/buch/chapters/090-pde/chapter.tex b/buch/chapters/090-pde/chapter.tex
index db909ee..a393da5 100644
--- a/buch/chapters/090-pde/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/090-pde/chapter.tex
@@ -21,11 +21,11 @@ deren Lösungen spezielle Funktionen sind.
\input{chapters/090-pde/kreis.tex}
\input{chapters/090-pde/kugel.tex}
-%\section*{Übungsaufgaben}
-%\rhead{Übungsaufgaben}
-%\aufgabetoplevel{chapters/020-exponential/uebungsaufgaben}
-%\begin{uebungsaufgaben}
-%\uebungsaufgabe{0}
+\section*{Übungsaufgaben}
+\rhead{Übungsaufgaben}
+\aufgabetoplevel{chapters/090-pde/uebungsaufgaben}
+\begin{uebungsaufgaben}
+\uebungsaufgabe{901}
%\uebungsaufgabe{1}
-%\end{uebungsaufgaben}
+\end{uebungsaufgaben}
diff --git a/buch/chapters/090-pde/kreis.tex b/buch/chapters/090-pde/kreis.tex
index a24b6bb..b4ce8d7 100644
--- a/buch/chapters/090-pde/kreis.tex
+++ b/buch/chapters/090-pde/kreis.tex
@@ -120,7 +120,7 @@ für $\Phi(\varphi)$.
Die Gleichung für $\Phi$ hat für $\mu\ne 0$ die Lösungen
\begin{align*}
\Phi(\varphi) &= \cos\mu\varphi
-\text{und}\qquad
+&&\text{und}&
\Phi(\varphi) &= \sin\mu\varphi.
\end{align*}
Die Lösung muss aber auch stetig sein, d.~h.~es muss $\Phi(0)=\Phi(2\pi)$
diff --git a/buch/chapters/090-pde/uebungsaufgaben/901.tex b/buch/chapters/090-pde/uebungsaufgaben/901.tex
new file mode 100644
index 0000000..67fa8e5
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/090-pde/uebungsaufgaben/901.tex
@@ -0,0 +1,82 @@
+Die Differentialgleichung
+\begin{equation}
+\frac{\partial u}{\partial t} = \kappa \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
+\qquad
+\text{im Gebiet}
+\qquad
+(t,x)\in \Omega=\mathbb{R}^+\times (0,l)
+\label{505:waermeleitungsgleichung}
+\end{equation}
+beschreibt die Änderung der Temperatur eines Stabes der Länge $l$.
+Die homogene Randbedingung
+\begin{equation}
+u(t,0)=
+u(t,l)=0
+\label{505:homogene-randbedingung}
+\end{equation}
+besagt, dass der Stab an seinen Enden auf Temperatur $0$ gehalten.
+Zur Lösung dieser Differentialgleichung muss auch die Temperatur
+zur Zeit $t=0$ in Form einer Randbedingung
+\[
+u(0,x) = T_0(x)
+\]
+gegeben sein.
+Führen Sie Separation für die
+Differentialgleichung~\eqref{505:waermeleitungsgleichung}
+durch und bestimmen Sie die zulässigen Werte der Separationskonstanten.
+
+\begin{loesung}
+Man verwendet den Ansatz $u(t,x)= T(t)\cdot X(x)$ und setzt diesen
+in die Differentialgleichung ein, die dadurch zu
+\[
+T'(t)X(x) = \kappa T(t) X''(x)
+\]
+wird.
+Division durch $T(t)X(x)$ wird dies zu
+\[
+\frac{T'(t)}{T(t)}
+=
+\kappa
+\frac{X''(x)}{X(x)}.
+\]
+Da die linke Seite nur von $t$ abhängt, die rechte aber nur von $x$, müssen
+beide Seiten konstant sein.
+Wir bezeichnen die Konstante mit $-\lambda^2$, so dass wir die beiden
+gewöhnlichen Differentialgleichungen
+\begin{align*}
+\frac{1}{\kappa}
+\frac{T'(t)}{T(t)}&=-\lambda^2
+&
+\frac{X''(x)}{X(x)}&=-\lambda^2
+\\
+T'(t)&=-\lambda^2\kappa T(t)
+&
+X''(x) &= -\lambda^2 X(x)
+\intertext{welche die Lösungen}
+T(t)&=Ce^{-\lambda^2\kappa t}
+&
+X(x)&= A\cos\lambda x + B\sin\lambda x
+\end{align*}
+haben.
+Die Lösung $X(x)$ muss aber auch die homogene Randbedingung
+\eqref{505:homogene-randbedingung} erfüllen.
+Setzt man $x=0$ und $x=l$ ein, folgt
+\begin{align*}
+0 = X(0)&=A\cos 0 + B\sin 0 = A
+&
+0 = X(l)&=B\sin \lambda l,
+\end{align*}
+woraus man schliessen kann, dass $\lambda l$ ein ganzzahliges
+Vielfaches von $\pi$ ist, wir schreiben $\lambda l = k\pi$ oder
+\[
+\lambda = \frac{k\pi}{l}.
+\]
+Damit sind die möglichen Werte $\lambda$ bestimmt und man kann jetzt
+auch die möglichen Lösungen aufschreiben, sie sind
+\[
+u(t,x)
+=
+\sum_{k=1}^\infty b_k e^{-k^2\pi^2\kappa t/l^2}\sin\frac{k\pi x}{l}.
+\qedhere
+\]
+\end{loesung}
diff --git a/buch/papers/dreieck/images/beta.pdf b/buch/papers/dreieck/images/beta.pdf
index c3ab4f6..cd5ed80 100644
--- a/buch/papers/dreieck/images/beta.pdf
+++ b/buch/papers/dreieck/images/beta.pdf
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/dreieck/images/beta.tex b/buch/papers/dreieck/images/beta.tex
index 50509ee..f0ffdf0 100644
--- a/buch/papers/dreieck/images/beta.tex
+++ b/buch/papers/dreieck/images/beta.tex
@@ -23,7 +23,8 @@
\definecolor{coloreight}{rgb}{0.0,0.8,0.8}
\definecolor{colornine}{rgb}{0.0,0.8,0.2}
\definecolor{colorten}{rgb}{0.2,0.4,0.0}
-\definecolor{coloreleven}{rgb}{1.0,0.8,0.4}
+\definecolor{coloreleven}{rgb}{0.6,1.0,0.0}
+\definecolor{colortwelve}{rgb}{1.0,0.8,0.4}
\def\achsen{
\foreach \x in {0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9}{
@@ -47,24 +48,24 @@
}
\def\farbcoord#1#2{
- ({\dx*(0.7+((#1-1)/4)*0.27)},{\dx*(0.15+((#2-1)/4)*0.27)})
+ ({\dx*(0.63+((#1)/5)*0.27)},{\dx*(0.18+((#2)/5)*0.27)})
}
\def\farbviereck{
- \foreach \x in {1,2,3,4,5}{
- \draw[color=gray!30] \farbcoord{\x}{1} -- \farbcoord{\x}{5};
- \draw[color=gray!30] \farbcoord{1}{\x} -- \farbcoord{5}{\x};
+ \foreach \x in {1,2,3,4}{
+ \draw[color=gray!30] \farbcoord{\x}{0} -- \farbcoord{\x}{4};
+ \draw[color=gray!30] \farbcoord{0}{\x} -- \farbcoord{4}{\x};
}
- \draw[->] \farbcoord{1}{1} -- \farbcoord{5.4}{1}
+ \draw[->] \farbcoord{0}{0} -- \farbcoord{4.4}{0}
coordinate[label={$a$}];
- \draw[->] \farbcoord{1}{1} -- \farbcoord{1}{5.4}
+ \draw[->] \farbcoord{0}{0} -- \farbcoord{0}{4.4}
coordinate[label={left: $b$}];
- \foreach \x in {1,2,3,4,5}{
- \node[color=gray] at \farbcoord{5}{\x} [right] {\tiny $b=\x$};
- \fill[color=white,opacity=0.7]
- \farbcoord{(\x-0.1)}{4.3}
- rectangle
- \farbcoord{(\x+0.1)}{5};
- \node[color=gray] at \farbcoord{\x}{5} [left,rotate=90]
+ \foreach \x in {1,2,3,4}{
+ \node[color=gray] at \farbcoord{4}{\x} [right] {\tiny $b=\x$};
+ %\fill[color=white,opacity=0.7]
+ % \farbcoord{(\x-0.1)}{3.3}
+ % rectangle
+ % \farbcoord{(\x+0.1)}{4};
+ \node[color=gray] at \farbcoord{\x}{4} [right,rotate=90]
{\tiny $a=\x$};
}
}
@@ -74,23 +75,26 @@
\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
-\def\dx{1}
+\def\dx{1.1}
\def\dy{0.1}
\def\opa{0.1}
-\def\betamax{4.2}
-
-\fill[color=colorone,opacity=\opa] (0,0) -- \betaaa -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colortwo,opacity=\opa] (0,0) -- \betabb -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colorthree,opacity=\opa] (0,0) -- \betacc -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colorfour,opacity=\opa] (0,0) -- \betadd -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colorfive,opacity=\opa] (0,0) -- \betaee -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colorsix,opacity=\opa] (0,0) -- \betaff -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colorseven,opacity=\opa] (0,0) -- \betagg -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=coloreight,opacity=\opa] (0,0) -- \betahh -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colornine,opacity=\opa] (0,0) -- \betaii -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colorten,opacity=\opa] (0,0) -- \betajj -- (\dx,0) -- cycle;
+\def\betamax{4.9}
+
+\begin{scope}
+\clip (0,0) rectangle ({1*\dx},{\betamax*\dy});
+\fill[color=colorone,opacity=\opa] (0,0) -- \betaaa -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colortwo,opacity=\opa] (0,0) -- \betabb -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorthree,opacity=\opa] (0,0) -- \betacc -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorfour,opacity=\opa] (0,0) -- \betadd -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorfive,opacity=\opa] (0,0) -- \betaee -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorsix,opacity=\opa] (0,0) -- \betaff -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorseven,opacity=\opa] (0,0) -- \betagg -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=coloreight,opacity=\opa] (0,0) -- \betahh -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colornine,opacity=\opa] (0,0) -- \betaii -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorten,opacity=\opa] (0,0) -- \betajj -- (\dx,0) -- cycle;
\fill[color=coloreleven,opacity=\opa] (0,0) -- \betakk -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colortwelve,opacity=\opa] (0,0) -- \betall -- (\dx,0) -- cycle;
\draw[color=colorone] \betaaa;
\draw[color=colortwo] \betabb;
@@ -103,11 +107,15 @@
\draw[color=colornine] \betaii;
\draw[color=colorten] \betajj;
\draw[color=coloreleven] \betakk;
+\draw[color=colortwelve] \betall;
+
+\end{scope}
\achsen
\farbviereck
+\farbpunkt{\alphatwelve}{\betatwelve}{colortwelve}
\farbpunkt{\alphaeleven}{\betaeleven}{coloreleven}
\farbpunkt{\alphaten}{\betaten}{colorten}
\farbpunkt{\alphanine}{\betanine}{colornine}
@@ -124,88 +132,102 @@
\def\betamax{4.9}
\begin{scope}[yshift=-0.6cm]
-\fill[color=colorone,opacity=\opa] (0,0) -- \betaaa -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colortwo,opacity=\opa] (0,0) -- \betaab -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colorthree,opacity=\opa] (0,0) -- \betaac -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colorfour,opacity=\opa] (0,0) -- \betaad -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colorfive,opacity=\opa] (0,0) -- \betaae -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colorsix,opacity=\opa] (0,0) -- \betaaf -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colorseven,opacity=\opa] (0,0) -- \betaag -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=coloreight,opacity=\opa] (0,0) -- \betaah -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colornine,opacity=\opa] (0,0) -- \betaai -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colorten,opacity=\opa] (0,0) -- \betaaj -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=coloreleven,opacity=\opa] (0,0) -- \betaak -- (\dx,0) -- cycle;
-\draw[color=colorone] \betaaa;
-\draw[color=colortwo] \betaab;
-\draw[color=colorthree] \betaac;
-\draw[color=colorfour] \betaad;
-\draw[color=colorfive] \betaae;
-\draw[color=colorsix] \betaaf;
-\draw[color=colorseven] \betaag;
-\draw[color=coloreight] \betaah;
-\draw[color=colornine] \betaai;
-\draw[color=colorten] \betaaj;
-\draw[color=coloreleven] \betaak;
+\begin{scope}
+\clip (0,0) rectangle ({1*\dx},{\betamax*\dy});
+\fill[color=colorone,opacity=\opa] (0,0) -- \betaea -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colortwo,opacity=\opa] (0,0) -- \betaeb -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorthree,opacity=\opa] (0,0) -- \betaec -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorfour,opacity=\opa] (0,0) -- \betaed -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorfive,opacity=\opa] (0,0) -- \betaee -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorsix,opacity=\opa] (0,0) -- \betaef -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorseven,opacity=\opa] (0,0) -- \betaeg -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=coloreight,opacity=\opa] (0,0) -- \betaeh -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colornine,opacity=\opa] (0,0) -- \betaei -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorten,opacity=\opa] (0,0) -- \betaej -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=coloreleven,opacity=\opa] (0,0) -- \betaek -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colortwelve,opacity=\opa] (0,0) -- \betael -- (\dx,0) -- cycle;
+
+\draw[color=colorone] \betaea;
+\draw[color=colortwo] \betaeb;
+\draw[color=colorthree] \betaec;
+\draw[color=colorfour] \betaed;
+\draw[color=colorfive] \betaee;
+\draw[color=colorsix] \betaef;
+\draw[color=colorseven] \betaeg;
+\draw[color=coloreight] \betaeh;
+\draw[color=colornine] \betaei;
+\draw[color=colorten] \betaej;
+\draw[color=coloreleven] \betaek;
+\draw[color=colortwelve] \betael;
+\end{scope}
\achsen
\farbviereck
-\farbpunkt{\alphaone}{\betaeleven}{coloreleven}
-\farbpunkt{\alphaone}{\betaten}{colorten}
-\farbpunkt{\alphaone}{\betanine}{colornine}
-\farbpunkt{\alphaone}{\betaeight}{coloreight}
-\farbpunkt{\alphaone}{\betaseven}{colorseven}
-\farbpunkt{\alphaone}{\betasix}{colorsix}
-\farbpunkt{\alphaone}{\betafive}{colorfive}
-\farbpunkt{\alphaone}{\betafour}{colorfour}
-\farbpunkt{\alphaone}{\betathree}{colorthree}
-\farbpunkt{\alphaone}{\betatwo}{colortwo}
-\farbpunkt{\alphaone}{\betaone}{colorone}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betatwelve}{colortwelve}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betaeleven}{coloreleven}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betaten}{colorten}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betanine}{colornine}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betaeight}{coloreight}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betaseven}{colorseven}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betasix}{colorsix}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betafive}{colorfive}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betafour}{colorfour}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betathree}{colorthree}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betatwo}{colortwo}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betaone}{colorone}
\end{scope}
\begin{scope}[yshift=-1.2cm]
-\fill[color=colorone,opacity=\opa] (0,0) -- \betaak -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colortwo,opacity=\opa] (0,0) -- \betabk -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colorthree,opacity=\opa] (0,0) -- \betack -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colorfour,opacity=\opa] (0,0) -- \betadk -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colorfive,opacity=\opa] (0,0) -- \betaek -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colorsix,opacity=\opa] (0,0) -- \betafk -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colorseven,opacity=\opa] (0,0) -- \betagk -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=coloreight,opacity=\opa] (0,0) -- \betahk -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colornine,opacity=\opa] (0,0) -- \betaik -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colorten,opacity=\opa] (0,0) -- \betajk -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=coloreleven,opacity=\opa] (0,0) -- \betakk -- (\dx,0) -- cycle;
-\draw[color=colorone] \betaak;
-\draw[color=colortwo] \betabk;
-\draw[color=colorthree] \betack;
-\draw[color=colorfour] \betadk;
-\draw[color=colorfive] \betaek;
-\draw[color=colorsix] \betafk;
-\draw[color=colorseven] \betagk;
-\draw[color=coloreight] \betahk;
-\draw[color=colornine] \betaik;
-\draw[color=colorten] \betajk;
-\draw[color=coloreleven] \betakk;
+\begin{scope}
+\clip (0,0) rectangle ({1*\dx},{\betamax*\dy});
+\fill[color=colorone,opacity=\opa] (0,0) -- \betaal -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colortwo,opacity=\opa] (0,0) -- \betabl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorthree,opacity=\opa] (0,0) -- \betacl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorfour,opacity=\opa] (0,0) -- \betadl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorfive,opacity=\opa] (0,0) -- \betael -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorsix,opacity=\opa] (0,0) -- \betafl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorseven,opacity=\opa] (0,0) -- \betagl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=coloreight,opacity=\opa] (0,0) -- \betahl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colornine,opacity=\opa] (0,0) -- \betail -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorten,opacity=\opa] (0,0) -- \betajl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=coloreleven,opacity=\opa] (0,0) -- \betakl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colortwelve,opacity=\opa] (0,0) -- \betall -- (\dx,0) -- cycle;
+
+\draw[color=colorone] \betaal;
+\draw[color=colortwo] \betabl;
+\draw[color=colorthree] \betacl;
+\draw[color=colorfour] \betadl;
+\draw[color=colorfive] \betael;
+\draw[color=colorsix] \betafl;
+\draw[color=colorseven] \betagl;
+\draw[color=coloreight] \betahl;
+\draw[color=colornine] \betail;
+\draw[color=colorten] \betajl;
+\draw[color=coloreleven] \betakl;
+\draw[color=colortwelve] \betall;
+\end{scope}
\achsen
\farbviereck
-\farbpunkt{\alphaeleven}{\betaeleven}{coloreleven}
-\farbpunkt{\alphaten}{\betaeleven}{colorten}
-\farbpunkt{\alphanine}{\betaeleven}{colornine}
-\farbpunkt{\alphaeight}{\betaeleven}{coloreight}
-\farbpunkt{\alphaseven}{\betaeleven}{colorseven}
-\farbpunkt{\alphasix}{\betaeleven}{colorsix}
-\farbpunkt{\alphafive}{\betaeleven}{colorfive}
-\farbpunkt{\alphafour}{\betaeleven}{colorfour}
-\farbpunkt{\alphathree}{\betaeleven}{colorthree}
-\farbpunkt{\alphatwo}{\betaeleven}{colortwo}
-\farbpunkt{\alphaone}{\betaeleven}{colorone}
+\farbpunkt{\alphatwelve}{\betatwelve}{colortwelve}
+\farbpunkt{\alphaeleven}{\betatwelve}{coloreleven}
+\farbpunkt{\alphaten}{\betatwelve}{colorten}
+\farbpunkt{\alphanine}{\betatwelve}{colornine}
+\farbpunkt{\alphaeight}{\betatwelve}{coloreight}
+\farbpunkt{\alphaseven}{\betatwelve}{colorseven}
+\farbpunkt{\alphasix}{\betatwelve}{colorsix}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betatwelve}{colorfive}
+\farbpunkt{\alphafour}{\betatwelve}{colorfour}
+\farbpunkt{\alphathree}{\betatwelve}{colorthree}
+\farbpunkt{\alphatwo}{\betatwelve}{colortwo}
+\farbpunkt{\alphaone}{\betatwelve}{colorone}
\end{scope}
diff --git a/buch/papers/dreieck/images/betadist.m b/buch/papers/dreieck/images/betadist.m
index 9ff78ed..5b466a6 100644
--- a/buch/papers/dreieck/images/betadist.m
+++ b/buch/papers/dreieck/images/betadist.m
@@ -5,24 +5,32 @@
#
global N;
N = 201;
-global n;
-n = 11;
+global nmin;
+global nmax;
+nmin = -4;
+nmax = 7;
+n = nmax - nmin + 1
+A = 3;
-t = (0:n-1) / (n-1)
-alpha = 1 + 4 * t.^2
+t = (nmin:nmax) / nmax;
+alpha = 1 + A * t .* abs(t)
+#alpha(1) = 0.01;
#alpha = [ 1, 1.03, 1.05, 1.1, 1.25, 1.5, 2, 2.5, 3, 4, 5 ];
beta = alpha;
names = [ "one"; "two"; "three"; "four"; "five"; "six"; "seven"; "eight";
- "nine"; "ten"; "eleven" ]
+ "nine"; "ten"; "eleven"; "twelve" ]
function retval = Beta(a, b, x)
retval = x^(a-1) * (1-x)^(b-1) / beta(a, b);
+ if (retval > 100)
+ retval = 100
+ end
end
function plotbeta(fn, a, b, name)
global N;
- fprintf(fn, "\\def\\beta%s{\n", name);
+ fprintf(fn, "\\def\\beta%s{\n", strtrim(name));
fprintf(fn, "\t({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", 0, Beta(a, b, 0));
for x = (1:N-1)/(N-1)
X = (1-cos(pi * x))/2;
@@ -35,8 +43,8 @@ end
fn = fopen("betapaths.tex", "w");
for i = (1:n)
- fprintf(fn, "\\def\\alpha%s{%f}\n", names(i,:), alpha(i));
- fprintf(fn, "\\def\\beta%s{%f}\n", names(i,:), beta(i));
+ fprintf(fn, "\\def\\alpha%s{%f}\n", strtrim(names(i,:)), alpha(i));
+ fprintf(fn, "\\def\\beta%s{%f}\n", strtrim(names(i,:)), beta(i));
end
for i = (1:n)