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path: root/buch/chapters/110-elliptisch
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authorPatrik Müller <36931350+p1mueller@users.noreply.github.com>2022-05-28 15:43:52 +0200
committerGitHub <noreply@github.com>2022-05-28 15:43:52 +0200
commitc0c7b6cd974c6acb3260ad9ad97c06aaf7327349 (patch)
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-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex2
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex24
2 files changed, 18 insertions, 8 deletions
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
index 4cb2ba3..3acce2f 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
@@ -651,7 +651,7 @@ werden, dass $1-k'^2=k^2$ ist.
\begin{definition}
Ist $0\le k\le 1$ der Modul eines elliptischen Integrals, dann heisst
-$k' = \sqrt{1-k^2}$ er {\em Komplementärmodul} oder {\em Komplement
+$k' = \sqrt{1-k^2}$ der {\em Komplementärmodul} oder {\em Komplement
des Moduls}. Es ist $k^2+k'^2=1$.
\end{definition}
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex
index 0df27a7..f750a82 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex
@@ -20,7 +20,9 @@ elliptischen Funktionen hergestellt werden.
\caption{Bogenlänge und Radius der Lemniskate von Bernoulli.
\label{buch:elliptisch:fig:lemniskate}}
\end{figure}
-Die Lemniskate von Bernoulli ist die Kurve vierten Grades mit der Gleichung
+Die {\em Lemniskate von Bernoulli} ist die Kurve vierten Grades
+mit der Gleichung
+\index{Lemniskate von Bernoulli}%
\begin{equation}
(X^2+Y^2)^2 = 2a^2(X^2-Y^2).
\label{buch:elliptisch:eqn:lemniskate}
@@ -161,13 +163,14 @@ Parameters $k$.
Die Länge des rechten Blattes der Lemniskate wird mit $\varpi$ bezeichnet
und hat den numerischen Wert
-\[
+\begin{equation}
\varpi
=
2\int_0^1\sqrt{\frac{1}{1-t^4}}\,dt
=
2.6220575542.
-\]
+\label{buch:elliptisch:eqn:varpi}
+\end{equation}
$\varpi$ ist auch als die {\em lemniskatische Konstante} bekannt.
\index{lemniskatische Konstante}%
Der Lemniskatenbogen zwischen dem Nullpunkt und $(1,0)$ hat die Länge
@@ -179,7 +182,7 @@ $\varpi/2$.
\subsection{Bogenlängenparametrisierung}
Die Lemniskate mit der Gleichung
\[
-(X^2+X^2)^2=2(X^2-X^2)
+(X^2+Y^2)^2=2(X^2-Y^2)
\]
(der Fall $a=1$ in \eqref{buch:elliptisch:eqn:lemniskate})
kann mit Jacobischen elliptischen Funktionen
@@ -332,7 +335,8 @@ Dies bedeutet, dass die Bogenlänge zwischen den Parameterwerten $0$ und $s$
=
s,
\]
-der Parameter $t$ ist also ein Bogenlängenparameter.
+der Parameter $t$ ist also ein Bogenlängenparameter, man darf also
+$s=t$ schreiben.
Die mit dem Faktor $1/\sqrt{2}$ skalierte Standard-Lemniskate mit der
Gleichung
@@ -355,10 +359,9 @@ y(t)
\end{equation}
\subsection{Der lemniskatische Sinus und Kosinus}
-Der Sinus Berechnet die Gegenkathete zu einer gegebenen Bogenlänge des
+Der Sinus berechnet die Gegenkathete zu einer gegebenen Bogenlänge des
Kreises, er ist die Umkehrfunktion der Funktion, die der Gegenkathete
die Bogenlänge zuordnet.
-
Daher ist es naheliegend, die Umkehrfunktion von $s(r)$ in
\eqref{buch:elliptisch:eqn:lemniskatebogenlaenge}
den {\em lemniskatischen Sinus} zu nennen mit der Bezeichnung
@@ -368,6 +371,13 @@ Der Kosinus ist der Sinus des komplementären Winkels.
Auch für die lemniskatische Bogenlänge $s(r)$ lässt sich eine
komplementäre Bogenlänge definieren, nämlich die Bogenlänge zwischen
dem Punkt $(x(r), y(r))$ und $(1,0)$.
+Da die Bogenlänge zwischen $(0,0)$ und $(1,0)$ in
+in \eqref{buch:elliptisch:eqn:varpi} bereits bereichnet wurde.
+ist sie $\varpi/2-s$.
+Der {\em lemniskatische Kosinus} ist daher
+$\operatorname{cl}(s) = \operatorname{sl}(\varpi/2-s)$
+Graphen des lemniskatische Sinus und Kosinus sind in
+Abbildung~\label{buch:elliptisch:figure:slcl} dargestellt.
Da die Parametrisierung~\eqref{buch:elliptisch:lemniskate:bogenlaenge}
eine Bogenlängenparametrisierung ist, darf man $t=s$ schreiben.