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--- a/buch/chapters/060-integral/orthogonal.tex
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex
@@ -3,9 +3,9 @@
 %
 % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 %
-\section{Orthogonalität
-\label{buch:integral:section:orthogonale-polynome}}
-\rhead{Orthogonale Polynome}
+\section{Orthogonale Funktionenfamilien
+\label{buch:orthogonalitaet:section:orthogonale-funktionen}}
+\rhead{Orthogonale Funktionenfamilien}
 Die Fourier-Theorie basiert auf der Idee, Funktionen durch 
 Funktionenreihen mit Summanden zu bilden, die im Sinne eines
 Skalarproduktes orthogonal sind, welches mit Hilfe eines Integrals
@@ -368,96 +368,96 @@ Nach obigem Satz sind die Eigenfunktionen von $D$ orthogonal.
 Das Beispiel illustriert, dass orthogonale Funktionenfamilien
 ein automatisches Nebenprodukt selbstadjungierter Operatoren sind.
 
+%%
+%% Besselfunktionen also orthogonale Funktionenfamilie
+%%
+%\subsection{Bessel-Funktionen als orthogonale Funktionenfamilie}
+%Auch die Besselfunktionen sind eine orthogonale Funktionenfamilie.
+%Sie sind Funktionen differenzierbaren Funktionen $f(r)$ für $r>0$
+%mit $f'(r)=0$ und für $r\to\infty$ nimmt $f(r)$ so schnell ab, dass
+%auch $rf(r)$ noch gegen $0$ strebt.
+%Das Skalarprodukt ist
+%\[
+%\langle f,g\rangle
+%=
+%\int_0^\infty r f(r) g(r)\,dr,
+%\]
+%als Operator verwenden wir
+%\[
+%A = \frac{d^2}{dr^2} + \frac{1}{r}\frac{d}{dr} + s(r),
+%\]
+%wobei $s(r)$ eine beliebige integrierbare Funktion sein kann.
+%Zunächst überprüfen wir, ob dieser Operator wirklich selbstadjungiert ist.
+%Dazu rechnen wir
+%\begin{align}
+%\langle Af,g\rangle
+%&=
+%\int_0^\infty
+%r\,\biggl(f''(r)+\frac1rf'(r)+s(r)f(r)\biggr) g(r)
+%\,dr
+%\notag
+%\\
+%&=
+%\int_0^\infty rf''(r)g(r)\,dr
+%+
+%\int_0^\infty f'(r)g(r)\,dr
+%+
+%\int_0^\infty s(r)f(r)g(r)\,dr.
+%\notag
+%\intertext{Der letzte Term ist symmetrisch in $f$ und $g$, daher
+%ändern wir daran weiter nichts.
+%Auf das erste Integral kann man partielle Integration anwenden und erhält}
+%&=
+%\biggl[rf'(r)g(r)\biggr]_0^\infty
+%-
+%\int_0^\infty f'(r)g(r) + rf'(r)g'(r)\,dr
+%+
+%\int_0^\infty f'(r)g(r)\,dr
+%+
+%\int_0^\infty s(r)f(r)g(r)\,dr.
+%\notag
+%\intertext{Der erste Term verschwindet wegen der Bedingungen an die
+%Funktionen $f$ und $g$.
+%Der erste Term im zweiten Integral hebt sich gegen das
+%zweite Integral weg.
+%Der letzte Term ist das Skalarprodukt von $f'$ und $g'$.
+%Somit ergibt sich
+%}
+%&=
+%-\langle f',g'\rangle
+%+
+%\int_0^\infty s(r) f(r)g(r)\,dr.
+%\label{buch:integrale:orthogonal:besselsa}
+%\end{align}
+%Vertauscht man die Rollen von $f$ und $g$, erhält man das Gleiche, da im
+%letzten Ausdruck~\eqref{buch:integrale:orthogonal:besselsa} die Funktionen
+%$f$ und $g$ symmetrische auftreten.
+%Damit ist gezeigt, dass der Operator $A$ selbstadjungiert ist.
+%Es folgt nun, dass Eigenvektoren des Operators $A$ automatisch
+%orthogonal sind.
 %
-% Besselfunktionen also orthogonale Funktionenfamilie
+%Eigenfunktionen von $A$ sind aber Lösungen der Differentialgleichung
+%\[
+%\begin{aligned}
+%&&
+%Af&=\lambda f
+%\\
+%&\Rightarrow\qquad&
+%f''(r) +\frac1rf'(r) + s(r)f(r) &= \lambda f(r)
+%\\
+%&\Rightarrow\qquad&
+%r^2f''(r) +rf'(r)+ (-\lambda r^2+s(r)r^2)f(r) &= 0
+%\end{aligned}
+%\]
+%sind.
+%
+%Durch die Wahl $s(r)=1$ wird der Operator $A$ zum Bessel-Operator
+%$B$ definiert in
+%\eqref{buch:differentialgleichungen:bessel-operator}.
+%Die Lösungen der Besselschen Differentialgleichung zu verschiedenen Werten
+%des Parameters müssen also orthogonal sein, insbesondere sind die
+%Besselfunktion $J_\nu(r)$ und $J_\mu(r)$ orthogonal wenn $\mu\ne\nu$ ist.
 %
-\subsection{Bessel-Funktionen als orthogonale Funktionenfamilie}
-Auch die Besselfunktionen sind eine orthogonale Funktionenfamilie.
-Sie sind Funktionen differenzierbaren Funktionen $f(r)$ für $r>0$
-mit $f'(r)=0$ und für $r\to\infty$ nimmt $f(r)$ so schnell ab, dass
-auch $rf(r)$ noch gegen $0$ strebt.
-Das Skalarprodukt ist
-\[
-\langle f,g\rangle
-=
-\int_0^\infty r f(r) g(r)\,dr,
-\]
-als Operator verwenden wir
-\[
-A = \frac{d^2}{dr^2} + \frac{1}{r}\frac{d}{dr} + s(r),
-\]
-wobei $s(r)$ eine beliebige integrierbare Funktion sein kann.
-Zunächst überprüfen wir, ob dieser Operator wirklich selbstadjungiert ist.
-Dazu rechnen wir
-\begin{align}
-\langle Af,g\rangle
-&=
-\int_0^\infty
-r\,\biggl(f''(r)+\frac1rf'(r)+s(r)f(r)\biggr) g(r)
-\,dr
-\notag
-\\
-&=
-\int_0^\infty rf''(r)g(r)\,dr
-+
-\int_0^\infty f'(r)g(r)\,dr
-+
-\int_0^\infty s(r)f(r)g(r)\,dr.
-\notag
-\intertext{Der letzte Term ist symmetrisch in $f$ und $g$, daher
-ändern wir daran weiter nichts.
-Auf das erste Integral kann man partielle Integration anwenden und erhält}
-&=
-\biggl[rf'(r)g(r)\biggr]_0^\infty
--
-\int_0^\infty f'(r)g(r) + rf'(r)g'(r)\,dr
-+
-\int_0^\infty f'(r)g(r)\,dr
-+
-\int_0^\infty s(r)f(r)g(r)\,dr.
-\notag
-\intertext{Der erste Term verschwindet wegen der Bedingungen an die
-Funktionen $f$ und $g$.
-Der erste Term im zweiten Integral hebt sich gegen das
-zweite Integral weg.
-Der letzte Term ist das Skalarprodukt von $f'$ und $g'$.
-Somit ergibt sich
-}
-&=
--\langle f',g'\rangle
-+
-\int_0^\infty s(r) f(r)g(r)\,dr.
-\label{buch:integrale:orthogonal:besselsa}
-\end{align}
-Vertauscht man die Rollen von $f$ und $g$, erhält man das Gleiche, da im
-letzten Ausdruck~\eqref{buch:integrale:orthogonal:besselsa} die Funktionen
-$f$ und $g$ symmetrische auftreten.
-Damit ist gezeigt, dass der Operator $A$ selbstadjungiert ist.
-Es folgt nun, dass Eigenvektoren des Operators $A$ automatisch
-orthogonal sind.
-
-Eigenfunktionen von $A$ sind aber Lösungen der Differentialgleichung
-\[
-\begin{aligned}
-&&
-Af&=\lambda f
-\\
-&\Rightarrow\qquad&
-f''(r) +\frac1rf'(r) + s(r)f(r) &= \lambda f(r)
-\\
-&\Rightarrow\qquad&
-r^2f''(r) +rf'(r)+ (-\lambda r^2+s(r)r^2)f(r) &= 0
-\end{aligned}
-\]
-sind.
-
-Durch die Wahl $s(r)=1$ wird der Operator $A$ zum Bessel-Operator
-$B$ definiert in
-\eqref{buch:differentialgleichungen:bessel-operator}.
-Die Lösungen der Besselschen Differentialgleichung zu verschiedenen Werten
-des Parameters müssen also orthogonal sein, insbesondere sind die
-Besselfunktion $J_\nu(r)$ und $J_\mu(r)$ orthogonal wenn $\mu\ne\nu$ ist.
-
 %
 % Orthogonale Polynome
 %
@@ -515,7 +515,7 @@ Abbildung~\ref{buch:integral:orthogonal:legendregraphen}
 dargestellt.
 \begin{figure}
 \centering
-\includegraphics{chapters/060-integral/images/legendre.pdf}
+\includegraphics{chapters/070-orthogonalitaet/images/legendre.pdf}
 \caption{Graphen der Legendre-Polynome $P_n(x)$ für $n=1,\dots,10$.
 \label{buch:integral:orthogonal:legendregraphen}}
 \end{figure}
@@ -663,7 +663,7 @@ setzen muss.
 
 \begin{figure}
 \centering
-\includegraphics{chapters/060-integral/images/orthogonal.pdf}
+\includegraphics{chapters/070-orthogonalitaet/images/orthogonal.pdf}
 \caption{Orthogonalität der Legendre-Polynome $P_4(x)$ ({\color{blue}blau})
 und $P_7(x)$ ({\color{darkgreen}grün}).
 Die blaue Fläche ist die Fläche unter dem Graphen 
@@ -723,24 +723,3 @@ Abbildung~\ref{buch:integral:orthogonal:legendreortho} illustriert,
 dass die die beiden Polynome $P_4(x)$ und $P_7(x)$ orthogonal sind.
 Das Produkt $P_4(x)\cdot P_7(x)$ hat Integral $=0$.
 
-\input{chapters/060-integral/jacobi.tex}
-
-\subsection{TODO}
-\begin{itemize}
-\item Jacobi-Polynome
-\item Tschebyscheff-Polynome
-\end{itemize}
-
-%%
-%% Differentialgleichungen
-%%
-%\subsection{Orthogonale Polynome und Differentialgleichungen}
-%\subsubsection{Legendre-Differentialgleichung}
-%\subsubsection{Legendre-Polyome}
-%\subsubsection{Legendre-Funktionen zweiter Art}
-%Siehe Wikipedia-Artikel \url{https://de.wikipedia.org/wiki/Legendre-Polynom}
-
-\input{chapters/060-integral/legendredgl.tex}
-\input{chapters/060-integral/sturm.tex}
-\input{chapters/060-integral/gaussquadratur.tex}
-