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author | Nicolas Tobler <nicolas.tobler@ost.ch> | 2022-08-03 20:37:12 +0200 |
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diff --git a/buch/chapters/020-exponential/lambertw.tex b/buch/chapters/020-exponential/lambertw.tex index 2b023cc..d78fdc3 100644 --- a/buch/chapters/020-exponential/lambertw.tex +++ b/buch/chapters/020-exponential/lambertw.tex @@ -17,6 +17,11 @@ der Unbekannten und der Exponentialfunktion, also $xe^x$ auftreten. Die Lambert $W$-Funktion ermöglicht, die Lösungen solcher Gleichungen darzustellen. +Als Anwendung der Theorie der Lambert-$W$-Funktion wird in +Kapitel~\ref{chapter:lambertw} +eine Parametrisierung einer Verfolgungskurve mit Hilfe von $W(x)$ +bestimmt. + % % Die Funktion xe^x % @@ -57,8 +62,10 @@ invertierbar. \begin{definition} Die inverse Funktion der Funktion $[-1,\infty)\to[-1/e,\infty):x\mapsto xe^x=y$ heisst die Lambert $W$-Funktion, geschrieben $W(y)$ oder $W_0(y)$. +\index{Lambert-W-Funktion@Lambert-$W$-Funktion!Definition}% Die inverse Funktion der Funktion $(-\infty,-1)\to[-1/e,0)$ wird mit $W_{-1}$ bezeichnet. +\index{Lambert-W-Funktion@Lambert-$W$-Funktion!Graph}% \end{definition} \begin{figure} @@ -78,7 +85,11 @@ erfüllen sie W(x) e^{W(x)} = x. \] +% +% Ableitung der W-Funktion +% \subsubsection{Ableitung der Funktionen $W(x)$ und $W_{-1}(x)$} +\index{Lambert-W-Funktion@Lambert-$W$-Funktion!Ableitung} Die Umkehrfunktion $f^{-1}(y)$ einer Funktion $f(x)$ erfüllt \( f^{-1}(f(x)) = x. @@ -204,7 +215,12 @@ P_{n+1}(t) \] mit $P_1(t)=1$. +% +% Differentialgleichung und Stammfunktion +% \subsubsection{Differentialgleichung und Stammfunktion} +\index{Lambert-W-Funktion@Lambert-$W$-Funktion!Differentialgleichung}% +\index{Differentialgleichung!der Lambert-$W$-Funktion}% Die Ableitungsformel \eqref{buch:lambert:eqn:ableitung} bedeutet auch, dass die $W$-Funktion eine Lösung der Differentialgleichung \[ @@ -223,6 +239,7 @@ Diese Gleichung kann separiert werden in \] Eine Stammfunktion +\index{Lambert-W-Funktion@Lambert-$W$-Funktion!Stammfunktion}% \[ F(y) = @@ -260,6 +277,8 @@ für die Stammfunktion von $W(y)$. \label{buch:subsection:loesung-von-exponentialgleichungen}} Die Lambert $W$-Funktion kann zur Lösung von Exponentialgleichungen verwendet werden. +\index{Lambert-W-Funktion@Lambert-$W$-Funktion!Exponentialgleichungen}% +\index{Exponentialgleichungen}% \begin{aufgabe} Gesucht ist eine Lösung der Gleichung @@ -319,7 +338,10 @@ W(-cbe^{ac}) Die Gleichung hat eine Lösung wenn $-cbe^{ac} > -1/e$ ist. \end{proof} -\subsection{Numerische Berechnung +% +% Numerische Berechnung +% +\subsection{Numerische Berechnung der Lambert-$W$-Funktion \label{buch:subsection:lambertberechnung}} Die $W$-Funktionen sind nur dann nützlich, wenn man sie effizient berechnen kann. @@ -327,13 +349,19 @@ Leider ist sie nicht Teil der C- oder C++-Standardbibliothek, man muss sich also mit einer spezialisierten Bibliothek oder einer eigenen Implementation behelfen. +% +% Berechnung mit dem Newton-Algorithmus +% \subsubsection{Berechnung mit dem Newton-Algorithmus} Für $x>-1$ ist die Funktion $W(x)$ ist die Umkehrfunktion der streng monoton wachsenden und konvexen Funktion $f(x)=xe^x$. In dieser Situation konvergiert der Newton-Algorithmus zur Bestimmung +\index{Newton-Algorithmus}% +\index{Algorithmus!Newton-}% der Nullstelle $x=W_0(y)$ von $f(x)-y$ für alle Werte von $y>-1/e$. Für $W_{-1}(y)$ ist die Situation etwas komplizierter, da für $x<-1$ die Funktion $f(x)$ nicht konvex ist. +\index{Lambert-W-Funktion@Lambert-$W$-Funktion!Newton-Algorithmus} Ausgehend vom Startwert $x_0$ ist die Iterationsfolge definiert durch @@ -361,12 +389,7 @@ bestimmt werden. \subsubsection{GNU scientific library} Die Lambert $W$-Funktionen $W_0(x)$ und $W_{-1}(x)$ sind auch in der GNU scientific library \cite{buch:library:gsl} implementiert. - -% -% Verfolgungskurven -% -\subsection{Verfolgungskurven -\label{buch:subsection:verfolgungskurven}} +\index{GNU scientifi library}% |