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path: root/buch/chapters/040-rekursion
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authorAndreas Müller <andreas.mueller@ost.ch>2022-03-13 11:05:56 +0100
committerAndreas Müller <andreas.mueller@ost.ch>2022-03-13 11:05:56 +0100
commit97931f8f854d0b18dc5c0cb3cb2fecae922f81a2 (patch)
tree3d02cec7293be3da2f411ff7eb185acf4e49145a /buch/chapters/040-rekursion
parentBohr-Mollerup und Eindeutigkeit der Gamma-Funktion (diff)
downloadSeminarSpezielleFunktionen-97931f8f854d0b18dc5c0cb3cb2fecae922f81a2.tar.gz
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-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex2
-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex25
2 files changed, 19 insertions, 8 deletions
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex b/buch/chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex
index 96897be..cd9cadc 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex
@@ -172,7 +172,7 @@ erhalten wir
(x)_n f(x)
<
n^x (n-1)!
-\\
+\intertext{oder nach Division durch $(x)_n$}
%\underbrace{
\frac{(n-1)^x (n-1)!}{(x)_n}
%}_{\displaystyle\to \Gamma(x)}
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
index af5d572..7d4453b 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
@@ -651,8 +651,11 @@ Abschnitt~\ref{buch:funktionentheorie:section:fortsetzung}
beschrieben wird, kann die Funktion auf ganz $\mathbb{C}$ ausgedehnt
werden, mit Ausnahme einzelner Pole.
Die Funktionalgleichung gilt natürlich für alle $z\in\mathbb{C}$,
-für die $\Gamma(z)$ definiert ist.
-In einer Umgebung von $z=-n$ gilt
+für die $\Gamma(z)$ definiert ist, nicht nur für diejenigen $z$, für
+die das Integral konvergiert.
+Wir können Sie daher verwenden, um das Argument in den Bereich
+zu bringen, wo das Integral zur Berechnung verwendet werden kann.
+Dazu berechnen wir
\[
\Gamma(z)
=
@@ -665,12 +668,20 @@ In einer Umgebung von $z=-n$ gilt
\dots
=
\frac{\Gamma(z+n)}{z(z+1)(z+2)\cdots(z+n-1)}
+=
+\frac{\Gamma(z+n)}{(z)_n}.
\]
-Keiner der Faktoren im Nenner verschwindet in der Nähe von $z=-n$, der
-Zähler hat aber einen Pol erster Ordnung an dieser Stelle.
-Daher hat auch der Quotient einen Pol erster Ordnung.
-Abbildung~\ref{buch:rekursion:fig:gamma} zeigt die Pole bei den
-nicht negativen ganzen Zahlen.
+Dies gilt für jedes natürlich $n$.
+Für $n$ gross genug, genauer für
+$n\ge |\operatorname{Re}z|$,
+ist $\operatorname{Re}(z+n)=\operatorname{Re}z + n>0$ und damit
+kann $\Gamma(z+n)$ mit der Integralformel berechnet werden.
+
+Die Gamma-Funktion hat keine Nullstellen, aber in der Nähe von $z=-n$
+hat der Nenner eine Nullstelle erster Ordnung.
+Somit hat $\Gamma(z)$ Pole erster Ordnung bei den negativen
+ganzen Zahlen und bei $0$, wie sie in
+Abbildung~\ref{buch:rekursion:fig:gamma} gezeigt werden.
\subsubsection{Numerische Berechnung}
\begin{table}