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diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/Makefile.inc b/buch/chapters/080-funktionentheorie/Makefile.inc
index 813865f..779cd80 100644
--- a/buch/chapters/080-funktionentheorie/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/Makefile.inc
@@ -4,7 +4,7 @@
 # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
 
-CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
+CHAPTERFILES += 							\
 	chapters/080-funktionentheorie/holomorph.tex			\
 	chapters/080-funktionentheorie/analytisch.tex			\
 	chapters/080-funktionentheorie/cauchy.tex			\
@@ -12,6 +12,7 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
 	chapters/080-funktionentheorie/anwendungen.tex			\
 	chapters/080-funktionentheorie/gammareflektion.tex		\
 	chapters/080-funktionentheorie/carlson.tex			\
+	chapters/080-funktionentheorie/singularitaeten.tex		\
 	chapters/080-funktionentheorie/uebungsaufgaben/1.tex		\
 	chapters/080-funktionentheorie/uebungsaufgaben/2.tex		\
 	chapters/080-funktionentheorie/chapter.tex
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/analytisch.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/analytisch.tex
index 15ca2e4..08196f1 100644
--- a/buch/chapters/080-funktionentheorie/analytisch.tex
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/analytisch.tex
@@ -9,6 +9,9 @@
 Holomorphe Funktionen zeichnen sich dadurch aus, dass sie auch immer
 eine konvergente Reihenentwicklung haben, sie sind also analytisch.
 
+%
+% Definition
+%
 \subsection{Definition}
 \index{Taylor-Reihe}%
 \index{Exponentialfunktion}%
@@ -90,29 +93,29 @@ Damit ist gezeigt, dass alle Ableitungen $f^{(n)}(0)=0$ sind.
 Die Taylorreihe von $f(x)$ ist daher die Nullfunktion.
 \end{beispiel}
 
-Die Klasse der Funktionen, die sich durch ihre Taylor-Reihe darstellen
-lassen, zeichnet sich also durch besondere Eigenschaften aus, die in
-der folgenden Definition zusammengefasst werden.
-
-\index{analytisch in einem Punkt}%
-\index{analytisch}%
-\begin{definition}
-Eine auf einem offenen Intervall $I\subset \mathbb {R}$ definierte Funktion
-$f\colon U\to\mathbb{R}$ heisst {\em analytisch im Punkt  $x_0\in I$}, wenn
-es eine in einer Umgebung von $x_0$ konvergente Potenzreihe
-\[
-\sum_{k=0}^\infty a_k(x-x_0)^k = f(x)
-\]
-gibt.
-Sie heisst {\em analytisch}, wenn sie analytisch ist in jedem Punkt von $I$.
-\end{definition}
+%Die Klasse der Funktionen, die sich durch ihre Taylor-Reihe darstellen
+%lassen, zeichnet sich also durch besondere Eigenschaften aus, die in
+%der folgenden Definition zusammengefasst werden.
+%
+%\index{analytisch in einem Punkt}%
+%\index{analytisch}%
+%\begin{definition}
+%Eine auf einem offenen Intervall $I\subset \mathbb {R}$ definierte Funktion
+%$f\colon U\to\mathbb{R}$ heisst {\em analytisch im Punkt  $x_0\in I$}, wenn
+%es eine in einer Umgebung von $x_0$ konvergente Potenzreihe
+%\[
+%\sum_{k=0}^\infty a_k(x-x_0)^k = f(x)
+%\]
+%gibt.
+%Sie heisst {\em analytisch}, wenn sie analytisch ist in jedem Punkt von $I$.
+%\end{definition}
 
-Es ist wohlbekannt aus der elementaren Theorie der Potenzreihen, dass
+Es ist bekannt aus der elementaren Theorie der Potenzreihen
+in Kapitel~\ref{buch:potenzen:section:potenzreihen}, dass
 eine analytische Funktion beliebig oft differenzierbar ist und dass
 die Potenzreihe im Punkt $x_0$ die Taylor-Reihe sein muss.
-Ausserdem sidn Summen, Differenzen und Produkte von analytischen Funktionen
+Ausserdem sind Summen, Differenzen und Produkte von analytischen Funktionen
 wieder analytisch.
-
 Für eine komplexe Funktion lässt sich der Begriff der
 analytischen Funktion genau gleich definieren.
 
@@ -131,8 +134,8 @@ Die Verwendung einer offenen Teilmenge $U\subset\mathbb{C}$ ist wesentlich,
 denn die Funktion $f\colon z\mapsto \overline{z}$ kann in jedem Punkt
 $x_0\in\mathbb{R}$
 der reellen Achse $\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$ durch die Potenzreihe 
-$f(x) = x_0 + (x-x_0)$ dargestellt werden.
-Es gibt aber keine Potenzreihe, die $f(z)$ in einer offenen Teilmenge
+$f(x) = x_0 + (x-x_0)$ dargestellt werden,
+es gibt aber keine Potenzreihe, die $f(z)$ in einer offenen Teilmenge
 von $\mathbb{C}$ gegen $f(z)=\overline{z}$ konvergiert.
 
 %
@@ -140,7 +143,40 @@ von $\mathbb{C}$ gegen $f(z)=\overline{z}$ konvergiert.
 %
 \subsection{Konvergenzradius
 \label{buch:funktionentheorie:subsection:konvergenzradius}}
+In der Theorie der Potenzreihen, wie sie in Kapitel~\ref{buch:chapter:potenzen}
+zusammengefasst wurde, wird auch untersucht, wie gross
+eine Umgebung des Punktes $z_0$ ist, in der die Potenzreihe
+im Punkt $z_0$ einer analytischen Funktion konvergiert.
+Die Definition des Konvergenzradius gilt auch für komplexe Funktionen.
 
-% XXX auf dem Rand des Konvergenzkreises gibt es immer eine Singularität
+\begin{satz}
+\index{Satz!Konvergenzradius}%
+\label{buch:funktionentheorie:satz:konvergenzradius}
+Die Potenzreihe
+\[
+f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_0(z-z_0)^k
+\]
+ist konvergent auf einem Kreis um $z_0$ mit Radius $\varrho$ und
+\[
+\frac{1}{\varrho}
+=
+\limsup_{n\to\infty} \sqrt[k]{|a_k|}.
+\]
+Falls $a_k\ne 0$ für alle $k$ und der folgende Grenzwert existiert,
+dann gilt auch
+\[
+\varrho = \lim_{n\to\infty} \biggl| \frac{a_n}{a_{n+1}}\biggr|.
+\]
+\end{satz}
+
+\begin{definition}
+\label{buch:funktionentheorie:definition:konvergenzradius}
+\index{Konvergenzradius}%
+Der in Satz~\ref{buch:funktionentheorie:satz:konvergenzradius}
+Radius $\varrho$ des Konvergenzkreises heisst {\em Konvergenzradius}.
+\end{definition}
 
+Man kann auch zeigen, dass der Konvergenzkreis immer so gross ist,
+dass auf seinem Rand ein Wert $z$ liegt, für den die Potenzreihe nicht
+konvergiert.
 
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/anwendungen.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/anwendungen.tex
index e02fb3e..440d2d3 100644
--- a/buch/chapters/080-funktionentheorie/anwendungen.tex
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/anwendungen.tex
@@ -5,6 +5,11 @@
 %
 \section{Anwendungen
 \label{buch:funktionentheorie:section:anwendungen}}
+\rhead{Anwendungen}
+In diesem Abschnitt wird die Theorie der komplex differenzierbaren
+Funktionen dazu verwendet, einige früher bereits verwendete oder
+angedeutete Resultate herzuleiten.
 
 \input{chapters/080-funktionentheorie/gammareflektion.tex}
 \input{chapters/080-funktionentheorie/carlson.tex}
+\input{chapters/080-funktionentheorie/singularitaeten.tex}
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/carlson.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/carlson.tex
index 1923351..41fb5e8 100644
--- a/buch/chapters/080-funktionentheorie/carlson.tex
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/carlson.tex
@@ -24,6 +24,8 @@ beschränkt ist und an den Stellen $z=1,2,3,\dots$ verschwindet.
 Dann ist $f(z)=0$.
 \end{satz}
 
+\index{Satz!von Carlson}%
+\index{Carlson, Satz von}%
 \begin{figure}
 \centering
 \includegraphics{chapters/080-funktionentheorie/images/carlsonpath.pdf}
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/cauchy.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/cauchy.tex
index 21d8dcf..bd07a2f 100644
--- a/buch/chapters/080-funktionentheorie/cauchy.tex
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/cauchy.tex
@@ -6,6 +6,16 @@
 \section{Cauchy-Integral
 \label{buch:funktionentheorie:section:cauchy}}
 \rhead{Cauchy-Integral}
+In Abschnitt~\ref{buch:funktionentheorie:section:holomorph} hat sich
+bereits gezeigt, dass komplexe Differenzierbarkeit einer komplexen
+Funktion weit mehr Einschränkungen auferlegt als reelle Differenzierbarkeit.
+Sowohl der Real- wie auch der Imaginärteil müssenharmonische Funktionen
+sein.
+In diesem Abschnitt wird die Cauchy-In\-te\-gral\-formel etabliert, die 
+sogar zeigt, dass eine komplex differenzierbare Funktion bereits durch 
+die Werte auf dem Rand eines einfach zusammenhängenden Gebietes
+gegeben ist, beliebig oft differenzierbar ist und ausserdem immer
+analytisch ist.
 
 %
 % Wegintegrale und die Cauchy-Formel
@@ -125,6 +135,7 @@ Wie Wahl der Parametrisierung der Kurve hat keinen Einfluss auf den
 Wert des Wegintegrals.
 
 \begin{satz}
+\index{Satz!Kurvenparametrisierung}%
 Seien $\gamma_1(t), t\in[a,b],$ und $\gamma_2(s),s\in[c,d]$
 verschiedene Parametrisierungen
 \index{Parametrisierung}%
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/chapter.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/chapter.tex
index b7b5325..aa1041a 100644
--- a/buch/chapters/080-funktionentheorie/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/chapter.tex
@@ -37,11 +37,6 @@ auf der rellen Achse hinaus fortsetzen.
 \input{chapters/080-funktionentheorie/fortsetzung.tex}
 \input{chapters/080-funktionentheorie/anwendungen.tex}
 
-\section{TODO}
-\begin{itemize}
-\item Aurgument-Prinzip
-\end{itemize}
-
 \section*{Übungsaufgaben}
 \rhead{Übungsaufgaben}
 \aufgabetoplevel{chapters/080-funktionentheorie/uebungsaufgaben}
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/gammareflektion.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/gammareflektion.tex
index 537fd96..4a8f41f 100644
--- a/buch/chapters/080-funktionentheorie/gammareflektion.tex
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/gammareflektion.tex
@@ -12,12 +12,15 @@ die durch Spiegelung an der Geraden $\operatorname{Re}x=\frac12$
 auseinander hervorgehen, und einem speziellen Beta-Integral her.
 
 \begin{satz}
+\index{Satz!Spiegelungsformel für $\Gamma(x)$}%
+\label{buch:funktionentheorie:satz:spiegelungsformel}
 Für $0<x<1$ gilt
 \begin{equation}
 \Gamma(x)\Gamma(1-x)
 =
 \frac{\pi}{\sin\pi x}.
 \end{equation}
+\index{Gamma-Funktion!Spiegelungsformel}%
 \end{satz}
 
 \begin{figure}
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/holomorph.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/holomorph.tex
index c87b083..b2bacae 100644
--- a/buch/chapters/080-funktionentheorie/holomorph.tex
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/holomorph.tex
@@ -83,6 +83,7 @@ Der Term $x-x_0$ und die Gleichung \eqref{komplex:abldef} sind aber auch
 für komplexe Argument sinnvoll, wir definieren daher
 
 \begin{definition}
+\label{buch:funktionentheorie:definition:differenzierbar}
 Die komplexe Funktion $f(z)$ heisst im Punkt $z_0$ komplex differenzierbar
 und hat die komplexe Ableitung $f'(z_0)\in\mathbb C$, wenn
 \index{komplex differenzierbar}%
@@ -107,10 +108,10 @@ Differenzenquotienten finden:
 &=
 \frac{z^n-z_0^n}{z-z_0}
 =
-\frac{(z-z_0)(z^{n-1}+z^{n-2}z_0+z^{n-3}z_0^2+\dots+z^{n-1})}{z-z_0}
+\frac{(z-z_0)(z^{n-1}+z^{n-2}z_0+z^{n-3}z_0^2+\dots+z_0^{n-1})}{z-z_0}
 \\
 &=
-\underbrace{z^{n-1}+z^{n-2}z_0+z^{n-3}z_0^2+\dots+z^{n-1}
+\underbrace{z^{n-1}+z^{n-2}z_0+z^{n-3}z_0^2+\dots+z_0^{n-1}
 }_{\displaystyle \text{$n$ Summanden}}.
 \end{align*}
 Lassen wir jetzt $z$ gegen $z_0$ gehen, wird die rechte Seite
@@ -191,6 +192,7 @@ Dies ist nur möglich, wenn Real- und Imaginärteile übereinstimmen.
 Es folgt also
 
 \begin{satz}
+\index{Satz!Cauchy-Riemann Differentialgleichungen}%
 \label{komplex:satz:cauchy-riemann}
 Real- und Imaginärteil $u(x,y)$ und $v(x,y)$ einer
 komplex differenzierbaren Funktion $f(z)$ mit $f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$
@@ -258,11 +260,12 @@ Der Operator
 \frac{\partial^2}{\partial y^2}
 \]
 heisst der {\em Laplace-Operator} in zwei Dimensionen.
-
 \index{Laplace-Operator}%
+\index{Operator!Laplace-}%
 \end{definition}
 
 \begin{definition}
+\label{buch:funktionentheorie:definition:harmonisch}
 Eine Funktion $h(x,y)$ von zwei Variablen heisst {\em harmonisch}, wenn sie
 die Gleichung
 \[
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/operator-1.pdf b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/operator-1.pdf
new file mode 100644
index 0000000..4ba1346
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/operator-1.pdf
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/operator.mp b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/operator.mp
new file mode 100644
index 0000000..35f4303
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/operator.mp
@@ -0,0 +1,46 @@
+%
+% operatormp -- Seitz-Kull-Operator in Metapost
+%
+% (c) 2016 Prof Dr Andreas Mueller, Hochschule Rapperswil
+%
+verbatimtex
+\documentclass{book}
+\usepackage{times}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{txfonts}
+\begin{document}
+etex;
+
+beginfig(1)
+
+label(btex $A$ etex, (0,0));
+
+path circle;
+
+numeric r;
+r := 4.7;
+numeric b;
+b := 0.45;
+
+circle := r * (cosd(40), sind(40));
+
+for alpha = 41 step 1 until 370:
+	circle := circle--(r * (cosd(alpha), sind(alpha)));
+endfor;
+
+path head;
+head := (0,0)--(5,-3)--(0,6)--(-5,-3)--cycle;
+
+z1 = (-0.3,-0.4);
+
+pickup pencircle scaled b;
+draw circle shifted z1;
+fill head scaled 0.2 rotated 10 shifted (r,0) rotated 10 shifted z1;
+
+endfig;
+
+end
+
+
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/singularitaeten.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/singularitaeten.tex
new file mode 100644
index 0000000..2a5c62c
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/singularitaeten.tex
@@ -0,0 +1,609 @@
+%
+% singularitaeten.tex
+%
+% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\newcommand*\sk{\vcenter{\hbox{\includegraphics[scale=0.8]{chapters/080-funktionentheorie/images/operator-1.pdf}}}}
+
+%
+% Löesung linearer Differentialgleichunge mit Singularitäten
+%
+\subsection{Lösungen von linearen Differentialgleichungen mit Singularitäten
+\label{buch:funktionentheorie:subsection:dglsing}}
+Die Potenzreihenmethode hat ermöglicht, mindestens eine Lösung gewisser
+linearer Differentialgleichungen zu finden.
+Bei Differentialgleichungen wie der Besselschen Differentialgleichung,
+deren Koeffizienten Singularitäten aufweisen, konnte aber nur eine
+Lösung gefunden werden, während die Theorie verlangt, dass eine
+Differentialgleichung zweiter Ordnung zwei linear unabhängige Lösungen
+haben muss.
+
+Ziel dieses Abschnitts ist zu zeigen, warum dies nicht möglich war und
+wie diese Schwierigkeit mit Hilfe der analytischen Fortsetzung überwunden
+werden kann.
+
+%
+% Differentialgleichungen mit Singularitäten
+%
+\subsubsection{Differentialgleichungen mit Singularitäten}
+Mit der Besselschen
+Differentialgleichung~\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:bessel}
+ist es nicht möglich, die zweite Ableitung $y''(0)$ an der Stelle $x=0$
+zu bestimmen.
+Die Differentialgleichung kann an der Stelle $x=0$ nicht nach $y''$
+aufgelöst werden.
+Wenn man die Differentialgleichung in ein Differntialgleichungssystem
+\[
+\frac{d}{dx}
+\begin{pmatrix}
+y_1\\y_2
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+0&1\\
+1-\frac{\alpha^2}{x^2}
+&
+-\frac{1}{x}
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+y_1\\y_2
+\end{pmatrix}
+\]
+erster Ordnung umwandelt, zeigt sich an der Stelle $x=0$ eine
+Singularität in der Matrix, die Ableitung kann also für $x=0$
+nicht bestimmt werden.
+In einer Umgebung von $x=0$ erfüllt die Differentialgleichung
+die Voraussetzungen bekannter Existenz- und Eindeutigkeitssätze
+für gewöhnliche Differentialgleichungen nicht.
+
+Ein ähnliches Problem tritt bei jeder hypergeometrischen
+Differentialgleichung auf.
+Diese werden gemäss Abschnitt
+\ref{buch:differentialgleichungen:section:hypergeometrisch}
+aus den Differentialoperatoren
+\[
+D_a=z\frac{d}{dz} + a
+\]
+zusammengesetzt.
+Die Ableitung höchster Ordnung eines Produktes solcher Operationen ist
+\[
+D_{a_1}
+\cdots
+D_{a_p}
+=
+z^p\frac{d^p}{dz^p} + \text{Ableitungen niedrigerer Ordnung}.
+\]
+Dies zeigt, dass für $p>0$ oder $q>0$ ein Faktor $x$ bei der
+Ableitung höchster Ordnung unvermeidlich ist, die Differentialgleichung
+kann also wieder nicht nach dieser Ableitung aufgelöst werden und
+erfüllt die Voraussetzungen der Existenz- und Eindeutigkeitssätze
+in einer Umgebung von $x=0$ wieder nicht.
+
+Die Besselsche Differentialgleichung
+hat auch nicht die Form $y''+p(x)xy'+q(x)=0$, die der Theorie der 
+Indexgleichung zugrunde lag.
+\index{Besselsche Differentialgleichung}%
+\index{Differentialgleichung!Besselsche}%
+Daher kann es auch keine Garantie geben, dass die Methode der
+verallgemeinerten Potenzreihen zwei linear unabhängige Lösungen
+liefern kann.
+Tatsächlich wurde für ganzzahlige $n$ wegen $J_n(x) = (-1)^n J_{-n}(x)$
+nur eine Lösung statt der erwarteten zwei linear unabhängigen
+Lösungen gefunden.
+
+Sind die Koeffizienten einer linearen Differentialgleichungen wie
+in den genannten Beispielen singulär bei $x=0$, kann man auch nicht
+erwarten, dass die Lösungen singulär sind.
+Dies war schliesslich die Motivation, einen Lösungsansatz mit einer
+verallgemeinerten Potenzreihe zu versuchen.
+Mit den Funktion $x^\varrho$ lässt sich bereits eine recht grosse
+Klasse von Singularitäten beschreiben, aber es ist nicht klar,
+welche weiteren Arten von Singularitäten berücksichtigt werden sollten.
+Dies soll im Folgenden geklärt werden.
+
+%
+% Der Lösungsraum einer Differentialgleichung zweiter Ordnung
+%
+\subsubsection{Der Lösungsraum einer Differentialgleichung zweiter Ordnung}
+Eine Differentialgleichung $n$-ter Ordnung hat lokal einen $n$-dimensionalen
+Vektorraum als Lösungsraum.
+
+\begin{definition}
+\label{buch:funktionentheorie:singularitaeten:def:loesungsraum}
+Sei 
+\begin{equation}
+\sum_{k=0}^n a_k(x) y^{(n)}(x) = 0
+\label{buch:funktionentheorie:singularitaeten:eqn:defdgl}
+\end{equation}
+eine Differentialgleichung $n$-ter Ordnung mit analytischen Koeffizienten
+und $x_0\in \mathbb{C}$.
+Dann ist
+\[
+\mathbb{L}_{x_0}
+=
+\left\{
+y(x)
+\;\left|\;
+\begin{minipage}{6cm}
+$y$ ist Lösung der Differentialgleichung
+\eqref{buch:funktionentheorie:singularitaeten:eqn:defdgl}
+in einer Umgebung von $x_0$
+\end{minipage}
+\right.
+\right\}
+\]
+der Lösungsraum der Differentialgleichung
+\eqref{buch:funktionentheorie:singularitaeten:eqn:defdgl}.
+Wenn der Punkt $x_0$ aus dem Kontext klar ist, kann er auch weggelassen
+werden: $\mathbb{L}_{x_0}=\mathbb{L}$.
+\index{Lösungsraum einer Differentialgleichung}%
+\index{Differentialgleichung!Lösungsraum}%
+\end{definition}
+
+%
+% Analytische Fortsetzung auf dem Weg um 0
+%
+\subsubsection{Analytische Fortsetzung auf einem Weg um $0$}
+Die betrachteten Differentialgleichungen haben holomorphe
+Koeffizienten, Lösungen der Differentialgleichung lassen sich
+daher immer in die komplexe Ebene fortsetzen, solange man die
+Singularitäten der Koeffizienten vermeidet.
+Hat eine Funktion $y(z)$ eine Laurent-Reihe
+\[
+y(z) = \sum_{k=-\infty}^\infty a_kz^k,
+\]
+dann ist sie automatisch in einer Umgebung von $0$ definiert
+ausser in $0$.
+Die analytische Fortsetzung entlang eines Pfades, der $0$
+umschliesst, ist die Funktion $y(z)$ selbst.
+
+Für die Wurzelfunktion $y(z)=z^{\frac1n}$ ist dies nicht möglich.
+Die analytische Fortsetzung von $\sqrt[n]{x}$ auf der positiven reellen
+Achse entlang einer Kurve, die $0$ umschliesst,
+produziert die Funktion
+\[
+\sqrt[n]{z}
+=
+\sqrt[n]{re^{i\varphi}}
+=
+\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\varphi}n},
+\]
+die für $\varphi=2\pi$ zu $e^{i\frac{2\pi}n}\sqrt{x}$ wird.
+Verallgemeinerte Potenzreihen als Lösungen zeigen daher, dass
+die analytische Fortsetzung der Lösung entlang eines Pfades um
+eine Singularität nicht mit der Lösung übereinstimmen muss.
+Das Studium dieser analytischen Fortsetzung dürfte daher zusätzliche
+Informationen über die Lösung hervorbringen.
+
+\begin{definition}
+\label{buch:funktionentheorie:def:fortsetzungsoperator}
+\index{Fortsetzungsoperator}%
+Der {\em Fortsetzungsoperator} $\sk$ ist der lineare Operator, der eine
+in einem Punkt $x\in\mathbb{R}^+$ analytische Funktion $f(x)$ entlang eines
+geschlossenen Weges fortsetzt, der $0$ im Gegenuhrzeigersinn umläuft.
+Die Einschränkung der analytischen Fortsetzung auf $\mathbb{R}^+$ wird
+mit $\sk f(x)$ bezeichnet.
+\index{analytische Fortsetzung}%
+\index{Fortsetzung, analytisch}%
+\end{definition}
+
+Die obengenannten Beispiele lassen sich mit dem Operator $\sk$ als
+\[
+\begin{aligned}
+\sk z^n
+&=
+z^n
+&\qquad& n \in \mathbb{Z}
+\\
+\sk
+\sum_{k=-\infty}^\infty a_kz^k
+&=
+\sum_{k=-\infty}^\infty a_kz^k
+\\
+\sk z^\varrho
+&=
+e^{2\pi i\varrho} z^\varrho
+\end{aligned}
+\]
+schreiben.
+
+%
+% Rechenregeln für die analytische Fortsetzung
+%
+\subsubsection{Rechenregeln für die analytische Fortsetzung}
+Der Operator $\sk$ ist ein Algebrahomomorphismus, d.~h.~für zwei analytische
+Funktionen $f$ und $g$ gilt
+\[
+\begin{aligned}
+\sk(\lambda f + \mu g)
+&=
+\lambda \sk f  + \mu \sk g
+\\
+\sk(fg)
+&=
+(\sk f)(\sk g)
+\end{aligned}
+\]
+für beliebige $\lambda,\mu\in\mathbb{C}$.
+Ist $f$ eine in ganz $\mathbb{C}$ holomorphe Funktion, dann lässt sie
+sich mit Hilfe einer Potenzreihe berechnen.
+Der Wert $f(g(z))$ entsteht durch Einsetzen von $g(z)$ in die Potenzreihe.
+Analytische Fortsetzung mit $\sk$ reproduziert jeden einzelnen Term
+der Potenzreihe, es folgt
+$\sk f(g(z)) = f(\sk g(z))$.
+Ebenso folgt auch, dass der Operator $\sk$ mit der Ableitung
+vertauscht, dass also
+\[
+\frac{d^n}{dz^n}(\sk f)
+=
+\sk(f^{(n)}).
+\]
+
+%
+% Analytische Fortsetzung von Lösungen einer Differentialgleichung
+%
+\subsubsection{Analytische Fortsetzung von Lösungen einer Differentialgleichung}
+Wir untersuchen jetzt die Wirkung des Operators $\sk$ auf
+den Lösungsraum $\mathbb{L}$ einer Differentialgleichung mit
+analytischen Koeffizienten, die in einer Umgebung von $0$
+definiert sind.
+Auf den Koeffizienten wirkt $\sk$ als die Identität. 
+Ist $y(x)$ eine Lösung der Differentialgleichung, dann gilt
+\[
+0
+=
+\sk\biggl(
+\sum_{k=0}^n a_k(x) y^{(n)}(x)
+\biggr)
+=
+\sum_{k=0}^n (\sk a_k)(x) \cdot (\sk y)^{(n)}(x)
+=
+\sum_{k=0}^n a_k(x) \cdot (\sk y)^{(n)}(x),
+\]
+somit ist $\sk y$ ebenfalls eine Lösung.
+Wir schliessen daraus, dass $\sk$ eine lineare Abbildung 
+$\mathbb{L}\to\mathbb{L}$ ist.
+
+Der Lösungsraum einer Differentialgleichung $n$-ter Ordnung
+ist $n$-dimensional.
+Nach Wahl einer Basis des Lösungsraums kann der Operator $\sk$
+mit Hilfe einer Matrix $A\in M_{n\times n}(\mathbb{C})$ beschrieben werden.
+Sei $\mathscr{W}=\{w_1,\dots,w_n\}$ eine Basis des Lösungsraums, dann
+kann $\sk w_j$ wieder eine Lösung der Differentialgleichung
+und kann daher geschrieben werden als Linearkombination
+\begin{equation}
+\sk w_j
+=
+\sum_{k=1}^n
+a_{jk} w_k
+\end{equation}
+der Funktionen in $\mathscr{W}$.
+
+Die Matrix $A$ mit den Einträgen $a_{jk}$ kann durch Wahl einer
+geeigneten Basis in besonders einfache Form gebracht.
+Wir führen diese Diskussion im folgenden nur für eine Differentialgleichung
+zweiter Ordnung $n=2$.
+
+%
+% Fall A diagonalisierbar
+%
+\subsubsection{Fall $A$ diagonalisierbar: verallgemeinerte Potenzreihen}
+In diesem Fall kann man die Lösungsfunktionen $w_1$ und $w_2$ so
+wählen, dass die Matrix
+\[
+A=\begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{pmatrix}
+\]
+diagonal wird mit Eigenwerten $\lambda_j$, $j=1,2$.
+Dies bedeutet, dass $\sk w_j = \lambda_j w_j$.
+Wir schreiben
+\[
+\varrho_j = \frac{1}{2\pi i} \log\lambda_j.
+\]
+Der Logarithmus ist nicht eindeutig, er ist nur bis auf ein Vielfaches
+von $2\pi i$ bestimmt.
+Folglich aus auch $\varrho_j$ nicht eindeutig bestimmt, eine
+andere Wahl des Logarithmus ändert $\varrho_j$ aber um eine ganze Zahl.
+
+Die Funktion $z^{\varrho_j}$ wird unter der Wirkung von $\sk$ zu
+\[
+\sk z^{\varrho_j}
+=
+e^{2\pi i\varrho_j} z^{\varrho_j}
+=
+e^{\log \lambda_j} z^{\varrho_j}
+=
+\lambda_j z^{\varrho_j}.
+\]
+Auf den Funktionen $z^{\varrho_j}$ und $w_j$ wirkt der Operator $\sk$
+also die gleich durch Multiplikation mit $\lambda_j$.
+Deren Quotient
+\[
+f(z) = \frac{w_j(z)}{z^{\varrho_j}}
+\qquad\text{erfüllt}\qquad
+\sk f
+=
+\frac{\sk w_j}{\sk z^{\varrho_j}}
+=
+\frac{\lambda_j w_j}{\lambda_j z^{\varrho_j}}
+=
+\frac{w_j}{z^{\varrho_j}}
+=
+f.
+\]
+Die Funktion $f$ kann daher als Laurent-Reihe
+\[
+f(z) 
+=
+\sum_{k=-\infty}^\infty a_kz^k
+\]
+geschrieben werden.
+Die Lösung $w_2(z)$ muss daher die Form
+\begin{equation}
+w_j(z)
+=
+z^{\varrho_j} f(z)
+=
+z^{\varrho_j} \sum_{k=-\infty}^\infty a_kz^k
+\end{equation}
+haben, also die einer verallgemeinerten Potenzreihe.
+Auch hier zeigt sich, dass die Wahl des Logarithmus in der Definition
+von $\varrho_j$ unbedeutend ist, sie äussert sich nur in einer
+Verschiebung der Koeffizienten $a_k$.
+
+Falls der Operator $\sk$ also diagonalisierbar ist, dann gibt es
+zwei linear unabhängige Lösungen der Differentialgleichung in der
+Form einer verallgemeinerten Potenzreihe.
+
+%
+% Fall $A$ nicht diagonalisierbar
+%
+\subsubsection{Fall $A$ nicht diagonalisierbar: logarithmische Lösungen}
+Falls die Matrix $A$ nicht diagonalisierbar ist, hat sie nur einen
+Eigenwert $\lambda$ und kann durch geeignete Wahl einer Basis in
+Jordansche Normalform
+\[
+A
+=
+\begin{pmatrix}
+\lambda &    1    \\
+   0    & \lambda
+\end{pmatrix}
+\]
+gebracht werden.
+Dies bedeutet, dass
+\begin{align*}
+\sk w_1 &= \lambda w_1 + w_2
+\\
+\sk w_2 &= \lambda w_2.
+\end{align*}
+Die Funktion $w_2$ hat unter $\sk$ die gleichen Eigenschaften
+wie im diagonalisierbaren Fall, man kann also wieder schliessen,
+dass $w_2$ durch eine verallgemeinerte Potenzreihe mit
+\[
+\varrho=\frac{1}{2\pi i} \log \lambda
+\]
+dargestellt werden kann.
+
+Für den Quotienten $w_1/w_2$ findet man jetzt das Bild
+\begin{equation}
+\sk \frac{w_1}{w_2}
+=
+\frac{\sk w_1}{\sk w_2}
+=
+\frac{\lambda w_1+w_2}{\lambda w_2}
+=
+\frac{w_1}{w_2} + \frac{1}{\lambda}
+\label{buch:funktionentheorie:singularitaeten:sklog}
+\end{equation}
+Das Verhalten von $w_1$ unter $\sk$ in
+\eqref{buch:funktionentheorie:singularitaeten:sklog}
+ist dasselbe wie bei $\log(z)/\lambda$, denn
+\[
+\sk \frac{\log(z)}{\lambda}
+=
+\frac{\log(z)}{\lambda} + 1.
+\]
+Die Differenz $w_1-\log(z)/\lambda$ wird bei der analytischen
+Fortsetzung zu
+\[
+\sk\biggl(
+\frac{w_1}{w_2}-\frac{\log(z)}{\lambda}
+\biggr)
+=
+\sk \frac{w_1}{w_2} - \sk\frac{\log(z)}{\lambda}
+=
+\frac{w_1}{w_2} + \frac{1}{\lambda}
+-
+\frac{\log(z)}{\lambda}
+-\frac{1}{\lambda}
+=
+\frac{w_1}{w_2}-\frac{\log(z)}{\lambda}.
+\]
+Die Differenz ist daher wieder als Laurent-Reihe
+\[
+\frac{w_1}{w_2}-\frac{\log(z)}{\lambda}
+=
+\sum_{k=-\infty}^\infty b_kz^k
+\]
+darstellbar, was nach $w_1$ aufgelöst 
+\[
+w_1(z)
+=
+\frac{1}{\lambda} \log(z) w_2(z)
++
+w_2(z) \sum_{k=-\infty}^\infty b_kz^k
+\]
+ergibt.
+Da $w_2$ eine verallgemeinerte Potenzreihe ist, kann man dies auch
+als
+\begin{equation}
+w_1(z)
+=
+c \log(z) w_2(z)
++
+z^{\varrho}
+\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_kz^k
+\label{buch:funktionentheorie:singularitäten:eqn:w1}
+\end{equation}
+schreiben, wobei Konstanten $c$ und $c_k$ noch bestimmt werden müssen.
+Setzt man
+\eqref{buch:funktionentheorie:singularitäten:eqn:w1}
+in die ursprüngliche Differentialgleichung ein, verschwindet der
+$\log(z)$-Term und für die verbleibenden Koeffizienten kann die
+bekannte Methode des Koeffizientenvergleichs verwendet werden.
+
+%
+% Bessel-Funktionen zweiter Art
+%
+\subsubsection{Bessel-Funktionen zweiter Art
+\label{buch:funktionentheorie:subsubsection:bessel2art}}
+Im Abschnitt~\ref{buch:differentialgleichungen:subsection:bessel1steart}
+waren wir nicht in der Lage, für ganzahlige $\alpha$ zwei linear unabhängige
+Lösungen der Besselschen Differentialgleichung zu finden.
+Die vorangegangenen Ausführungen erklären dies: der Ansatz als
+verallgemeinerte Potenzreihe konnte die Singularität nicht wiedergeben.
+Inzwischen wissen wir, dass wir nach einer Lösung mit einer logarithmischen
+Singularität suchen müssen.
+
+Um dies nachzuprüfen, setzen wir den Ansatz
+\[
+y(x) = \log(x) J_n(x) + z(x)
+\]
+in die Besselsche Differentialgleichung ein.
+Dazu benötigen wir erst die Ableitungen von $y(x)$:
+\begin{align*}
+y'(x)
+&=
+\frac{1}{x} J_n(x) + \log(x)J_n'(x) + z'(x)
+\\
+xy'(x)
+&=
+J_n(x) + x\log(x)J_n'(x) + xz'(x)
+\\
+y''(x)
+&=
+-\frac{1}{x^2} J_n(x)
++\frac2x J_n'(x)
++\log(x) J_n''(x)
++z''(x)
+\\
+x^2y''(x)
+&=
+-J_n(x) + 2xJ'_n(x)+x^2\log(x)J_n''(x) + x^2z''(x).
+\end{align*}
+Die Wirkung des Bessel-Operators auf $y(x)$ ist
+\begin{align*}
+By
+&=
+x^2y''+xy'+x^2y
+\\
+&=
+\log(x) \bigl(
+\underbrace{
+x^2J_n''(x)
++xJ_n'(x)
++x^2J_n(x)
+}_{\displaystyle = n^2J_n(x)}
+\bigr)
+-J_n(x)+2xJ_n'(x)
++J_n(x)
++
+xz'(x)
++
+x^2z''(x)
+\\
+&=
+n^2 \log(x)J_n(x)
++
+2xJ_n(x)
++
+x^2z(x)
++
+xz'(x)
++
+x^2z''(x)
+\end{align*}
+Damit $y(x)$ eine Eigenfunktion zum Eigenwert $n^2$ wird, muss 
+dies mit $n^2y(x)$ übereinstimmen, also
+\begin{align*}
+n^2 \log(x)J_n(x)
++
+2xJ_n(x)
++
+x^2z(x)
++
+xz'(x)
++
+x^2z''(x)
+&=
+n^2\log(x)J_n(x) + n^2z(x).
+\intertext{Die logarithmischen Terme heben sich weg und es bleibt}
+x^2z''(x)
++
+xz'(x)
++
+(x^2-n^2)z(x)
+&=
+-2xJ_n(x).
+\end{align*}
+Eine Lösung für $z(x)$ kann mit Hilfe eines Potenzreihenansatzes
+gefunden werden.
+Sie ist aber nur bis auf einen Faktor festgelegt.
+Tatsächlich kann man aber auch eine direkte Definition geben.
+
+\begin{definition}
+Die Bessel-Funktionen zweiter Art der Ordnung $\alpha$ sind die Funktionen
+\begin{equation}
+Y_\alpha(x)
+=
+\frac{J_\alpha(x) \cos \alpha\pi  - J_{-\alpha}(x)}{\sin \alpha\pi }.
+\label{buch:funktionentheorie:bessel:2teart}
+\end{equation}
+Für ganzzahliges $\alpha$ verschwindet der Nenner in 
+\eqref{buch:funktionentheorie:bessel:2teart},
+daher ist
+\[
+Y_n(x)
+=
+\lim_{\alpha\to n} Y_{\alpha}(x)
+=
+\frac{1}{\pi}\biggl(
+\frac{d}{d\alpha}J_{\alpha}(x)\bigg|_{\alpha=n}
++
+(-1)^n
+\frac{d}{d\alpha}J_{\alpha}(x)\bigg|_{\alpha=-n}
+\biggr).
+\]
+\end{definition}
+
+Die Funktionen $Y_\alpha(x)$ sind Linearkombinationen der Lösungen
+$J_\alpha(x)$ und $J_{-\alpha}(x)$ und damit automatisch auch Lösungen
+der Besselschen Differentialgleichung.
+Dies gilt auch für den Grenzwert im Falle ganzahliger Ordnung $\alpha$.
+Da $J_{\alpha}(x)$ durch eine Reihenentwicklung definiert ist, kann man
+diese Termweise nach $\alpha$ ableiten und damit auch eine 
+Reihendarstellung von $Y_n(x)$ finden.
+Nach einiger Rechnung findet man:
+\begin{align*}
+Y_n(x)
+&=
+\frac{2}{\pi}J_n(x)\log\frac{x}2
+-
+\frac1{\pi}
+\sum_{k=0}^{n-1} \frac{(n-k-1)!}{k!}\biggl(\frac{x}2\biggr)^{2k-n}
+\\
+&\qquad\qquad
+-
+\frac1{\pi}
+\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!\,(n+k)!}
+\biggl(
+\frac{\Gamma'(n+k+1)}{\Gamma(n+k+1)}
++
+\frac{\Gamma'(k+1)}{\Gamma(k+1)}
+\biggr)
+\biggl(
+\frac{x}2
+\biggr)^{2k+n}
+\end{align*}
+(siehe auch \cite[p.~200]{buch:specialfunctions}).
+