aboutsummaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex
diff options
context:
space:
mode:
authorAndreas Müller <andreas.mueller@ost.ch>2022-01-07 20:31:27 +0100
committerAndreas Müller <andreas.mueller@ost.ch>2022-01-07 20:31:27 +0100
commit5c05517960c4913a10eb526b69f99178ee08ef68 (patch)
tree951fc4e1d787ae7389c9061a3b9fae45aee6d373 /buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex
parenttypo (diff)
downloadSeminarSpezielleFunktionen-5c05517960c4913a10eb526b69f99178ee08ef68.tar.gz
SeminarSpezielleFunktionen-5c05517960c4913a10eb526b69f99178ee08ef68.zip
reorganize chapter 7
Diffstat (limited to '')
-rw-r--r--buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex (renamed from buch/chapters/060-integral/gaussquadratur.tex)17
1 files changed, 9 insertions, 8 deletions
diff --git a/buch/chapters/060-integral/gaussquadratur.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex
index 27740ab..870c8a8 100644
--- a/buch/chapters/060-integral/gaussquadratur.tex
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex
@@ -1,7 +1,8 @@
%
% Anwendung: Gauss-Quadratur
%
-\subsection{Anwendung: Gauss-Quadratur}
+\section{Anwendung: Gauss-Quadratur}
+\rhead{Gauss-Quadratur}
Orthogonale Polynome haben eine etwas unerwartet Anwendung in einem
von Gauss erdachten numerischen Integrationsverfahren.
Es basiert auf der Beobachtung, dass viele Funktionen sich sehr
@@ -10,7 +11,7 @@ Wenn man also sicherstellt, dass ein Verfahren für Polynome
sehr gut funktioniert, darf man auch davon ausgehen, dass es für
andere Funktionen nicht allzu schlecht sein wird.
-\subsubsection{Interpolationspolynome}
+\subsection{Interpolationspolynome}
Zu einer stetigen Funktion $f(x)$ auf dem Intervall $[-1,1]$
ist ein Polynome vom Grad $n$ gesucht, welches in den Punkten
$x_0<x_1<\dots<x_n$ die Funktionswerte $f(x_i)$ annimmt.
@@ -58,7 +59,7 @@ f(x_j)
\]
hat, das Polynome $p(x)$ ist also das gesuchte Interpolationspolynom.
-\subsubsection{Integrationsverfahren auf der Basis von Interpolation}
+\subsection{Integrationsverfahren auf der Basis von Interpolation}
Das Integral einer stetigen Funktion $f(x)$ auf dem Intervall $[-1,1]$
kann mit Hilfe des Interpolationspolynoms approximiert werden.
Wenn $|f(x)-p(x)|<\varepsilon$ ist im Intervall $[-1,1]$, dann gilt
@@ -96,7 +97,7 @@ gewichtete Summe
\]
approximiert.
-\subsubsection{Integrationsverfahren, die für Polynome exakt sind}
+\subsection{Integrationsverfahren, die für Polynome exakt sind}
Ein Polynom vom Grad $2n$ hat $2n+1$ Koeffizienten.
Um das Polynom durch ein Interpolationspolynom exakt wiederzugeben,
braucht man $2n+1$ Stützstellen.
@@ -223,7 +224,7 @@ verallgemeinert werden.
Allerdings ist die Rechnung zur Bestimmung der Stützstellen und
Gewichte sehr mühsam.
-\subsubsection{Stützstellen und Orthogonalpolynome}
+\subsection{Stützstellen und Orthogonalpolynome}
Sei $R_n=\{p(X)\in\mathbb{R}[X] \mid \deg p\le n\}$ der Vektorraum
der Polynome vom Grad $n$.
@@ -281,7 +282,7 @@ $p(x)$ sein.
Der Satz~\ref{buch:integral:satz:gaussquadratur} begründet das
{\em Gausssche Quadraturverfahren}.
-Die in Abschnitt~\ref{buch:integral:subsection:orthogonale-polynome}
+Die in Abschnitt~\ref{buch:integral:section:orthogonale-polynome}
bestimmten Legendre-Polynome $P_n$ haben die im Satz
verlangte Eigenschaft,
dass sie auf allen Polynomen geringeren Grades orthogonal sind.
@@ -296,7 +297,7 @@ auf Seite~\pageref{buch:integral:beispiel:gaussquadraturn1} befundenen
Sützstellen.
\end{beispiel}
-\subsubsection{Fehler der Gauss-Quadratur}
+\subsection{Fehler der Gauss-Quadratur}
Das Gausssche Quadraturverfahren mit $n$ Stützstellen berechnet
Integrale von Polynomen bis zum Grad $2n-1$ exakt.
Für eine beliebige Funktion kann man die folgende Fehlerabschätzung
@@ -480,5 +481,5 @@ die Konvergenz des Verfahrens in diesem Fall sehr viel schlechter ist.
Dies zeigt auch der Graph in
Abbildung~\ref{buch:integral:gaussquadratur:fehler}.
-\subsubsection{Skalarprodukte mit Gewichtsfunktion}
+\subsection{Skalarprodukte mit Gewichtsfunktion}