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author | LordMcFungus <mceagle117@gmail.com> | 2022-03-14 16:40:46 +0100 |
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committer | GitHub <noreply@github.com> | 2022-03-14 16:40:46 +0100 |
commit | 3e436682e822f424ddad2b6d908c464b4e645b07 (patch) | |
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-rw-r--r-- | buch/chapters/070-orthogonalitaet/uebungsaufgaben/701.tex | 137 |
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diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/uebungsaufgaben/701.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/uebungsaufgaben/701.tex new file mode 100644 index 0000000..dad489f --- /dev/null +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/uebungsaufgaben/701.tex @@ -0,0 +1,137 @@ +Für Funktionen auf dem Interval $(-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2)$ ist +\[ +\langle f,g\rangle += +\frac12\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} f(x)g(x)\cos x\,dx +\] +ein Skalarprodukt. +Bestimmen Sie bezüglich dieses Skalarproduktes orthogonale Polynome +bis zum Grad $2$. + +\begin{hinweis} +Verwenden Sie +\begin{align*} +\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} 1\cos x\,dx +&= +1, +& +\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} x^2\cos x\,dx +&= +\frac{\pi^2-8}{2}, +& +\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} x^4\cos x\,dx +&= +\frac{\pi^4-48\pi^2+384}{8}. +\end{align*} +\end{hinweis} + +\begin{loesung} +Wir müssen den Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsprozess für die +Polynome $f_0(x)=1$, $f_1(x)=x$ und $f_2(x)=x^2$ durchführen. +Zunächst halten wir fest, dass +\[ +\langle f_0,f_0\rangle += +\frac12 +\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} \cos x\,dx += +1, +\] +das Polynom $g_0(x)=f_0(x)$ ist hat also Norm $1$. + +Ein dazu orthogonales Polynom ist +\( +f_1(x) - \langle g_0,f_1\rangle g_0(x), +\) +wir müssen also das Skalarprodukt +\[ +\langle g_0,f_1\rangle += +\frac{1}{2} +\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} +x\cos x\,dx +\] +bestimmen. +Es verschwindet, weil die Funktion $x\cos x$ ungerade ist. +Somit ist die Funktion $f_1(x)=x$ orthogonal zu $f_0(x)=1$, um sie auch zu +normieren berechnen wir das Integral +\[ +\| f_1\|^2 += +\frac12\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} x^2\cos x\,dx += +\frac{\pi^2-8}{4}, +\] +und +\[ +g_1(x) += +\frac{2}{\sqrt{\pi^2-8}} x. +\] + +Zur Berechnung von $g_2$ müssen wir die Skalarprodukte +\begin{align*} +\langle g_0,f_2\rangle +&= +\frac{1}{2} +\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} +x^2 +\cos x +\,dx += +\frac{\pi^2-8}{4} +\\ +\langle g_1,f_2\rangle +&= +\frac{1}{2} +\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} +\frac{2}{\sqrt{\pi^2-8}} +x +\cdot x^2 +\cos x +\,dx += +0 +\end{align*} +bestimmen. +Damit wird das dritte Polynom +\[ +f_2(x) +- g_0(x)\langle g_0,f_2\rangle +- g_1(x)\langle g_1,f_2\rangle += +x^2 - \frac{\pi^2-8}{4}, +\] +welches bereits orthogonal ist zu $g_0$ und $g_1$. +Wir können auch noch erreichen, obwohl das nicht verlangt war, +dass es normiert ist, indem wir die Norm berechnen: +\[ +\left\| x^2-\frac{\pi^2-8}{4} \right\|^2 += +\frac12 +\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} +\biggl(x^2-\frac{\pi^2-8}{4}\biggr)^2 +\cos x\,dx += +20-2\pi^2 +\] +woraus sich +\[ +g_2(x) += +\frac{1}{\sqrt{20-2\pi^2}} +\biggl( +x^2 - \frac{\pi^2-8}{4} +\biggr). +\] +Damit haben wir die ersten drei bezüglich des obigen Skalarproduktes +orthogonalen Polynome +\begin{align*} +g_0(x)&=1, +& +g_1(x)&=\frac{2x}{\sqrt{\pi^2-8}}, +& +g_2(x)&=\frac{1}{\sqrt{20-2\pi^2}}\biggl(x^2-\frac{\pi^2-8}{4}\biggr) +\end{align*} +gefunden. +\end{loesung} |