diff options
author | Andreas Müller <andreas.mueller@ost.ch> | 2021-10-18 08:51:09 +0200 |
---|---|---|
committer | Andreas Müller <andreas.mueller@ost.ch> | 2021-10-18 08:51:09 +0200 |
commit | 24e0ebb5475b275af76900be4cbe5d7a8df0ef06 (patch) | |
tree | 0442a13a9c3b70e535f8c723e38b74f439029cc1 /buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex | |
parent | komplementärmodul ergänzt (diff) | |
download | SeminarSpezielleFunktionen-24e0ebb5475b275af76900be4cbe5d7a8df0ef06.tar.gz SeminarSpezielleFunktionen-24e0ebb5475b275af76900be4cbe5d7a8df0ef06.zip |
improve elliptic integrals
Diffstat (limited to '')
-rw-r--r-- | buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex | 34 |
1 files changed, 26 insertions, 8 deletions
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex index 1bec096..86b6431 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex @@ -414,7 +414,7 @@ Die Ecken auf der reellen Achse liegen bei den reellen Koordinaten \] Für die Höhe muss das Integral \begin{equation} -l=\int_1^{\frac1{k}} +l(\frac{1}{k})=\int_1^{\frac1{k}} \frac{dt}{\sqrt{(t^2-1)(1-k^2t^2)}} \label{buch:elliptisch:eqn:hoeheintegral} \end{equation} @@ -451,11 +451,20 @@ Mit der Ableitung \frac{k'^2 y}{(1-k'^2y^2)^{\frac32}} \] der Substitution -wird das Integral~\eqref{buch:elliptisch:eqn:hoeheintegral} jetzt zu +wird das Integral~\eqref{buch:elliptisch:eqn:hoeheintegral} mit der +oberen Grenze $x$ zu einem Integral mit oberer Grenze +\[ +x^2 = \frac{1}{1-k'^2y_0^2} +\quad\Rightarrow\quad +y_0^2 = \frac{1}{k'^2}\biggl(1-\frac{1}{x^2}\biggr) +\quad\Rightarrow\quad +y_0=\frac{1}{k'}\sqrt{1-\frac{1}{x^2}} +\] +jetzt zu \begin{align*} -l +l(x) &= -\int_0^1 +\int_0^{y_0} \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{1-k'^2y^2}-1}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-\frac{k^2}{1-k'^2y^2}}} @@ -466,7 +475,7 @@ l \,dy \\ &= -\int_0^1 +\int_0^{y_0} \frac{\sqrt{1-k'^2y^2}}{\sqrt{k'^2y^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-k^2 -k'^2y^2}} @@ -475,7 +484,7 @@ l \,dy \\ &= -\int_0^1 +\int_0^{y_0} \sqrt{1-k'^2y^2} \cdot \frac{1}{k'\sqrt{1-y^2}} @@ -484,10 +493,19 @@ l \,dy \\ &= -\int_0^1 \frac{dy}{\sqrt{(1-y^2)(1-k'^2y^2)}} +\int_0^{y_0} \frac{dy}{\sqrt{(1-y^2)(1-k'^2y^2)}} = -K(k'). +F(y_0,k') \end{align*} +Die gesuchte Höhe des Rechtecks ergibt sich für die obere Grenze $\frac1k$. +In diesem Fall ist +\[ +y_0 += +\frac{1}{k'}\sqrt{1-k^2} = 1 +\] +und das unvollständig elliptische Integral wird zum vollständigen +elliptischen Integral $K(k')$. Die Höhe des Rechtecks des Wertebereichs der oberen Halbebene ist als der Wert des vollständigen elliptischen Integrals erster Art für den Komplementärmodul. |