aboutsummaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/buch/chapters/070-orthogonalitaet
diff options
context:
space:
mode:
authorAndreas Müller <andreas.mueller@ost.ch>2022-06-21 17:54:12 +0200
committerAndreas Müller <andreas.mueller@ost.ch>2022-06-21 17:54:12 +0200
commit98e2356f6d690fc6840c3ec5ae8b9eaf21771df2 (patch)
tree0917429685eff5199d89e667770f0c8cdd99f232 /buch/chapters/070-orthogonalitaet
parentjacobi stuff completed (diff)
downloadSeminarSpezielleFunktionen-98e2356f6d690fc6840c3ec5ae8b9eaf21771df2.tar.gz
SeminarSpezielleFunktionen-98e2356f6d690fc6840c3ec5ae8b9eaf21771df2.zip
bessel 2nd kind
Diffstat (limited to '')
-rw-r--r--buch/chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex2
-rw-r--r--buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex17
2 files changed, 12 insertions, 7 deletions
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex
index 6401e98..c4eaf97 100644
--- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex
@@ -443,7 +443,7 @@ schlägt eine zweite Lösung vor, im vorliegenden Fall mit $b=1$
ist die zweite Lösung jedoch identisch zu ersten, es muss daher
ein anderer Weg zu einer zweiten Lösung gesucht werden.
-XXX TODO: zweite Lösung der Differentialgleichung.
+%XXX TODO: zweite Lösung der Differentialgleichung.
%
%
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex
index 613a491..164cd9a 100644
--- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex
@@ -694,7 +694,8 @@ des Skalarproduktes mit der Laguerre-Gewichtsfunktion.
%
\subsubsection{Tschebyscheff-Polynome}
Die Tschebyscheff-Polynome sind Lösungen der
-Tschebyscheff-Differentialgleichung
+bereits in Kapitel~\ref{buch:chapter:potenzen} hergeleiteten
+Tschebyscheff-Differentialgleichung~\eqref{buch:potenzen:tschebyscheff:dgl}
\[
(1-x^2)y'' -xy' = n^2y
\]
@@ -737,14 +738,16 @@ bezüglich des Skalarproduktes
\subsubsection{Jacobi-Polynome}
Die Jacobi-Polynome sind orthogonal bezüglich des Skalarproduktes
mit der Gewichtsfunktion
-\(
+\[
w^{(\alpha,\beta)}(x) = (1-x)^\alpha(1+x)^\beta,
-\)
+\]
definiert in Definition~\ref{buch:orthogonal:def:jacobi-gewichtsfunktion}.
%Bei der Herleitung der Rodrigues-Formel für die Jacobi-Polynome wurde erkannt,
%dass $B(x)=1-x^2$ und $A(x)=\beta-\alpha-(\alpha+\beta)x$ sein muss.
-Man kann zeigen, dass die Jacobi-Polynome Lösungen der
-Jacobi-Differentialgleichung
+Man kann zeigen, dass sie Lösungen der
+{\em Jacobi-Diffe\-ren\-tial\-gleichung}
+\index{Jacobi-Differentialgleichung}%
+\index{Differentialgleichung!Jacobi}%
\begin{equation}
(1-x^2)y'' + (\beta-\alpha-(\alpha+\beta + 2)x)y' + n(n+\alpha+\beta+1)y=0
\label{buch:orthogonal:jacobi:dgl}
@@ -760,7 +763,7 @@ $p(x)$ so gefunden werden, dass
\frac{p'(x)}{w^{(\alpha,\beta)}(x)} &= \beta-\alpha-(\alpha+\beta+2)x
\end{align*}
gilt.
-Der Quotient der ersten beiden Gleichungen ist die logarithmische Ableitung
+Der Quotient der beiden Gleichungen ist die logarithmische Ableitung
\[
(\log p(x))'
=
@@ -768,6 +771,7 @@ Der Quotient der ersten beiden Gleichungen ist die logarithmische Ableitung
=
\frac{1-x^2}{\beta-\alpha-(\alpha+\beta+2)x}
\]
+von $p(x)$,
die sich in geschlossener Form integrieren lässt.
Man findet als Stammfunktion
\[
@@ -811,6 +815,7 @@ als Sturm-Liouville-Differentialgleichung erkannt.
%\url{https://encyclopediaofmath.org/wiki/Hypergeometric_equation}
Auch die Eulersche hypergeometrische Differentialgleichung
lässt sich in die Form eines Sturm-Liouville-Operators
+\index{Eulersche hypergeometrische Differentialgleichung!als Sturm-Liouville-Gleichung}%
bringen.
Dazu setzt man
\begin{align*}