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diff --git a/buch/chapters/090-pde/Makefile.inc b/buch/chapters/090-pde/Makefile.inc
index a9ef74a..5b52d27 100644
--- a/buch/chapters/090-pde/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/090-pde/Makefile.inc
@@ -4,10 +4,11 @@
 # (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
 
-CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
+CHAPTERFILES += 							\
 	chapters/090-pde/gleichung.tex					\
 	chapters/090-pde/separation.tex					\
 	chapters/090-pde/rechteck.tex					\
 	chapters/090-pde/kreis.tex					\
 	chapters/090-pde/kugel.tex					\
+	chapters/090-pde/uebungsaufgaben/901.tex			\
 	chapters/090-pde/chapter.tex
diff --git a/buch/chapters/090-pde/chapter.tex b/buch/chapters/090-pde/chapter.tex
index db909ee..a393da5 100644
--- a/buch/chapters/090-pde/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/090-pde/chapter.tex
@@ -21,11 +21,11 @@ deren Lösungen spezielle Funktionen sind.
 \input{chapters/090-pde/kreis.tex}
 \input{chapters/090-pde/kugel.tex}
 
-%\section*{Übungsaufgaben}
-%\rhead{Übungsaufgaben}
-%\aufgabetoplevel{chapters/020-exponential/uebungsaufgaben}
-%\begin{uebungsaufgaben}
-%\uebungsaufgabe{0}
+\section*{Übungsaufgaben}
+\rhead{Übungsaufgaben}
+\aufgabetoplevel{chapters/090-pde/uebungsaufgaben}
+\begin{uebungsaufgaben}
+\uebungsaufgabe{901}
 %\uebungsaufgabe{1}
-%\end{uebungsaufgaben}
+\end{uebungsaufgaben}
 
diff --git a/buch/chapters/090-pde/gleichung.tex b/buch/chapters/090-pde/gleichung.tex
index 7f65f06..271dc44 100644
--- a/buch/chapters/090-pde/gleichung.tex
+++ b/buch/chapters/090-pde/gleichung.tex
@@ -5,10 +5,27 @@
 %
 \section{Gleichungen und Randbedingungen
 \label{buch:pde:section:gleichungen-und-randbedingungen}}
+\rhead{Gebiete, Gleichungen und Randbedingungen}
+Gewöhnliche Differentialgleichungen sind immer auf einem
+Intervall als Definitionsgebiet definiert.
+Partielle Differentialgleichungen sind Gleichungen, die verschiedene
+partielle Ableitungen einer Funktion mehrerer Variablen involvieren,
+das Definitionsgebiet ist daher immer eine höherdimensionale Teilmenge 
+von $\mathbb{R}^n$.
+Sowohl das Gebiet wie auch dessen Rand können wesentlich komplexer sein.
+Eine sorgfältige Definition ist unabdingbar, um Widersprüchen vorzubeugen.
 
+%
+% Gebiete, Differentialoperatoren, Randbedingungen
+%
 \subsection{Gebiete, Differentialoperatoren, Randbedingungen}
+In diesem Abschnitt sollen die Begriffe geklärt werden, die zur
+korrekten Formulierung eines partiellen Differentialgleichungsproblems
+notwendig sind.
 
-
+%
+% Gebiete
+%
 \subsubsection{Gebiete}
 Gewöhnliche Differentialgleichungen haben nur eine unabhängige
 Variable, die gesuchte Lösungsfunktion ist auf eine 
@@ -19,6 +36,7 @@ ermöglicht wesentlich vielfältigere und kompliziertere
 Situationen.
 
 \begin{definition}
+\label{buch:pde:definition:gebiet}
 Ein Gebiet $G\subset\mathbb{R}^n$ ist eine offene Teilmenge
 von $\mathbb{R}^n$, d.~h.~für jeden Punkt $x\in G$ gibt es
 eine kleine Umgebung
@@ -28,8 +46,12 @@ U_{\varepsilon}(x)
 \{y\in\mathbb{R}^n\mid |x-y|<\varepsilon\}
 \), die ebenfalls in $G$ in enthalten ist,
 also $U_{\varepsilon}(x)\subset G$.
+\index{Gebiet}%
 \end{definition}
 
+%
+% Differentialoperatoren
+%
 \subsubsection{Differentialoperatoren}
 Eine gewöhnliche Differentialgleichung für eine Funktion
 ist eine Beziehung zwischen den Werten der Funktion und ihrer
@@ -65,9 +87,13 @@ schreiben.
 Die Koeffizienten $a$, $b_i$, $c_{ij}$ können dabei durchaus auch
 Funktionen der unabhängigen Variablen sein.
 
+%
+% Laplace-Operator
+%
 \subsubsection{Laplace-Operator}
-Der Laplace-Operator hat in einem karteischen Koordinatensystem die
+Der {\em Laplace-Operator} hat in einem karteischen Koordinatensystem die
 Form
+\index{Laplace-Operator}%
 \[
 \Delta
 =
@@ -85,28 +111,109 @@ nicht ändert.
 Man könnte sagen, der Laplace-Operator ist symmetrisch bezüglich
 aller Bewegungen des Raumes.
 
+%
+% Wellengleichung
+%
 \subsubsection{Wellengleichung}
+Da die physikalischen Gesetze invariant sein müssen unter solchen
+Bewegungen, ist zu erwarten, dass der Laplace-Operator in partiellen
+Differentialgleichungen 
+Als Beispiel betrachten wir die Ausbreitung einer Welle, welche sich
+in einem Medium mit der Geschwindigkeit $c$ ausbreitet.
+Ist $u(x,t)$ die Auslenkung der Welle im Punkt $x\in\mathbb{R}^n$
+zur Zeit $t\in\mathbb{R}$, dann erfüllt die Funktion $u(x,t)$
+die partielle Differentialgleichung
+\begin{equation}
+\frac{1}{c^2}
+\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}
+=
+\Delta u.
+\label{buch:pde:eqn:waveequation}
+\end{equation}
+In dieser Gleichung treten nicht nur die partiellen Ableitungen
+nach den Ortskoordinaten auf, die der Laplace-Operator miteinander
+verknüpft.
+Die Funktion $u(x,t)$ ist definiert auf einem Gebiet in 
+$\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^{n+1}$ mit den Koordinaten
+$(x_1,\dots,x_n,t)$.
+Der Gleichung~\eqref{buch:pde:eqn:waveequation} ist daher eigentlich
+die Gleichung
+\[
+\square u = 0
+\qquad\text{mit}\quad
+\square
+=
+\frac{1}{c^2}\frac{^2}{\partial t^2}
+-
+\Delta
+=
+\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}
+-
+\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}
+-
+\frac{\partial^2}{\partial x_2^2}
+-\dots- 
+\frac{\partial^2}{\partial x_n^2}
+\]
+wird.
+Der Operator $\square$ heisst auch d'Alembert-Operator.
+\index{dAlembertoperator@d'Alembert-Operator}%
 
-\subsubsection{Eigenfunktionen}
-Eine besonders einfache 
-
-\subsubsection{Trigonometrische Funktionen}
-Die trigonometrischen Funktionen 
-
-\subsection{Orthogonalität}
-In der linearen Algebra lernt man, dass die Eigenvektoren einer
-symmetrischen Matrix zu verschiedenen Eigenwerten orthgonal sind.
-Dies hat zur Folge, dass die Transformation in eine Eigenbasis
-mit einer orthogonalen Matrix möglich ist, was wiederum die Basis
-von Diagonalisierungsverfahren wie dem Jacobi-Verfahren ist.
-
-Das Separationsverfahren wird zeigen, wie sich das Finden einer
-Lösung der Wellengleichung auf Lösungen des Eigenwertproblems
-$\Delta u = \lambda u$ zurückführen lässt.
-Damit stellt sich die Frage, welche Eigenschaften 
-
+%
+% Randbedingungen
+%
+\subsubsection{Randbedingungen}
+Die Differentialgleichung oder der Differentialoperator legen die
+Lösung nicht fest.
+Wie bei gewöhnlichen Differentialgleichungen ist dazu die Spezifikation
+geeigneter Randbedingungen nötig.
 
-\subsubsection{Gewöhnliche Differentialglichung}
+\begin{definition}
+\label{buch:pde:definition:randbedingungen}
+Eine {\em Randbedingung} für das Gebiet $\Omega$ ist eine Teilmenge
+$F\subset\partial\Omega$ sowie eine auf $F$ definierte Funktion
+$f\colon F\to\mathbb{R}$.
+Eine Funktion $u\colon \overline{\Omega} \to\mathbb{R}$ erfüllt eine
+{\em Dirichlet-Randbedingung}, wenn
+\index{Dirichlet-Randbedingung}%
+\index{Randbedingung!Dirichlet-}%
+\(
+u(x) = f(x)
+\)
+für $x\in F$.
+Sie erfüllt eine {\em Neumann-Randbedingung}, wenn
+\index{Neumann-Randbedingung}%
+\index{Randbedingung!Neumann-}%
+\[
+\frac{\partial u}{\partial n}
+=
+f(x)\qquad\text{für $x\in F$}.
+\]
+Dabei ist
+\[
+\frac{\partial u}{\partial n}
+=
+\frac{d}{dt}
+u(x+tn)
+\bigg|_{t=0}
+=
+\operatorname{grad}u\cdot n
+\]
+\index{Normalableitung}%
+die {\em Normalableitung}, die Richtungsableitung in Richtung des
+Vektors $n$, der senkrecht ist auf dem Rand $\partial\Omega$ von
+$\Omega$.
+\end{definition}
 
+Die Vorgabe nur von Ableitungen kann natürlich die Lösung $u(x)$
+einer linearen partiellen Differentialgleichung nicht eindeutig
+festlegen, dazu ist noch mindestens ein Funktionswert notwendig.
+Die Vorgabe von anderen Ableitungen in Richtungen tangential an den
+Rand liefert keine neue Information, denn ausgehend von dem einen
+Funktionswert auf dem Rand kann man durch Integration entlang
+einer Kurve auf dem Rand eine Neumann-Randbedingung konstruieren,
+die die gleiche Information beinhaltet wie Anforderungen an die
+tangentialen Ableitungen.
+Dirichlet- und Neumann-Randbedingungen sind daher die einzigen
+sinnvollen linearen Randbedingungen.
 
-\subsubsection{$n$-dimensionaler Fall}
diff --git a/buch/chapters/090-pde/kreis.tex b/buch/chapters/090-pde/kreis.tex
index a24b6bb..a8cab3e 100644
--- a/buch/chapters/090-pde/kreis.tex
+++ b/buch/chapters/090-pde/kreis.tex
@@ -5,6 +5,7 @@
 %
 \section{Kreisförmige Membran
 \label{buch:pde:section:kreis}}
+\rhead{Kreisförmige Membran}
 In diesem Abschnitt soll die Differentialgleichung einer kreisförmigen
 Membran mit Hilfe der Separationsmethode gelöst werden.
 Dabei werden die Bessel-Funktionen als Lösungsfunktionen 
@@ -32,7 +33,7 @@ Der Laplace-Operator hat in Polarkoordinaten die Form
 \frac1r
 \frac{\partial}{\partial r}
 +
-\frac{1}{r 2}
+\frac{1}{r^2}
 \frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}.
 \label{buch:pde:kreis:laplace}
 \end{equation}
@@ -120,7 +121,7 @@ für $\Phi(\varphi)$.
 Die Gleichung für $\Phi$ hat für $\mu\ne 0$ die Lösungen
 \begin{align*}
 \Phi(\varphi) &= \cos\mu\varphi
-\text{und}\qquad
+&&\text{und}&
 \Phi(\varphi) &= \sin\mu\varphi.
 \end{align*}
 Die Lösung muss aber auch stetig sein, d.~h.~es muss $\Phi(0)=\Phi(2\pi)$
diff --git a/buch/chapters/090-pde/kugel.tex b/buch/chapters/090-pde/kugel.tex
index 0e3524f..ee56316 100644
--- a/buch/chapters/090-pde/kugel.tex
+++ b/buch/chapters/090-pde/kugel.tex
@@ -5,4 +5,386 @@
 %
 \section{Kugelfunktionen
 \label{buch:pde:section:kugel}}
+\rhead{Kugelfunktionen}
+Kugelsymmetrische Probleme können oft vorteilhaft in Kugelkoordinaten
+beschrieben werden.
+Die Separationsmethode kann auf partielle Differentialgleichungen
+mit dem Laplace-Operator angewendet werden.
+Die daraus resultierenden gewöhnlichen Differentialgleichungen führen
+einerseits auf die Laguerre-Differentialgleichung für den radialen
+Anteil sowie auf Kugelfunktionen für die Koordinaten der
+geographischen Länge und Breite.
+
+\subsection{Kugelkoordinaten}
+Wir verwenden Kugelkoordinaten $(r,\vartheta,\varphi)$, wobei $r$
+der Radius ist, $\vartheta$ die geographische Breite gemessen vom
+Nordpol der Kugel und $\varphi$ die geographische Breite.
+Der Definitionsbereich für Kugelkoordinaten ist
+\[
+\Omega
+=
+\{(r,\vartheta,\varphi)
+\;|\;
+r\ge 0\wedge 
+0\le \vartheta\le \pi\wedge
+0\le \varphi< 2\pi
+\}.
+\]
+Die Entfernung eines Punktes von der $z$-Achse ist $r\sin\vartheta$.
+Daraus lassen sich die karteischen Koordinaten eines Punktes mit Hilfe
+von
+\[
+\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+r\cos\vartheta\\
+r\sin\vartheta\cos\varphi\\
+r\sin\vartheta\sin\varphi
+\end{pmatrix}.
+\]
+Man beachte, dass die Punkte auf der $z$-Achse keine eindeutigen
+Kugelkoordinaten haben.
+Sie sind charakterisiert durch $r\sin\vartheta=0$, was $\cos\vartheta=\pm1$
+impliziert.
+Entsprechend führen alle Werte von $\varphi$ auf den gleichen Punkt
+$(0,0,\pm r)$.
+
+\subsection{Der Laplace-Operator in Kugelkoordinaten}
+Der Laplace-Operator in Kugelkoordinaten lautet
+\begin{align}
+\Delta
+&=
+\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}r^2\frac{\partial}{\partial r}
++
+\frac{1}{r^2\sin\vartheta}\frac{\partial}{\partial\vartheta}
+\sin\vartheta\frac{\partial}{\partial\vartheta}
++
+\frac{1}{r^2\sin^2\vartheta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}.
+\label{buch:pde:kugel:laplace1}
+\intertext{Dies kann auch geschrieben werden als}
+&=
+\frac{\partial^2}{\partial r^2}
++
+\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r}
++
+\frac{1}{r^2\sin\vartheta}\frac{\partial}{\partial\vartheta}
+\sin\vartheta\frac{\partial}{\partial\vartheta}
++
+\frac{1}{r^2\sin^2\vartheta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}
+\label{buch:pde:kugel:laplace2}
+\intertext{oder}
+&=
+\frac{1}{r}
+\frac{\partial^2}{\partial r^2} r
++
+\frac{1}{r^2\sin\vartheta}\frac{\partial}{\partial\vartheta}
+\sin\vartheta\frac{\partial}{\partial\vartheta}
++
+\frac{1}{r^2\sin^2\vartheta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}.
+\label{buch:pde:kugel:laplace3}
+\end{align}
+Dabei ist zu berücksichtigen, dass mit der Notation gemeint ist,
+dass ein Ableitungsoperator auf alles wirkt, was rechts im gleichen
+Term steht.
+Der Operator
+\[
+\frac{1}{r}
+\frac{\partial^2}{\partial r^2}r
+\quad\text{wirkt daher als}\quad
+\frac{1}{r}
+\frac{\partial^2}{\partial r^2}rf
+=
+\frac{1}{r}
+\frac{\partial}{\partial r}\biggl(f + r\frac{\partial f}{\partial r}\biggr)
+=
+\frac{1}{r}
+\frac{\partial f}{\partial r}
++
+\frac{1}{r}
+\frac{\partial f}{\partial r}
++
+\frac{\partial^2f}{\partial r^2}.
+=
+\frac{2}{r}\frac{\partial f}{\partial r}
++
+\frac{\partial^2f}{\partial r^2},
+\]
+was die Äquivalenz der beiden Formen
+\eqref{buch:pde:kugel:laplace2}
+und
+\eqref{buch:pde:kugel:laplace3}
+rechtfertigt.
+Auch die Äquivalenz mit
+\eqref{buch:pde:kugel:laplace1}
+kann auf ähnliche Weise verstanden werden.
+
+Die Herleitung dieser Formel ist ziemlich aufwendig und soll hier
+nicht dargestellt werden.
+Es sei aber darauf hingewiesen, dass sich für $\vartheta=\frac{\pi}2$ 
+wegen $\sin\vartheta=\sin\frac{\pi}2=1$
+der eingeschränkte Operator
+\[
+\Delta
+= 
+\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r} r^2\frac{\partial}{\partial r}
++
+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}
+\]
+ergibt.
+Wendet man wie oben die Produktregel auf den ersten Term an, entsteht die
+Form
+\[
+\frac{\partial^2}{\partial r^2}
++
+\frac{2}{r}
+\frac{\partial}{\partial r}
++
+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}
+\]
+die {\em nicht} übereinstimmt mit dem Laplace-Operator in 
+Polarkoordinaten~\eqref{buch:pde:kreis:laplace}.
+Der Unterschied rührt daher, dass der Laplace-Operator die Krümmung
+der Koordinatenlinien berücksichtigt, in diesem Fall der Meridiane.
+
+\subsection{Separation}
+In Abschnitt~\ref{buch:pde:subsection:eigenwertproblem}
+wurde bereits gzeigt, wie die Wellengleichung
+\[
+\frac{1}{c^2}
+\frac{\partial^2 U}{\partial t^2}
+-\Delta U
+=
+0
+\]
+durch Separation der Zeit auf ein Eigenwertproblem für eine
+Funktion $u$ reduziert werden kann, die nur von den Ortskoordinaten
+abhängt.
+Es geht also nur noch darum, dass Eigenwertproblem
+\[
+\Delta u = -\lambda^2 u
+\]
+mit geeigneten Randbedingungen zu lösen.
+Dazu gehören einerseits eventuelle Gebietsränder, die im Moment
+nicht interessieren.
+Andererseits muss sichergestellt sein, dass die Lösungsfunktionen
+stetig und differentierbar sind an den Orten, wo das Koordinatensystem
+singulär ist.
+So müssen $u(r,\vartheta,\varphi)$ $2\pi$-periodisch in $\varphi$ sein.
+% XXX Ableitungen
+
+\subsubsection{Separation des radialen Anteils}
+Für das Eigenwertproblem verwenden wir den Ansatz
+\[
+u(r,\vartheta,\varphi)
+=
+R(r) \Theta(\vartheta) \Phi(\varphi),
+\]
+den wir in die Differentialgleichung einsetzen.
+So erhalten wir
+\[
+\biggl(\frac{1}{r^2}R''(r)+\frac{2}{r}R'(r) \biggr)
+\Theta(\vartheta)\Phi(\varphi)
++
+R(r)
+\frac{1}{r^2\sin\vartheta}
+\frac{\partial}{\partial\vartheta}(\sin\vartheta \Theta'(\vartheta))
+\Phi(\varphi)
++
+R(r)\Theta(\vartheta)
+\frac{1}{r^2\sin\vartheta} \Phi''(\varphi)
+=
+-\lambda^2 R(r)\Theta(\vartheta)\Phi(\varphi).
+\]
+Die Gleichung lässt sich nach Multiplikation mit $r^2$ und
+Division durch $u$ separieren in 
+\begin{equation}
+\frac{R''(r)+2rR'(r)+\lambda^2r^2}{R(r)}
++
+\frac{1}{\Theta(\vartheta) \sin\vartheta}
+\frac{\partial}{\partial\vartheta}\sin\vartheta\Theta'(\vartheta)
++
+\frac{1}{\sin^2\vartheta}\frac{\Phi''(\varphi)}{\Phi(\varphi)}
+=
+0
+\label{buch:pde:kugel:separiert2}
+\end{equation}
+Der erste Term hängt nur von $r$ ab, die anderen nur von $\vartheta$ und
+$\varphi$, daher muss der erste Term konstant sein.
+Damit ergbit sich für den Radialanteil die gewöhnliche Differentialgleichung
+\[
+R''(r) + 2rR'(r) +\lambda^2 r^2 = \mu^2 R(r),
+\]
+die zum Beispiel mit der Potenzreihenmethode gelöst werden kann.
+Sie kann aber durch eine geeignete Substition nochmals auf die
+Laguerre-Differentialgleichung reduziert werden, wie in
+Kapitel~\ref{chapter:laguerre} dargelegt wird.
+
+\subsubsection{Kugelflächenanteil}
+Für die Separation der verbleibenden winkelabhängigen Teile muss die
+Gleichung
+\[
+\frac{1}{\Theta(\vartheta) \sin\vartheta}
+\frac{\partial}{\partial\vartheta}\sin\vartheta\Theta'(\vartheta)
++
+\frac{1}{\sin^2\vartheta}\frac{\Phi''(\varphi)}{\Phi(\varphi)}
+=
+-\mu^2
+\]
+mit $\sin^2\vartheta$ multipliziert werden, was auf
+\[
+\frac{\sin\vartheta}{\Theta(\vartheta)}
+\frac{\partial}{\partial\vartheta}\sin\vartheta\Theta'(\vartheta)
++
+\frac{\Phi''(\varphi)}{\Phi(\varphi)}
+=
+-\mu^2\sin^2\vartheta
+\quad\Rightarrow\quad
+\frac{\sin\vartheta}{\Theta(\vartheta)}
+\frac{\partial}{\partial\vartheta}\sin\vartheta\Theta'(\vartheta)
++
+\mu^2\sin^2\vartheta
+=
+-
+\frac{\Phi''(\varphi)}{\Phi(\varphi)}
+\]
+führt.
+Die linke Seite der letzten Gleichung hängt nur von $\vartheta$
+ab, die rechte nur von $\varphi$, beide Seiten müssen daher
+konstant sein, wir bezeichnen diese Konstante mit $\alpha^2$.
+So ergibt sich die Differentialgleichung
+\[
+\alpha^2
+=
+-\frac{\Phi''(\varphi)}{\Phi(\varphi)}
+\]
+für die Abhängigkeit von $\varphi$, mit der allgemeinen Lösung
+\[
+\Phi(\varphi)
+=
+A\cos\alpha \varphi
++
+B\sin\alpha \varphi.
+\]
+Die Randbedingungen verlangen, dass $\Phi(\varphi)$ eine $2\pi$-periodische
+Funktion ist, was genau dann möglich ist, wenn $\alpha=m$ ganzzahlig ist.
+Damit ergibt sich für die $\vartheta$-Abhängigkeit die Differentialgleichung
+\begin{equation}
+\frac{\sin\vartheta}{\Theta(\vartheta)}
+\frac{\partial}{\partial\vartheta}\sin\vartheta\Theta'(\vartheta)
++
+\mu^2\sin^2\vartheta
+=
+m^2.
+\label{buch:pde:kugel:eqn:thetaanteil}
+\end{equation}
+
+\subsubsection{Abhängigkeit von $\vartheta$}
+Die Differentialgleichung~\eqref{buch:pde:kugel:eqn:thetaanteil}
+ist etwas unhandlich, daher verwenden wir die Substitution $z=\cos\vartheta$,
+um die trigonometrischen Funktionen los zu werden.
+Wegen
+\[
+\frac{dz}{d\vartheta} = -\sin\vartheta =-\sqrt{1-z^2}
+\]
+können die Ableitungen nach $\vartheta$ auch durch Ableitungen nach $z$
+ausgedrückt werden.
+Wir schreiben dazu $Z(z)=\Theta(\vartheta)$ und berechnen 
+\[
+\Theta'(\vartheta)
+=
+\frac{d\Theta}{d\vartheta}
+=
+\frac{dZ}{dz}\frac{dz}{d\vartheta}
+=
+-
+\sqrt{1-z^2}
+Z'(z).
+\]
+Dies bedeutet auch, dass
+\[
+\sin\vartheta\frac{d}{d\vartheta}
+=
+-
+(1-z^2)\frac{d}{dz},
+\]
+damit lässt sich die Differentialgleichung für $\Theta(\vartheta)$ umschreiben
+in eine Differentialgleichung für $Z(z)$, nämlich
+\[
+(1-z^2)\frac{d}{dz}(1-z^2)\frac{d}{dz} Z(z)
++
+\mu^2
+(1-z^2)
+Z(z)
+=
+m^2
+Z(z).
+\]
+Indem man die Ableitung im ersten Term mit Hilfe der Produktregel
+ausführt, kann man die Gleichung
+\[
+(1-z^2)\biggl(
+-2zZ'(z) + (1-z^2)Z''(z)
+\biggr)
++
+\mu^2(1-z^2)Z(z)
+=
+-m^2 Z(z)
+\]
+bekommen.
+Division durch $1-z^2$ ergibt die
+{\em Legendre-Differentialgleichung}
+\begin{equation}
+(1-z^2)Z''(z)
+-2zZ'(z)
++
+\biggl(
+\mu^2 - \frac{m^2}{1-z^2}
+\biggr)
+Z(z)
+=
+0.
+\label{buch:pde:kugel:eqn:legendre-dgl}
+\end{equation}
+Eine Diskussion der Lösungen dieser Differentialgleichung erfolgt im
+Kapitel~\ref{chapter:kugel}.
+
+\subsection{Kugelfunktionen}
+Die Legendre-Differentialgleichung~\eqref{buch:pde:kugel:eqn:legendre-dgl}
+hat Lösungen für Werte von $\mu$ derart, dass $\mu^2=l(l+1)$ für natürliche
+Zahlen $l$.
+Die Lösungen sind sogar Polynome, die wir mit $P_l^{(m)}(z)$ 
+bezeichnen, dabei ist $m$ eine ganze Zahl mit $-l\le m\le l$.
+Die Funktionen $P_l^{(m)}(\cos\vartheta)e^{im\varphi}$ 
+sind daher alle Lösungen des von $\vartheta$ und $\varphi$
+abhängigen Teils der Lösungen des Eigenwertproblems.
+Mit einer geeigneten Normierung kann man zudem eine Familie von
+bezüglich des Skalarproduktes
+\[
+\langle f,g\rangle_{S^2}
+=
+\int_{-\pi}^{\pi}
+\int_{0}^{\pi}
+\overline{f(\vartheta,\varphi)}
+g(\vartheta,\varphi)
+\sin\vartheta
+\,d\vartheta
+\,d\varphi
+\]
+orthonormiete Funktionen auf der Kugeloberfläche erhalten, die
+man normalerweise als 
+\[
+Y_{lm}(\vartheta,\varphi)
+=
+\frac{1}{\sqrt{2\pi}}
+\sqrt{
+\frac{2l+1}{2}\cdot
+\frac{(l-m)!}{(l+m)!}
+}
+P_{l}^{(m)}(\cos\vartheta)e^{im\varphi}
+\]
+bezeichnet.
+
+
+
+
 
diff --git a/buch/chapters/090-pde/rechteck.tex b/buch/chapters/090-pde/rechteck.tex
index 72e2806..b7dfe11 100644
--- a/buch/chapters/090-pde/rechteck.tex
+++ b/buch/chapters/090-pde/rechteck.tex
@@ -5,6 +5,7 @@
 %
 \section{Rechteckige Membran
 \label{buch:pde:section:rechteck}}
+\rhead{Rechteckige Membran}
 Als Beispiel für die Lösung des in
 Abschnitt~\ref{buch:pde:subsection:eigenwertproblem}
 aus der Wellengleichung abgeleiteten Eigenwertproblems
diff --git a/buch/chapters/090-pde/separation.tex b/buch/chapters/090-pde/separation.tex
index 6faceaa..e5e144a 100644
--- a/buch/chapters/090-pde/separation.tex
+++ b/buch/chapters/090-pde/separation.tex
@@ -5,6 +5,7 @@
 %
 \section{Separationsmethode
 \label{buch:pde:section:separation}}
+\rhead{Separationsmethode}
 Die Existenz der Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung
 ist unter einigermassen milden Bedingungen in der Nähe der
 Anfangsbedingung garantiert.
diff --git a/buch/chapters/090-pde/uebungsaufgaben/901.tex b/buch/chapters/090-pde/uebungsaufgaben/901.tex
new file mode 100644
index 0000000..67fa8e5
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/090-pde/uebungsaufgaben/901.tex
@@ -0,0 +1,82 @@
+Die Differentialgleichung
+\begin{equation}
+\frac{\partial u}{\partial t} = \kappa \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
+\qquad
+\text{im Gebiet}
+\qquad
+(t,x)\in \Omega=\mathbb{R}^+\times (0,l)
+\label{505:waermeleitungsgleichung}
+\end{equation}
+beschreibt die Änderung der Temperatur eines Stabes der Länge $l$.
+Die homogene Randbedingung
+\begin{equation}
+u(t,0)=
+u(t,l)=0
+\label{505:homogene-randbedingung}
+\end{equation}
+besagt, dass der Stab an seinen Enden auf Temperatur $0$ gehalten.
+Zur Lösung dieser Differentialgleichung muss auch die Temperatur
+zur Zeit $t=0$ in Form einer Randbedingung
+\[
+u(0,x) = T_0(x)
+\]
+gegeben sein.
+Führen Sie Separation für die
+Differentialgleichung~\eqref{505:waermeleitungsgleichung}
+durch und bestimmen Sie die zulässigen Werte der Separationskonstanten.
+
+\begin{loesung}
+Man verwendet den Ansatz $u(t,x)= T(t)\cdot X(x)$ und setzt diesen 
+in die Differentialgleichung ein, die dadurch zu
+\[
+T'(t)X(x) = \kappa T(t) X''(x)
+\]
+wird.
+Division durch $T(t)X(x)$ wird dies zu
+\[
+\frac{T'(t)}{T(t)}
+=
+\kappa
+\frac{X''(x)}{X(x)}.
+\]
+Da die linke Seite nur von $t$ abhängt, die rechte aber nur von $x$, müssen
+beide Seiten konstant sein.
+Wir bezeichnen die Konstante mit $-\lambda^2$, so dass wir die beiden
+gewöhnlichen Differentialgleichungen
+\begin{align*}
+\frac{1}{\kappa}
+\frac{T'(t)}{T(t)}&=-\lambda^2
+&
+\frac{X''(x)}{X(x)}&=-\lambda^2
+\\
+T'(t)&=-\lambda^2\kappa T(t)
+&
+X''(x) &= -\lambda^2 X(x)
+\intertext{welche die Lösungen}
+T(t)&=Ce^{-\lambda^2\kappa t}
+&
+X(x)&= A\cos\lambda x + B\sin\lambda x
+\end{align*}
+haben.
+Die Lösung $X(x)$ muss aber auch die homogene Randbedingung 
+\eqref{505:homogene-randbedingung} erfüllen.
+Setzt man $x=0$ und $x=l$ ein, folgt
+\begin{align*}
+0 = X(0)&=A\cos 0 + B\sin 0 = A
+&
+0 = X(l)&=B\sin \lambda l,
+\end{align*}
+woraus man schliessen kann, dass $\lambda l$ ein ganzzahliges
+Vielfaches von $\pi$ ist, wir schreiben $\lambda l = k\pi$ oder
+\[
+\lambda = \frac{k\pi}{l}.
+\]
+Damit sind die möglichen Werte $\lambda$ bestimmt und man kann jetzt
+auch die möglichen Lösungen aufschreiben, sie sind
+\[
+u(t,x)
+=
+\sum_{k=1}^\infty b_k e^{-k^2\pi^2\kappa t/l^2}\sin\frac{k\pi x}{l}.
+\qedhere
+\]
+\end{loesung}