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authorAndreas Müller <andreas.mueller@ost.ch>2021-12-31 23:30:16 +0100
committerAndreas Müller <andreas.mueller@ost.ch>2021-12-31 23:30:16 +0100
commitc76ecec0e180ae208623728a5bdacce520593f0b (patch)
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-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex6
-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex43
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diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
index dc0141f..1a2d155 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
@@ -525,7 +525,7 @@ Laplace-Transformation der Potenzfunktion zu berechnen.
\begin{satz}
Die Laplace-Transformierte der Potenzfunktion $f(t)=t^\alpha$ ist
\[
-(\mathcal{L}f)(s)
+(\mathscr{L}f)(s)
=
\frac{1}{s^\alpha} \Gamma(\alpha+1).
\qedhere
@@ -535,13 +535,13 @@ Die Laplace-Transformierte der Potenzfunktion $f(t)=t^\alpha$ ist
\begin{proof}[Beweis]
Die Laplace-Transformierte ist das Integral
\[
-(\mathcal{L}f)(s)
+(\mathscr{L}f)(s)
=
\int_0^\infty t^\alpha e^{-st}\,dt
\]
Durch die Substitution $st = u$ oder $t=\frac{u}{s}$ wird daraus
\[
-(\mathcal{L}f)(s)
+(\mathscr{L}f)(s)
=
\int_0^\infty \biggl(\frac{u}{s}\biggr)^\alpha e^{-u}\,du
=
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex b/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex
index 5a66e4c..f3ac2ff 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex
@@ -526,25 +526,27 @@ Die Koeffizienten $k!/(2k+1)!$ müssen jetzt durch Pochhammer-Symbole
mit jeweils $k$ Faktoren ausgedrückt werden.
Dazu muss die Fakultät $(2k+1)!$ in zwei Produkte
\[
-(2k+1)
+(2k+1)!
=
2\cdot 3 \cdot 4\cdot 5\cdot \ldots \cdot 2k \cdot (2k+1)
=
-(2\cdot 4 \cdot 6\cdot\ldots\cdot 2k)
+\underbrace{(2\cdot 4 \cdot 6\cdot\ldots\cdot 2k)}_{\textstyle\text{gerade Faktoren}}
\cdot
-(3\cdot 5\cdot 7\cdot \ldots \cdot (2k+1))
+\underbrace{(3\cdot 5\cdot 7\cdot \ldots \cdot (2k+1))}_{\textstyle\text{ungerade Faktoren}}
\]
aufgespaltet werden.
-Diese Produkte haben zwar $k$-Faktoren, aber sie sind keine
+Diese Produkte haben zwar jeweils $k$ Faktoren, aber sie sind keine
Pochhammer-Symbole, weil die Differenz aufeinanderfolgender Faktoren
jeweils $2$ ist.
-Wir dividieren die geraden Faktoren durch $2$ und dividieren die
-ungeraden durch $2$, dadurch ändert sich das Produkt nicht und wird
-\[
+Wir dividieren sowohl die geraden Faktoren wie auch die
+ungeraden Faktoren durch $2$, damit sich das Produkt nicht ändert,
+müssen wird mit $2^{2k}$ kompensieren:
+\begin{align*}
(2k+1)!
-=
-(1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot k)
+&=
+2^k(1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot k)
\cdot
+2^k
\biggl(
\frac{3}{2}\cdot
\frac{5}{2}\cdot
@@ -552,26 +554,33 @@ ungeraden durch $2$, dadurch ändert sich das Produkt nicht und wird
\ldots\cdot
\frac{2k+1}{2}
\biggr)
-=
+\\
+&=
+4^k
+\cdot
(1)_k\cdot \biggl(\frac{3}{2}\biggr)_k
-\]
+\end{align*}
Setzt man dies in die Reihe ein, wird
\[
f(z)
=
\sum_{k=0}^\infty
-\frac{(1)_k}{(1)_k\cdot (\frac{3}{2})_k}
+\frac{(1)_k}{(1)_k\cdot (\frac{3}{2})_k\cdot 4^k}
z^k
=
-\mathstrut_1F_2(1;1,\frac{3}{2};z).
+\mathstrut_1F_2\biggl(1;1,\frac{3}{2};\frac{z}4\biggr).
\]
Damit lässt sich die Sinus-Funktion als
\begin{equation}
\sin x
=
-x\,\mathstrut_1F_2\biggl(\begin{matrix}1\\1,\frac32\end{matrix};-x^2\biggr)
+x\cdot \mathstrut_1F_2\biggl(
+\begin{matrix}1\\1,\frac32\end{matrix};-\frac{x^2}4
+\biggr)
=
-x\,\mathstrut_0F_1\biggl(\begin{matrix}\text{---}\\\frac32\end{matrix};-x^2\biggr)
+x\cdot\mathstrut_0F_1\biggl(
+\begin{matrix}\text{---}\\\frac32\end{matrix};-\frac{x^2}4
+\biggr)
\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:sinhyper}
\end{equation}
durch eine hypergeometrische Funktion ausdrücken.
@@ -596,12 +605,12 @@ xf(-x^2)
=
x\,\mathstrut_1F_2\biggl(
\begin{matrix}1\\1,\frac{3}{2}\end{matrix}
-;x^2
+;\frac{x^2}{4}
\biggr)
=
x\,\mathstrut_0F_1\biggl(
\begin{matrix}\text{---}\\\frac{3}{2}\end{matrix}
-;x^2
+;\frac{x^2}4
\biggr).
\end{align*}
Bis auf das Vorzeichen des Arguments der hypergeometrischen Funktion