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| author | Nicolas Tobler <nicolas.tobler@ost.ch> | 2022-05-30 00:06:46 +0200 |
|---|---|---|
| committer | Nicolas Tobler <nicolas.tobler@ost.ch> | 2022-05-30 00:06:46 +0200 |
| commit | 65a3fc106c36dfd1750f8caf8b3d1b5fb0fe71f9 (patch) | |
| tree | 30791dc17973690a6d761589de357c452ba9fa29 /buch/chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex | |
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diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex index 5ec7fed..dc5531b 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex @@ -30,7 +30,7 @@ Skalarproduktes $\langle\,\;,\;\rangle_w$, wenn für alle $n$, $m$. \end{definition} -\subsection{Allgemeine Drei-Term-Rekursion für orthogonale Polynome} +\subsubsection{Allgemeine Drei-Term-Rekursion für orthogonale Polynome} Der folgende Satz besagt, dass $p_n$ eine Rekursionsbeziehung erfüllt. \begin{satz} @@ -55,7 +55,7 @@ C_{n+1} = \frac{A_{n+1}}{A_n}\frac{h_{n+1}}{h_n}. \end{equation} \end{satz} -\subsection{Multiplikationsoperator mit $x$} +\subsubsection{Multiplikationsoperator mit $x$} Man kann die Relation auch nach dem Produkt $xp_n(x)$ auflösen, dann wird sie \begin{equation} @@ -72,7 +72,7 @@ Die Multiplikation mit $x$ ist eine lineare Abbildung im Raum der Funktionen. Die Relation~\eqref{buch:orthogonal:eqn:multixrelation} besagt, dass diese Abbildung in der Basis der Polynome $p_k$ tridiagonale Form hat. -\subsection{Drei-Term-Rekursion für die Tschebyscheff-Polynome} +\subsubsection{Drei-Term-Rekursion für die Tschebyscheff-Polynome} Eine Relation der Form~\eqref{buch:orthogonal:eqn:multixrelation} wurde bereits in Abschnitt~\ref{buch:potenzen:tschebyscheff:rekursionsbeziehungen} @@ -80,12 +80,12 @@ hergeleitet. In der Form~\eqref{buch:orthogonal:eqn:rekursion} geschrieben lautet sie \[ -T_{n+1}(x) = 2x\,T_n(x)-T_{n-1}(x). +T_{n+1}(x) = 2x\,T_n(x)-T_{n-1}(x), \] also $A_n=2$, $B_n=0$ und $C_n=1$. -\subsection{Beweis von Satz~\ref{buch:orthogonal:satz:drei-term-rekursion}} +\subsubsection{Beweis von Satz~\ref{buch:orthogonal:satz:drei-term-rekursion}} Die Relation~\eqref{buch:orthogonal:eqn:multixrelation} zeigt auch, dass der Beweis die Koeffizienten $\langle xp_k,p_j\rangle_w$ berechnen muss. |