Satz von Carlson

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diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex b/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex
index 1c0861a..ea847bc 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex
@@ -233,7 +233,13 @@ B(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}
 berechnet werden.
 \end{satz}
 
-\subsubsection{Der Wert von $\Gamma(\frac12)$?}
+\subsubsection{Nochmals der Wert von $\Gamma(\frac12)$?}
+Der Wert von $\Gamma(\frac12)=\sqrt{\pi}$ wurde bereits in
+\eqref{buch:rekursion:gamma:wert12}
+direkt mit Hilfe der Integraldefinition berechnet.
+Hier wird eine alternative Berechnungsmöglichkeit mit Hilfe der
+Beta-Funktion vorgestellt.
+
 Als Anwendung der Formel~\eqref{buch:rekursion:gamma:betagamma}
 untersuchen wir den Fall $y=1-x$.
 In diesem Fall wird der Nenner zu $\Gamma(x+1-x)=\Gamma(1)=1$ und damit
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
index 1a2d155..737cf7f 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
@@ -494,6 +494,28 @@ die Werte der Fakultät annimmt.
 \label{buch:rekursion:fig:gamma}}
 \end{figure}
 
+\subsubsection{Der Wert $\Gamma(\frac12)$}
+Die Integraldarstellung kann dazu verwendet werden, $\Gamma(\frac12)$ 
+zu berechnen.
+Dazu verwendet man die Substition $t=s^2$ in der Integraldefinition
+der Gamma-Funktion und berechnen
+\begin{align}
+\Gamma({\textstyle\frac12})
+&=
+\int_0^\infty t^{-\frac12} e^{-t}\,dt
+=
+\int_0^\infty s^{-1} e^{-s^2}\cdot 2s\,ds
+=
+2\int_0^\infty e^{-s^2}\,ds
+=
+\int_{-\infty}^\infty e^{-s^2}\,ds
+=
+\sqrt{\pi}.
+\label{buch:rekursion:gamma:betagamma}
+\end{align}
+Der Integrand im letzten Integral ist die Wahrscheinlichkeitsdichte
+einer Normalverteilung, deren Integral wohlbekannt ist.
+
 \subsubsection{Alternative Lösungen}
 Die Funktion $\Gamma(z)$ ist nicht die einzige Funktion, die natürlichen
 Zahlen die Werte $\Gamma(n+1) = n!$ der Fakultät annimmt.
@@ -515,8 +537,28 @@ in grün.
 Die Punkte $(n,(n-1)!)$ sind in blau bezeichnet, sie sind beiden Graphen
 gemeinsam.
 
+In Abschnitt~\ref{buch:funktionentheorie:subsection:satz-von-carlson}
+wir mit Mitteln der komplexen Funktionentheorie gezeigt, dass eine
+Funktion, die für ganzzahlige Argument mit $\Gamma(x)$ zusammenfällt
+und sich im Rest der rechten Halbebene nur durch eine beschränkte
+Funktion von $\Gamma(x)$ unterscheidet, mit $\Gamma(x)$
+identisch sein muss.
+Von Wielandt stammt das folgende, noch etwas speziellere Resultat,
+welches hier nicht bewiesen wird.
+
+\begin{satz}[Wielandt]
+Ist $f(z)$ eine für $\operatorname{Re}z>0$ definiert Funktion mit
+den folgenden drei Eigenschaften
+\begin{enumerate}
+\item $f(1)=1$
+\item $f(z+1)=zf(z)$ für $\operatorname{Re}z>0$
+\item $f(z)$ ist beschränkt im Streifen $1\le \operatorname{Re}z< 2$
+\end{enumerate}
+Dann ist $ f(z) = \Gamma(z) $.
+\end{satz}
 
-
+% XXX Gamma in the interval (1,2)
+%Man beachte, dass 
 
 \subsubsection{Laplace-Transformierte der Potenzfunktion}
 Die Integraldarstellung der Gamma-Funktion erlaubt jetzt auch, die
@@ -548,6 +590,7 @@ Durch die Substitution $st = u$ oder $t=\frac{u}{s}$ wird daraus
 \frac{1}{s^\alpha}\int_0^\infty u^{\alpha} e^{-u}\,du
 =
 \frac{1}{s^\alpha} \Gamma(\alpha+1).
+\qedhere
 \]
 \end{proof}
 
@@ -599,7 +642,7 @@ Daraus ergibt sich für $\Gamma(z)$ der Ausdruck
 \[
 \Gamma(z) = \frac{\Gamma(1)}{z} + f(z) = \frac{1}{z} + f(z).
 \]
-Die Gamma-Funktion hat daher and er Stelle $z=0$ einen Pol erster Ordnung.
+Die Gamma-Funktion hat daher an der Stelle $z=0$ einen Pol erster Ordnung.
 
 \subsubsection{Ausdehnung auf $\operatorname{Re}z<0$}
 Die Integralformel konvergiert nicht für $\operatorname{Re}z\le 0$.
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/Makefile.inc b/buch/chapters/080-funktionentheorie/Makefile.inc
index a702182..813865f 100644
--- a/buch/chapters/080-funktionentheorie/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/Makefile.inc
@@ -11,6 +11,7 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
 	chapters/080-funktionentheorie/fortsetzung.tex			\
 	chapters/080-funktionentheorie/anwendungen.tex			\
 	chapters/080-funktionentheorie/gammareflektion.tex		\
+	chapters/080-funktionentheorie/carlson.tex			\
 	chapters/080-funktionentheorie/uebungsaufgaben/1.tex		\
 	chapters/080-funktionentheorie/uebungsaufgaben/2.tex		\
 	chapters/080-funktionentheorie/chapter.tex
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/anwendungen.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/anwendungen.tex
index aab0d6b..e02fb3e 100644
--- a/buch/chapters/080-funktionentheorie/anwendungen.tex
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/anwendungen.tex
@@ -7,3 +7,4 @@
 \label{buch:funktionentheorie:section:anwendungen}}
 
 \input{chapters/080-funktionentheorie/gammareflektion.tex}
+\input{chapters/080-funktionentheorie/carlson.tex}
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/Makefile b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/Makefile
index 1ddd585..55be1f5 100644
--- a/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/Makefile
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/Makefile
@@ -4,7 +4,8 @@
 # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
 all:	nonanalytic.pdf integralanalytisch.pdf laurent.pdf \
-	fortsetzreziprok.pdf forts.pdf logforts.pdf gammapfad.pdf
+	fortsetzreziprok.pdf forts.pdf logforts.pdf gammapfad.pdf \
+	carlsonpath.pdf
 
 nonanalytic.pdf:	nonanalytic.tex
 	pdflatex nonanalytic.tex
@@ -27,3 +28,6 @@ logforts.pdf:	logforts.tex
 gammapfad.pdf:	gammapfad.tex
 	pdflatex gammapfad.tex
 
+carlsonpath.pdf:	carlsonpath.tex
+	pdflatex carlsonpath.tex
+
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/carlsonpath.pdf b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/carlsonpath.pdf
new file mode 100644
index 0000000..6bc2671
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/carlsonpath.pdf
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/carlsonpath.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/carlsonpath.tex
new file mode 100644
index 0000000..b8cc551
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/carlsonpath.tex
@@ -0,0 +1,59 @@
+%
+% carlsonpath.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+
+\def\xh{0.001}
+\def\r{4.6}
+\pgfmathparse{asin(\xh/\r)}
+\xdef\w{\pgfmathresult}
+
+\draw[->] (-1.1,0) -- (7.4,0) coordinate[label=$\operatorname{Re}z$];
+\draw[->] (0,-5.2) -- (0,5.4) coordinate[label={right:$\operatorname{Im}z$}];
+
+\draw[->,color=red,line width=0.5pt] (0,0) -- (50:\r);
+\node at (50:{0.7*\r}) [left] {$R$};
+
+\node[color=red] at (-30:\r) [below right] {$C_1$};
+
+\draw (-0.1,\r) -- (0.1,\r);
+\draw (-0.1,-\r) -- (0.1,-\r);
+\node at (-0.1,-\r) [left] {$-R$};
+\node at (-0.1,\r) [left] {$R$};
+
+\draw[color=red,line width=1.4pt]
+	({-90+\w}:\r) arc ({-90+\w}:{90-\w}:\r)
+	--
+	cycle;
+\draw[->,color=red,line width=1.4pt] (-30:\r) -- (-31:\r);
+\draw[->,color=red,line width=1.4pt] (30:\r) -- (29:\r);
+\draw[->,color=red,line width=1.4pt] (\xh,{0.5*\r}) -- (\xh,{0.5*\r+0.1});
+\draw[->,color=red,line width=1.4pt] (\xh,{-0.5*\r}) -- (\xh,{-0.5*\r+0.1});
+
+\def\a{2.6}
+\def\xstep{0.7}
+
+\foreach \k in {1,...,10}{
+	\fill[color=blue] ({\k*\xstep},0) circle[radius=0.08];
+	\node at ({\k*\xstep},0) [below] {$\k$};
+}
+
+\fill[color=darkgreen] (\a,0) circle[radius=0.08];
+\node[color=darkgreen] at (\a,0) [above] {$a$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/gammapfad.pdf b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/gammapfad.pdf
index 13a6fc1..2a15007 100644
--- a/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/gammapfad.pdf
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/gammapfad.pdf