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author | Andreas Müller <andreas.mueller@ost.ch> | 2022-01-17 14:05:05 +0100 |
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committer | Andreas Müller <andreas.mueller@ost.ch> | 2022-01-17 14:05:05 +0100 |
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-rw-r--r-- | buch/chapters/010-potenzen/uebungsaufgaben/101.tex | 37 |
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diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/uebungsaufgaben/101.tex b/buch/chapters/010-potenzen/uebungsaufgaben/101.tex new file mode 100644 index 0000000..197b196 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/010-potenzen/uebungsaufgaben/101.tex @@ -0,0 +1,37 @@ +Finden Sie eine Potenzreihe für die Funktion +\( +z\mapsto \frac{1}{z} +\) +im Punkt $z_0\ne 0$. + +\begin{hinweis} +Berechnen Sie $1/(z_0 - (z_0-z))$. +\end{hinweis} + +\begin{loesung} +Die Funktion im Hinweis kann in die Form einer geometrischen Reihe +gebracht werden: +\begin{align*} +\frac{1}{z_0-(z_0-z)} +&= +\frac{1}{z_0} +\cdot +\frac{1}{1-(\frac{z_0-z}{z_0})} += +\frac{1}{z_0} +\sum_{k=0}^\infty \biggl(\frac{z_0-z}{z_0}\biggr)^k += +\frac{1}{z_0} +\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{z_0^k} (z-z_0)^k += +\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{z_0^{k+1}} (z-z_0)^k. +\end{align*} +Die Koeffizienten der gesuchten Potenzreihe sind daher +\[ +a_k = \frac{(-1)^k}{z_0^{k+1}}. +\qedhere +\] +\end{loesung} + + + |