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author | Yanik Kuster <yanik.kuster@ost.ch> | 2022-04-06 11:24:10 +0200 |
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committer | Yanik Kuster <yanik.kuster@ost.ch> | 2022-04-06 11:24:10 +0200 |
commit | bf8e9cbcb82af445a28a05e4fbac02451d172365 (patch) | |
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-rw-r--r-- | buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex | 51 |
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diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex index d06f46e..a84248a 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex @@ -737,6 +737,57 @@ rechten Rand haben. \label{buch:orthogonal:fig:jacobi-parameter}} \end{figure} +\subsubsection{Jacobi-Gewichtsfunktion und Beta-Verteilung +\label{buch:orthogonal:subsection:beta-verteilung}} +Die Jacobi-Gewichtsfunktion entsteht aus der Wahrscheinlichkeitsdichte +der Beta-Verteilung, die in +Abschnitt~\ref{buch:rekursion:subsection:beta-verteilung} +eingeführt wurde mit Hilfe der Variablen-Transformation $x = 2t-1$ +oder $t=(x+1)/2$. +Das Integral mit der Jacobi-Gewichtsfunktion $w^{(\alpha,\beta)}(x)$ +kann damit umgeformt werden in +\begin{align*} +\int_{-1}^1 +f(x)\,w^{(\alpha,\beta)}(x)\,dx +&= +\int_0^1 +f(2t-1) w^{(\alpha,\beta)}(2t-1)\,2\,dt +\\ +&= +\int_0^1 +f(2t-1) +(1-(2t-1))^\alpha (1+(2t-1))^\beta +\,2\,dt +\\ +&= +2^{\alpha+\beta+1} +\int_0^1 +f(2t-1) +\, +t^\beta +(1-t)^\alpha +\,dt +\\ +&= +2^{\alpha+\beta+1} +B(\alpha+1,\beta+1) +\int_0^1 +f(2t-1) +\, +\frac{ +t^\beta +(1-t)^\alpha +}{B(\alpha+1,\beta+1)} +\,dt. +\end{align*} +Auf der letzten Zeile steht ein Integral mit der Wahrscheinlichkeitsdichte +der Beta-Verteilung. +Orthogonale Funktionen bezüglich der Jacobischen Gewichtsfunktion +$w^{(\alpha,\beta)}$ werden mit der genannten Substitution also +zu orthogonalen Funktionen bezüglich der Beta-Verteilung mit +Parametern $\beta+1$ und $\alpha+1$. + + % % Tschebyscheff-Gewichtsfunktion % |