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author | Nicolas Tobler <nicolas.tobler@ost.ch> | 2022-08-03 20:37:12 +0200 |
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diff --git a/buch/chapters/000-einleitung/chapter.tex b/buch/chapters/000-einleitung/chapter.tex index 559a468..e53eafb 100644 --- a/buch/chapters/000-einleitung/chapter.tex +++ b/buch/chapters/000-einleitung/chapter.tex @@ -7,110 +7,8 @@ \lhead{Einleitung} \rhead{} \addcontentsline{toc}{chapter}{Einleitung} -Eine Polynomgleichung wie etwa -\begin{equation} -p(x) = ax^2+bx+c = 0 -\label{buch:einleitung:quadratisch} -\end{equation} -kann manchmal dadurch gelöst werden, dass man die Nullstellen errät -und damit eine Faktorisierung $p(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ konstruiert. -Doch im Allgemeinen wird man die Lösungsformel für quadratische -Gleichungen verwenden, die auf quadratischem Ergänzen basiert. -Es erlaubt die Gleichung~\eqref{buch:einleitung:quadratisch} umzwandeln in -\[ -\biggl(x + \frac{b}{2a}\biggr)^2 -= --\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2} -= -\frac{b^2-4ac}{4a^2}. -\] -Um diese Gleichung nach $x$ aufzulösen, muss man die inverse Funktion -der Quadratfunktion zur Verfügung haben, die Wurzelfunktion. -Dies ist wohl das älteste Beispiel einer speziellen Funktion, -die man zu dem Zweck eingeführt hat, spezielle algebraische Gleichungen -lösen zu können. -Sie liefert die bekannte Lösungsformel -\[ -x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} -\] -für die quadratische Gleichung. - -Durch die Definition der Wurzelfunktion ist das Problem der numerischen -Berechnung der Nullstelle natürlich noch nicht gelöst, aber man hat -ein handliches mathematisches Symbol gewonnen, mit dem man die Lösungen -übersichtlich beschreiben und algebraisch manipulieren kann. -Diese Idee steht hinter allen weiteren in diesem Buch diskutierten -Funktionen: wann immer ein wichtiges mathematisches Konzept sich nicht -direkt durch die bereits entwickelten Funktionen ausdrücken lässt, -erfindet man dafür eine neue Funktion oder Familie von Funktionen. -Beispielsweise hat sich die Darstellung von Zahlen $x$ als Potenzen -einer gemeinsamen Basis, zum Beispiel $x=10^y$, als sehr nützlich -herausgestellt, um Multiplikationen auf die von Hand leichter -ausführbaren Additionen zurückzuführen. -Man braucht also die Fähigkeit, die Abhängigkeit des Exponenten $y$ -von $x$ auszudrücken, mit anderen Worten, man braucht die Logarithmusfunktion. - -Spezielle Funktionen wie die Wurzelfunktion und die Logarithmusfunktion -werden also zu Bausteinen, die in der Lösung algebraischer oder auch -analytischer Probleme verwendet werden können. -Die Erfahrung zeigt, dass diese Funktionen immer wieder nützlich -sind, es lohnt sich also, ihre Berechnung zum Beispiel in einer -Bibliothek zu implementieren. -Spezielle Funktionen sind in diesem Sinn eine mathematische Form -des informatischen Prinzips des ``code reuse''. - -Die trigonometrischen Funktionen kann man als Lösungen des geometrischen -Problems der Parametrisierung eines Kreises verstehen. -Alternativ kann man $\sin x$ und $\cos x$ als spezielle Lösungen der -Differentialgleichung $y''=-y$ verstehen. -Viele andere Funktionen wie die hyperbolischen Funktionen oder die -Bessel-Funktionen sind ebenfalls Lösungen spezieller Differentialgleichungen. -Auch die Theorie der partiellen Differentialgleichungen gibt Anlass -zu interessanten Lösungsfunktionen. -Die Separation des Poisson-Problems in Kugelkoordinaten führt zum Beispiel -auf die Kugelfunktionen, mit denen sich beliebige Funktionen auf einer -Kugeloberfläche analysieren und synthetisieren lassen. - -Die Lösungen einer linearer gewöhnlicher Differentialgleichung können -oft mit Hilfe von Potenzreihen dargestellt werden. -So kann man zum Beispiel die Potenzreihenentwicklung der Exponentialfunktion -und der trigonometrischen Funktionen finden. -Die Konvergenz einer Potenzreihe wird aber durch Singularitäten -eingeschränkt. -Komplexe Potenzreihen ermöglichen aber, solche Stellen zu ``umgehen''. -Die Theorie der komplex differenzierbaren Funktionen bildet einen -allgemeinen Rahmen, mit solchen Funktionen umzugehen und ist zum -Beispiel nötig, um die Bessel-Funktionen der zweiten Art zu konstruieren, -die ebenfalls Lösungen ger Bessel-Gleichung sind, aber bei $x=0$ -eine Singularität aufweisen. - -Die Stammfunktion $F(x)$ einer gegebenen Funktion $f(x)$ ist natürlich -auch die Lösung der besonders einfachen Differentialgleichung $F'=f$. -Ein bekanntes Beispiel ist die Stammfunktion der Wahrscheinlichkeitsdichte -\[ -\varphi(x) -= -\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, -\] -der Normalverteilung, für die aber keine geschlossene Darstellung -mit bekannten Funktionen bekannt ist. -Sie kann aber durch die Fehlerfunktion -\[ -\operatorname{erf}(x) -= -\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^2}\,dt -\] -dargestellt werden. -Mit dem Risch-Algorithmus kann man nachweisen, dass es tatsächlich -keine Möglichkeit gibt, die Stammfunktion in geschlossener Form durch -die bereits bekannten Funktionen darzustellen, die Definition einer -neuen speziellen Funktion ist also der einzige Ausweg. -Die Fehlerfunktion ist heute in der Standardbibliothek enthalten auf -gleicher Stufe wie Wurzeln, trigonometrische Funktionen, -Exponentialfunktionen oder Logarithmen. - -Die nachstehenden Kapitel sollen die vielfältigen Arten illustrieren, -wie diese Prinzipien zu neuen und nützlichen speziellen Funktionen -und ihren Anwendungen führen können. +\input{chapters/000-einleitung/funktionsbegriff.tex} +\input{chapters/000-einleitung/speziellefunktionen.tex} +\input{chapters/000-einleitung/inhalt.tex} |