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authorJODBaer <55744603+JODBaer@users.noreply.github.com>2022-04-27 13:18:49 +0200
committerGitHub <noreply@github.com>2022-04-27 13:18:49 +0200
commitd3227393fd60a130348e12524bcd8664e404c1ee (patch)
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-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex39
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diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex
index 8e4b39f..694f18a 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex
@@ -28,9 +28,11 @@ for den anharmonischen Oszillator ab, die sie in der Form
$\frac12m\dot{x}^2 = f(x)$ schreiben.
\item
Die Amplitude der Schwingung ist derjenige $x$-Wert, für den die
-Geschwindigkeit verschwindet.
+Geschwindigkeit $\dot{x}(t)$ verschwindet.
Leiten Sie die Amplitude aus der Differentialgleichung von
-\ref{buch:1101:basic-dgl} ab.
+%\ref{buch:1101:basic-dgl}
+Teilaufgabe c)
+ab.
Sie erhalten zwei Werte $x_{\pm}$, wobei der kleinere $x_-$
die Amplitude einer beschränkten Schwingung beschreibt,
während die $x_+$ die minimale Ausgangsamplitude einer gegen
@@ -66,13 +68,16 @@ wobei $k^2=x_-^2/x_+^2$ und $A$ geeignet gewählt werden müssen.
\label{buch:1101:teilaufgabe:dgl3}
Verwenden Sie $t(\tau) = \alpha\tau$
und
-$Y(\tau)=X(t(\tau))$ um eine Differentialgleichung für die Funktion
-$Y(\tau)$ zu gewinnen, die die Form der Differentialgleichung
-von $\operatorname{sn}(u,k)$ hat, für die also $A=0$ in
-\eqref{buch:1101:eqn:dgl3} ist.
+$Y(\tau)=X(t(\tau))=X(\alpha\tau)$ um eine Differentialgleichung für
+die Funktion $Y(\tau)$ zu gewinnen, die die Form der Differentialgleichung
+von $\operatorname{sn}(u,k)$ hat (Abschnitt
+\ref{buch:elliptisch:subsection:differentialgleichungen}),
+für die also $A=0$ in \eqref{buch:1101:eqn:dgl3} ist.
\item
Verwenden Sie die Lösung $\operatorname{sn}(u,k)$ der in
-\ref{buch:1101:teilaufgabe:dgl3} erhaltenen Differentialgleichung,
+Teilaufgabe h)
+%\ref{buch:1101:teilaufgabe:dgl3}
+erhaltenen Differentialgleichung,
um die Lösung $x(t)$ der ursprünglichen Gleichung aufzuschreiben.
\end{teilaufgaben}
@@ -262,15 +267,21 @@ Die Ableitung von $Y(\tau)=X(t(\tau))$ nach $\tau$ ist
=
\alpha
\dot{X}(t(\tau))
-\qquad\Rightarrow\qquad
-\frac{1}{\alpha^2}\frac{dY}{d\tau}
+\quad\Rightarrow\quad
+\frac{1}{\alpha}\frac{dY}{d\tau}
=
-\dot{X}(t(\tau)).
+\dot{X}(t(\tau))
+\quad\Rightarrow\quad
+\frac{1}{\alpha^2}\biggl(\frac{dY}{d\tau}\biggr)^2
+=
+\dot{X}(t(\tau))^2.
\]
Die Differentialgleichung für $Y(\tau)$ ist
\[
-\frac{2mk^2}{\delta x_+^2\alpha^2}
+\frac{2m}{\delta x_+^2\alpha^2}
+\biggl(
\frac{dY}{d\tau}
+\biggr)^2
=
(1-Y^2)(1-k^2Y^2).
\]
@@ -278,7 +289,7 @@ Der Koeffizient vor der Ableitung wird $1$, wenn man
\[
\alpha^2
=
-\frac{2mk^2}{\delta x_+^2}
+\frac{2m}{\delta x_+^2}
\]
wählt.
Diese Differentialgleichug hat die Lösung
@@ -294,9 +305,9 @@ x(t)
x_- X(t)
=
x_- \operatorname{sn}\biggl(
-t\sqrt{\frac{\delta x_+^2}{2mk^2} }
+t\sqrt{\frac{\delta x_+^2}{2m} }
,k
-\biggr)
+\biggr).
\end{align*}
Das Produkt $\delta x_+^2$ kann auch als
\[