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author | Andreas Müller <andreas.mueller@ost.ch> | 2022-06-18 21:41:57 +0200 |
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committer | Andreas Müller <andreas.mueller@ost.ch> | 2022-06-18 21:41:57 +0200 |
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diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex b/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex index 13e074f..35ff758 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex @@ -8,7 +8,8 @@ Die Eulersche Integralformel für die Gamma-Funktion in Definition~\ref{buch:rekursion:def:gamma} wurde in Abschnitt~\ref{buch:subsection:integral-eindeutig} -mit dem Satz von Mollerup gerechtfertigt. +mit dem Satz~\ref{buch:satz:bohr-mollerup} +von Bohr-Mollerup gerechtfertigt. Man kann Sie aber auch als Grenzfall der Beta-Funktion verstehen, die in diesem Abschnitt dargestellt wird. @@ -31,6 +32,7 @@ B(x,y) \int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1}\,dt \] für $\operatorname{Re}x>0$, $\operatorname{Re}y>0$. +\index{Beta-Integral}% \end{definition} Aus der Definition kann man sofort ablesen, dass $B(x,y)=B(y,x)$. @@ -321,6 +323,9 @@ $(-\frac12)!$ als Wert \] der Gamma-Funktion interpretiert. +% +% Alternative Parametrisierung +% \subsubsection{Alternative Parametrisierungen} Die Substitution $t=\sin^2 s$ hat im vorangegangenen Abschnitt ermöglicht, $\Gamma(\frac12)$ zu ermitteln. @@ -383,8 +388,10 @@ wobei wir \] verwendet haben. Diese Darstellung des Beta-Integrals wird später -% XXX Ort ergänzen +in Satz~\ref{buch:funktionentheorie:satz:spiegelungsformel} dazu verwendet, die Spiegelungsformel für die Gamma-Funktion +\index{Gamma-Funktion!Spiegelungsformel}% +\index{Spiegelungsformel der Gamma-Funktion}% herzuleiten. Eine weitere mögliche Parametrisierung verwendet $t = (1+s)/2$ @@ -408,6 +415,9 @@ B(x,y) \label{buch:rekursion:gamma:beta:symm} \end{equation} +% +% +% \subsubsection{Die Verdoppelungsformel von Legendre} Die trigonometrische Substitution kann dazu verwendet werden, die Legendresche Verdoppelungsformel für die Gamma-Funktion herzuleiten. @@ -419,6 +429,8 @@ Legendresche Verdoppelungsformel für die Gamma-Funktion herzuleiten. 2^{1-2x}\sqrt{\pi} \Gamma(2x) \] +\index{Verdoppelungsformel}% +\index{Gamma-Funktion!Verdoppelungsformel von Legendre}% \end{satz} \begin{proof}[Beweis] |