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author | HeadAndToes <55713950+HeadAndToes@users.noreply.github.com> | 2022-07-19 16:42:27 +0200 |
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committer | GitHub <noreply@github.com> | 2022-07-19 16:42:27 +0200 |
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-rw-r--r-- | buch/chapters/090-pde/gleichung.tex | 150 |
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diff --git a/buch/chapters/090-pde/gleichung.tex b/buch/chapters/090-pde/gleichung.tex index 583895d..271dc44 100644 --- a/buch/chapters/090-pde/gleichung.tex +++ b/buch/chapters/090-pde/gleichung.tex @@ -6,10 +6,26 @@ \section{Gleichungen und Randbedingungen \label{buch:pde:section:gleichungen-und-randbedingungen}} \rhead{Gebiete, Gleichungen und Randbedingungen} +Gewöhnliche Differentialgleichungen sind immer auf einem +Intervall als Definitionsgebiet definiert. +Partielle Differentialgleichungen sind Gleichungen, die verschiedene +partielle Ableitungen einer Funktion mehrerer Variablen involvieren, +das Definitionsgebiet ist daher immer eine höherdimensionale Teilmenge +von $\mathbb{R}^n$. +Sowohl das Gebiet wie auch dessen Rand können wesentlich komplexer sein. +Eine sorgfältige Definition ist unabdingbar, um Widersprüchen vorzubeugen. +% +% Gebiete, Differentialoperatoren, Randbedingungen +% \subsection{Gebiete, Differentialoperatoren, Randbedingungen} +In diesem Abschnitt sollen die Begriffe geklärt werden, die zur +korrekten Formulierung eines partiellen Differentialgleichungsproblems +notwendig sind. - +% +% Gebiete +% \subsubsection{Gebiete} Gewöhnliche Differentialgleichungen haben nur eine unabhängige Variable, die gesuchte Lösungsfunktion ist auf eine @@ -20,6 +36,7 @@ ermöglicht wesentlich vielfältigere und kompliziertere Situationen. \begin{definition} +\label{buch:pde:definition:gebiet} Ein Gebiet $G\subset\mathbb{R}^n$ ist eine offene Teilmenge von $\mathbb{R}^n$, d.~h.~für jeden Punkt $x\in G$ gibt es eine kleine Umgebung @@ -29,8 +46,12 @@ U_{\varepsilon}(x) \{y\in\mathbb{R}^n\mid |x-y|<\varepsilon\} \), die ebenfalls in $G$ in enthalten ist, also $U_{\varepsilon}(x)\subset G$. +\index{Gebiet}% \end{definition} +% +% Differentialoperatoren +% \subsubsection{Differentialoperatoren} Eine gewöhnliche Differentialgleichung für eine Funktion ist eine Beziehung zwischen den Werten der Funktion und ihrer @@ -66,9 +87,13 @@ schreiben. Die Koeffizienten $a$, $b_i$, $c_{ij}$ können dabei durchaus auch Funktionen der unabhängigen Variablen sein. +% +% Laplace-Operator +% \subsubsection{Laplace-Operator} -Der Laplace-Operator hat in einem karteischen Koordinatensystem die +Der {\em Laplace-Operator} hat in einem karteischen Koordinatensystem die Form +\index{Laplace-Operator}% \[ \Delta = @@ -86,28 +111,109 @@ nicht ändert. Man könnte sagen, der Laplace-Operator ist symmetrisch bezüglich aller Bewegungen des Raumes. +% +% Wellengleichung +% \subsubsection{Wellengleichung} +Da die physikalischen Gesetze invariant sein müssen unter solchen +Bewegungen, ist zu erwarten, dass der Laplace-Operator in partiellen +Differentialgleichungen +Als Beispiel betrachten wir die Ausbreitung einer Welle, welche sich +in einem Medium mit der Geschwindigkeit $c$ ausbreitet. +Ist $u(x,t)$ die Auslenkung der Welle im Punkt $x\in\mathbb{R}^n$ +zur Zeit $t\in\mathbb{R}$, dann erfüllt die Funktion $u(x,t)$ +die partielle Differentialgleichung +\begin{equation} +\frac{1}{c^2} +\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} += +\Delta u. +\label{buch:pde:eqn:waveequation} +\end{equation} +In dieser Gleichung treten nicht nur die partiellen Ableitungen +nach den Ortskoordinaten auf, die der Laplace-Operator miteinander +verknüpft. +Die Funktion $u(x,t)$ ist definiert auf einem Gebiet in +$\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^{n+1}$ mit den Koordinaten +$(x_1,\dots,x_n,t)$. +Der Gleichung~\eqref{buch:pde:eqn:waveequation} ist daher eigentlich +die Gleichung +\[ +\square u = 0 +\qquad\text{mit}\quad +\square += +\frac{1}{c^2}\frac{^2}{\partial t^2} +- +\Delta += +\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} +- +\frac{\partial^2}{\partial x_1^2} +- +\frac{\partial^2}{\partial x_2^2} +-\dots- +\frac{\partial^2}{\partial x_n^2} +\] +wird. +Der Operator $\square$ heisst auch d'Alembert-Operator. +\index{dAlembertoperator@d'Alembert-Operator}% -\subsubsection{Eigenfunktionen} -Eine besonders einfache - -\subsubsection{Trigonometrische Funktionen} -Die trigonometrischen Funktionen - -\subsection{Orthogonalität} -In der linearen Algebra lernt man, dass die Eigenvektoren einer -symmetrischen Matrix zu verschiedenen Eigenwerten orthgonal sind. -Dies hat zur Folge, dass die Transformation in eine Eigenbasis -mit einer orthogonalen Matrix möglich ist, was wiederum die Basis -von Diagonalisierungsverfahren wie dem Jacobi-Verfahren ist. - -Das Separationsverfahren wird zeigen, wie sich das Finden einer -Lösung der Wellengleichung auf Lösungen des Eigenwertproblems -$\Delta u = \lambda u$ zurückführen lässt. -Damit stellt sich die Frage, welche Eigenschaften - +% +% Randbedingungen +% +\subsubsection{Randbedingungen} +Die Differentialgleichung oder der Differentialoperator legen die +Lösung nicht fest. +Wie bei gewöhnlichen Differentialgleichungen ist dazu die Spezifikation +geeigneter Randbedingungen nötig. -\subsubsection{Gewöhnliche Differentialglichung} +\begin{definition} +\label{buch:pde:definition:randbedingungen} +Eine {\em Randbedingung} für das Gebiet $\Omega$ ist eine Teilmenge +$F\subset\partial\Omega$ sowie eine auf $F$ definierte Funktion +$f\colon F\to\mathbb{R}$. +Eine Funktion $u\colon \overline{\Omega} \to\mathbb{R}$ erfüllt eine +{\em Dirichlet-Randbedingung}, wenn +\index{Dirichlet-Randbedingung}% +\index{Randbedingung!Dirichlet-}% +\( +u(x) = f(x) +\) +für $x\in F$. +Sie erfüllt eine {\em Neumann-Randbedingung}, wenn +\index{Neumann-Randbedingung}% +\index{Randbedingung!Neumann-}% +\[ +\frac{\partial u}{\partial n} += +f(x)\qquad\text{für $x\in F$}. +\] +Dabei ist +\[ +\frac{\partial u}{\partial n} += +\frac{d}{dt} +u(x+tn) +\bigg|_{t=0} += +\operatorname{grad}u\cdot n +\] +\index{Normalableitung}% +die {\em Normalableitung}, die Richtungsableitung in Richtung des +Vektors $n$, der senkrecht ist auf dem Rand $\partial\Omega$ von +$\Omega$. +\end{definition} +Die Vorgabe nur von Ableitungen kann natürlich die Lösung $u(x)$ +einer linearen partiellen Differentialgleichung nicht eindeutig +festlegen, dazu ist noch mindestens ein Funktionswert notwendig. +Die Vorgabe von anderen Ableitungen in Richtungen tangential an den +Rand liefert keine neue Information, denn ausgehend von dem einen +Funktionswert auf dem Rand kann man durch Integration entlang +einer Kurve auf dem Rand eine Neumann-Randbedingung konstruieren, +die die gleiche Information beinhaltet wie Anforderungen an die +tangentialen Ableitungen. +Dirichlet- und Neumann-Randbedingungen sind daher die einzigen +sinnvollen linearen Randbedingungen. -\subsubsection{$n$-dimensionaler Fall} |