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index 1e35616..67891f2 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
@@ -15,7 +15,9 @@ neue spezielle Funktionen zu definieren.
 
 \subsection{Definition
 \label{buch:elliptisch:subsection:definition}}
-Ein elliptisches Integral ist ein Integral der Form
+Ein {\em elliptisches Integral} ist ein Integral der Form
+\index{elliptishes Integral}%
+\index{Integral, elliptisch}%
 \begin{equation}
 \int R\left( x, \sqrt{p(x)}\right)\,dx
 \label{buch:elliptisch:def:allgemein}
@@ -33,7 +35,8 @@ Wir verlangen daher, dass $p(x)$ keine mehrfachen Nullstellen hat.
 
 Man kann zeigen, dass sich elliptische Integrale in Summen von
 elementaren Funktionen und speziellen elliptischen Integralen 
-der folgenden Form überführen lassen.
+der folgenden Form überführen lassen
+\cite[Abschnitt 164, p.~506]{buch:smirnov32}.
 
 \begin{definition}
 \label{buch:elliptisch:def:integrale123}
@@ -53,6 +56,9 @@ Integrale
 \]
 mit $0<k<1$.
 Es ist auch üblich, den Parameter $m=k^2$ zu verwenden.
+Die Zahl $k$ heisst {\em Modul} des elliptischen Integrals.
+\index{Modul eines elliptischen Integrals}%
+\index{elliptisches Integral}%
 \end{definition}
 
 Wie gesagt lassen sich für diese unbestimmten Integrale keine 
@@ -129,14 +135,16 @@ K(k)
 =
 \int_0^{\frac{\pi}2}
 \frac{d\varphi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}}
+,
 \\
 E(k)
 &=
 \int_0^{\frac{\pi}2}
-\sqrt{\frac{1-k^2\sin^2\varphi}{1-\sin^2\varphi}}(1-\sin^2\varphi)\,d\varphi
+\sqrt{\frac{1-k^2\sin^2\varphi}{1-\sin^2\varphi}}\sqrt{1-\sin^2\varphi}\,d\varphi
 =
 \int_0^{\frac{\pi}2}
 \sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}\,d\varphi
+,
 \\
 \Pi(n,k)
 &=
@@ -153,6 +161,7 @@ d\varphi
 }{
 (1-n\sin^2\varphi)\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}
 }
+.
 \end{align*}
 Diese Form wird auch die {\em Legendre-Normalform} der vollständigen 
 \index{Legendre-Normalform}%
@@ -161,21 +170,406 @@ Definition~\ref{buch:elliptisch:def:vollstintegrale123}
 die {\em Jacobi-Normalform} heisst.
 \index{Jacobi-Normalform}%
 
+\subsubsection{Umfang einer Ellipse}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.pdf}
+\caption{Bogenlänge eines Viertels einer Ellipse mit Exzentrizität
+$\varepsilon$.
+Eine solche Ellipse hat Halbachsen $1$ und $\sqrt{1-\varepsilon^2}$,
+ein entsprechender Ellipsenbogen ist für ausgewählte Werte in blau
+eingezeichnet.
+\label{buch:elliptisch:fig:ellipsenumfang}}
+\end{figure}
+Wir zeigen, wie sich die Berechnung des Umfangs $U$ einer Ellipse
+mit Halbachsen $a$ und $b$, $a\le b$, auf ein volltändiges elliptisches
+Integral zurückführen lässt.
+Der Fall $a>b$ kann behandelt werden, indem die $x$- und $y$-Koordinaten
+vertauscht werden.
+
+Die Parametrisierung
+\[
+t\mapsto \begin{pmatrix}a\cos t\\ b\sin t\end{pmatrix}
+\]
+einer Ellipse führt auf das Integral
+\begin{align}
+U
+&=
+\int_0^{2\pi} \sqrt{a^2\sin^2t + b^2\cos^2 t}\,dt
+\notag
+\\
+&=
+4\int_0^{\frac{\pi}2}
+\sqrt{a^2\sin^2t + b^2(1-\sin^2 t)}
+\,dt
+\notag
+\\
+&=
+4b \int_0^{\frac{\pi}2} \sqrt{1-(b^2-a^2)/b^2\cdot \sin^2t}\,dt
+\label{buch:elliptisch:eqn:umfangellipse}
+\end{align}
+für den Umfang der Ellipse.
+Bei einem Kreis ist $a=b$ und der zweite Term unter der Wurzel fällt weg,
+der Umfang wird $4b\frac{\pi}2=2\pi b$.
+Die Differenz $e^2=b^2-a^2$ ist die {\em lineare Exzentrizität} der Ellipse,
+\index{lineare Exzentrizität}%
+der Quotient $e/b$ wird die {\em numerische Exzentrizität} der Ellipse
+genannt.
+Insbesondere ist $k = \varepsilon$.
+
+Das Integral~\eqref{buch:elliptisch:eqn:umfangellipse} erhält jetzt die
+Form
+\[
+U
+=
+4b\int_0^{\frac{\pi}2} \sqrt{1-k^2\sin^2t}\,dt
+\]
+und ist damit als elliptisches Integral zweiter Art erkannt.
+Für den Umfang der Ellipse finden wir damit die Formel
+\[
+U
+=
+4b E(k)
+=
+4b E(\varepsilon).
+\]
+Das vollständige elliptische Integral zweiter Art $E(\varepsilon)$
+liefert also genau den Umfang eines Viertels der Ellipse mit
+numerischer Exzentrizität $\varepsilon$ und kleiner Halbachse $1$.
+Für den extremen Wert $\varepsilon=0$ entsteht der Umfang einer Ellipse,
+also $E(0)=\frac{\pi}2$.
+Für $\varepsilon=1$ ist $a=0$, es entsteht eine Strecke mit Länge $E(1)=1$.
 
 \subsubsection{Komplementäre Integrale}
-XXX Komplementäre Integrale \\
 
 \subsubsection{Ableitung}
 XXX Ableitung \\
 XXX Stammfunktion \\
 
 \subsection{Unvollständige elliptische Integrale}
-XXX Vollständige und Unvollständige Integrale \\
+Die Funktionen $K(k)$ und $E(k)$ sind als bestimmte Integrale über ein
+festes Intervall definiert.
+Die {\em unvollständigen elliptischen Integrale} entstehen, indem die
+\index{unvollständiges elliptisches Integral}%
+obere Grenze des Integrals variabel wird:
+\[
+\begin{aligned}
+\text{1.~Art:}&&
+F(x,k)
+&=
+\int_0^x \frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}}
+&&=
+\int_0^\varphi \frac{d\vartheta}{\sqrt{1-k^2\sin^2\vartheta}}
+\\
+\text{2.~Art:}&&
+E(x,k)
+&=
+\int_0^x \sqrt{\frac{1-k^2t^2}{1-t^2}}\,dt
+&&=
+\int_0^\varphi \sqrt{1-k^2\sin^2\vartheta}\,d\vartheta
+\\
+\text{3.~Art:}&&
+\Pi(n,x,k)
+&=
+\int_0^x \frac{dt}{(1-nt^2)\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}}
+&&=
+\int_0^\varphi
+\frac{d\vartheta}{(1-n\sin^2\vartheta)\sqrt{1-k^2\sin^2\vartheta}},
+\end{aligned}
+\]
+die erste Formel ist jeweils die Jacobi-Form, die zweite die Legrendre-Form
+\index{Jacobi-Form}%
+\index{Legendre-Form}%
+mit dem Parameter $\varphi$, gegeben durch
+$\sin \vartheta=x$.
+Wie bei den vollständigen elliptischen Integralen ist auch hier in manchen
+Referenzen die Parameterkonvention mit dem Parameter $m=k^2$ üblich.
+
+Die vollständigen elliptischen Integrale sind die Werte der 
+unvollständigen elliptischen Integrale mit $x=1$, also
+\begin{align*}
+K(k) &= F(1,k),
+&
+E(k) &= E(1,k),
+&
+\Pi(n,k) &=\Pi(n,x,k).
+\end{align*}
+Man beachte auch, dass $F(x,0) = E(x,0)$ gilt.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/unvollstaendig.pdf}
+\caption{Unvollständige elliptische Integrale $F(x,k)$ und $E(x,k)$
+für verschiedene Werte des Parameters $k$.
+Für $k=0$ stimmen die Integrale erster und zweiter Art überein,
+$F(x,0)=E(x,0)$.
+\label{buch:elliptisch:fig:unvollstaendigeintegrale}}
+\end{figure}
+Wegen $k<1$ sind alle drei Integranden als reelle Funktionen nicht
+mehr definiert, wenn $|x|>1$ ist.
+Die Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:unvollstaendigeintegrale}
+zeigt Graphen der unvollständigen elliptischen Integrale für verschiedene
+Werte des Parameters.
+
+\subsubsection{Symmetrieeigenschaften}
+Die Integranden aller drei unvollständigen elliptischen Integrale
+sind gerade Funktionen der reellen Variablen $t$.
+Die Funktionen $F(x,k)$, $E(x,k)$ und $\Pi(n,x,k)$ sind daher
+ungeraden Funktionen von $x$.
+
+\subsubsection{Elliptische Integrale als komplexe Funktionen}
+Die unvollständigen elliptischen Integrale $F(x,k)$, $F(x,k)$ und $\Pi(n,x,k)$
+in Jacobi-Form lassen sich auch für komplexe Argumente interpretieren.
+Dazu muss für die Berechnung des Integrals ein Pfad in der komplexen
+Ebene gewählt werden, der die Singulariätten des Integranden vermeidet.
+
+Die Faktoren, die in den Integranden der unvollständigen elliptischen
+Integrale vorkommen, haben Nullstellen bei $\pm1$, $\pm1/k$ und
+$\pm 1/\sqrt{n}$
+
 XXX Additionstheoreme \\
 XXX Parameterkonventionen \\
 
+\subsubsection{Wertebereich}
+Die unvollständigen elliptischen Integrale betrachtet als reelle Funktionen
+haben nur positive relle Werte.
+Zum Beispiel nimmt das unvollständige elliptische Integral erster Art
+$F(k,x)$ nur Werte zwischen $0$ und $K(k)$ an.
+Wenn komplexe Werte zulässig sind, kann man das Integral auch über die 
+Singularitäten bei $\pm 1$ und $\pm 1/k$ hinweg ausführen, erhält
+dabe aber möglicherweise komplexe Werte, weil die Radikanden in den
+Integralen negativ werden.
+Die Schwierigkeit dabei ist, dass die Quadratwurzel nicht eindeutig ist.
+Welcher Wert der im Zusammenhang richtige ist, hängt davon ab, wie wir
+dorthin kommen.
+
+Die reelle Achse teilt den Definitionsbereich der unvollständigen
+elliptischen Integrale in die obere und die untere Halbebene.
+die Werte für reelle Argument beschreiben daher den Rand der Wertebereichs
+für Argumente in der oberen bzw.~untere Halbebene.
+Indem wir die Werte der elliptischen Integrale für reelle Argumente
+berechnen, können wir daher den Rand des Wertebereichs ermitteln.
+
+Im folgenden diskutieren wir nur das elliptische Integral erster Art,
+die anderen können in der gleichen Art behandelt werden.
+Für Argumentwerte $x$ im Interval $[0,1]$ ist $F(k,x)\in\mathbb{R}$.
+An der Stelle $x=1$ wechselt der Faktor $(1-t^2)$ im Nenner das
+Vorzeichen, der Integrand wird negativ.
+Für Argumente zwischen $1$ und $1/k$ ist bleibt der Integrand negativ,
+es muss also ein Wert der Quadratwurzel gewählt werden.
+Beide Vorzeichen von
+\begin{equation}
+\frac{1}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}}
+=
+\frac{\pm i}{\sqrt{(t^2-1)(1-k^2t^2)}}
+\label{buch:elliptisch:eqn:imaginaerintegrand}
+\end{equation}
+sind möglich.
+Doch welche Wahl ist die ``richtige''?
+
+Dazu betrachten wir die Argument $z=x+i\varepsilon$ auf einer Geraden
+parallel zur reellen Achse des Definitionsbereichs und in der oberen
+Halbebene.
+Da eine holomorphe Funktion die Orientierung erhält und weil das
+Interval $[0,1]$ auf die reelle Achse abgebildet wird, müssen wir das
+Vorzeichen der Wurzel so wählen, dass die Werte der Wurzel ebenfalls
+in der oberen Halbebene liegen.
+Die ``richtige'' Wahl der Wurzel von 
+\[
+1-z^2 = 1-x^2-2i\varepsilon x + \varepsilon^2
+\]
+erfüllt zwei Bedingungen.
+\begin{enumerate}
+\item
+Für nicht zu grosse Werte von $x$ muss der Wert in der oberen
+Halbebene liegen.
+Für solche Werte von $x$ ist der Realteil $1-x^2+\varepsilon^2>0$ und
+der Imaginärteil $-2\varepsilon x<0$.
+Für die Wurzel muss man also das Argument von $1-z^2$ als Winkel zwischen
+$3\pi2$ und $2\pi$ wählen und für die Wurzel durch zwei teilen.
+\item
+Der Realteil von $1-z^2$ wechsel das Vorzeichen, wenn
+$x=\sqrt{1+\varepsilon^2}$, der Imaginärteil bleibt dabei negativ.
+Das Argument ändert von einem Winkel nahe bei aber kleiner als $2\pi$
+zu einem Winkel nahe bei aber grösser als $\pi$.
+Als Wurzel muss daher jene verwendet werden, deren Argument in der
+Nähe von $\frac{\pi}2$ liegt.
+\end{enumerate}
+Aus diesem Argument kann man ableiten, dass für die Berandung des
+Bildes der oberen Halbebene zwischen $1$ und $1/k$ das positive
+Zeichen in~\eqref{buch:elliptisch:eqn:imaginaerintegrand}
+gewählt werden muss.
+
+Die anderen Singularitäten auf der reellen Achse können analog
+behandelt werden und es folgt, dass das Bild der oberen Halbebene
+ein Rechteck in der oberen Halbebene ist
+(Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:rechteck}).
+Die Ecken auf der reellen Achse liegen bei den reellen Koordinaten
+\[
+\pm F(1,k)
+=
+\pm\int_0^1\frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}}
+=
+\pm K(k).
+\]
+Für die Höhe muss das Integral
+\begin{equation}
+l({\textstyle\frac{1}{k}})=\int_1^{\frac1{k}}
+\frac{dt}{\sqrt{(t^2-1)(1-k^2t^2)}}
+\label{buch:elliptisch:eqn:hoeheintegral}
+\end{equation}
+ausgewertet werden.
+
+\subsubsection{Komplementärmodul}
+Im vorangegangen Abschnitt wurde gezeigt, dass der Wertebereicht des
+unvollständigen elliptischen Integrals der ersten Art als komplexe
+Funktion ein Rechteck ist.
+Die obere Halbebene wird auf Rechteck der Breite $2K(k)$ abgebildet,
+für die Höhe des Rechtecks muss das
+Integral~\eqref{buch:elliptisch:eqn:hoeheintegral} ausgewertet werden.
+Das Integral läuft von $t=1$ bis $t=1/k$, wir möchten daraus ein
+elliptisches Integral machen, dessen Integrationsinterval bei $0$
+beginnt.
+Dazu verwenden wir die Variablentransformation
+\[
+t = \frac{1}{\sqrt{1-k'^2y^2}},
+\]
+die für $y=0$ den Wert $1$ ergibt, für $y=1$ aber $1/\sqrt{1-k'^2}$.
+Damit das richtige Integrationsintervall entsteht, muss $k'$ so gewählt
+werden, dass $1-k'^2=k^2$ ist.
+
+\begin{definition}
+Ist $0\le k\le 1$ der Modul eines elliptischen Integrals, dann heisst
+$k' = \sqrt{1-k^2}$ er {\em Komplementärmodul} oder {\em Komplement
+des Moduls}. Es ist $k^2+k'^2=1$.
+\end{definition}
+
+Mit der Ableitung
+\[
+\frac{dt}{dy}
+=
+\frac{k'^2 y}{(1-k'^2y^2)^{\frac32}}
+\]
+der Substitution
+wird das Integral~\eqref{buch:elliptisch:eqn:hoeheintegral} mit der
+oberen Grenze $x$ zu einem Integral mit oberer Grenze
+\[
+x^2 = \frac{1}{1-k'^2y_0^2}
+\quad\Rightarrow\quad
+y_0^2 = \frac{1}{k'^2}\biggl(1-\frac{1}{x^2}\biggr)
+\quad\Rightarrow\quad
+y_0=\frac{1}{k'}\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}
+\]
+jetzt zu
+\begin{align*}
+l(x)
+&=
+\int_0^{y_0}
+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{1-k'^2y^2}-1}}
+\cdot
+\frac{1}{\sqrt{1-\frac{k^2}{1-k'^2y^2}}}
+\cdot
+\frac{k'^2y}{\sqrt{1-k'^2y^2}}
+\cdot
+\frac{1}{1-k'^2y^2}
+\,dy
+\\
+&=
+\int_0^{y_0}
+\frac{\sqrt{1-k'^2y^2}}{\sqrt{k'^2y^2}}
+\cdot
+\frac{1}{\sqrt{1-k^2 -k'^2y^2}}
+\cdot
+\frac{k'^2y}{1-k'^2y^2}
+\,dy
+\\
+&=
+\int_0^{y_0}
+\sqrt{1-k'^2y^2}
+\cdot
+\frac{1}{k'\sqrt{1-y^2}}
+\cdot
+\frac{k'}{1-k'^2y^2}
+\,dy
+\\
+&=
+\int_0^{y_0} \frac{dy}{\sqrt{(1-y^2)(1-k'^2y^2)}}
+=
+F(y_0,k')
+\end{align*}
+Die gesuchte Höhe des Rechtecks ergibt sich für die obere Grenze $\frac1k$.
+In diesem Fall ist
+\[
+y_0
+=
+\frac{1}{k'}\sqrt{1-k^2} = 1
+\]
+und das unvollständig elliptische Integral wird zum vollständigen
+elliptischen Integral $K(k')$.
+Die Höhe des Rechtecks des Wertebereichs der oberen Halbebene ist
+als der Wert des vollständigen elliptischen Integrals erster Art
+für den Komplementärmodul.
+Das Bild der komplexen Ebene unter der Abbildung gegeben durch das
+unvollständige elliptische Integral zweiter Art ist symmetrisch um
+den Nullpunkt und hat Breite $2K(k)$ und Höhe $2K(k')$.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/rechteck.pdf}
+\caption{Der Wertebereich der Funktion $F(k,z)$ ist ein Rechteck
+der Breite $2K(k)$ und $2K(k')$.
+Die obere Halbebene wird in das rote Rechteck abgebildet, die unter
+in das blaue.
+\label{buch:elliptisch:fig:rechteck}}
+\end{figure}
+
+\subsubsection{Reelle Argument $> 1/k$}
+Für Argument $x> 1/k$ sind beide Faktoren im Integranden des 
+unvollständigen elliptischen Integrals negativ, das Integral kann
+daher wieder als gewöhnliches reelles Integral berechnet werden,
+es sollte sich daher auch auf das unvollständige elliptische Integral
+erster Art zurückführen lassen.
+
+Da wir bereits wissen, dass 
+\[
+\lim_{x\to\infty} F(x,k) = iK(k'),
+\]
+können wir $F(x,k)$ auch als
+\[
+F(x,k)
+=
+iK(k')
+-
+\int_x^\infty \frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}}
+\]
+berechnen.
+Dazu werden wir die Variablentransformation
+\[
+y=\frac{1}{kt}\quad\Leftrightarrow\quad t=\frac{1}{ky}
+\qquad\text{mit}\qquad
+\frac{dt}{dy} = -\frac{1}{ky^2}
+\]
+auf das Integral an und erhalten
+\begin{align*}
+\int_x^\infty \frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}}
+&=
+-\int_{\frac1{kx}}^0 \frac{dy}{ky^2\sqrt{(1-1/(ky)^2)(1-1/y^2)}}
+\\
+&=
+\int_0^{\frac{1}{kx}} \frac{dy}{\sqrt{(k^2y^2-1)(y^2-1)}}
+=
+F\biggl(\frac{1}{kx},k\biggr).
+\end{align*}
+Dies ist das gesuchte unvollständige elliptische Integral erster Art.
+Insbesondere halten wir noch die Formel
+\[
+F(x,k) = iK(k') - F\biggl(\frac1{kx},k\biggr)
+\qquad\text{für $x>\frac1k$}
+\]
+für die Werte des elliptischen Integrals erster Art für grosse Argumentwerte
+fest.
+
 \subsection{Potenzreihe}
 XXX Potenzreihen \\
 XXX Als hypergeometrische Funktionen \\
-
-
+XXX Berechnung mit der Landen-Transformation https://en.wikipedia.org/wiki/Landen%27s_transformation