Merge branch 'AndreasFMueller:master' into master

29 files changed, 2527 insertions, 1673 deletions

diff --git a/buch/chapters/000-einleitung/Makefile.inc b/buch/chapters/000-einleitung/Makefile.inc
index a870448..5840050 100644
--- a/buch/chapters/000-einleitung/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/000-einleitung/Makefile.inc
@@ -4,5 +4,5 @@
 # (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
 
-CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
+CHAPTERFILES += 							\
 	chapters/000-einleitung/chapter.tex
diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/Makefile.inc b/buch/chapters/010-potenzen/Makefile.inc
index a4505cb..27ccdae 100644
--- a/buch/chapters/010-potenzen/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/010-potenzen/Makefile.inc
@@ -4,7 +4,7 @@
 # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
 
-CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
+CHAPTERFILES += 							\
 	chapters/010-potenzen/loesbarkeit.tex				\
 	chapters/010-potenzen/polynome.tex				\
 	chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex				\
diff --git a/buch/chapters/020-exponential/Makefile.inc b/buch/chapters/020-exponential/Makefile.inc
index d6b3c7f..4d8f58b 100644
--- a/buch/chapters/020-exponential/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/020-exponential/Makefile.inc
@@ -4,7 +4,7 @@
 # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
 
-CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
+CHAPTERFILES += 							\
 	chapters/020-exponential/zins.tex				\
 	chapters/020-exponential/log.tex				\
 	chapters/020-exponential/lambertw.tex				\
diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/Makefile.inc b/buch/chapters/030-geometrie/Makefile.inc
index 0bf775f..d4940dc 100644
--- a/buch/chapters/030-geometrie/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/030-geometrie/Makefile.inc
@@ -4,7 +4,7 @@
 # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
 
-CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
+CHAPTERFILES += 							\
 	chapters/030-geometrie/trigonometrisch.tex			\
 	chapters/030-geometrie/sphaerisch.tex				\
 	chapters/030-geometrie/hyperbolisch.tex				\
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc b/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc
index a222b1c..cd54c80 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc
@@ -4,7 +4,7 @@
 # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
 
-CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
+CHAPTERFILES += 							\
 	chapters/040-rekursion/gamma.tex				\
 	chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex				\
 	chapters/040-rekursion/integral.tex				\
diff --git a/buch/chapters/050-differential/Makefile.inc b/buch/chapters/050-differential/Makefile.inc
index b72a275..7151c07 100644
--- a/buch/chapters/050-differential/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/050-differential/Makefile.inc
@@ -4,7 +4,7 @@
 # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
 
-CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
+CHAPTERFILES += 							\
 	chapters/050-differential/beispiele.tex				\
 	chapters/050-differential/potenzreihenmethode.tex		\
 	chapters/050-differential/bessel.tex				\
diff --git a/buch/chapters/060-integral/Makefile.inc b/buch/chapters/060-integral/Makefile.inc
index e19cb0c..d85caad 100644
--- a/buch/chapters/060-integral/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/060-integral/Makefile.inc
@@ -4,13 +4,9 @@
 # (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
 
-CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
+CHAPTERFILES += 							\
 	chapters/060-integral/fehlerfunktion.tex			\
 	chapters/060-integral/eulertransformation.tex			\
 	chapters/060-integral/differentialkoerper.tex			\
 	chapters/060-integral/risch.tex					\
-	chapters/060-integral/orthogonal.tex				\
-	chapters/060-integral/legendredgl.tex				\
-	chapters/060-integral/sturm.tex					\
-	chapters/060-integral/gaussquadratur.tex			\
 	chapters/060-integral/chapter.tex
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/Makefile.inc b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/Makefile.inc
index 286ab2e..8f58489 100644
--- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/Makefile.inc
@@ -4,7 +4,7 @@
 # (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
 
-CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
+CHAPTERFILES += 							\
 	chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex			\
 	chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex			\
 	chapters/070-orthogonalitaet/rodrigues.tex			\
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex
index acfdb1a..2e43cec 100644
--- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex
@@ -263,7 +263,7 @@ werden können, muss auch
 =
 \int_{-1}^1 q(x)p(x)\,dx
 =
-\sum_{i=0}^n q(x_i)p(x_i)
+\sum_{i=0}^n A_iq(x_i)p(x_i)
 \]
 für jedes beliebige Polynom $q\in R_{n-1}$ gelten.
 Da man für $q$ die Interpolationspolynome $l_j(x)$ verwenden
@@ -272,9 +272,11 @@ kann, den Grad $n-1$ haben, folgt
 0
 =
 \sum_{i=0}^n
-l_j(x_i)p(x_i)
+A_il_j(x_i)p(x_i)
 =
-\sum_{i=0}^n \delta_{ij}p(x_i),
+\sum_{i=0}^n A_i\delta_{ij}p(x_i)
+=
+A_jp(x_j),
 \]
 die Stützstellen $x_i$ müssen also die Nullstellen des Polynoms
 $p(x)$ sein.
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex
index c9c9cc6..35054ab 100644
--- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex
@@ -375,7 +375,7 @@ automatisch für diese Funktionenfamilien.
 \subsubsection{Trigonometrische Funktionen}
 Die trigonometrischen Funktionen sind Eigenfunktionen des Operators
 $d^2/dx^2$, also eines Sturm-Liouville-Operators mit $p(x)=1$, $q(x)=0$
-und $w(x)=0$.
+und $w(x)=1$.
 Auf dem Intervall $(-\pi,\pi)$ können wir die Randbedingungen
 \bgroup
 \renewcommand{\arraycolsep}{2pt}
diff --git a/buch/chapters/075-fourier/Makefile.inc b/buch/chapters/075-fourier/Makefile.inc
index c153dc4..a762e63 100644
--- a/buch/chapters/075-fourier/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/075-fourier/Makefile.inc
@@ -4,7 +4,7 @@
 # (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
 
-CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
+CHAPTERFILES += 							\
 	chapters/075-fourier/bessel.tex					\
 	chapters/075-fourier/2d.tex					\
 	chapters/075-fourier/chapter.tex
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/Makefile.inc b/buch/chapters/080-funktionentheorie/Makefile.inc
index affaa94..779cd80 100644
--- a/buch/chapters/080-funktionentheorie/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/Makefile.inc
@@ -4,7 +4,7 @@
 # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
 
-CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
+CHAPTERFILES += 							\
 	chapters/080-funktionentheorie/holomorph.tex			\
 	chapters/080-funktionentheorie/analytisch.tex			\
 	chapters/080-funktionentheorie/cauchy.tex			\
diff --git a/buch/chapters/090-pde/Makefile.inc b/buch/chapters/090-pde/Makefile.inc
index c64af06..5b52d27 100644
--- a/buch/chapters/090-pde/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/090-pde/Makefile.inc
@@ -4,7 +4,7 @@
 # (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
 
-CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
+CHAPTERFILES += 							\
 	chapters/090-pde/gleichung.tex					\
 	chapters/090-pde/separation.tex					\
 	chapters/090-pde/rechteck.tex					\
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc b/buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc
index 538db68..639cb8f 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc
@@ -4,9 +4,12 @@
 # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
 
-CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
+CHAPTERFILES += 							\
 	chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex				\
 	chapters/110-elliptisch/jacobi.tex				\
+	chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex				\
+	chapters/110-elliptisch/dglsol.tex				\
+	chapters/110-elliptisch/mathpendel.tex				\
 	chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex				\
-	chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/001.tex			\
-	chapters/110-geometrie/chapter.tex
+	chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex			\
+	chapters/110-elliptisch/chapter.tex
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/chapter.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/chapter.tex
index e09fa53..e05f3bd 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/chapter.tex
@@ -10,18 +10,33 @@
 \rhead{}
 
 Der Versuch, die Länge eines Ellipsenbogens zu berechnen, hat
-in Abschnitt~\ref{buch:geometrie:subsection:hyperbeln-und-ellipsen}
+in Abschnitt~\ref{buch:geometrie:subsection:kegelschnitte}
 zu Integralen geführt, die nicht in geschlossener Form ausgewertet
 werden können.
 Neben den dort gefundenen Integralen sind noch weitere, ähnlich
 aufgebaute Integrale in dieser Familie zu finden.
 
+Auf die trigonometrischen Funktionen stösst man, indem man Funktion
+der Bogenlänge umkehrt.
+Ein analoges Vorgehen bei den elliptischen Integralen führt auf
+die Jacobischen elliptischen Funktionen, die in
+Abschnitt~\ref{buch:elliptisch:section:jacobi} allerdings auf
+eine eher geometrische Art eingeführt werden.
+Die Verbindung zu den elliptischen Integralen wird dann in
+Abschnitt~\ref{buch:elliptisch:subsection:differentialgleichungen}
+wieder hergestellt.
+
 \input{chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex}
+
 \input{chapters/110-elliptisch/jacobi.tex}
+\input{chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex}
+\input{chapters/110-elliptisch/dglsol.tex}
+\input{chapters/110-elliptisch/mathpendel.tex}
+
 \input{chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex}
 
-\section*{Übungsaufgaben}
-\rhead{Übungsaufgaben}
+\section*{Übungsaufgabe}
+\rhead{Übungsaufgabe}
 \aufgabetoplevel{chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben}
 \begin{uebungsaufgaben}
 %\uebungsaufgabe{0}
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex
new file mode 100644
index 0000000..7eaab38
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex
@@ -0,0 +1,494 @@
+%
+% dglsol.tex -- Lösung von Differentialgleichungen
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+
+%
+% Lösung von Differentialgleichungen
+%
+\subsection{Lösungen von Differentialgleichungen
+\label{buch:elliptisch:subsection:differentialgleichungen}}
+Die elliptischen Funktionen ermöglichen die Lösung gewisser nichtlinearer
+Differentialgleichungen in geschlossener Form.
+Ziel dieses Abschnitts ist, Differentialgleichungen der Form
+\(
+\dot{x}(t)^2
+=
+P(x(t))
+\)
+mit einem Polynom $P$ vierten Grades oder
+\(
+\ddot{x}(t)
+=
+p(x(t))
+\)
+mit einem Polynom dritten Grades als rechter Seite lösen zu können.
+
+%
+% Die Differentialgleichung der elliptischen Funktionen
+%
+\subsubsection{Die Differentialgleichungen der elliptischen Funktionen}
+Um Differentialgleichungen mit elliptischen Funktion lösen zu
+können, muss man als erstes die Differentialgleichungen derselben
+finden.
+Quadriert man die Ableitungsregel für $\operatorname{sn}(u,k)$, erhält
+man
+\[
+\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k)\biggr)^2
+=
+\operatorname{cn}(u,k)^2 \operatorname{dn}(u,k)^2.
+\]
+Die Funktionen auf der rechten Seite können durch $\operatorname{sn}(u,k)$
+ausgedrückt werden, dies führt auf die Differentialgleichung
+\begin{align*}
+\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k)\biggr)^2
+&=
+\bigl(
+1-\operatorname{sn}(u,k)^2
+\bigr)
+\bigl(
+1-k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2
+\bigr)
+\\
+&=
+k^2\operatorname{sn}(u,k)^4 
+-(1+k^2)
+\operatorname{sn}(u,k)^2 
++1.
+\end{align*}
+Für die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ ergibt die analoge Rechnung
+\begin{align*}
+\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k)
+&=
+-\operatorname{sn}(u,k) \operatorname{dn}(u,k)
+\\
+\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k)\biggr)^2
+&=
+\operatorname{sn}(u,k)^2 \operatorname{dn}(u,k)^2
+\\
+&=
+\bigl(1-\operatorname{cn}(u,k)^2\bigr)
+\bigl(k^{\prime 2}+k^2 \operatorname{cn}(u,k)^2\bigr)
+\\
+&=
+-k^2\operatorname{cn}(u,k)^4
++
+(k^2-k^{\prime 2})\operatorname{cn}(u,k)^2
++
+k^{\prime 2}
+\intertext{und weiter für $\operatorname{dn}(u,k)$:}
+\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k)
+&=
+-k^2\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}(u,k)
+\\
+\biggl(
+\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k)
+\biggr)^2
+&=
+\bigl(k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2\bigr)
+\bigl(k^2 \operatorname{cn}(u,k)^2\bigr)
+\\
+&=
+\bigl(
+1-\operatorname{dn}(u,k)^2
+\bigr)
+\bigl(
+\operatorname{dn}(u,k)^2-k^{\prime 2}
+\bigr)
+\\
+&=
+-\operatorname{dn}(u,k)^4
++
+(1+k^{\prime 2})\operatorname{dn}(u,k)^2
+-k^{\prime 2}.
+\end{align*}
+
+\begin{table}
+\centering
+\renewcommand{\arraystretch}{1.7}
+\begin{tabular}{|>{$}l<{$}|>{$}l<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
+\hline
+\text{Funktion $y=$}&\text{Differentialgleichung}&\alpha&\beta&\gamma\\
+\hline
+\operatorname{sn}(u,k)
+	& y'^2 = \phantom{-}(1-y^2)(1-k^2y^2)
+		&k^2&1+k^2&1
+\\
+\operatorname{cn}(u,k) &y'^2 = \phantom{-}(1-y^2)(k^{\prime2}+k^2y^2)
+		&-k^2	&k^2-k^{\prime 2}=2k^2-1&k^{\prime2}
+\\
+\operatorname{dn}(u,k)
+	& y'^2 = -(1-y^2)(k^{\prime 2}-y^2)
+		&-1	&1+k^{\prime 2}=2-k^2	&-k^{\prime2}
+\\
+\hline
+\end{tabular}
+\caption{Elliptische Funktionen als Lösungsfunktionen für verschiedene
+nichtlineare Differentialgleichungen der Art
+\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}.
+Die Vorzeichen der Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$
+entscheidet darüber, welche Funktion für die Lösung verwendet werden
+muss.
+\label{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen}}
+\end{table}
+
+Die drei grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen genügen also alle
+einer nichtlinearen Differentialgleichung erster Ordnung der selben Art.
+Das Quadrat der Ableitung ist ein Polynom vierten Grades der Funktion.
+Die Differentialgleichungen sind in der
+Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen} zusammengefasst.
+
+%
+% Differentialgleichung der abgeleiteten elliptischen Funktionen
+%
+\subsubsection{Die Differentialgleichung der abgeleiteten elliptischen
+Funktionen}
+Da auch die Ableitungen der abgeleiteten Jacobischen elliptischen
+Funktionen Produkte von genau zwei Funktionen sind, die sich wieder
+durch die ursprüngliche Funktion ausdrücken lassen, darf man erwarten,
+dass alle elliptischen Funktionen einer ähnlichen Differentialgleichung
+genügen.
+Um dies besser einzufangen, schreiben wir $\operatorname{pq}(u,k)$,
+wenn wir eine beliebige abgeleitete Jacobische elliptische Funktion.
+Für 
+$\operatorname{pq}=\operatorname{sn}$
+$\operatorname{pq}=\operatorname{cn}$
+und
+$\operatorname{pq}=\operatorname{dn}$
+wissen wir bereits und erwarten für jede andere Funktion dass
+$\operatorname{pq}(u,k)$ auch, dass sie Lösung einer Differentialgleichung
+der Form
+\begin{equation}
+\operatorname{pq}'(u,k)^2
+=
+\alpha \operatorname{pq}(u,k)^4 + \beta \operatorname{pq}(u,k)^2 + \gamma
+\label{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}
+\end{equation}
+erfüllt,
+wobei wir mit $\operatorname{pq}'(u,k)$ die Ableitung von
+$\operatorname{pq}(u,k)$ nach dem ersten Argument meinen.
+Die Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ hängen von $k$ ab,
+ihre Werte für die grundlegenden Jacobischen elliptischen
+sind in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:table:differentialgleichungen}
+zusammengestellt.
+
+Die Koeffizienten müssen nicht für jede Funktion wieder neu bestimmt
+werden, denn für den Kehrwert einer Funktion lässt sich die
+Differentialgleichung aus der Differentialgleichung der ursprünglichen
+Funktion ermitteln.
+
+%
+% Differentialgleichung der Kehrwertfunktion
+%
+\subsubsection{Differentialgleichung für den Kehrwert einer elliptischen Funktion}
+Aus der Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}
+für die Funktion $\operatorname{pq}(u,k)$ kann auch eine
+Differentialgleichung für den Kehrwert
+$\operatorname{qp}(u,k)=\operatorname{pq}(u,k)^{-1}$
+ableiten.
+Dazu rechnet man
+\[
+\operatorname{qp}'(u,k)
+=
+\frac{d}{du}\frac{1}{\operatorname{pq}(u,k)}
+=
+\frac{\operatorname{pq}'(u,k)}{\operatorname{pq}(u,k)^2}
+\qquad\Rightarrow\qquad
+\left\{
+\quad
+\begin{aligned}
+\operatorname{pq}(u,k)
+&=
+\frac{1}{\operatorname{qp}(u,k)}
+\\
+\operatorname{pq}'(u,k)
+&=
+\frac{\operatorname{qp}'(u,k)}{\operatorname{qp}(u,k)^2}
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+und setzt in die Differentialgleichung ein:
+\begin{align*}
+\biggl(
+\frac{
+\operatorname{qp}'(u,k)
+}{
+\operatorname{qp}(u,k)
+}
+\biggr)^2
+&=
+\alpha \frac{1}{\operatorname{qp}(u,k)^4}
++
+\beta \frac{1}{\operatorname{qp}(u,k)^2}
++
+\gamma.
+\end{align*}
+Nach Multiplikation mit $\operatorname{qp}(u,k)^4$ erhält man den
+folgenden Satz.
+
+\begin{satz}
+Wenn die Jacobische elliptische Funktion $\operatorname{pq}(u,k)$
+der Differentialgleichung genügt, dann genügt der Kehrwert
+$\operatorname{qp}(u,k) = 1/\operatorname{pq}(u,k)$ der Differentialgleichung
+\begin{equation}
+(\operatorname{qp}'(u,k))^2
+= 
+\gamma \operatorname{qp}(u,k)^4
++
+\beta \operatorname{qp}(u,k)^2
++
+\alpha
+\label{buch:elliptisch:eqn:kehrwertdgl}
+\end{equation}
+\end{satz}
+
+\begin{table}
+\centering
+\def\lfn#1{\multicolumn{1}{|l|}{#1}}
+\def\rfn#1{\multicolumn{1}{r|}{#1}}
+\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
+\begin{tabular}{l|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|r}
+\cline{1-4}
+\lfn{Funktion}
+         &  \alpha   & \beta     &    \gamma  &\\
+\hline
+\lfn{sn}&    k^2    & -(1+k^2)  &      1     &\rfn{ns}\\
+\lfn{cn}&   -k^2    & -(1-2k^2) &    1-k^2   &\rfn{nc}\\
+\lfn{dn}&     1     &  2-k^2    &   -(1-k^2) &\rfn{nd}\\
+\hline
+\lfn{sc}&   1-k^2   &  2-k^2    &      1     &\rfn{cs}\\
+\lfn{sd}&-k^2(1-k^2)&-(1-2k^2)  &       1    &\rfn{ds}\\
+\lfn{cd}&    k^2    &-(1+k^2)   &      1     &\rfn{dc}\\
+\hline 
+                 &   \gamma  & \beta     &   \alpha   &\rfn{Reziproke}\\
+\cline{2-5}
+\end{tabular}
+\caption{Koeffizienten der Differentialgleichungen für die Jacobischen
+elliptischen Funktionen.
+Der Kehrwert einer Funktion hat jeweils die Differentialgleichung der
+ursprünglichen Funktion, in der die Koeffizienten $\alpha$ und $\gamma$
+vertauscht worden sind.
+\label{buch:elliptisch:table:differentialgleichungen}}
+\end{table}
+
+%
+% Differentialgleichung zweiter Ordnung
+%
+\subsubsection{Differentialgleichung zweiter Ordnung}
+Leitet die Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}
+man dies nochmals nach $u$ ab, erhält man die Differentialgleichung
+\[
+2\operatorname{pq}''(u,k)\operatorname{pq}'(u,k)
+=
+4\alpha \operatorname{pq}(u,k)^3\operatorname{pq}'(u,k) + 2\beta \operatorname{pq}'(u,k)\operatorname{pq}(u,k).
+\]
+Teilt man auf beiden Seiten durch $2\operatorname{pq}'(u,k)$,
+bleibt die nichtlineare
+Differentialgleichung
+\[
+\frac{d^2\operatorname{pq}}{du^2}
+=
+\beta \operatorname{pq} + 2\alpha \operatorname{pq}^3.
+\]
+Dies ist die Gleichung eines harmonischen Oszillators mit einer 
+Anharmonizität der Form $2\alpha z^3$.
+
+
+
+%
+% Jacobischen elliptische Funktionen und elliptische Integrale
+%
+\subsubsection{Jacobische elliptische Funktionen als elliptische Integrale}
+Die in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen}
+zusammengestellten Differentialgleichungen ermöglichen nun, den
+Zusammenhang zwischen den Funktionen 
+$\operatorname{sn}(u,k)$, $\operatorname{cn}(u,k)$ und $\operatorname{dn}(u,k)$
+und den unvollständigen elliptischen Integralen herzustellen.
+Die Differentialgleichungen sind alle von der Form
+\begin{equation}
+\biggl(
+\frac{d y}{d u}
+\biggr)^2
+=
+p(u),
+\label{buch:elliptisch:eqn:allgdgl}
+\end{equation}
+wobei $p(u)$ ein Polynom vierten Grades in $y$ ist.
+Diese Differentialgleichung lässt sich mit Separation lösen.
+Dazu zieht man aus~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} die
+Wurzel
+\begin{align}
+\frac{dy}{du}
+=
+\sqrt{p(y)}
+\notag
+\intertext{und trennt die Variablen. Man erhält}
+\int\frac{dy}{\sqrt{p(y)}} = u+C.
+\label{buch:elliptisch:eqn:yintegral}
+\end{align}
+Solange $p(y)>0$ ist, ist der Integrand auf der linken Seite
+von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:yintegral} ebenfalls positiv und
+das Integral ist eine monoton wachsende Funktion $F(y)$.
+Insbesondere ist $F(y)$ invertierbar.
+Die Lösung $y(u)$ der Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl}
+ist daher 
+\[
+y(u) = F^{-1}(u+C).
+\]
+Die Jacobischen elliptischen Funktionen sind daher inverse Funktionen
+der unvollständigen elliptischen Integrale.
+
+
+%
+% Differentialgleichung des anharmonischen Oszillators
+%
+\subsubsection{Differentialgleichung des anharmonischen Oszillators}
+Wir möchten die nichtlineare Differentialgleichung
+\begin{equation}
+\biggl(
+\frac{dx}{dt}
+\biggr)^2
+=
+Ax^4+Bx^2 + C
+\label{buch:elliptisch:eqn:allgdgl}
+\end{equation}
+mit Hilfe elliptischer Funktionen lösen.
+Wir nehmen also an, dass die gesuchte Lösung eine Funktion der Form
+\begin{equation}
+x(t) = a\operatorname{zn}(bt,k)
+\label{buch:elliptisch:eqn:loesungsansatz}
+\end{equation}
+ist.
+Die erste Ableitung von $x(t)$ ist
+\[
+\dot{x}(t) 
+=
+a\operatorname{zn}'(bt,k).
+\]
+
+Indem wir diesen Lösungsansatz in die
+Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl}
+einsetzen, erhalten wir
+\begin{equation}
+a^2b^2 \operatorname{zn}'(bt,k)^2
+=
+a^4A\operatorname{zn}(bt,k)^4
++
+a^2B\operatorname{zn}(bt,k)^2
++C
+\label{buch:elliptisch:eqn:dglx}
+\end{equation}
+Andererseits wissen wir, dass $\operatorname{zn}(u,k)$ einer
+Differentilgleichung der Form~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}
+erfüllt.
+Wenn wir \eqref{buch:elliptisch:eqn:dglx} durch $a^2b^2$ teilen, können wir
+die rechte Seite von \eqref{buch:elliptisch:eqn:dglx} mit der rechten
+Seite von \eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} vergleichen:
+\[
+\frac{a^2A}{b^2}\operatorname{zn}(bt,k)^4
++
+\frac{B}{b^2}\operatorname{zn}(bt,k)^2
++\frac{C}{a^2b^2}
+=
+\alpha\operatorname{zn}(bt,k)^4
++
+\beta\operatorname{zn}(bt,k)^2
++
+\gamma\operatorname{zn}(bt,k).
+\]
+Daraus ergeben sich die Gleichungen
+\begin{align}
+\alpha &= \frac{a^2A}{b^2},
+&
+\beta &= \frac{B}{b^2}
+&&\text{und}
+&
+\gamma &= \frac{C}{a^2b^2}
+\label{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl}
+\intertext{oder aufgelöst nach den Koeffizienten der ursprünglichen
+Differentialgleichung}
+A&=\frac{\alpha b^2}{a^2}
+&
+B&=\beta b^2
+&&\text{und}&
+C &= \gamma a^2b^2
+\label{buch:elliptisch:eqn:koeffABC}
+\end{align}
+für die Koeffizienten der Differentialgleichung der zu verwendenden
+Funktion.
+
+Man beachte, dass nach \eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} die 
+Koeffizienten $A$, $B$ und $C$ die gleichen Vorzeichen haben wie
+$\alpha$, $\beta$ und $\gamma$, da in 
+\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} nur mit Quadraten multipliziert
+wird, die immer positiv sind.
+Diese Vorzeichen bestimmen, welche der Funktionen gewählt werden muss.
+
+In den Differentialgleichungen für die elliptischen Funktionen gibt
+es nur den Parameter $k$, der angepasst werden kann.
+Es folgt, dass die Gleichungen
+\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} 
+auch $a$ und $b$ bestimmen.
+Zum Beispiel folgt aus der letzten Gleichung, dass
+\[
+b = \pm\sqrt{\frac{B}{\beta}}.
+\]
+Damit folgt dann aus der zweiten
+\[
+a=\pm\sqrt{\frac{\beta C}{\gamma B}}.
+\]
+Die verbleibende Gleichung legt $k$ fest.
+Das folgende Beispiel illustriert das Vorgehen am Beispiel einer
+Gleichung, die Lösungsfunktion $\operatorname{sn}(u,k)$ verlangt.
+
+\begin{beispiel}
+Wir nehmen an, dass die Vorzeichen von $A$, $B$ und $C$ gemäss
+Tabelle~\ref{buch:elliptische:tabelle:loesungsfunktionen} verlangen,
+dass die Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ für die Lösung verwendet
+werden muss.
+Die Tabelle sagt dann auch, dass 
+$\alpha=k^2$, $\beta=1$ und $\gamma=1$ gewählt werden müssen.
+Aus dem Koeffizientenvergleich~\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl}
+folgt dann der Reihe nach
+\begin{align*}
+b&=\pm \sqrt{B}
+\\
+a&=\pm \sqrt{\frac{C}{B}}
+\\
+k^2
+&=
+\frac{AC}{B^2}.
+\end{align*}
+Man beachte, dass man $k^2$ durch Einsetzen von
+\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffABC}
+auch direkt aus den Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$
+erhalten kann, nämlich
+\[
+\frac{AC}{B^2}
+=
+\frac{\frac{\alpha b^2}{a^2} \gamma a^2b^2}{\beta^2 b^4}
+=
+\frac{\alpha\gamma}{\beta^2}.
+\qedhere
+\]
+\end{beispiel}
+
+Da alle Parameter im 
+Lösungsansatz~\eqref{buch:elliptisch:eqn:loesungsansatz} bereits
+festgelegt sind stellt sich die Frage, woher man einen weiteren
+Parameter nehmen kann, mit dem Anfangsbedingungen erfüllen kann.
+Die Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} ist
+autonom, die Koeffizienten der rechten Seite der Differentialgleichung
+sind nicht von der Zeit abhängig. 
+Damit ist eine zeitverschobene Funktion $x(t-t_0)$ ebenfalls eine
+Lösung der Differentialgleichung.
+Die allgmeine Lösung der 
+Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} hat
+also die Form
+\[
+x(t) = a\operatorname{zn}(b(t-t_0)),
+\]
+wobei die Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ auf Grund der Vorzeichen
+von $A$, $B$ und $C$ gewählt werden müssen.
+
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
index 46659cd..4cb2ba3 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
@@ -7,7 +7,7 @@
 \label{buch:elliptisch:section:integral}}
 \rhead{Elliptisches Integral}
 Bei der Berechnung des Ellipsenbogens in 
-Abschnitt~\ref{buch:geometrie:subsection:hyperbeln-und-ellipsen}
+Abschnitt~\ref{buch:geometrie:subsection:kegelschnitte}
 sind wir auf ein Integral gestossen, welches sich nicht in geschlossener
 Form ausdrücken liess.
 Um solche Integrale in den Griff zu bekommen, ist es nötig, sie als
@@ -172,7 +172,188 @@ die {\em Jacobi-Normalform} heisst.
 
 \subsubsection{Vollständige elliptische Integrale als hypergeometrische
 Funktionen}
-XXX Als hypergeometrische Funktionen \url{https://www.youtube.com/watch?v=j0t1yWrvKmE} \\
+%XXX Als hypergeometrische Funktionen \url{https://www.youtube.com/watch?v=j0t1yWrvKmE} \\
+Das vollständige elliptische Integral $K(k)$ kann mit Hilfe der 
+Binomialreihe umgeformt werden in eine hypergeometrische Reihe.
+Da im Integral nur $k^2$ auftaucht, wird sich $K(k)$ als
+hypergeometrische Funktion von $k^2$ ausdrücken lassen.
+
+\begin{satz}
+\label{buch:elliptisch:satz:hyperK}
+Das vollständige elliptische Integral $K(k)$ lässt sich durch die
+hypergeometrische Funktion $\mathstrut_2F_1$ als
+\[
+K(k)
+=
+\frac{\pi}2
+\cdot
+\mathstrut_2F_1\biggl(
+\begin{matrix}\frac12,\frac12\\1\end{matrix};1;k^2
+\biggr)
+\]
+ausdrücken.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Zunächst ist das vollständige elliptische Integral in der Legendre-Form
+\begin{align}
+K(k)
+&=
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\frac{d\vartheta}{\sqrt{1-k^2\sin^2\vartheta}}
+%\notag
+%\\
+%&
+=
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\bigl(
+1-(k\sin\vartheta)^2
+\bigr)^{-\frac12}\,d\vartheta.
+\notag
+\intertext{Die Wurzel im letzten Integral kann mit Hilfe der binomischen
+Reihe vereinfacht werden zu}
+&=
+\sum_{n=0}^\infty
+(-1)^n k^2\binom{-\frac12}{n}
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\sin^{2n}\vartheta
+\,d\vartheta.
+\label{buch:elliptisch:beweis:ellharm2}
+\end{align}
+Der verallgemeinerte Binomialkoeffizient lässt sich nach
+\begin{align*}
+\binom{-\frac12}{n}
+&=
+\frac{(-\frac12)(-\frac32)(-\frac52)\cdot\ldots\cdot(-\frac12-n+1)}{n!}
+=
+(-1)^n
+\cdot
+\frac{1}{n!}
+\cdot
+\frac12\cdot\frac32\cdot\frac52\cdot\ldots\cdot\biggl(\frac12+n-1\biggr)
+=
+(-1)^n\frac{(\frac12)_n}{n!}
+\end{align*}
+vereinfachen.
+Setzt man dies in \eqref{buch:elliptisch:beweis:ellharm2} ein, erhält
+man
+\begin{align*}
+K(k)
+&=
+\sum_{n=0}^\infty
+(-1)^n k^{2n}
+\cdot
+(-1)^n
+\frac{(\frac12)_n}{n!}
+\cdot
+\int_0^{\frac{\pi}2} \sin^{2n}\vartheta\,d\vartheta
+=
+\sum_{n=0}^\infty
+\frac{(\frac12)_n}{n!}
+\int_0^{\frac{\pi}2} \sin^{2n}\vartheta\,d\vartheta
+\cdot (k^2)^n.
+\end{align*}
+Es muss jetzt also nur noch das Integral von $\sin^{2n}\vartheta$
+berechnet werden.
+Mit partieller Integration kann man
+\begin{align*}
+\int \sin^m\vartheta\,d\vartheta
+&=
+\int
+\underbrace{\sin \vartheta}_{\uparrow}
+\underbrace{\sin^{m-1}\vartheta}_{\downarrow}
+\,d\vartheta
+\\
+&=
+-\cos\vartheta\sin^{m-1}\vartheta
++
+\int \cos^2\vartheta (m-1)\sin^{m-2}\vartheta\,d\vartheta
+\\
+&=
+-\cos\vartheta \sin^{m-1}\vartheta
++
+(m-1)
+\int
+(1-\sin^2\vartheta)
+\sin^{m-2}\vartheta\,d\vartheta.
+\end{align*}
+Wegen $\sin 0=0$ und
+$\cos\frac{\pi}2=0$ verschwindet der erste Term im bestimmten Integral
+und der zweite wird
+\begin{align*}
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\sin^{m} \vartheta
+\,d\vartheta
+&=
+(m-1)
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\sin^{m-2}\vartheta\,d\vartheta
+-
+(m-1)
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\sin^m \vartheta\,d\vartheta
+\\
+m
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\sin^{m} \vartheta\,d\vartheta
+&=
+(m-1)
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\sin^{m-2} \vartheta\,d\vartheta
+\\
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\sin^{m} \vartheta\,d\vartheta
+&=
+\frac{m-1}{m}
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\sin^{m-2} \vartheta\,d\vartheta.
+\end{align*}
+Mit dieser Rekursionsformel kann jetzt das Integral berechnet werden.
+Es folgt
+\begin{align*}
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\sin^{2n}\vartheta\,d\vartheta
+&=
+\frac{2n-1}{2n}
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\sin^{2n-2}\vartheta\,d\vartheta
+\\
+&=
+\frac{2n-1}{2n}
+\frac{2n-3}{2n-2}
+\frac{2n-5}{2n-4}
+\cdots
+\frac{2n-(2n-1)}{2(n-1)}
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\sin^{2n-4}\vartheta\,d\vartheta
+\\
+&=
+\frac{
+(n-\frac12)(n-\frac32)(n-\frac52)\cdot\ldots\cdot\frac32\cdot\frac12
+}{
+n!
+}
+\int_0^{\frac{\pi}2} 1\,d\vartheta
+\\
+&=
+\frac{(\frac12)_n}{n!}
+\cdot
+\frac{\pi}2.
+\end{align*}
+Damit wird die Reihenentwicklung für $K(k)$ jetzt zu
+\[
+K(k)
+=
+\frac{\pi}2
+\sum_{n=0}^\infty
+\frac{(\frac12)_n(\frac12)_n}{n!} \cdot \frac{(k^2)^n}{n!}
+=
+\frac{\pi}2
+\cdot
+\mathstrut_2F_1\biggl(\begin{matrix}\frac12,\frac12\\1\end{matrix};k^2\biggr),
+\]
+dies beweist die Behauptung.
+\end{proof}
 
 
 
@@ -247,6 +428,29 @@ Für den extremen Wert $\varepsilon=0$ entsteht der Umfang einer Ellipse,
 also $E(0)=\frac{\pi}2$.
 Für $\varepsilon=1$ ist $a=0$, es entsteht eine Strecke mit Länge $E(1)=1$.
 
+\begin{satz}
+\label{buch:elliptisch:satz:hyperE}
+Das volständige elliptische Integral $E(k)$ ist
+\[
+E(k)
+=
+\int_0^{\frac{\pi}2} \sqrt{1-k^2\sin^2\vartheta}\,d\vartheta
+=
+\frac{\pi}2
+\cdot
+\mathstrut_2F_1\biggl(
+\begin{matrix}-\frac12,\frac12\\1\end{matrix};
+k^2
+\biggr).
+\]
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Die Identität kann wie im Satz~\ref{buch:elliptisch:satz:hyperK} mit
+Hilfe einer Entwicklung der Wurzel mit der Binomialreihe gefunden
+werden.
+\end{proof}
+
 \subsubsection{Komplementäre Integrale}
 
 \subsubsection{Ableitung}
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex
new file mode 100644
index 0000000..d600243
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex
@@ -0,0 +1,1012 @@
+%
+% elltrigo.tex
+%
+% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+
+%
+% elliptische Funktionen als Trigonometrie
+%
+\subsection{Elliptische Funktionen als Trigonometrie}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/ellipse.pdf}
+\caption{Kreis und Ellipse zum Vergleich und zur Herleitung der 
+elliptischen Funktionen von Jacobi als ``trigonometrische'' Funktionen
+auf einer Ellipse.
+\label{buch:elliptisch:fig:ellipse}}
+\end{figure}
+% based on Willliam Schwalm, Elliptic functions and elliptic integrals
+% https://youtu.be/DCXItCajCyo
+
+%
+% Geometrie einer Ellipse
+%
+\subsubsection{Geometrie einer Ellipse}
+Eine {\em Ellipse} ist die Menge der Punkte der Ebene, für die die Summe
+\index{Ellipse}%
+der Entfernungen von zwei festen Punkten $F_1$ und $F_2$,
+den {\em Brennpunkten}, konstant ist.
+\index{Brennpunkt}%
+In Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:ellipse} eine Ellipse
+mit Brennpunkten in $F_1=(-e,0)$ und $F_2=(e,0)$ dargestellt,
+die durch die Punkte $(\pm a,0)$ und $(0,\pm b)$ auf den Achsen geht.
+Der Punkt $(a,0)$ hat die Entfernungen $a+e$ und $a-e$ von den beiden
+Brennpunkten, also die Entfernungssumme $a+e+a-e=2a$.
+Jeder andere Punkt auf der Ellipse muss ebenfalls diese Entfernungssumme
+haben, insbesondere auch der Punkt $(0,b)$.
+Seine Entfernung zu jedem Brennpunkt muss aus Symmetriegründen gleich gross,
+also $a$ sein.
+Aus dem Satz von Pythagoras liest man daher ab, dass
+\[
+b^2+e^2=a^2
+\qquad\Rightarrow\qquad
+e^2 = a^2-b^2
+\]
+sein muss.
+Die Strecke $e$ heisst auch {\em (lineare) Exzentrizität} der Ellipse.
+Das Verhältnis $\varepsilon= e/a$  heisst die {\em numerische Exzentrizität}
+der Ellipse.
+
+%
+% Die Ellipsengleichung
+%
+\subsubsection{Ellipsengleichung}
+Der Punkt $P=(x,y)$ auf der Ellipse hat die Entfernungen
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+\overline{PF_1}^2
+&=
+y^2 + (x+e)^2
+\\
+\overline{PF_2}^2
+&=
+y^2 + (x-e)^2
+\end{aligned}
+\label{buch:elliptisch:eqn:wurzelausdruecke}
+\end{equation}
+von den Brennpunkten, für die 
+\begin{equation}
+\overline{PF_1}+\overline{PF_2}
+=
+2a
+\label{buch:elliptisch:eqn:pf1pf2a}
+\end{equation}
+gelten muss.
+Man kann nachrechnen, dass ein Punkt $P$, der die Gleichung
+\[
+\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1
+\]
+erfüllt, auch die Eigenschaft~\eqref{buch:elliptisch:eqn:pf1pf2a}
+erfüllt.
+Zur Vereinfachung setzen wir $l_1=\overline{PF_1}$ und $l_2=\overline{PF_2}$.
+$l_1$ und $l_2$ sind Wurzeln aus der rechten Seite von
+\eqref{buch:elliptisch:eqn:wurzelausdruecke}.
+Das Quadrat von $l_1+l_2$ ist
+\[
+l_1^2 + 2l_1l_2 + l_2^2 = 4a^2.
+\]
+Um die Wurzeln ganz zu eliminieren, bringt man das Produkt $l_1l_2$ alleine
+auf die rechte Seite und quadriert.
+Man muss also verifizieren, dass
+\[
+(l_1^2 + l_2^2 -4a^2)^2 = 4l_1^2l_2^2.
+\]
+In den entstehenden Ausdrücken muss man ausserdem $e=\sqrt{a^2-b^2}$ und
+\[
+y=b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}
+\]
+substituieren.
+Diese Rechnung führt man am einfachsten mit Hilfe eines
+Computeralgebraprogramms durch, welches obige Behauptung bestätigt.
+
+%
+% Normierung
+%
+\subsubsection{Normierung}
+Die trigonometrischen Funktionen sind definiert als Verhältnisse 
+von Seiten rechtwinkliger Dreiecke.
+Dadurch, dass man den die Hypothenuse auf Länge $1$ normiert, 
+kann man die Sinus- und Kosinus-Funktion als Koordinaten eines
+Punktes auf dem Einheitskreis interpretieren.
+
+Für die Koordinaten eines Punktes auf der Ellipse ist dies nicht so einfach,
+weil es nicht nur eine Ellipse gibt, sondern für jede numerische Exzentrizität
+mindestens eine mit Halbeachse $1$.
+Wir wählen die Ellipsen so, dass $a$ die grosse Halbachse ist, also $a>b$.
+Als Normierungsbedingung verwenden wir, dass $b=1$ sein soll, wie in
+Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef}.
+Dann ist $a=1/\varepsilon>1$.
+In dieser Normierung haben Punkte $(x,y)$ auf der Ellipse $y$-Koordinaten
+zwischen $-1$ und $1$ und $x$-Koordinaten zwischen $-a$ und $a$.
+
+Im Zusammenhang mit elliptischen Funktionen wird die numerische Exzentrizität
+$\varepsilon$ auch mit
+\[
+k
+=
+\varepsilon
+=
+\frac{e}{a}
+=
+\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}
+=
+\frac{\sqrt{a^2-1}}{a},
+\]
+die Zahl $k$ heisst auch der {\em Modulus}.
+Man kann $a$ auch durch $k$ ausdrücken, durch Quadrieren und Umstellen
+findet man
+\[
+k^2a^2 = a^2-1
+\quad\Rightarrow\quad
+1=a^2(k^2-1)
+\quad\Rightarrow\quad
+a=\frac{1}{\sqrt{k^2-1}}.
+\]
+
+Die Gleichung der ``Einheitsellipse'' zu diesem Modulus ist
+\[
+\frac{x^2}{a^2}+y^2=1
+\qquad\text{oder}\qquad
+x^2(k^2-1) + y^2 = 1.
+\]
+
+%
+% Definition der elliptischen Funktionen
+%
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/jacobidef.pdf}
+\caption{Definition der elliptischen Funktionen als Trigonometrie
+an einer Ellipse mit Halbachsen $a$ und $1$.
+\label{buch:elliptisch:fig:jacobidef}}
+\end{figure}
+\subsubsection{Definition der elliptischen Funktionen}
+Die elliptischen Funktionen für einen Punkt $P$ auf der Ellipse mit Modulus $k$
+können jetzt als Verhältnisse der Koordinaten des Punktes definieren.
+Es stellt sich aber die Frage, was man als Argument verwenden soll.
+Es soll so etwas wie den Winkel $\varphi$ zwischen der $x$-Achse und dem
+Radiusvektor zum Punkt $P$
+darstellen, aber wir haben hier noch eine Wahlfreiheit, die wir später
+ausnützen möchten.
+Im Moment müssen wir die Frage noch nicht beantworten und nennen das
+noch unbestimmte Argument $u$.
+Wir kümmern uns später um die Frage, wie $u$ von $\varphi$ abhängt.
+
+Die Funktionen, die wir definieren wollen, hängen ausserdem auch 
+vom Modulus ab.
+Falls der verwendete Modulus aus dem Zusammenhang klar ist, lassen
+wir das $k$-Argument weg.
+
+Die Punkte auf dem Einheitskreis haben alle den gleichen Abstand vom
+Nullpunkt, dies ist gleichzeitig die definierende Gleichung $r^2=x^2+y^2=1$
+des Kreises.
+Die Punkte auf der Ellipse erfüllen die Gleichung $x^2/a^2+y^2=1$,
+die Entfernung der Punkte $r=\sqrt{x^2+y^2}$ vom Nullpunkt variert aber.
+
+In Analogie zu den trigonometrischen Funktionen setzen wir jetzt für 
+die Funktionen
+\[
+\begin{aligned}
+&\text{sinus amplitudinis:}&
+{\color{red}\operatorname{sn}(u,k)}&= y \\
+&\text{cosinus amplitudinis:}&
+{\color{blue}\operatorname{cn}(u,k)}&= \frac{x}{a} \\
+&\text{delta amplitudinis:}&
+{\color{darkgreen}\operatorname{dn}(u,k)}&=\frac{r}{a},
+\end{aligned}
+\]
+die auch in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef}
+dargestellt sind.
+Aus der Gleichung der Ellipse folgt sofort, dass
+\[
+\operatorname{sn}(u,k)^2 + \operatorname{cn}(u,k)^2 = 1
+\]
+ist.
+Der Satz von Pythagoras kann verwendet werden, um die Entfernung zu
+berechnen, also gilt
+\begin{equation}
+r^2
+=
+a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2
+=
+x^2 + y^2
+=
+a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 + \operatorname{sn}(u,k)^2
+\quad
+\Rightarrow
+\quad
+a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2
+=
+a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 + \operatorname{sn}(u,k)^2.
+\label{buch:elliptisch:eqn:sncndnrelation}
+\end{equation}
+Ersetzt man
+$
+a^2\operatorname{cn}(u,k)^2
+=
+a^2-a^2\operatorname{sn}(u,k)^2
+$, ergibt sich
+\[
+a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2
+=
+a^2-a^2\operatorname{sn}(u,k)^2
++
+\operatorname{sn}(u,k)^2
+\quad
+\Rightarrow
+\quad
+\operatorname{dn}(u,k)^2
++
+\frac{a^2-1}{a^2}\operatorname{sn}(u,k)^2
+=
+1,
+\]
+woraus sich die Identität
+\[
+\operatorname{dn}(u,k)^2 + k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2 = 1
+\]
+ergibt.
+Ebenso kann man aus~\eqref{buch:elliptisch:eqn:sncndnrelation}
+die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ eliminieren, was auf
+\[
+a^2\operatorname{dn}(u,k)^2
+=
+a^2\operatorname{cn}(u,k)^2
++1-\operatorname{cn}(u,k)^2
+=
+(a^2-1)\operatorname{cn}(u,k)^2
++1.
+\]
+Nach Division durch $a^2$ ergibt sich
+\begin{align*}
+\operatorname{dn}(u,k)^2
+-
+k^2\operatorname{cn}(u,k)^2
+&=
+\frac{1}{a^2}
+=
+\frac{a^2-a^2+1}{a^2}
+=
+1-k^2 =: k^{\prime 2}.
+\end{align*}
+Wir stellen die hiermit gefundenen Relationen zwischen den grundlegenden
+Jacobischen elliptischen Funktionen für später zusammen in den Formeln
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+\operatorname{sn}^2(u,k)
++
+\operatorname{cn}^2(u,k)
+&=
+1
+\\
+\operatorname{dn}^2(u,k) + k^2\operatorname{sn}^2(u,k)
+&=
+1
+\\
+\operatorname{dn}^2(u,k)  -k^2\operatorname{cn}^2(u,k)
+&=
+k^{\prime 2}.
+\end{aligned}
+\label{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen}
+\end{equation}
+zusammen.
+So wie es möglich ist, $\sin\alpha$ durch $\cos\alpha$ auszudrücken,
+ist es mit
+\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen}
+jetzt auch möglich jede grundlegende elliptische Funktion durch
+jede anderen auszudrücken.
+Die Resultate sind in der Tabelle~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobi-relationen}
+zusammengestellt.
+
+\begin{table}
+\centering
+\renewcommand{\arraystretch}{2.1}
+\begin{tabular}{|>{$\displaystyle}c<{$}|>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}|}
+\hline
+&\operatorname{sn}(u,k)
+&\operatorname{cn}(u,k)
+&\operatorname{dn}(u,k)\\
+\hline
+\operatorname{sn}(u,k)
+&\operatorname{sn}(u,k)
+&\sqrt{1-\operatorname{cn}^2(u,k)}
+&\frac1k\sqrt{1-\operatorname{dn}^2(u,k)}
+\\
+\operatorname{cn}(u,k)
+&\sqrt{1-\operatorname{sn}^2(u,k)}
+&\operatorname{cn}(u,k)
+&\frac{1}{k}\sqrt{\operatorname{dn}^2(u,k)-k^{\prime2}}
+\\
+\operatorname{dn}(u,k)
+&\sqrt{1-k^2\operatorname{sn}^2(u,k)}
+&\sqrt{k^{\prime2}+k^2\operatorname{cn}^2(u,k)}
+&\operatorname{dn}(u,k)
+\\
+\hline
+\end{tabular}
+\caption{Jede der Jacobischen elliptischen Funktionen lässt sich
+unter Verwendung der Relationen~\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen}
+durch jede andere ausdrücken.
+\label{buch:elliptisch:fig:jacobi-relationen}}
+\end{table}
+
+%
+% Ableitungen der Jacobi-ellpitischen Funktionen
+% 
+\subsubsection{Ableitung}
+Die trigonometrischen Funktionen sind deshalb so besonders nützlich 
+für die Lösung von Schwingungsdifferentialgleichungen, weil sie die
+Beziehungen
+\[
+\frac{d}{d\varphi}  \cos\varphi = -\sin\varphi
+\qquad\text{und}\qquad
+\frac{d}{d\varphi}  \sin\varphi = \cos\varphi
+\]
+erfüllen.
+So einfach können die Beziehungen natürlich nicht sein, sonst würde sich
+durch Integration ja wieder nur die trigonometrischen Funktionen ergeben.
+Durch geschickte Wahl des Arguments $u$ kann man aber erreichen, dass
+sie ähnlich nützliche Beziehungen zwischen den Ableitungen ergeben.
+
+Gesucht ist jetzt also eine Wahl für das Argument $u$ zum Beispiel in
+Abhängigkeit von $\varphi$, dass sich einfache und nützliche
+Ableitungsformeln ergeben.
+Wir setzen daher $u(\varphi)$ voraus und beachten, dass $x$ und $y$
+ebenfalls von $\varphi$ abhängen, es ist
+$y=\sin\varphi$ und $x=a\cos\varphi$.
+Die Ableitungen von $x$ und $y$ nach $\varphi$ sind
+\begin{align*}
+\frac{dy}{d\varphi}
+&=
+\cos\varphi
+=
+\frac{1}{a} x
+=
+\operatorname{cn}(u,k)
+\\
+\frac{dx}{d\varphi}
+&=
+-a\sin\varphi
+=
+-a y
+=
+-a\operatorname{sn}(u,k).
+\end{align*}
+Daraus kann man jetzt die folgenden Ausdrücke für die Ableitungen der
+elliptischen Funktionen nach $\varphi$ ableiten:
+\begin{align*}
+\frac{d}{d\varphi} \operatorname{sn}(u,z)
+&=
+\frac{d}{d\varphi} y(\varphi)
+=
+\cos\varphi
+=
+\frac{x}{a}
+=
+\operatorname{cn}(u,k)
+&&\Rightarrow&
+\frac{d}{du}
+\operatorname{sn}(u,k)
+&=
+\operatorname{cn}(u,k) \frac{d\varphi}{du}
+\\
+\frac{d}{d\varphi} \operatorname{cn}(u,z)
+&=
+\frac{d}{d\varphi} \frac{x(\varphi)}{a}
+=
+-\sin\varphi
+=
+-\operatorname{sn}(u,k)
+&&\Rightarrow&
+\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k)
+&=
+-\operatorname{sn}(u,k) \frac{d\varphi}{du}
+\\
+\frac{d}{d\varphi} \operatorname{dn}(u,z)
+&=
+\frac{1}{a}\frac{dr}{d\varphi}
+=
+\frac{1}{a}\frac{d\sqrt{x^2+y^2}}{d\varphi}
+%\\
+%&
+\rlap{$\displaystyle\mathstrut
+=
+\frac{x}{ar} \frac{dx}{d\varphi}
++
+\frac{y}{ar} \frac{dy}{d\varphi}
+%\\
+%&
+=
+\frac{x}{ar} (-a\operatorname{sn}(u,k))
++
+\frac{y}{ar} \operatorname{cn}(u,k)
+$}
+\\
+&
+\rlap{$\displaystyle\mathstrut
+=
+\frac{x}{ar}(-ay)
++
+\frac{y}{ar} \frac{x}{a}
+%\rlap{$\displaystyle
+=
+\frac{xy(-1+\frac{1}{a^2})}{r} 
+%$}
+%\\
+%&
+=
+-\frac{xy(a^2-1)}{a^2r} 
+$}
+\\
+&=
+-\frac{a^2-1}{ar}
+\operatorname{cn}(u,k) \operatorname{sn}(u,k)
+%\\
+%&
+\rlap{$\displaystyle\mathstrut
+=
+-k^2
+\frac{a}{r}
+\operatorname{cn}(u,k) \operatorname{sn}(u,k)
+$}
+\\
+&=
+-k^2\frac{\operatorname{cn}(u,k)\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)}
+&&\Rightarrow&
+\frac{d}{du} \operatorname{dn}(u,k)
+&=
+-k^2\frac{\operatorname{cn}(u,k)
+\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)}
+\frac{d\varphi}{du}.
+\end{align*}
+Die einfachsten Beziehungen ergeben sich offenbar, wenn man $u$ so
+wählt, dass
+\[
+\frac{d\varphi}{du}
+=
+\operatorname{dn}(u,k)
+=
+\frac{r}{a}.
+\]
+Damit haben wir die grundlegenden Ableitungsregeln
+
+\begin{satz}
+\label{buch:elliptisch:satz:ableitungen}
+Die Jacobischen elliptischen Funktionen haben die Ableitungen
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k)
+&=
+\phantom{-}\operatorname{cn}(u,k)\operatorname{dn}(u,k)
+\\
+\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k)
+&=
+-\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{dn}(u,k)
+\\
+\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k)
+&=
+-k^2\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}(u,k).
+\end{aligned}
+\label{buch:elliptisch:eqn:ableitungsregeln}
+\end{equation}
+\end{satz}
+
+%
+% Der Grenzfall $k=1$
+%
+\subsubsection{Der Grenzwert $k\to1$}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/sncnlimit.pdf}
+\caption{Grenzfälle der Jacobischen elliptischen Funktionen 
+für die Werte $0$ und $1$ des Parameters $k$.
+\label{buch:elliptisch:fig:sncnlimit}}
+\end{figure}
+Für $k=1$ ist $k^{\prime2}=1-k^2=$ und es folgt aus den
+Relationen~\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen}
+\[
+\operatorname{cn}^2(u,k)
+-
+k^2
+\operatorname{dn}^2(u,k)
+=
+k^{\prime2}
+=
+0
+\qquad\Rightarrow\qquad
+\operatorname{cn}^2(u,1)
+=
+\operatorname{dn}^2(u,1),
+\]
+die beiden Funktionen
+$\operatorname{cn}(u,k)$
+und
+$\operatorname{dn}(u,k)$
+fallen also zusammen.
+Die Ableitungsregeln werden dadurch vereinfacht:
+\begin{align*}
+\operatorname{sn}'(u,1)
+&=
+\operatorname{cn}(u,1)
+\operatorname{dn}(u,1)
+=
+\operatorname{cn}^2(u,1)
+=
+1-\operatorname{sn}^2(u,1)
+&&\Rightarrow& y'&=1-y^2
+\\
+\operatorname{cn}'(u,1)
+&=
+-
+\operatorname{sn}(u,1)
+\operatorname{dn}(u,1)
+=
+-
+\operatorname{sn}(u,1)\operatorname{cn}(u,1)
+&&\Rightarrow&
+\frac{z'}{z}&=(\log z)' = -y
+\end{align*}
+Die erste Differentialgleichung für $y$ lässt sich separieren, man findet
+die Lösung
+\[
+\frac{y'}{1-y^2}
+=
+1
+\quad\Rightarrow\quad
+\int \frac{dy}{1-y^2} = \int \,du
+\quad\Rightarrow\quad
+\operatorname{artanh}(y) = u
+\quad\Rightarrow\quad
+\operatorname{sn}(u,1)=\tanh u.
+\]
+Damit kann man jetzt auch $z$ berechnen:
+\begin{align*}
+(\log \operatorname{cn}(u,1))'
+&=
+\tanh u
+&&\Rightarrow&
+\log\operatorname{cn}(u,1)
+&=
+-\int\tanh u\,du
+=
+-\log\cosh u
+\\
+&
+&&\Rightarrow&
+\operatorname{cn}(u,1)
+&=
+\frac{1}{\cosh u}
+=
+\operatorname{sech}u.
+\end{align*}
+Die Grenzfunktionen sind in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:sncnlimit}
+dargestellt.
+
+%
+% Das Argument u
+%
+\subsubsection{Das Argument $u$}
+Die Gleichung 
+\begin{equation}
+\frac{d\varphi}{du}
+=
+\operatorname{dn}(u,k)
+\label{buch:elliptisch:eqn:uableitung}
+\end{equation}
+ermöglicht, $\varphi$ in Abhängigkeit von $u$ zu berechnen, ohne jedoch
+die geometrische Bedeutung zu klären.
+Das beginnt bereits damit, dass der Winkel $\varphi$ nicht nicht der
+Polarwinkel des Punktes $P$ in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef}
+ist, diesen nennen wir $\vartheta$.
+Der Zusammenhang zwischen $\varphi$ und $\vartheta$ ist
+\begin{equation}
+\frac1{a}\tan\varphi = \tan\vartheta
+\label{buch:elliptisch:eqn:phitheta}
+\end{equation}
+
+Um die geometrische Bedeutung besser zu verstehen, nehmen wir jetzt an,
+dass die Ellipse mit einem Parameter $t$ parametrisiert ist, dass also
+$\varphi(t)$, $\vartheta(t)$ und $u(t)$ Funktionen von $t$ sind.
+Die Ableitung von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:phitheta} ist
+\[
+\frac1{a}\cdot \frac{1}{\cos^2\varphi}\cdot \dot{\varphi}
+=
+\frac{1}{\cos^2\vartheta}\cdot \dot{\vartheta}.
+\]
+Daraus kann die Ableitung von $\vartheta$ nach $\varphi$ bestimmt
+werden, sie ist
+\[
+\frac{d\vartheta}{d\varphi}
+=
+\frac{\dot{\vartheta}}{\dot{\varphi}}
+=
+\frac{1}{a}
+\cdot
+\frac{\cos^2\vartheta}{\cos^2\varphi}
+=
+\frac{1}{a}
+\cdot
+\frac{(x/r)^2}{(x/a)^2}
+=
+\frac{1}{a}\cdot
+\frac{a^2}{r^2}
+=
+\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{\operatorname{dn}^2(u,k)}.
+\]
+Damit kann man jetzt mit Hilfe von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:uableitung} 
+Die Ableitung von $\vartheta$ nach $u$ ermitteln, sie ist
+\[
+\frac{d\vartheta}{du}
+=
+\frac{d\vartheta}{d\varphi}
+\cdot
+\frac{d\varphi}{du}
+=
+\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{\operatorname{dn}^2(u,k)}
+\cdot
+\operatorname{dn}(u,k)
+=
+\frac{1}{a}
+\cdot
+\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)}
+=
+\frac{1}{a}
+\cdot\frac{a}{r}
+=
+\frac{1}{r},
+\]
+wobei wir auch die Definition der Funktion $\operatorname{dn}(u,k)$
+verwendet haben.
+
+In der Parametrisierung mit dem Parameter $t$ kann man jetzt die Ableitung
+von $u$ nach $t$ berechnen als
+\[
+\frac{du}{dt}
+=
+\frac{du}{d\vartheta}
+\frac{d\vartheta}{dt}
+=
+r
+\dot{\vartheta}.
+\]
+Darin ist $\dot{\vartheta}$ die Winkelgeschwindigkeit des Punktes um
+das Zentrum $O$ und $r$ ist die aktuelle Entfernung des Punktes $P$
+von $O$.
+$r\dot{\vartheta}$ ist also die Geschwindigkeitskomponenten des Punktes
+$P$ senkrecht auf den aktuellen Radiusvektor.
+Der Parameter $u$, der zum Punkt $P$ gehört, ist also das Integral
+\[
+u(P) = \int_0^P r\,d\vartheta.
+\]
+Für einen Kreis ist die Geschwindigkeit von $P$ immer senkrecht
+auf dem Radiusvektor und der Radius ist konstant, so dass
+$u(P)=\vartheta(P)$ ist.
+
+%
+% Die abgeleiteten elliptischen Funktionen
+%
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/jacobi12.pdf}
+\caption{Die Verhältnisse der Funktionen
+$\operatorname{sn}(u,k)$,
+$\operatorname{cn}(u,k)$
+udn
+$\operatorname{dn}(u,k)$
+geben Anlass zu neun weitere Funktionen, die sich mit Hilfe
+des Strahlensatzes geometrisch interpretieren lassen.
+\label{buch:elliptisch:fig:jacobi12}}
+\end{figure}
+\begin{table}
+\centering
+\renewcommand{\arraystretch}{2.5}
+\begin{tabular}{|>{$\displaystyle}c<{$}|>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}|}
+\hline
+\cdot &
+\frac{1}{1} &
+\frac{1}{\operatorname{sn}(u,k)} &
+\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)} &
+\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)} 
+\\[5pt]
+\hline
+1&
+&%\operatorname{nn}(u,k)=\frac{1}{1} &
+\operatorname{ns}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{sn}(u,k)} &
+\operatorname{nc}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)} &
+\operatorname{nd}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)}
+\\
+\operatorname{sn}(u,k) &
+\operatorname{sn}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{1}&
+&%\operatorname{ss}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}&
+\operatorname{sc}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}&
+\operatorname{sd}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)}
+\\
+\operatorname{cn}(u,k) &
+\operatorname{cn}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{1} &
+\operatorname{cs}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}&
+&%\operatorname{cc}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}&
+\operatorname{cd}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)}
+\\
+\operatorname{dn}(u,k) &
+\operatorname{dn}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{1} &
+\operatorname{ds}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}&
+\operatorname{dc}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}&
+%\operatorname{dd}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)}
+\\[5pt]
+\hline
+\end{tabular}
+\caption{Zusammenstellung der abgeleiteten Jacobischen elliptischen
+Funktionen in hinteren drei Spalten als Quotienten der grundlegenden
+Jacobischen elliptischen Funktionen.
+Die erste Spalte zum Nenner $1$ enthält die grundlegenden
+Jacobischen elliptischen Funktionen.
+\label{buch:elliptisch:table:abgeleitetjacobi}}
+\end{table}
+
+%
+% Die abgeleiteten elliptischen Funktionen
+%
+\subsubsection{Die abgeleiteten elliptischen Funktionen}
+Zusätzlich zu den grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktioenn
+lassen sich weitere elliptische Funktionen bilden, die unglücklicherweise
+die {\em abgeleiteten elliptischen Funktionen} genannt werden.
+Ähnlich wie die trigonometrischen Funktionen $\tan\alpha$, $\cot\alpha$,
+$\sec\alpha$ und $\csc\alpha$ als Quotienten von $\sin\alpha$ und
+$\cos\alpha$ definiert sind, sind die abgeleiteten elliptischen Funktionen
+die in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:table:abgeleitetjacobi} zusammengestellten
+Quotienten der grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen.
+Die Bezeichnungskonvention ist, dass die Funktion $\operatorname{pq}(u,k)$
+ein Quotient ist, dessen Zähler durch den Buchstaben p bestimmt ist,
+der Nenner durch den Buchstaben q.
+Der Buchstabe n steht für eine $1$, die Buchstaben s, c und d stehen für
+die Anfangsbuchstaben der grundlegenden Jacobischen elliptischen
+Funktionen.
+Meint man irgend eine der Jacobischen elliptischen Funktionen, schreibt
+man manchmal auch $\operatorname{zn}(u,k)$.
+
+In Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobi12} sind die Quotienten auch
+geometrisch interpretiert.
+Der Wert der Funktion $\operatorname{nq}(u,k)$ ist die auf dem Strahl
+mit Polarwinkel $\varphi$ abgetragene Länge bis zu den vertikalen
+Geraden, die den verschiedenen möglichen Nennern entsprechen.
+Entsprechend ist der Wert der Funktion $\operatorname{dq}(u,k)$ die
+Länge auf dem Strahl mit Polarwinkel $\vartheta$.
+
+Die Relationen~\ref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen}
+ermöglichen, jede Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ durch jede
+andere auszudrücken.
+Die schiere Anzahl solcher Beziehungen macht es unmöglich, sie 
+übersichtlich in einer Tabelle zusammenzustellen, daher soll hier
+nur an einem Beispiel das Vorgehen gezeigt werden:
+
+\begin{beispiel}
+Die Funktion $\operatorname{sc}(u,k)$ soll durch $\operatorname{cd}(u,k)$
+ausgedrückt werden.
+Zunächst ist 
+\[
+\operatorname{sc}(u,k)
+=
+\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}
+\]
+nach Definition.
+Im Resultat sollen nur noch $\operatorname{cn}(u,k)$ und
+$\operatorname{dn}(u,k)$ vorkommen.
+Daher eliminieren wir zunächst die Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$
+mit Hilfe von \eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} und erhalten
+\begin{equation}
+\operatorname{sc}(u,k)
+=
+\frac{\sqrt{1-\operatorname{cn}^2(u,k)}}{\operatorname{cn}(u,k)}.
+\label{buch:elliptisch:eqn:allgausdruecken}
+\end{equation}
+Nun genügt es, die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ durch
+$\operatorname{cd}(u,k)$ auszudrücken.
+Aus der Definition und der
+dritten Relation in \eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} 
+erhält man
+\begin{align*}
+\operatorname{cd}^2(u,k)
+&=
+\frac{\operatorname{cn}^2(u,k)}{\operatorname{dn}^2(u,k)}
+=
+\frac{\operatorname{cn}^2(u,k)}{k^{\prime2}+k^2\operatorname{cn}^2(u,k)}
+\\
+\Rightarrow
+\qquad
+k^{\prime 2}
+\operatorname{cd}^2(u,k)
++
+k^2\operatorname{cd}^2(u,k)\operatorname{cn}^2(u,k)
+&=
+\operatorname{cn}^2(u,k)
+\\
+\operatorname{cn}^2(u,k)
+-
+k^2\operatorname{cd}^2(u,k)\operatorname{cn}^2(u,k)
+&=
+k^{\prime 2}
+\operatorname{cd}^2(u,k)
+\\
+\operatorname{cn}^2(u,k)
+&=
+\frac{
+k^{\prime 2}
+\operatorname{cd}^2(u,k)
+}{
+1 - k^2\operatorname{cd}^2(u,k)
+}
+\end{align*}
+Für den Zähler brauchen wir $1-\operatorname{cn}^2(u,k)$, also
+\[
+1-\operatorname{cn}^2(u,k)
+=
+\frac{
+1
+-
+k^2\operatorname{cd}^2(u,k)
+-
+k^{\prime 2}
+\operatorname{cd}^2(u,k)
+}{
+1
+-
+k^2\operatorname{cd}^2(u,k)
+}
+=
+\frac{1-\operatorname{cd}^2(u,k)}{1-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)}
+\]
+Einsetzen in~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgausdruecken} gibt
+\begin{align*}
+\operatorname{sc}(u,k)
+&=
+\frac{
+\sqrt{1-\operatorname{cd}^2(u,k)}
+}{\sqrt{1-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)}}
+\cdot
+\frac{
+\sqrt{1 - k^2\operatorname{cd}^2(u,k)}
+}{
+k'
+\operatorname{cd}(u,k)
+}
+=
+\frac{
+\sqrt{1-\operatorname{cd}^2(u,k)}
+}{
+k'
+\operatorname{cd}(u,k)
+}.
+\qedhere
+\end{align*}
+\end{beispiel}
+
+\subsubsection{Ableitung der abgeleiteten elliptischen Funktionen}
+Aus den Ableitungen der grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen
+können mit der Quotientenregel nun auch beliebige Ableitungen der
+abgeleiteten Jacobischen elliptischen Funktionen gefunden werden.
+Als Beispiel berechnen wir die Ableitung von $\operatorname{sc}(u,k)$.
+Sie ist
+\begin{align*}
+\frac{d}{du}
+\operatorname{sc}(u,k)
+&=
+\frac{d}{du}
+\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}
+=
+\frac{
+\operatorname{sn}'(u,k)\operatorname{cn}(u,k)
+-
+\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}'(u,k)}{
+\operatorname{cn}^2(u,k)
+}
+\\
+&=
+\frac{
+\operatorname{cn}^2(u,k)\operatorname{dn}(u,k)
++
+\operatorname{sn}^2(u,k)\operatorname{dn}(u,k)
+}{
+\operatorname{cn}^2(u,k)
+}
+=
+\frac{(
+\operatorname{sn}^2(u,k)
++
+\operatorname{cn}^2(u,k)
+)\operatorname{dn}(u,k)}{
+\operatorname{cn}^2(u,k)
+}
+\\
+&=
+\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)}
+\cdot
+\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}
+=
+\operatorname{nc}(u,k)
+\operatorname{dc}(u,k).
+\end{align*}
+Man beachte, dass das Quadrat der Nennerfunktion im Resultat
+der Quotientenregel zur Folge hat, dass die
+beiden Funktionen im Resultat beide den gleichen Nenner haben wie
+die Funktion, die abgeleitet wird.
+
+Mit etwas Fleiss kann man nach diesem Muster alle Ableitungen
+\begin{equation}
+%\small
+\begin{aligned}
+\operatorname{sn}'(u,k)
+&= 
+\phantom{-}
+\operatorname{cn}(u,k)\,\operatorname{dn}(u,k)
+&&\qquad&
+\operatorname{ns}'(u,k)
+&=
+-
+\operatorname{cs}(u,k)\,\operatorname{ds}(u,k)
+\\
+\operatorname{cn}'(u,k)
+&= 
+-
+\operatorname{sn}(u,k)\,\operatorname{dn}(u,k)
+&&&
+\operatorname{nc}'(u,k)
+&=
+\phantom{-}
+\operatorname{sc}(u,k)\,\operatorname{dc}(u,k)
+\\
+\operatorname{dn}'(u,k)
+&= 
+-k^2
+\operatorname{sn}(u,k)\,\operatorname{cn}(u,k)
+&&&
+\operatorname{nd}'(u,k)
+&=
+\phantom{-}
+k^2
+\operatorname{sd}(u,k)\,\operatorname{cd}(u,k)
+\\
+\operatorname{sc}'(u,k)
+&=
+\phantom{-}
+\operatorname{dc}(u,k)\,\operatorname{nc}(u,k)
+&&&
+\operatorname{cs}'(u,k)
+&=
+-
+\operatorname{ds}(u,k)\,\operatorname{ns}(u,k)
+\\
+\operatorname{cd}'(u,k)
+&=
+-k^{\prime2}
+\operatorname{sd}(u,k)\,\operatorname{nd}(u,k)
+&&&
+\operatorname{dc}'(u,k)
+&=
+\phantom{-}
+k^{\prime2}
+\operatorname{dc}(u,k)\,\operatorname{nc}(u,k)
+\\
+\operatorname{ds}'(d,k)
+&=
+-
+\operatorname{cs}(u,k)\,\operatorname{ns}(u,k)
+&&&
+\operatorname{sd}'(d,k)
+&=
+\phantom{-}
+\operatorname{cd}(u,k)\,\operatorname{nd}(u,k)
+\end{aligned}
+\label{buch:elliptisch:eqn:alleableitungen}
+\end{equation}
+finden.
+Man beachte, dass in jeder Identität alle Funktionen den gleichen
+zweiten Buchstaben haben.
+
+\subsubsection{TODO}
+XXX algebraische Beziehungen \\
+XXX Additionstheoreme \\
+XXX Perioden
+% use https://math.stackexchange.com/questions/3013692/how-to-show-that-jacobi-sine-function-is-doubly-periodic
+
+
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile b/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile
index 68322b6..a7c9e74 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile
@@ -5,7 +5,7 @@
 #
 all:	lemniskate.pdf ellipsenumfang.pdf unvollstaendig.pdf rechteck.pdf \
 	ellipse.pdf pendel.pdf jacobiplots.pdf jacobidef.pdf jacobi12.pdf \
-	sncnlimit.pdf
+	sncnlimit.pdf slcl.pdf
 
 lemniskate.pdf:	lemniskate.tex
 	pdflatex lemniskate.tex
@@ -71,3 +71,10 @@ jacobi12.pdf:	jacobi12.tex
 sncnlimit.pdf:	sncnlimit.tex
 	pdflatex sncnlimit.tex
 
+slcl:	slcl.cpp
+	g++ -O -Wall -std=c++11 slcl.cpp -o slcl `pkg-config --cflags gsl` `pkg-config --libs gsl`
+
+slcldata.tex:	slcl
+	./slcl --outfile=slcldata.tex --a=0 --b=13.4 --steps=200
+slcl.pdf:	slcl.tex slcldata.tex
+	pdflatex slcl.tex
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf
index 88cf119..f0e6e78 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.pdf
index 063a3e1..9e02c3c 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.pdf
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.pdf
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.tex
index f74a81f..fe90631 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.tex
@@ -27,13 +27,16 @@
 \draw[color=red,line width=2.0pt]
 	plot[domain=45:\a,samples=100] ({\x}:{sqrt(2*cos(2*\x))});
 
-\draw[->] (-1.5,0) -- (1.5,0) coordinate[label={$x$}];
-\draw[->] (0,-0.7) -- (0,0.7) coordinate[label={right:$y$}];
+\draw[->] (-1.5,0) -- (1.7,0) coordinate[label={$X$}];
+\draw[->] (0,-0.7) -- (0,0.7) coordinate[label={right:$Y$}];
 
 \fill[color=white] (1,0) circle[radius=0.02];
 \draw (1,0) circle[radius=0.02];
+\node at ({1},0) [below] {$\displaystyle a\mathstrut$};
+
 \fill[color=white] (-1,0) circle[radius=0.02];
 \draw (-1,0) circle[radius=0.02];
+\node at ({-1},0) [below] {$\displaystyle\llap{$-$}a\mathstrut$};
 
 \node[color=blue] at (\a:{0.6*sqrt(2*cos(2*\a))}) [below] {$r$};
 \node[color=red] at ({\b}:{sqrt(2*cos(2*\b))}) [above] {$s$};
@@ -41,6 +44,14 @@
 \fill[color=white] (\a:{sqrt(2*cos(2*\a))}) circle[radius=0.02];
 \draw[color=red] (\a:{sqrt(2*cos(2*\a))}) circle[radius=0.02];
 
+\draw ({sqrt(2)},{-0.1/\skala}) -- ({sqrt(2)},{0.1/\skala});
+\node at ({sqrt(2)},0) [below right]
+	{$\displaystyle a\mathstrut\sqrt{2}$};
+\draw ({-sqrt(2)},{-0.1/\skala}) -- ({-sqrt(2)},{0.1/\skala});
+\node at ({-sqrt(2)},0) [below left]
+	{$\displaystyle -a\mathstrut\sqrt{2}$};
+
+
 \end{tikzpicture}
 \end{document}
 
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.cpp b/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.cpp
new file mode 100644
index 0000000..8584e94
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.cpp
@@ -0,0 +1,128 @@
+/*
+ * slcl.cpp
+ *
+ * (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+ */
+#include <cstdlib>
+#include <cstdio>
+#include <cmath>
+#include <iostream>
+#include <fstream>
+#include <sstream>
+#include <getopt.h>
+#include <vector>
+#include <gsl/gsl_sf_elljac.h>
+
+namespace slcl {
+
+static struct option	longopts[] {
+{ "outfile",	required_argument,	NULL,	'o' },
+{ "a",		required_argument,	NULL,	'a' },
+{ "b",		required_argument,	NULL,	'b' },
+{ "steps",	required_argument,	NULL,	'n' },
+{ NULL,		0,			NULL,	 0  }
+};
+
+class plot {
+	typedef std::pair<double, double>	point_t;
+	typedef std::vector<point_t>	curve_t;
+	curve_t	_sl;
+	curve_t	_cl;
+	double	_a;
+	double	_b;
+	int	_steps;
+public:
+	double 	a() const { return _a; }
+	double 	b() const { return _b; }
+	int	steps() const { return _steps; }
+public:
+	plot(double a, double b, int steps) : _a(a), _b(b), _steps(steps) {
+		double	l = sqrt(2);
+		double	k = 1 / l;
+		double	m = k * k;
+		double	h = (b - a) / steps;
+		for (int i = 0; i <= steps; i++) {
+			double	x = a + h * i;
+			double	sn, cn, dn;
+			gsl_sf_elljac_e(x, m, &sn, &cn, &dn);
+			_sl.push_back(std::make_pair(l * x, k * sn / dn));
+			_cl.push_back(std::make_pair(l * x, cn));
+		}
+	}
+private:
+	std::string	point(const point_t p) const {
+		char	buffer[128];
+		snprintf(buffer, sizeof(buffer), "({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})",
+			p.first, p.second);
+		return std::string(buffer);
+	}
+	std::string	path(const curve_t& curve) const {
+		std::ostringstream	out;
+		auto i = curve.begin();
+		out << point(*(i++));
+		do {
+			out << std::endl << "   -- " << point(*(i++));
+		} while (i != curve.end());
+		out.flush();
+		return out.str();
+	}
+public:
+	std::string	slpath() const {
+		return path(_sl);
+	}
+	std::string	clpath() const {
+		return path(_cl);
+	}
+};
+
+/**
+ * \brief Main function for the slcl program
+ */
+int	main(int argc, char *argv[]) {
+	int	longindex;
+	int	c;
+	double	a = 0;
+	double	b = 10;
+	int	steps = 100;
+	std::ostream	*out = &std::cout;
+	while (EOF != (c = getopt_long(argc, argv, "a:b:o:n:",
+		longopts, &longindex)))
+		switch (c) {
+		case 'a':
+			a = std::stod(optarg);
+			break;
+		case 'b':
+			b = std::stod(optarg) / sqrt(2);
+			break;
+		case 'n':
+			steps = std::stol(optarg);
+			break;
+		case 'o':
+			out = new std::ofstream(optarg);
+			break;
+		}
+
+	plot	p(a, b, steps);
+	(*out) << "\\def\\slpath{ " << p.slpath();
+	(*out) << std::endl << " }" << std::endl;
+	(*out) << "\\def\\clpath{ " << p.clpath();
+	(*out) << std::endl << " }" << std::endl;
+
+	out->flush();
+	//out->close();
+	return EXIT_SUCCESS;
+}
+
+} // namespace slcl
+
+int	main(int argc, char *argv[]) {
+	try {
+		return slcl::main(argc, argv);
+	} catch (const std::exception& e) {
+		std::cerr << "terminated by exception: " << e.what();
+		std::cerr << std::endl;
+	} catch (...) {
+		std::cerr << "terminated by unknown exception" << std::endl;
+	}
+	return EXIT_FAILURE;
+}
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.pdf
new file mode 100644
index 0000000..c15051b
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.pdf
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.tex
new file mode 100644
index 0000000..0af1027
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.tex
@@ -0,0 +1,88 @@
+%
+% tikztemplate.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\input{slcldata.tex}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+% add image content here
+\def\lemniscateconstant{2.6220575542}
+\pgfmathparse{(3.1415926535/2)/\lemniscateconstant}
+\xdef\scalechange{\pgfmathresult}
+
+\pgfmathparse{\scalechange*(180/3.1415926535)}
+\xdef\ts{\pgfmathresult}
+
+\def\dx{1}
+\def\dy{3}
+
+\draw[line width=0.3pt]
+	({\lemniscateconstant*\dx},0)
+	--
+	({\lemniscateconstant*\dx},{1*\dy});
+\draw[line width=0.3pt]
+	({2*\lemniscateconstant*\dx},0)
+	--
+	({2*\lemniscateconstant*\dx},{-1*\dy});
+\draw[line width=0.3pt]
+	({3*\lemniscateconstant*\dx},0)
+	--
+	({3*\lemniscateconstant*\dx},{-1*\dy});
+\draw[line width=0.3pt]
+	({4*\lemniscateconstant*\dx},0)
+	--
+	({4*\lemniscateconstant*\dx},{1*\dy});
+\draw[line width=0.3pt]
+	({5*\lemniscateconstant*\dx},0)
+	--
+	({5*\lemniscateconstant*\dx},{1*\dy});
+
+\draw[color=red!40,line width=1.4pt]
+	plot[domain=0:13,samples=200] ({\x},{\dy*sin(\ts*\x)});
+\draw[color=blue!40,line width=1.4pt]
+	plot[domain=0:13,samples=200] ({\x},{\dy*cos(\ts*\x)});
+
+\draw[color=red,line width=1.4pt] \slpath;
+\draw[color=blue,line width=1.4pt] \clpath;
+
+\draw[->] (0,{-1*\dy-0.1}) -- (0,{1*\dy+0.4}) coordinate[label={right:$r$}];
+\draw[->] (-0.1,0) -- (13.6,0) coordinate[label={$s$}];
+
+\foreach \i in {1,2,3,4,5}{
+	\draw ({\lemniscateconstant*\i},-0.1) -- ({\lemniscateconstant*\i},0.1);
+}
+\node at ({\lemniscateconstant*\dx},0)   [below left]  {$\frac{\varpi}2\mathstrut$};
+\node at ({2*\lemniscateconstant*\dx},0) [below left]  {$\varpi\mathstrut$};
+\node at ({3*\lemniscateconstant*\dx},0) [below right] {$\frac{3\varpi}2\mathstrut$};
+\node at ({4*\lemniscateconstant*\dx},0) [below right] {$2\varpi\mathstrut$};
+\node at ({5*\lemniscateconstant*\dx},0) [below left]  {$\frac{5\varpi}2\mathstrut$};
+
+\node[color=red] at ({1.6*\lemniscateconstant*\dx},{0.6*\dy})
+	[below left] {$\operatorname{sl}(s)$};
+\node[color=red!50] at ({1.5*\lemniscateconstant*\dx},{sin(1.5*90)*\dy*0.90})
+	[above right] {$\sin \bigl(\frac{\pi}{\varpi}s\bigr)$};
+
+\node[color=blue] at ({1.4*\lemniscateconstant*\dx},{-0.6*\dy})
+	[above right] {$\operatorname{cl}(s)$};
+\node[color=blue!50] at ({1.5*\lemniscateconstant*\dx},{cos(1.5*90)*\dy*0.90})
+	[below left] {$\cos\bigl(\frac{\pi}{\varpi}s\bigr)$};
+
+\draw (-0.1,{1*\dy}) -- (0.1,{1*\dy});
+\draw (-0.1,{-1*\dy}) -- (0.1,{-1*\dy});
+\node at (0,{1*\dy}) [left] {$1\mathstrut$};
+\node at (0,0) [left] {$0\mathstrut$};
+\node at (0,{-1*\dy}) [left] {$-1\mathstrut$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex
index f1e0987..166ea41 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex
@@ -22,1597 +22,5 @@ dann muss man die Umkehrfunktionen der elliptischen Integrale dafür ins
 Auge fassen.
 
 
-%
-% ellpitische Funktionen als Trigonometrie
-%
-\subsection{Elliptische Funktionen als Trigonometrie}
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/ellipse.pdf}
-\caption{Kreis und Ellipse zum Vergleich und zur Herleitung der 
-elliptischen Funktionen von Jacobi als ``trigonometrische'' Funktionen
-auf einer Ellipse.
-\label{buch:elliptisch:fig:ellipse}}
-\end{figure}
-% based on Willliam Schwalm, Elliptic functions and elliptic integrals
-% https://youtu.be/DCXItCajCyo
-
-%
-% Geometrie einer Ellipse
-%
-\subsubsection{Geometrie einer Ellipse}
-Eine {\em Ellipse} ist die Menge der Punkte der Ebene, für die die Summe
-\index{Ellipse}%
-der Entfernungen von zwei festen Punkten $F_1$ und $F_2$,
-den {\em Brennpunkten}, konstant ist.
-\index{Brennpunkt}%
-In Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:ellipse} eine Ellipse
-mit Brennpunkten in $F_1=(-e,0)$ und $F_2=(e,0)$ dargestellt,
-die durch die Punkte $(\pm a,0)$ und $(0,\pm b)$ auf den Achsen geht.
-Der Punkt $(a,0)$ hat die Entfernungen $a+e$ und $a-e$ von den beiden
-Brennpunkten, also die Entfernungssumme $a+e+a-e=2a$.
-Jeder andere Punkt auf der Ellipse muss ebenfalls diese Entfernungssumme
-haben, insbesondere auch der Punkt $(0,b)$.
-Seine Entfernung zu jedem Brennpunkt muss aus Symmetriegründen gleich gross,
-also $a$ sein.
-Aus dem Satz von Pythagoras liest man daher ab, dass
-\[
-b^2+e^2=a^2
-\qquad\Rightarrow\qquad
-e^2 = a^2-b^2
-\]
-sein muss.
-Die Strecke $e$ heisst auch {\em (lineare) Exzentrizität} der Ellipse.
-Das Verhältnis $\varepsilon= e/a$  heisst die {\em numerische Exzentrizität}
-der Ellipse.
-
-%
-% Die Ellipsengleichung
-%
-\subsubsection{Ellipsengleichung}
-Der Punkt $P=(x,y)$ auf der Ellipse hat die Entfernungen
-\begin{equation}
-\begin{aligned}
-\overline{PF_1}^2
-&=
-y^2 + (x+e)^2
-\\
-\overline{PF_2}^2
-&=
-y^2 + (x-e)^2
-\end{aligned}
-\label{buch:elliptisch:eqn:wurzelausdruecke}
-\end{equation}
-von den Brennpunkten, für die 
-\begin{equation}
-\overline{PF_1}+\overline{PF_2}
-=
-2a
-\label{buch:elliptisch:eqn:pf1pf2a}
-\end{equation}
-gelten muss.
-Man kann nachrechnen, dass ein Punkt $P$, der die Gleichung
-\[
-\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1
-\]
-erfüllt, auch die Eigenschaft~\eqref{buch:elliptisch:eqn:pf1pf2a}
-erfüllt.
-Zur Vereinfachung setzen wir $l_1=\overline{PF_1}$ und $l_2=\overline{PF_2}$.
-$l_1$ und $l_2$ sind Wurzeln aus der rechten Seite von
-\eqref{buch:elliptisch:eqn:wurzelausdruecke}.
-Das Quadrat von $l_1+l_2$ ist
-\[
-l_1^2 + 2l_1l_2 + l_2^2 = 4a^2.
-\]
-Um die Wurzeln ganz zu eliminieren, bringt man das Produkt $l_1l_2$ alleine
-auf die rechte Seite und quadriert.
-Man muss also verifizieren, dass
-\[
-(l_1^2 + l_2^2 -4a^2)^2 = 4l_1^2l_2^2.
-\]
-In den entstehenden Ausdrücken muss man ausserdem $e=\sqrt{a^2-b^2}$ und
-\[
-y=b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}
-\]
-substituieren.
-Diese Rechnung führt man am einfachsten mit Hilfe eines
-Computeralgebraprogramms durch, welches obige Behauptung bestätigt.
-
-%
-% Normierung
-%
-\subsubsection{Normierung}
-Die trigonometrischen Funktionen sind definiert als Verhältnisse 
-von Seiten rechtwinkliger Dreiecke.
-Dadurch, dass man den die Hypothenuse auf Länge $1$ normiert, 
-kann man die Sinus- und Kosinus-Funktion als Koordinaten eines
-Punktes auf dem Einheitskreis interpretieren.
-
-Für die Koordinaten eines Punktes auf der Ellipse ist dies nicht so einfach,
-weil es nicht nur eine Ellipse gibt, sondern für jede numerische Exzentrizität
-mindestens eine mit Halbeachse $1$.
-Wir wählen die Ellipsen so, dass $a$ die grosse Halbachse ist, also $a>b$.
-Als Normierungsbedingung verwenden wir, dass $b=1$ sein soll, wie in
-Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef}.
-Dann ist $a=1/\varepsilon>1$.
-In dieser Normierung haben Punkte $(x,y)$ auf der Ellipse $y$-Koordinaten
-zwischen $-1$ und $1$ und $x$-Koordinaten zwischen $-a$ und $a$.
-
-Im Zusammenhang mit elliptischen Funktionen wird die numerische Exzentrizität
-$\varepsilon$ auch mit
-\[
-k
-=
-\varepsilon
-=
-\frac{e}{a}
-=
-\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}
-=
-\frac{\sqrt{a^2-1}}{a},
-\]
-die Zahl $k$ heisst auch der {\em Modulus}.
-Man kann $a$ auch durch $k$ ausdrücken, durch Quadrieren und Umstellen
-findet man
-\[
-k^2a^2 = a^2-1
-\quad\Rightarrow\quad
-1=a^2(k^2-1)
-\quad\Rightarrow\quad
-a=\frac{1}{\sqrt{k^2-1}}.
-\]
-
-Die Gleichung der ``Einheitsellipse'' zu diesem Modulus ist
-\[
-\frac{x^2}{a^2}+y^2=1
-\qquad\text{oder}\qquad
-x^2(k^2-1) + y^2 = 1.
-\]
-
-%
-% Definition der elliptischen Funktionen
-%
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/jacobidef.pdf}
-\caption{Definition der elliptischen Funktionen als Trigonometrie
-an einer Ellipse mit Halbachsen $a$ und $1$.
-\label{buch:elliptisch:fig:jacobidef}}
-\end{figure}
-\subsubsection{Definition der elliptischen Funktionen}
-Die elliptischen Funktionen für einen Punkt $P$ auf der Ellipse mit Modulus $k$
-können jetzt als Verhältnisse der Koordinaten des Punktes definieren.
-Es stellt sich aber die Frage, was man als Argument verwenden soll.
-Es soll so etwas wie den Winkel $\varphi$ zwischen der $x$-Achse und dem
-Radiusvektor zum Punkt $P$
-darstellen, aber wir haben hier noch eine Wahlfreiheit, die wir später
-ausnützen möchten.
-Im Moment müssen wir die Frage noch nicht beantworten und nennen das
-noch unbestimmte Argument $u$.
-Wir kümmern uns später um die Frage, wie $u$ von $\varphi$ abhängt.
-
-Die Funktionen, die wir definieren wollen, hängen ausserdem auch 
-vom Modulus ab.
-Falls der verwendete Modulus aus dem Zusammenhang klar ist, lassen
-wir das $k$-Argument weg.
-
-Die Punkte auf dem Einheitskreis haben alle den gleichen Abstand vom
-Nullpunkt, dies ist gleichzeitig die definierende Gleichung $r^2=x^2+y^2=1$
-des Kreises.
-Die Punkte auf der Ellipse erfüllen die Gleichung $x^2/a^2+y^2=1$,
-die Entfernung der Punkte $r=\sqrt{x^2+y^2}$ vom Nullpunkt variert aber.
-
-In Analogie zu den trigonometrischen Funktionen setzen wir jetzt für 
-die Funktionen
-\[
-\begin{aligned}
-&\text{sinus amplitudinis:}&
-{\color{red}\operatorname{sn}(u,k)}&= y \\
-&\text{cosinus amplitudinis:}&
-{\color{blue}\operatorname{cn}(u,k)}&= \frac{x}{a} \\
-&\text{delta amplitudinis:}&
-{\color{darkgreen}\operatorname{dn}(u,k)}&=\frac{r}{a},
-\end{aligned}
-\]
-die auch in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef}
-dargestellt sind.
-Aus der Gleichung der Ellipse folgt sofort, dass
-\[
-\operatorname{sn}(u,k)^2 + \operatorname{cn}(u,k)^2 = 1
-\]
-ist.
-Der Satz von Pythagoras kann verwendet werden, um die Entfernung zu
-berechnen, also gilt
-\begin{equation}
-r^2
-=
-a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2
-=
-x^2 + y^2
-=
-a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 + \operatorname{sn}(u,k)^2
-\quad
-\Rightarrow
-\quad
-a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2
-=
-a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 + \operatorname{sn}(u,k)^2.
-\label{buch:elliptisch:eqn:sncndnrelation}
-\end{equation}
-Ersetzt man
-$
-a^2\operatorname{cn}(u,k)^2
-=
-a^2-a^2\operatorname{sn}(u,k)^2
-$, ergibt sich
-\[
-a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2
-=
-a^2-a^2\operatorname{sn}(u,k)^2
-+
-\operatorname{sn}(u,k)^2
-\quad
-\Rightarrow
-\quad
-\operatorname{dn}(u,k)^2
-+
-\frac{a^2-1}{a^2}\operatorname{sn}(u,k)^2
-=
-1,
-\]
-woraus sich die Identität
-\[
-\operatorname{dn}(u,k)^2 + k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2 = 1
-\]
-ergibt.
-Ebenso kann man aus~\eqref{buch:elliptisch:eqn:sncndnrelation}
-die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ eliminieren, was auf
-\[
-a^2\operatorname{dn}(u,k)^2
-=
-a^2\operatorname{cn}(u,k)^2
-+1-\operatorname{cn}(u,k)^2
-=
-(a^2-1)\operatorname{cn}(u,k)^2
-+1.
-\]
-Nach Division durch $a^2$ ergibt sich
-\begin{align*}
-\operatorname{dn}(u,k)^2
--
-k^2\operatorname{cn}(u,k)^2
-&=
-\frac{1}{a^2}
-=
-\frac{a^2-a^2+1}{a^2}
-=
-1-k^2 =: k^{\prime 2}.
-\end{align*}
-Wir stellen die hiermit gefundenen Relationen zwischen den grundlegenden
-Jacobischen elliptischen Funktionen für später zusammen in den Formeln
-\begin{equation}
-\begin{aligned}
-\operatorname{sn}^2(u,k)
-+
-\operatorname{cn}^2(u,k)
-&=
-1
-\\
-\operatorname{dn}^2(u,k) + k^2\operatorname{sn}^2(u,k)
-&=
-1
-\\
-\operatorname{dn}^2(u,k)  -k^2\operatorname{cn}^2(u,k)
-&=
-k^{\prime 2}.
-\end{aligned}
-\label{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen}
-\end{equation}
-zusammen.
-So wie es möglich ist, $\sin\alpha$ durch $\cos\alpha$ auszudrücken,
-ist es mit
-\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen}
-jetzt auch möglich jede grundlegende elliptische Funktion durch
-jede anderen auszudrücken.
-Die Resultate sind in der Tabelle~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobi-relationen}
-zusammengestellt.
-
-\begin{table}
-\centering
-\renewcommand{\arraystretch}{2.1}
-\begin{tabular}{|>{$\displaystyle}c<{$}|>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}|}
-\hline
-&\operatorname{sn}(u,k)
-&\operatorname{cn}(u,k)
-&\operatorname{dn}(u,k)\\
-\hline
-\operatorname{sn}(u,k)
-&\operatorname{sn}(u,k)
-&\sqrt{1-\operatorname{cn}^2(u,k)}
-&\frac1k\sqrt{1-\operatorname{dn}^2(u,k)}
-\\
-\operatorname{cn}(u,k)
-&\sqrt{1-\operatorname{sn}^2(u,k)}
-&\operatorname{cn}(u,k)
-&\frac{1}{k}\sqrt{\operatorname{dn}^2(u,k)-k^{\prime2}}
-\\
-\operatorname{dn}(u,k)
-&\sqrt{1-k^2\operatorname{sn}^2(u,k)}
-&\sqrt{k^{\prime2}+k^2\operatorname{cn}^2(u,k)}
-&\operatorname{dn}(u,k)
-\\
-\hline
-\end{tabular}
-\caption{Jede der Jacobischen elliptischen Funktionen lässt sich
-unter Verwendung der Relationen~\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen}
-durch jede andere ausdrücken.
-\label{buch:elliptisch:fig:jacobi-relationen}}
-\end{table}
-
-%
-% Ableitungen der Jacobi-ellpitischen Funktionen
-% 
-\subsubsection{Ableitung}
-Die trigonometrischen Funktionen sind deshalb so besonders nützlich 
-für die Lösung von Schwingungsdifferentialgleichungen, weil sie die
-Beziehungen
-\[
-\frac{d}{d\varphi}  \cos\varphi = -\sin\varphi
-\qquad\text{und}\qquad
-\frac{d}{d\varphi}  \sin\varphi = \cos\varphi
-\]
-erfüllen.
-So einfach können die Beziehungen natürlich nicht sein, sonst würde sich
-durch Integration ja wieder nur die trigonometrischen Funktionen ergeben.
-Durch geschickte Wahl des Arguments $u$ kann man aber erreichen, dass
-sie ähnlich nützliche Beziehungen zwischen den Ableitungen ergeben.
-
-Gesucht ist jetzt also eine Wahl für das Argument $u$ zum Beispiel in
-Abhängigkeit von $\varphi$, dass sich einfache und nützliche
-Ableitungsformeln ergeben.
-Wir setzen daher $u(\varphi)$ voraus und beachten, dass $x$ und $y$
-ebenfalls von $\varphi$ abhängen, es ist
-$y=\sin\varphi$ und $x=a\cos\varphi$.
-Die Ableitungen von $x$ und $y$ nach $\varphi$ sind
-\begin{align*}
-\frac{dy}{d\varphi}
-&=
-\cos\varphi
-=
-\frac{1}{a} x
-=
-\operatorname{cn}(u,k)
-\\
-\frac{dx}{d\varphi}
-&=
--a\sin\varphi
-=
--a y
-=
--a\operatorname{sn}(u,k).
-\end{align*}
-Daraus kann man jetzt die folgenden Ausdrücke für die Ableitungen der
-elliptischen Funktionen nach $\varphi$ ableiten:
-\begin{align*}
-\frac{d}{d\varphi} \operatorname{sn}(u,z)
-&=
-\frac{d}{d\varphi} y(\varphi)
-=
-\cos\varphi
-=
-\frac{x}{a}
-=
-\operatorname{cn}(u,k)
-&&\Rightarrow&
-\frac{d}{du}
-\operatorname{sn}(u,k)
-&=
-\operatorname{cn}(u,k) \frac{d\varphi}{du}
-\\
-\frac{d}{d\varphi} \operatorname{cn}(u,z)
-&=
-\frac{d}{d\varphi} \frac{x(\varphi)}{a}
-=
--\sin\varphi
-=
--\operatorname{sn}(u,k)
-&&\Rightarrow&
-\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k)
-&=
--\operatorname{sn}(u,k) \frac{d\varphi}{du}
-\\
-\frac{d}{d\varphi} \operatorname{dn}(u,z)
-&=
-\frac{1}{a}\frac{dr}{d\varphi}
-=
-\frac{1}{a}\frac{d\sqrt{x^2+y^2}}{d\varphi}
-\\
-&=
-\frac{x}{ar} \frac{dx}{d\varphi}
-+
-\frac{y}{ar} \frac{dy}{d\varphi}
-\\
-&=
-\frac{x}{ar} (-a\operatorname{sn}(u,k))
-+
-\frac{y}{ar} \operatorname{cn}(u,k)
-\\
-&=
-\frac{x}{ar}(-ay)
-+
-\frac{y}{ar} \frac{x}{a}
-=
-\frac{xy(-1+\frac{1}{a^2})}{r} 
-\\
-&=
--\frac{xy(a^2-1)}{a^2r} 
-\\
-&=
--\frac{a^2-1}{ar}
-\operatorname{cn}(u,k) \operatorname{sn}(u,k)
-\\
-&=-k^2
-\frac{a}{r}
-\operatorname{cn}(u,k) \operatorname{sn}(u,k)
-\\
-&=
--k^2\frac{\operatorname{cn}(u,k)\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)}
-&&\Rightarrow&
-\frac{d}{du} \operatorname{dn}(u,k)
-&=
--k^2\frac{\operatorname{cn}(u,k)
-\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)}
-\frac{d\varphi}{du}
-\end{align*}
-Die einfachsten Beziehungen ergeben sich offenbar, wenn man $u$ so
-wählt, dass
-\[
-\frac{d\varphi}{du}
-=
-\operatorname{dn}(u,k)
-=
-\frac{r}{a}
-\]
-Damit haben wir die grundlegenden Ableitungsregeln
-\begin{align*}
-\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k)
-&=
-\phantom{-}\operatorname{cn}(u,k)\operatorname{dn}(u,k)
-\\
-\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k)
-&=
--\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{dn}(u,k)
-\\
-\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k)
-&=
--k^2\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}(u,k)
-\end{align*}
-der elliptischen Funktionen nach Jacobi.
-
-%
-% Der Grenzfall $k=1$
-%
-\subsubsection{Der Grenzwert $k\to1$}
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/sncnlimit.pdf}
-\caption{Grenzfälle der Jacobischen elliptischen Funktionen 
-für die Werte $0$ und $1$ des Parameters $k$.
-\label{buch:elliptisch:fig:sncnlimit}}
-\end{figure}
-Für $k=1$ ist $k^{\prime2}=1-k^2=$ und es folgt aus den
-Relationen~\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen}
-\[
-\operatorname{cn}^2(u,k)
--
-k^2
-\operatorname{dn}^2(u,k)
-=
-k^{\prime2}
-=
-0
-\qquad\Rightarrow\qquad
-\operatorname{cn}^2(u,1)
-=
-\operatorname{dn}^2(u,1),
-\]
-die beiden Funktionen
-$\operatorname{cn}(u,k)$
-und
-$\operatorname{dn}(u,k)$
-fallen also zusammen.
-Die Ableitungsregeln werden dadurch vereinfacht:
-\begin{align*}
-\operatorname{sn}'(u,1)
-&=
-\operatorname{cn}(u,1)
-\operatorname{dn}(u,1)
-=
-\operatorname{cn}^2(u,1)
-=
-1-\operatorname{sn}^2(u,1)
-&&\Rightarrow& y'&=1-y^2
-\\
-\operatorname{cn}'(u,1)
-&=
--
-\operatorname{sn}(u,1)
-\operatorname{dn}(u,1)
-=
--
-\operatorname{sn}(u,1)\operatorname{cn}(u,1)
-&&\Rightarrow&
-\frac{z'}{z}&=(\log z)' = -y
-\end{align*}
-Die erste Differentialgleichung für $y$ lässt sich separieren, man findet
-die Lösung
-\[
-\frac{y'}{1-y^2}
-=
-1
-\quad\Rightarrow\quad
-\int \frac{dy}{1-y^2} = \int \,du
-\quad\Rightarrow\quad
-\operatorname{artanh}(y) = u
-\quad\Rightarrow\quad
-\operatorname{sn}(u,1)=\tanh u.
-\]
-Damit kann man jetzt auch $z$ berechnen:
-\begin{align*}
-(\log \operatorname{cn}(u,1))'
-&=
-\tanh u
-&&\Rightarrow&
-\log\operatorname{cn}(u,1)
-&=
--\int\tanh u\,du
-=
--\log\cosh u
-\\
-&
-&&\Rightarrow&
-\operatorname{cn}(u,1)
-&=
-\frac{1}{\cosh u}
-=
-\operatorname{sech}u.
-\end{align*}
-Die Grenzfunktionen sind in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:sncnlimit}
-dargestellt.
-
-%
-% Das Argument u
-%
-\subsubsection{Das Argument $u$}
-Die Gleichung 
-\begin{equation}
-\frac{d\varphi}{du}
-=
-\operatorname{dn}(u,k)
-\label{buch:elliptisch:eqn:uableitung}
-\end{equation}
-ermöglicht, $\varphi$ in Abhängigkeit von $u$ zu berechnen, ohne jedoch
-die geometrische Bedeutung zu klären.
-Das beginnt bereits damit, dass der Winkel $\varphi$ nicht nicht der
-Polarwinkel des Punktes $P$ in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef}
-ist, diesen nennen wir $\vartheta$.
-Der Zusammenhang zwischen $\varphi$ und $\vartheta$ ist
-\begin{equation}
-\frac1{a}\tan\varphi = \tan\vartheta
-\label{buch:elliptisch:eqn:phitheta}
-\end{equation}
-
-Um die geometrische Bedeutung besser zu verstehen, nehmen wir jetzt an,
-dass die Ellipse mit einem Parameter $t$ parametrisiert ist, dass also
-$\varphi(t)$, $\vartheta(t)$ und $u(t)$ Funktionen von $t$ sind.
-Die Ableitung von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:phitheta} ist
-\[
-\frac1{a}\cdot \frac{1}{\cos^2\varphi}\cdot \dot{\varphi}
-=
-\frac{1}{\cos^2\vartheta}\cdot \dot{\vartheta}.
-\]
-Daraus kann die Ableitung von $\vartheta$ nach $\varphi$ bestimmt
-werden, sie ist
-\[
-\frac{d\vartheta}{d\varphi}
-=
-\frac{\dot{\vartheta}}{\dot{\varphi}}
-=
-\frac{1}{a}
-\cdot
-\frac{\cos^2\vartheta}{\cos^2\varphi}
-=
-\frac{1}{a}
-\cdot
-\frac{(x/r)^2}{(x/a)^2}
-=
-\frac{1}{a}\cdot
-\frac{a^2}{r^2}
-=
-\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{\operatorname{dn}^2(u,k)}.
-\]
-Damit kann man jetzt mit Hilfe von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:uableitung} 
-Die Ableitung von $\vartheta$ nach $u$ ermitteln, sie ist
-\[
-\frac{d\vartheta}{du}
-=
-\frac{d\vartheta}{d\varphi}
-\cdot
-\frac{d\varphi}{du}
-=
-\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{\operatorname{dn}^2(u,k)}
-\cdot
-\operatorname{dn}(u,k)
-=
-\frac{1}{a}
-\cdot
-\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)}
-=
-\frac{1}{a}
-\cdot\frac{a}{r}
-=
-\frac{1}{r},
-\]
-wobei wir auch die Definition der Funktion $\operatorname{dn}(u,k)$
-verwendet haben.
-
-In der Parametrisierung mit dem Parameter $t$ kann man jetzt die Ableitung
-von $u$ nach $t$ berechnen als
-\[
-\frac{du}{dt}
-=
-\frac{du}{d\vartheta}
-\frac{d\vartheta}{dt}
-=
-r
-\dot{\vartheta}.
-\]
-Darin ist $\dot{\vartheta}$ die Winkelgeschwindigkeit des Punktes um
-das Zentrum $O$ und $r$ ist die aktuelle Entfernung des Punktes $P$
-von $O$.
-$r\dot{\vartheta}$ ist also die Geschwindigkeitskomponenten des Punktes
-$P$ senkrecht auf den aktuellen Radiusvektor.
-Der Parameter $u$, der zum Punkt $P$ gehört, ist also das Integral
-\[
-u(P) = \int_0^P r\,d\vartheta.
-\]
-Für einen Kreis ist die Geschwindigkeit von $P$ immer senkrecht
-auf dem Radiusvektor und der Radius ist konstant, so dass
-$u(P)=\vartheta(P)$ ist.
-
-%
-% Die abgeleiteten elliptischen Funktionen
-%
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/jacobi12.pdf}
-\caption{Die Verhältnisse der Funktionen
-$\operatorname{sn}(u,k)$,
-$\operatorname{cn}(u,k)$
-udn
-$\operatorname{dn}(u,k)$
-geben Anlass zu neun weitere Funktionen, die sich mit Hilfe
-des Strahlensatzes geometrisch interpretieren lassen.
-\label{buch:elliptisch:fig:jacobi12}}
-\end{figure}
-\begin{table}
-\centering
-\renewcommand{\arraystretch}{2.5}
-\begin{tabular}{|>{$\displaystyle}c<{$}|>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}|}
-\hline
-\cdot &
-\frac{1}{1} &
-\frac{1}{\operatorname{sn}(u,k)} &
-\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)} &
-\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)} 
-\\[5pt]
-\hline
-1&
-&%\operatorname{nn}(u,k)=\frac{1}{1} &
-\operatorname{ns}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{sn}(u,k)} &
-\operatorname{nc}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)} &
-\operatorname{nd}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)}
-\\
-\operatorname{sn}(u,k) &
-\operatorname{sn}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{1}&
-&%\operatorname{ss}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}&
-\operatorname{sc}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}&
-\operatorname{sd}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)}
-\\
-\operatorname{cn}(u,k) &
-\operatorname{cn}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{1} &
-\operatorname{cs}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}&
-&%\operatorname{cc}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}&
-\operatorname{cd}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)}
-\\
-\operatorname{dn}(u,k) &
-\operatorname{dn}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{1} &
-\operatorname{ds}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}&
-\operatorname{dc}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}&
-%\operatorname{dd}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)}
-\\[5pt]
-\hline
-\end{tabular}
-\caption{Zusammenstellung der abgeleiteten Jacobischen elliptischen
-Funktionen in hinteren drei Spalten als Quotienten der grundlegenden
-Jacobischen elliptischen Funktionen.
-Die erste Spalte zum Nenner $1$ enthält die grundlegenden
-Jacobischen elliptischen Funktionen.
-\label{buch:elliptisch:table:abgeleitetjacobi}}
-\end{table}
-\subsubsection{Die abgeleiteten elliptischen Funktionen}
-Zusätzlich zu den grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktioenn
-lassen sich weitere elliptische Funktionen bilden, die unglücklicherweise
-die {\em abgeleiteten elliptischen Funktionen} genannt werden.
-Ähnlich wie die trigonometrischen Funktionen $\tan\alpha$, $\cot\alpha$,
-$\sec\alpha$ und $\csc\alpha$ als Quotienten von $\sin\alpha$ und
-$\cos\alpha$ definiert sind, sind die abgeleiteten elliptischen Funktionen
-die in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:table:abgeleitetjacobi} zusammengestellten
-Quotienten der grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen.
-Die Bezeichnungskonvention ist, dass die Funktion $\operatorname{pq}(u,k)$
-ein Quotient ist, dessen Zähler durch den Buchstaben p bestimmt ist,
-der Nenner durch den Buchstaben q.
-Der Buchstabe n steht für eine $1$, die Buchstaben s, c und d stehen für
-die Anfangsbuchstaben der grundlegenden Jacobischen elliptischen
-Funktionen.
-Meint man irgend eine der Jacobischen elliptischen Funktionen, schreibt
-man manchmal auch $\operatorname{zn}(u,k)$.
-
-In Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobi12} sind die Quotienten auch
-geometrisch interpretiert.
-Der Wert der Funktion $\operatorname{nq}(u,k)$ ist die auf dem Strahl
-mit Polarwinkel $\varphi$ abgetragene Länge bis zu den vertikalen
-Geraden, die den verschiedenen möglichen Nennern entsprechen.
-Entsprechend ist der Wert der Funktion $\operatorname{dq}(u,k)$ die
-Länge auf dem Strahl mit Polarwinkel $\vartheta$.
-
-Die Relationen~\ref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen}
-ermöglichen, jede Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ durch jede
-andere auszudrücken.
-Die schiere Anzahl solcher Beziehungen macht es unmöglich, sie 
-übersichtlich in einer Tabelle zusammenzustellen, daher soll hier
-nur an einem Beispiel das Vorgehen gezeigt werden:
-
-\begin{beispiel}
-Die Funktion $\operatorname{sc}(u,k)$ soll durch $\operatorname{cd}(u,k)$
-ausgedrückt werden.
-Zunächst ist 
-\[
-\operatorname{sc}(u,k)
-=
-\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}
-\]
-nach Definition.
-Im Resultat sollen nur noch $\operatorname{cn}(u,k)$ und
-$\operatorname{dn}(u,k)$ vorkommen.
-Daher eliminieren wir zunächst die Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$
-mit Hilfe von \eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} und erhalten
-\begin{equation}
-\operatorname{sc}(u,k)
-=
-\frac{\sqrt{1-\operatorname{cn}^2(u,k)}}{\operatorname{cn}(u,k)}.
-\label{buch:elliptisch:eqn:allgausdruecken}
-\end{equation}
-Nun genügt es, die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ durch
-$\operatorname{cd}(u,k)$ auszudrücken.
-Aus der Definition und der
-dritten Relation in \eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} 
-erhält man
-\begin{align*}
-\operatorname{cd}^2(u,k)
-&=
-\frac{\operatorname{cn}^2(u,k)}{\operatorname{dn}^2(u,k)}
-=
-\frac{\operatorname{cn}^2(u,k)}{k^{\prime2}+k^2\operatorname{cn}^2(u,k)}
-\\
-\Rightarrow
-\qquad
-k^{\prime 2}
-\operatorname{cd}^2(u,k)
-+
-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)\operatorname{cn}^2(u,k)
-&=
-\operatorname{cn}^2(u,k)
-\\
-\operatorname{cn}^2(u,k)
--
-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)\operatorname{cn}^2(u,k)
-&=
-k^{\prime 2}
-\operatorname{cd}^2(u,k)
-\\
-\operatorname{cn}^2(u,k)
-&=
-\frac{
-k^{\prime 2}
-\operatorname{cd}^2(u,k)
-}{
-1 - k^2\operatorname{cd}^2(u,k)
-}
-\end{align*}
-Für den Zähler brauchen wir $1-\operatorname{cn}^2(u,k)$, also
-\[
-1-\operatorname{cn}^2(u,k)
-=
-\frac{
-1
--
-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)
--
-k^{\prime 2}
-\operatorname{cd}^2(u,k)
-}{
-1
--
-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)
-}
-=
-\frac{1-\operatorname{cd}^2(u,k)}{1-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)}
-\]
-Einsetzen in~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgausdruecken} gibt
-\begin{align*}
-\operatorname{sc}(u,k)
-&=
-\frac{
-\sqrt{1-\operatorname{cd}^2(u,k)}
-}{\sqrt{1-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)}}
-\cdot
-\frac{
-\sqrt{1 - k^2\operatorname{cd}^2(u,k)}
-}{
-k'
-\operatorname{cd}(u,k)
-}
-=
-\frac{
-\sqrt{1-\operatorname{cd}^2(u,k)}
-}{
-k'
-\operatorname{cd}(u,k)
-}.
-\qedhere
-\end{align*}
-\end{beispiel}
-
-\subsubsection{Ableitung der abgeleiteten elliptischen Funktionen}
-Aus den Ableitungen der grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen
-können mit der Quotientenregel nun auch beliebige Ableitungen der
-abgeleiteten Jacobischen elliptischen Funktionen gefunden werden.
-Als Beispiel berechnen wir die Ableitung von $\operatorname{sc}(u,k)$.
-Sie ist
-\begin{align*}
-\frac{d}{du}
-\operatorname{sc}(u,k)
-&=
-\frac{d}{du}
-\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}
-=
-\frac{
-\operatorname{sn}'(u,k)\operatorname{cn}(u,k)
--
-\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}'(u,k)}{
-\operatorname{cn}^2(u,k)
-}
-\\
-&=
-\frac{
-\operatorname{cn}^2(u,k)\operatorname{dn}(u,k)
-+
-\operatorname{sn}^2(u,k)\operatorname{dn}(u,k)
-}{
-\operatorname{cn}^2(u,k)
-}
-=
-\frac{(
-\operatorname{sn}^2(u,k)
-+
-\operatorname{cn}^2(u,k)
-)\operatorname{dn}(u,k)}{
-\operatorname{cn}^2(u,k)
-}
-\\
-&=
-\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)}
-\cdot
-\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}
-=
-\operatorname{nc}(u,k)
-\operatorname{dc}(u,k).
-\end{align*}
-Man beachte, dass das Quadrat der Nennerfunktion im Resultat
-der Quotientenregel zur Folge hat, dass die
-beiden Funktionen im Resultat beide den gleichen Nenner haben wie
-die Funktion, die abgeleitet wird.
-
-Mit etwas Fleiss kann man nach diesem Muster alle Ableitungen
-\begin{equation}
-%\small
-\begin{aligned}
-\operatorname{sn}'(u,k)
-&= 
-\phantom{-}
-\operatorname{cn}(u,k)\,\operatorname{dn}(u,k)
-&&\qquad&
-\operatorname{ns}'(u,k)
-&=
--
-\operatorname{cs}(u,k)\,\operatorname{ds}(u,k)
-\\
-\operatorname{cn}'(u,k)
-&= 
--
-\operatorname{sn}(u,k)\,\operatorname{dn}(u,k)
-&&&
-\operatorname{nc}'(u,k)
-&=
-\phantom{-}
-\operatorname{sc}(u,k)\,\operatorname{dc}(u,k)
-\\
-\operatorname{dn}'(u,k)
-&= 
--k^2
-\operatorname{sn}(u,k)\,\operatorname{cn}(u,k)
-&&&
-\operatorname{nd}'(u,k)
-&=
-\phantom{-}
-k^2
-\operatorname{sd}(u,k)\,\operatorname{cd}(u,k)
-\\
-\operatorname{sc}'(u,k)
-&=
-\phantom{-}
-\operatorname{dc}(u,k)\,\operatorname{nc}(u,k)
-&&&
-\operatorname{cs}'(u,k)
-&=
--
-\operatorname{ds}(u,k)\,\operatorname{ns}(u,k)
-\\
-\operatorname{cd}'(u,k)
-&=
--k^{\prime2}
-\operatorname{sd}(u,k)\,\operatorname{nd}(u,k)
-&&&
-\operatorname{dc}'(u,k)
-&=
-\phantom{-}
-k^{\prime2}
-\operatorname{dc}(u,k)\,\operatorname{nc}(u,k)
-\\
-\operatorname{ds}'(d,k)
-&=
--
-\operatorname{cs}(u,k)\,\operatorname{ns}(u,k)
-&&&
-\operatorname{sd}'(d,k)
-&=
-\phantom{-}
-\operatorname{cd}(u,k)\,\operatorname{nd}(u,k)
-\end{aligned}
-\label{buch:elliptisch:eqn:alleableitungen}
-\end{equation}
-finden.
-Man beachte, dass in jeder Identität alle Funktionen den gleichen
-zweiten Buchstaben haben.
-
-\subsubsection{TODO}
-XXX algebraische Beziehungen \\
-XXX Additionstheoreme \\
-XXX Perioden
-% use https://math.stackexchange.com/questions/3013692/how-to-show-that-jacobi-sine-function-is-doubly-periodic
-
-
-XXX Ableitungen \\
-XXX Werte \\
-
-%
-% Lösung von Differentialgleichungen
-%
-\subsection{Lösungen von Differentialgleichungen}
-Die elliptischen Funktionen ermöglichen die Lösung gewisser nichtlinearer
-Differentialgleichungen in geschlossener Form.
-Ziel dieses Abschnitts ist, Differentialgleichungen der Form
-\(
-\ddot{x}(t)
-=
-p(x(t))
-\)
-mit einem Polynom dritten Grades als rechter Seite lösen zu können.
-
-%
-% Die Differentialgleichung der elliptischen Funktionen
-%
-\subsubsection{Die Differentialgleichungen der elliptischen Funktionen}
-Um Differentialgleichungen mit elliptischen Funktion lösen zu
-können, muss man als erstes die Differentialgleichungen derselben
-finden.
-Quadriert man die Ableitungsregel für $\operatorname{sn}(u,k)$, erhält
-man
-\[
-\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k)\biggr)^2
-=
-\operatorname{cn}(u,k)^2 \operatorname{dn}(u,k)^2.
-\]
-Die Funktionen auf der rechten Seite können durch $\operatorname{sn}(u,k)$
-ausgedrückt werden.
-\begin{align*}
-\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k)\biggr)^2
-&=
-\biggl(
-1-\operatorname{sn}(u,k)^2
-\biggr)
-\biggl(
-1-k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2
-\biggr)
-\\
-&=
-k^2\operatorname{sn}(u,k)^4 
--(1+k^2)
-\operatorname{sn}(u,k)^2 
-+1.
-\end{align*}
-Für die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ ergibt analoge Rechnung
-\begin{align*}
-\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k)
-&=
--\operatorname{sn}(u,k) \operatorname{dn}(u,k)
-\\
-\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k)\biggr)^2
-&=
-\operatorname{sn}(u,k)^2 \operatorname{dn}(u,k)^2
-\\
-&=
-\biggl(1-\operatorname{cn}(u,k)^2\biggr)
-\biggl(1-k^2+k^2 \operatorname{cn}(u,k)^2\biggr)
-\\
-&=
--k^2\operatorname{cn}(u,k)^4
--
-(1-k^2-k^2)\operatorname{cn}(u,k)^2
-+
-(1-k^2)
-\\
-\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k)
-&=
--k^2\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}(u,k)
-\\
-\biggl(
-\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k)
-\biggr)^2
-&=
-\bigl(k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2\bigr)
-\bigl(k^2 \operatorname{cn}(u,k)^2\bigr)
-\\
-&=
-\biggl(
-1-\operatorname{dn}(u,k)^2
-\biggr)
-\biggl(
-\operatorname{dn}(u,k)^2-k^2+1
-\biggr)
-\\
-&=
--\operatorname{dn}(u,k)^4
--
-2\operatorname{dn}(u,k)^2
--k^2+1.
-\end{align*}
-\begin{table}
-\centering
-\renewcommand{\arraystretch}{2}
-\begin{tabular}{|>{$}l<{$}|>{$}l<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
-\hline
-\text{Funktion $y=$}&\text{Differentialgleichung}&\alpha&\beta&\gamma&\multicolumn{3}{c|}{Signatur}\\
-\hline
-\operatorname{sn}(u,k)
-	& y'^2 = \phantom{-}(1-y^2)(1-k^2y^2)
-		&k^2&1&1 &+&+&+
-\\
-\operatorname{cn}(u,k)
-	&y'^2 = \phantom{-}(1-y^2)(1-k^2+k^2y^2)
-		&-k^2	&2k^2-1&1-k^2 &-&&+
-\\
-\operatorname{dn}(u,k)
-	& y'^2 = -(1-y^2)(1-k^2-y^2)
-		&1	&1-k^2	&-(1-k^2)&+&+&-
-\\
-\hline
-\end{tabular}
-\caption{Elliptische Funktionen als Lösungsfunktionen für verschiedene
-nichtlineare Differentialgleichungen der Art
-\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}.
-Die Vorzeichen der Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$
-entscheidet darüber, welche Funktion für die Lösung verwendet werden
-muss.
-\label{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen}}
-\end{table}
-
-Die elliptischen Funktionen genügen also alle einer nichtlinearen
-Differentialgleichung erster Ordnung der selben Art.
-Das Quadrat der Ableitung ist ein Polynom vierten Grades der Funktion.
-Um dies besser einzufangen, schreiben wir $\operatorname{zn}(u,k)$,
-wenn wir eine beliebige der drei Funktionen
-$\operatorname{sn}(u,k)$,
-$\operatorname{cn}(u,k)$
-oder
-$\operatorname{dn}(u,k)$
-meinen.
-Die Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ ist also Lösung der
-Differentialgleichung
-\begin{equation}
-\operatorname{zn}'(u,k)^2
-=
-\alpha \operatorname{zn}(u,k)^4 + \beta \operatorname{zn}(u,)^2 + \gamma,
-\label{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}
-\end{equation}
-wobei wir mit $\operatorname{zn}'(u,k)$ die Ableitung von
-$\operatorname{zn}(u,k)$ nach dem ersten Argument meinen.
-Die Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ hängen von $k$ ab,
-vor allem aber haben Sie verschiedene Vorzeichen.
-Je nach Vorzeichen sind also eine andere elliptische Funktion als
-Lösung zu verwenden.
-
-%
-% Jacobischen elliptische Funktionen und elliptische Integrale
-%
-\subsubsection{Jacobische elliptische Funktionen als elliptische Integrale}
-Die in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen}
-zusammengestellten Differentialgleichungen ermöglichen nun, den
-Zusammenhang zwischen den Funktionen 
-$\operatorname{sn}(u,k)$, $\operatorname{cn}(u,k)$ und $\operatorname{dn}(u,k)$
-und den unvollständigen elliptischen Integralen herzustellen.
-Die Differentialgleichungen sind alle von der Form
-\begin{equation}
-\biggl(
-\frac{d y}{d u}
-\biggr)^2
-=
-p(u),
-\label{buch:elliptisch:eqn:allgdgl}
-\end{equation}
-wobei $p(u)$ ein Polynom vierten Grades in $y$ ist.
-Diese Differentialgleichung lässt sich mit Separation lösen.
-Dazu zieht man aus~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} die
-Wurzel
-\begin{align}
-\frac{dy}{du}
-=
-\sqrt{p(y)}
-\notag
-\intertext{und trennt die Variablen. Man erhält}
-\int\frac{dy}{\sqrt{p(y)}} = u+C.
-\label{buch:elliptisch:eqn:yintegral}
-\end{align}
-Solange $p(y)>0$ ist, ist der Integrand auf der linken Seite
-von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:yintegral} ebenfalls positiv und
-das Integral ist eine monoton wachsende Funktion $F(y)$.
-Insbesondere ist $F(y)$ invertierbar.
-Die Lösung $y(u)$ der Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl}
-ist daher 
-\[
-y(u) = F^{-1}(u+C).
-\]
-Die Jacobischen elliptischen Funktionen sind daher inverse Funktionen
-der unvollständigen elliptischen Integrale.
-
-\subsubsection{Differentialgleichung zweiter Ordnung}
-Leitet die Differentialgleichung ~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}
-man dies nochmals nach $u$ ab, erhält man die Differentialgleichung
-\[
-2\operatorname{zn}''(u,k)\operatorname{zn}'(u,k)
-=
-4\alpha \operatorname{zn}(u,k)^3\operatorname{zn}'(u,k) + 2\beta \operatorname{zn}'(u,k)\operatorname{zn}(u,k).
-\]
-Teilt man auf beiden Seiten durch $2\operatorname{zn}'(u,k)$,
-bleibt die nichtlineare
-Differentialgleichung
-\[
-\frac{d^2\operatorname{zn}}{du^2}
-=
-\beta \operatorname{zn} + 2\alpha \operatorname{zn}^3.
-\]
-Dies ist die Gleichung eines harmonischen Oszillators mit einer 
-Anharmonizität der Form $2\alpha z^3$.
-
-%
-% Differentialgleichung des anharmonischen Oszillators
-%
-\subsubsection{Differentialgleichung des anharmonischen Oszillators}
-Wir möchten die nichtlineare Differentialgleichung
-\begin{equation}
-\biggl(
-\frac{dx}{dt}
-\biggr)^2
-=
-Ax^4+Bx^2 + C
-\label{buch:elliptisch:eqn:allgdgl}
-\end{equation}
-mit Hilfe elliptischer Funktionen lösen.
-Wir nehmen also an, dass die gesuchte Lösung eine Funktion der Form
-\begin{equation}
-x(t) = a\operatorname{zn}(bt,k)
-\label{buch:elliptisch:eqn:loesungsansatz}
-\end{equation}
-ist.
-Die erste Ableitung von $x(t)$ ist
-\[
-\dot{x}(t) 
-=
-a\operatorname{zn}'(bt,k).
-\]
-
-Indem wir diesen Lösungsansatz in die
-Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl}
-einsetzen, erhalten wir
-\begin{equation}
-a^2b^2 \operatorname{zn}'(bt,k)^2
-=
-a^4A\operatorname{zn}(bt,k)^4
-+
-a^2B\operatorname{zn}(bt,k)^2
-+C
-\label{buch:elliptisch:eqn:dglx}
-\end{equation}
-Andererseits wissen wir, dass $\operatorname{zn}(u,k)$ einer
-Differentilgleichung der Form~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}
-erfüllt.
-Wenn wir \eqref{buch:elliptisch:eqn:dglx} durch $a^2b^2$ teilen, können wir
-die rechte Seite von \eqref{buch:elliptisch:eqn:dglx} mit der rechten
-Seite von \eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} vergleichen:
-\[
-\frac{a^2A}{b^2}\operatorname{zn}(bt,k)^4
-+
-\frac{B}{b^2}\operatorname{zn}(bt,k)^2
-+\frac{C}{a^2b^2}
-=
-\alpha\operatorname{zn}(bt,k)^4
-+
-\beta\operatorname{zn}(bt,k)^2
-+
-\gamma\operatorname{zn}(bt,k).
-\]
-Daraus ergeben sich die Gleichungen
-\begin{align}
-\alpha &= \frac{a^2A}{b^2},
-&
-\beta &= \frac{B}{b^2}
-&&\text{und}
-&
-\gamma &= \frac{C}{a^2b^2}
-\label{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl}
-\intertext{oder aufgelöst nach den Koeffizienten der ursprünglichen
-Differentialgleichung}
-A&=\frac{\alpha b^2}{a^2}
-&
-B&=\beta b^2
-&&\text{und}&
-C &= \gamma a^2b^2
-\label{buch:elliptisch:eqn:koeffABC}
-\end{align}
-für die Koeffizienten der Differentialgleichung der zu verwendenden
-Funktion.
-
-Man beachte, dass nach \eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} die 
-Koeffizienten $A$, $B$ und $C$ die gleichen Vorzeichen haben wie
-$\alpha$, $\beta$ und $\gamma$, da in 
-\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} nur mit Quadraten multipliziert
-wird, die immer positiv sind.
-Diese Vorzeichen bestimmen, welche der Funktionen gewählt werden muss.
-
-In den Differentialgleichungen für die elliptischen Funktionen gibt
-es nur den Parameter $k$, der angepasst werden kann.
-Es folgt, dass die Gleichungen
-\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} 
-auch $a$ und $b$ bestimmen.
-Zum Beispiel folgt aus der letzten Gleichung, dass
-\[
-b = \pm\sqrt{\frac{B}{\beta}}.
-\]
-Damit folgt dann aus der zweiten
-\[
-a=\pm\sqrt{\frac{\beta C}{\gamma B}}.
-\]
-Die verbleibende Gleichung legt $k$ fest.
-Das folgende Beispiel illustriert das Vorgehen am Beispiel einer
-Gleichung, die Lösungsfunktion $\operatorname{sn}(u,k)$ verlangt.
-
-\begin{beispiel}
-Wir nehmen an, dass die Vorzeichen von $A$, $B$ und $C$ gemäss
-Tabelle~\ref{buch:elliptische:tabelle:loesungsfunktionen} verlangen,
-dass die Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ für die Lösung verwendet
-werden muss.
-Die Tabelle sagt dann auch, dass 
-$\alpha=k^2$, $\beta=1$ und $\gamma=1$ gewählt werden müssen.
-Aus dem Koeffizientenvergleich~\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl}
-folgt dann der Reihe nach
-\begin{align*}
-b&=\pm \sqrt{B}
-\\
-a&=\pm \sqrt{\frac{C}{B}}
-\\
-k^2
-&=
-\frac{AC}{B^2}.
-\end{align*}
-Man beachte, dass man $k^2$ durch Einsetzen von
-\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffABC}
-auch direkt aus den Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$
-erhalten kann, nämlich
-\[
-\frac{AC}{B^2}
-=
-\frac{\frac{\alpha b^2}{a^2} \gamma a^2b^2}{\beta^2 b^4}
-=
-\frac{\alpha\gamma}{\beta^2}.
-\qedhere
-\]
-\end{beispiel}
-
-Da alle Parameter im 
-Lösungsansatz~\eqref{buch:elliptisch:eqn:loesungsansatz} bereits
-festgelegt sind stellt sich die Frage, woher man einen weiteren
-Parameter nehmen kann, mit dem Anfangsbedingungen erfüllen kann.
-Die Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} ist
-autonom, die Koeffizienten der rechten Seite der Differentialgleichung
-sind nicht von der Zeit abhängig. 
-Damit ist eine zeitverschobene Funktion $x(t-t_0)$ ebenfalls eine
-Lösung der Differentialgleichung.
-Die allgmeine Lösung der 
-Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} hat
-also die Form
-\[
-x(t) = a\operatorname{zn}(b(t-t_0)),
-\]
-wobei die Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ auf Grund der Vorzeichen
-von $A$, $B$ und $C$ gewählt werden müssen.
-
-%
-% Das mathematische Pendel
-%
-\subsection{Das mathematische Pendel
-\label{buch:elliptisch:subsection:mathpendel}}
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/pendel.pdf}
-\caption{Mathematisches Pendel
-\label{buch:elliptisch:fig:mathpendel}}
-\end{figure}
-Das in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} dargestellte
-Mathematische Pendel besteht aus einem Massepunkt der Masse $m$
-im Punkt $P$,
-der über eine masselose Stange der Länge $l$ mit dem Drehpunkt $O$
-verbunden ist.
-Das Pendel bewegt sich unter dem Einfluss der Schwerebeschleunigung $g$.
-
-Das Trägheitsmoment des Massepunktes um den Drehpunkt $O$ ist
-\(
-I=ml^2
-\).
-Das Drehmoment der Schwerkraft ist
-\(M=gl\sin\vartheta\).
-Die Bewegungsgleichung wird daher
-\[
-\begin{aligned}
-\frac{d}{dt} I\dot{\vartheta}
-&=
-M
-=
-gl\sin\vartheta
-\\
-ml^2\ddot{\vartheta}
-&=
-gl\sin\vartheta
-&&\Rightarrow&
-\ddot{\vartheta}
-&=\frac{g}{l}\sin\vartheta
-\end{aligned}
-\]
-Dies ist eine nichtlineare Differentialgleichung zweiter Ordnung, die
-wir nicht unmittelbar mit den Differentialgleichungen erster Ordnung
-der elliptischen Funktionen vergleichen können.
-
-Die Differentialgleichungen erster Ordnung der elliptischen Funktionen
-enthalten das Quadrat der ersten Ableitung.
-In unserem Fall entspricht das einer Gleichung, die $\dot{\vartheta}^2$
-enthält.
-Der Energieerhaltungssatz kann uns eine solche Gleichung geben.
-Die Summe von kinetischer und potentieller Energie muss konstant sein.
-Dies führt auf
-\[
-E_{\text{kinetisch}}
-+
-E_{\text{potentiell}}
-=
-\frac12I\dot{\vartheta}^2
-+
-mgl(1-\cos\vartheta)
-=
-\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2
-+
-mgl(1-\cos\vartheta)
-=
-E
-\]
-Durch Auflösen nach $\dot{\vartheta}$ kann man jetzt die
-Differentialgleichung
-\[
-\dot{\vartheta}^2
-=
--
-\frac{2g}{l}(1-\cos\vartheta)
-+\frac{2E}{ml^2}
-\]
-finden.
-In erster Näherung, d.h. wenn man die rechte Seite bis zu vierten
-Potenzen in eine Taylor-Reihe in $\vartheta$ entwickelt,  ist dies
-tatsächlich eine Differentialgleichung der Art, wie wir sie für
-elliptische Funktionen gefunden haben, wir möchten aber eine exakte
-Lösung konstruieren.
-
-Die maximale Energie für eine Bewegung, bei der sich das Pendel gerade
-über den höchsten Punkt hinweg zu bewegen vermag, ist 
-$E=2lmg$.
-Falls $E<2mgl$ ist, erwarten wir Schwingungslösungen, bei denen 
-der Winkel $\vartheta$ immer im offenen Interval $(-\pi,\pi)$
-bleibt.
-Für $E>2mgl$ wird sich das Pendel im Kreis bewegen, für sehr grosse
-Energie ist die kinetische Energie dominant, die Verlangsamung im
-höchsten Punkt wird immer weniger ausgeprägt sein.
-
-%
-% Koordinatentransformation auf elliptische Funktionen
-%
-\subsubsection{Koordinatentransformation auf elliptische Funktionen}
-Wir verwenden als neue Variable 
-\[
-y = \sin\frac{\vartheta}2
-\]
-mit der Ableitung
-\[
-\dot{y}=\frac12\cos\frac{\vartheta}{2}\cdot \dot{\vartheta}.
-\]
-Man beachte, dass $y$ nicht eine Koordinate in
-Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} ist.
-
-Aus den Halbwinkelformeln finden wir
-\[
-\cos\vartheta
-=
-1-2\sin^2 \frac{\vartheta}2
-=
-1-2y^2.
-\]
-Dies können wir zusammen mit der
-Identität $\cos^2\vartheta/2 = 1-\sin^2\vartheta/2 = 1-y^2$
-in die Energiegleichung einsetzen und erhalten
-\[
-\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 + mgly^2 = E
-\qquad\Rightarrow\qquad
-\frac14 \dot{\vartheta}^2 = \frac{E}{2ml^2} - \frac{g}{2l}y^2.
-\]
-Der konstante Term auf der rechten Seite ist grösser oder kleiner als
-$1$ je nachdem, ob das Pendel sich im Kreis bewegt oder nicht.
-
-Durch Multiplizieren mit $\cos^2\frac{\vartheta}{2}=1-y^2$
-erhalten wir auf der linken Seite einen Ausdruck, den wir
-als Funktion von $\dot{y}$ ausdrücken können.
-Wir erhalten
-\begin{align*}
-\frac14
-\cos^2\frac{\vartheta}2
-\cdot
-\dot{\vartheta}^2
-&=
-\frac14
-(1-y^2)
-\biggl(\frac{E}{2ml^2} -\frac{g}{2l}y^2\biggr)
-\\
-\dot{y}^2
-&=
-\frac{1}{4}
-(1-y^2)
-\biggl(\frac{E}{2ml^2} -\frac{g}{2l}y^2\biggr)
-\end{align*}
-Die letzte Gleichung hat die Form einer Differentialgleichung
-für elliptische Funktionen.
-Welche Funktion verwendet werden muss, hängt von der Grösse der
-Koeffizienten in der zweiten Klammer ab.
-Die Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen}
-zeigt, dass in der zweiten Klammer jeweils einer der Terme
-$1$ sein muss.
-
-%
-% Der Fall E < 2mgl
-%
-\subsubsection{Der Fall $E<2mgl$}
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf}
-\caption{%
-Abhängigkeit der elliptischen Funktionen von $u$ für
-verschiedene Werte von $k^2=m$.
-Für $m=0$ ist $\operatorname{sn}(u,0)=\sin u$, 
-$\operatorname{cn}(u,0)=\cos u$ und $\operatorname{dn}(u,0)=1$, diese
-sind in allen Plots in einer helleren Farbe eingezeichnet.
-Für kleine Werte von $m$ weichen die elliptischen Funktionen nur wenig
-von den trigonometrischen Funktionen ab,
-es ist aber klar erkennbar, dass die anharmonischen Terme in der
-Differentialgleichung die Periode mit steigender Amplitude verlängern.
-Sehr grosse Werte von $m$ nahe bei $1$ entsprechen der Situation, dass
-die Energie des Pendels fast ausreicht, dass es den höchsten Punkt
-erreichen kann, was es für $m$ macht.
-\label{buch:elliptisch:fig:jacobiplots}}
-\end{figure}
-
-
-Wir verwenden als neue Variable 
-\[
-y = \sin\frac{\vartheta}2
-\]
-mit der Ableitung
-\[
-\dot{y}=\frac12\cos\frac{\vartheta}{2}\cdot \dot{\vartheta}.
-\]
-Man beachte, dass $y$ nicht eine Koordinate in
-Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} ist.
-
-Aus den Halbwinkelformeln finden wir
-\[
-\cos\vartheta
-=
-1-2\sin^2 \frac{\vartheta}2
-=
-1-2y^2.
-\]
-Dies können wir zusammen mit der
-Identität $\cos^2\vartheta/2 = 1-\sin^2\vartheta/2 = 1-y^2$
-in die Energiegleichung einsetzen und erhalten
-\[
-\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 + mgly^2 = E.
-\]
-Durch Multiplizieren mit $\cos^2\frac{\vartheta}{2}=1-y^2$
-erhalten wir auf der linken Seite einen Ausdruck, den wir
-als Funktion von $\dot{y}$ ausdrücken können.
-Wir erhalten
-\begin{align*}
-\frac12ml^2
-\cos^2\frac{\vartheta}2
-\dot{\vartheta}^2
-&=
-(1-y^2)
-(E -mgly^2)
-\\
-\frac{1}{4}\cos^2\frac{\vartheta}{2}\dot{\vartheta}^2
-&=
-\frac{1}{2}
-(1-y^2)
-\biggl(\frac{E}{ml^2} -\frac{g}{l}y^2\biggr)
-\\
-\dot{y}^2
-&=
-\frac{E}{2ml^2}
-(1-y^2)\biggl(
-1-\frac{2gml}{E}y^2
-\biggr).
-\end{align*}
-Dies ist genau die Form der Differentialgleichung für die elliptische
-Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$
-mit $k^2 = 2gml/E< 1$.
-
-%
-% Der Fall E > 2mgl
-%
-\subsection{Der Fall $E > 2mgl$}
-In diesem Fall hat das Pendel im höchsten Punkte immer noch genügend
-kinetische Energie, so dass es sich im Kreise dreht.
-Indem wir die Gleichung
-
-XXX Differentialgleichung \\
-XXX Mathematisches Pendel \\
 
-\subsection{Soliton-Lösungen der Sinus-Gordon-Gleichung}
 
-\subsection{Nichtlineare Differentialgleichung vierter Ordnung}
-XXX Möbius-Transformation \\
-XXX Reduktion auf die Differentialgleichung elliptischer Funktionen
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex
index 7083b63..0df27a7 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex
@@ -22,23 +22,46 @@ elliptischen Funktionen hergestellt werden.
 \end{figure}
 Die Lemniskate von Bernoulli ist die Kurve vierten Grades mit der Gleichung
 \begin{equation}
-(x^2+y^2)^2 = 2a^2(x^2-y^2).
+(X^2+Y^2)^2 = 2a^2(X^2-Y^2).
 \label{buch:elliptisch:eqn:lemniskate}
 \end{equation}
 Sie ist in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:lemniskate}
 dargestellt.
-Die beiden Scheitel der Lemniskate befinden sich bei $x=\pm a/\sqrt{2}$.
+Die beiden Scheitel der Lemniskate befinden sich bei $X_s=\pm a\sqrt{2}$.
+Dividiert man die Gleichung der Lemniskate durch $X_s^2=4a^4$ entsteht 
+\begin{equation}
+\biggl(
+\biggl(\frac{X}{a\sqrt{2}}\biggr)^2
++
+\biggl(\frac{Y}{a\sqrt{2}}\biggr)^2
+\biggr)^2
+=
+2\frac{a^2}{2a^2}\biggl(
+\biggl(\frac{X}{a\sqrt{2}}\biggr)^2
+-
+\biggl(\frac{Y}{a\sqrt{2}}\biggr)^2
+\biggr).
+\qquad
+\Leftrightarrow
+\qquad
+(x^2+y^2)^2 = x^2-y^2,
+\label{buch:elliptisch:eqn:lemniskatenormiert}
+\end{equation}
+wobei wir $x=X/a\sqrt{2}$ und $y=Y/a\sqrt{2}$ gesetzt haben.
+In dieser Normierung liegen die Scheitel bei $\pm 1$.
+Dies ist die Skalierung, die für die Definition des lemniskatischen
+Sinus und Kosinus verwendet werden soll.
 
 In Polarkoordinaten $x=r\cos\varphi$ und $y=r\sin\varphi$
-gilt nach Einsetzen in \eqref{buch:elliptisch:eqn:lemniskate}
+gilt nach Einsetzen in \eqref{buch:elliptisch:eqn:lemniskatenormiert}
 \begin{equation}
 r^4
 =
-2a^2r^2(\cos^2\varphi-\sin^2\varphi)
+r^2(\cos^2\varphi-\sin^2\varphi)
 =
-2a^2r^2\cos2\varphi
+r^2\cos2\varphi
 \qquad\Rightarrow\qquad
-r^2 = 2a^2\cos 2\varphi
+r^2 = \cos 2\varphi
 \label{buch:elliptisch:eqn:lemniskatepolar}
 \end{equation}
 als Darstellung der Lemniskate in Polardarstellung.
@@ -46,15 +69,7 @@ Sie gilt für Winkel $\varphi\in[-\frac{\pi}4,\frac{\pi}4]$ für das
 rechte Blatt und $\varphi\in[\frac{3\pi}4,\frac{5\pi}4]$ für das linke
 Blatt der Lemniskate.
 
-Für die Definition des lemniskatischen Sinus wird eine Skalierung
-verwendet, die den rechten Scheitel im Punkt $(1,0)$.
-Dies ist der Fall für $a=1/\sqrt{2}$, die Gleichung der Lemniskate
-wird dann zu
-\[
-(x^2+y^2)^2 = 2(x^2-y^2).
-\]
-
-\subsubsection{Bogelänge}
+\subsection{Bogenlänge}
 Die Funktionen
 \begin{equation}
 x(r) = \frac{r}{\sqrt{2}}\sqrt{1+r^2},
@@ -76,7 +91,7 @@ r^4
 \end{align*}
 sie stellen also eine Parametrisierung der Lemniskate dar.
 
-Mit Hilfe der Parametrsierung~\eqref{buch:geometrie:eqn:lemniskateparam}
+Mit Hilfe der Parametrisierung~\eqref{buch:geometrie:eqn:lemniskateparam}
 kann man die Länge $s$ des in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:lemniskate}
 dargestellten Bogens der Lemniskate berechnen.
 Dazu benötigt man die Ableitungen nach $r$, die man mit der Produkt- und
@@ -123,11 +138,16 @@ s(r)
 \label{buch:elliptisch:eqn:lemniskatebogenlaenge}
 \end{equation}
 
-\subsubsection{Darstellung als elliptisches Integral}
+%
+% Als elliptisches Integral
+%
+\subsection{Darstellung als elliptisches Integral}
 Das unvollständige elliptische Integral erster Art mit Parameter
-$m=-1$ ist
+$k^2=-1$ oder $k=i$ ist
 \[
-K(r,-1)
+K(r,i)
+=
+\int_0^x \frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-i^2 t^2)}}
 =
 \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-(-1)t^2)}}
 =
@@ -136,11 +156,209 @@ K(r,-1)
 s(r).
 \]
 Der lemniskatische Sinus ist also eine Umkehrfunktion des
-ellptischen Integrals erster Art für einen speziellen Wert des
-Parameters $m$
+elliptischen Integrals erster Art für den speziellen Wert $i$ des
+Parameters $k$.
+
+Die Länge des rechten Blattes der Lemniskate wird mit $\varpi$ bezeichnet
+und hat den numerischen Wert
+\[
+\varpi
+=
+2\int_0^1\sqrt{\frac{1}{1-t^4}}\,dt
+=
+2.6220575542.
+\]
+$\varpi$ ist auch als die {\em lemniskatische Konstante} bekannt.
+\index{lemniskatische Konstante}%
+Der Lemniskatenbogen zwischen dem Nullpunkt und $(1,0)$ hat die Länge
+$\varpi/2$.
+
+%
+%  Bogenlängenparametrisierung
+%
+\subsection{Bogenlängenparametrisierung}
+Die Lemniskate mit der Gleichung
+\[
+(X^2+X^2)^2=2(X^2-X^2)
+\]
+(der Fall $a=1$ in \eqref{buch:elliptisch:eqn:lemniskate})
+kann mit Jacobischen elliptischen Funktionen
+parametrisiert werden.
+Dazu schreibt man
+\[
+\left.
+\begin{aligned}
+X(t)
+&=
+\sqrt{2}\operatorname{cn}(t,k) \operatorname{dn}(t,k)
+\\
+Y(t)
+&=
+\phantom{\sqrt{2}}
+\operatorname{cn}(t,k) \operatorname{sn}(t,k)
+\end{aligned}
+\quad\right\}
+\qquad\text{mit $k=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}$}
+\]
+und berechnet die beiden Seiten der definierenden Gleichung der
+Lemniskate.
+Zunächst ist
+\begin{align*}
+X(t)^2
+&=
+2\operatorname{cn}(t,k)^2
+\operatorname{dn}(t,k)^2
+\\
+Y(t)^2
+&=
+\operatorname{cn}(t,k)^2
+\operatorname{sn}(t,k)^2
+\\
+X(t)^2+Y(t)^2
+&=
+2\operatorname{cn}(t,k)^2
+\bigl(
+\underbrace{
+\operatorname{dn}(t,k)^2
++{\textstyle\frac12}
+\operatorname{sn}(t,k)^2
+}_{\displaystyle =1}
+\bigr)
+%\\
+%&
+=
+2\operatorname{cn}(t,k)^2
+\\
+X(t)^2-Y(t)^2
+&=
+\operatorname{cn}(t,k)^2
+\bigl(
+2\operatorname{dn}(t,k)^2 - \operatorname{sn}(t,k)^2
+\bigr)
+\\
+&=
+\operatorname{cn}(t,k)^2
+\bigl(
+2\bigl({\textstyle\frac12}+{\textstyle\frac12}\operatorname{cn}(t,k)^2\bigr)
+-
+\bigl(1-\operatorname{cn}(t,k)^2\bigr)
+\bigr)
+\\
+&=
+2\operatorname{cn}(t,k)^4
+\\
+\Rightarrow\qquad
+(X(t)^2+Y(t)^2)^2
+&=
+4\operatorname{cn}(t,k)^4
+=
+2(X(t)^2-Y(t)^2).
+\end{align*}
+Wir zeigen jetzt, dass dies tatsächlich eine Bogenlängenparametrisierung
+der Lemniskate ist.
+Dazu berechnen wir die Ableitungen
+\begin{align*}
+\dot{X}(t)
+&=
+\sqrt{2}\operatorname{cn}'(t,k)\operatorname{dn}(t,k)
++
+\sqrt{2}\operatorname{cn}(t,k)\operatorname{dn}'(t,k)
+\\
+&=
+-\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k)\operatorname{dn}(t,k)^2
+-\frac12\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k)\operatorname{cn}(t,k)^2
+\\
+&=
+-\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k)\bigl(
+1-{\textstyle\frac12}\operatorname{sn}(t,k)^2
++{\textstyle\frac12}-{\textstyle\frac12}\operatorname{sn}(u,t)^2
+\bigr)
+\\
+&=
+\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k)
+\bigl(
+{\textstyle \frac32}-\operatorname{sn}(t,k)^2
+\bigr)
+\\
+\dot{X}(t)^2
+&=
+2\operatorname{sn}(t,k)^2
+\bigl(
+{\textstyle \frac32}-\operatorname{sn}(t,k)^2
+\bigr)^2
+\\
+&=
+{\textstyle\frac{9}{2}}\operatorname{sn}(t,k)^2
+-
+6\operatorname{sn}(t,k)^4
++2\operatorname{sn}(t,k)^6
+\\
+\dot{Y}(t)
+&=
+\operatorname{cn}'(t,k)\operatorname{sn}(t,k)
++
+\operatorname{cn}(t,k)\operatorname{sn}'(t,k)
+\\
+&=
+-\operatorname{sn}(t,k)^2
+\operatorname{dn}(t,k)
++\operatorname{cn}(t,k)^2
+\operatorname{dn}(t,k)
+\\
+&=
+\operatorname{dn}(t,k)\bigl(1-2\operatorname{sn}(t,k)^2\bigr)
+\\
+\dot{Y}(t)^2
+&=
+\bigl(1-{\textstyle\frac12}\operatorname{sn}(t,k)^2\bigr)
+\bigl(1-2\operatorname|{sn}(t,k)^2\bigr)^2
+\\
+&=
+1-{\textstyle\frac{9}{2}}\operatorname{sn}(t,k)^2
++6\operatorname{sn}(t,k)^4
+-2\operatorname{sn}(t,k)^6
+\\
+\dot{X}(t)^2 + \dot{Y}(t)^2
+&=
+1.
+\end{align*}
+Dies bedeutet, dass die Bogenlänge zwischen den Parameterwerten $0$ und $s$
+\[
+\int_0^s
+\sqrt{\dot{X}(t)^2 + \dot{Y}(t)^2}
+\,dt
+=
+\int_0^s\,dt
+=
+s,
+\]
+der Parameter $t$ ist also ein Bogenlängenparameter.
+
+Die mit dem Faktor $1/\sqrt{2}$ skalierte Standard-Lemniskate mit der
+Gleichung
+\[
+(x^2+y^2)^2 = x^2-y^2
+\]
+hat daher eine Bogenlängenparametrisierung mit
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+x(t)
+&=
+\phantom{\frac{1}{\sqrt{2}}}
+\operatorname{cn}(\sqrt{2}t,k)\operatorname{dn}(\sqrt{2}t,k)
+\\
+y(t)
+&=
+\frac{1}{\sqrt{2}}\operatorname{cn}(\sqrt{2}t,k)\operatorname{sn}(\sqrt{2}t,k)
+\end{aligned}
+\label{buch:elliptisch:lemniskate:bogenlaenge}
+\end{equation}
+
+\subsection{Der lemniskatische Sinus und Kosinus}
+Der Sinus Berechnet die Gegenkathete zu einer gegebenen Bogenlänge des
+Kreises, er ist die Umkehrfunktion der Funktion, die der Gegenkathete
+die Bogenlänge zuordnet.
 
-\subsubsection{Der lemniskatische Sinus und Kosinus}
-Berechnet die Gegenkathete zu einer gegebenen Bogenlänge des Kreises.
 Daher ist es naheliegend, die Umkehrfunktion von $s(r)$ in 
 \eqref{buch:elliptisch:eqn:lemniskatebogenlaenge}
 den {\em lemniskatischen Sinus} zu nennen mit der Bezeichnung
@@ -150,22 +368,29 @@ Der Kosinus ist der Sinus des komplementären Winkels.
 Auch für die lemniskatische Bogenlänge $s(r)$ lässt sich eine
 komplementäre Bogenlänge definieren, nämlich die Bogenlänge zwischen
 dem Punkt $(x(r), y(r))$ und $(1,0)$.
-Die Länge des rechten Blattes der Lemniskate wird mit $\varpi$ bezeichnet
-und hat den numerischen Wert
+
+Da die Parametrisierung~\eqref{buch:elliptisch:lemniskate:bogenlaenge}
+eine Bogenlängenparametrisierung ist, darf man $t=s$ schreiben.
+Dann kann man aber auch $r(s)$ daraus berechnen,
+es ist
 \[
-\varphi
+r(s)^2
 =
-2\int_0^1\sqrt{\frac{1}{1-t^4}}\,dt
+x(s)^2 + y(s)^2
 =
-2.6220575542.
+\operatorname{cn}(s\sqrt{2},k)^2
+\qquad\Rightarrow\qquad
+r(s)
+=
+\operatorname{cn}(s\sqrt{2},k)
 \]
-Lemniskatenbogens zwischen dem Nullpunkt und $(1,0)$ hat die Länge
-$\varpi/2$.
-
-Der {\em lemniskatische Kosinus} von $s$ ist derjenige Radiuswert $r$,
-für den der Lemniskatenbogen zwischen $(x(r), y(r))$ und $(1,0)$
-die Länge $s$ hat.
-
 
-XXX Algebraische Beziehungen \\
-XXX Ableitungen \\
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/slcl.pdf}
+\caption{
+Lemniskatischer Sinus und Kosinus sowie Sinus und Kosinus
+mit derart skaliertem Argument, dass die Funktionen die gleichen Nullstellen
+haben.
+\label{buch:elliptisch:figure:slcl}}
+\end{figure}
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/mathpendel.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/mathpendel.tex
new file mode 100644
index 0000000..d61bcf6
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/mathpendel.tex
@@ -0,0 +1,250 @@
+%
+% mathpendel.tex -- Das mathematische Pendel
+%
+% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+
+\subsection{Das mathematische Pendel
+\label{buch:elliptisch:subsection:mathpendel}}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/pendel.pdf}
+\caption{Mathematisches Pendel
+\label{buch:elliptisch:fig:mathpendel}}
+\end{figure}
+Das in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} dargestellte
+Mathematische Pendel besteht aus einem Massepunkt der Masse $m$
+im Punkt $P$,
+der über eine masselose Stange der Länge $l$ mit dem Drehpunkt $O$
+verbunden ist.
+Das Pendel bewegt sich unter dem Einfluss der Schwerebeschleunigung $g$.
+
+Das Trägheitsmoment des Massepunktes um den Drehpunkt $O$ ist
+\(
+I=ml^2
+\).
+Das Drehmoment der Schwerkraft ist
+\(M=gl\sin\vartheta\).
+Die Bewegungsgleichung wird daher
+\[
+\begin{aligned}
+\frac{d}{dt} I\dot{\vartheta}
+&=
+M
+=
+gl\sin\vartheta
+\\
+ml^2\ddot{\vartheta}
+&=
+gl\sin\vartheta
+&&\Rightarrow&
+\ddot{\vartheta}
+&=\frac{g}{l}\sin\vartheta
+\end{aligned}
+\]
+Dies ist eine nichtlineare Differentialgleichung zweiter Ordnung, die
+wir nicht unmittelbar mit den Differentialgleichungen erster Ordnung
+der elliptischen Funktionen vergleichen können.
+
+Die Differentialgleichungen erster Ordnung der elliptischen Funktionen
+enthalten das Quadrat der ersten Ableitung.
+In unserem Fall entspricht das einer Gleichung, die $\dot{\vartheta}^2$
+enthält.
+Der Energieerhaltungssatz kann uns eine solche Gleichung geben.
+Die Summe von kinetischer und potentieller Energie muss konstant sein.
+Dies führt auf
+\[
+E_{\text{kinetisch}}
++
+E_{\text{potentiell}}
+=
+\frac12I\dot{\vartheta}^2
++
+mgl(1-\cos\vartheta)
+=
+\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2
++
+mgl(1-\cos\vartheta)
+=
+E
+\]
+Durch Auflösen nach $\dot{\vartheta}$ kann man jetzt die
+Differentialgleichung
+\[
+\dot{\vartheta}^2
+=
+-
+\frac{2g}{l}(1-\cos\vartheta)
++\frac{2E}{ml^2}
+\]
+finden.
+In erster Näherung, d.h. wenn man die rechte Seite bis zu vierten
+Potenzen in eine Taylor-Reihe in $\vartheta$ entwickelt,  ist dies
+tatsächlich eine Differentialgleichung der Art, wie wir sie für
+elliptische Funktionen gefunden haben, wir möchten aber eine exakte
+Lösung konstruieren.
+
+Die maximale Energie für eine Bewegung, bei der sich das Pendel gerade
+über den höchsten Punkt hinweg zu bewegen vermag, ist 
+$E=2lmg$.
+Falls $E<2mgl$ ist, erwarten wir Schwingungslösungen, bei denen 
+der Winkel $\vartheta$ immer im offenen Interval $(-\pi,\pi)$
+bleibt.
+Für $E>2mgl$ wird sich das Pendel im Kreis bewegen, für sehr grosse
+Energie ist die kinetische Energie dominant, die Verlangsamung im
+höchsten Punkt wird immer weniger ausgeprägt sein.
+
+%
+% Koordinatentransformation auf elliptische Funktionen
+%
+\subsubsection{Koordinatentransformation auf elliptische Funktionen}
+Wir verwenden als neue Variable 
+\[
+y = \sin\frac{\vartheta}2
+\]
+mit der Ableitung
+\[
+\dot{y}=\frac12\cos\frac{\vartheta}{2}\cdot \dot{\vartheta}.
+\]
+Man beachte, dass $y$ nicht eine Koordinate in
+Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} ist.
+
+Aus den Halbwinkelformeln finden wir
+\[
+\cos\vartheta
+=
+1-2\sin^2 \frac{\vartheta}2
+=
+1-2y^2.
+\]
+Dies können wir zusammen mit der
+Identität $\cos^2\vartheta/2 = 1-\sin^2\vartheta/2 = 1-y^2$
+in die Energiegleichung einsetzen und erhalten
+\[
+\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 + mgly^2 = E
+\qquad\Rightarrow\qquad
+\frac14 \dot{\vartheta}^2 = \frac{E}{2ml^2} - \frac{g}{2l}y^2.
+\]
+Der konstante Term auf der rechten Seite ist grösser oder kleiner als
+$1$ je nachdem, ob das Pendel sich im Kreis bewegt oder nicht.
+
+Durch Multiplizieren mit $\cos^2\frac{\vartheta}{2}=1-y^2$
+erhalten wir auf der linken Seite einen Ausdruck, den wir
+als Funktion von $\dot{y}$ ausdrücken können.
+Wir erhalten
+\begin{align*}
+\frac14
+\cos^2\frac{\vartheta}2
+\cdot
+\dot{\vartheta}^2
+&=
+\frac14
+(1-y^2)
+\biggl(\frac{E}{2ml^2} -\frac{g}{2l}y^2\biggr)
+\\
+\dot{y}^2
+&=
+\frac{1}{4}
+(1-y^2)
+\biggl(\frac{E}{2ml^2} -\frac{g}{2l}y^2\biggr)
+\end{align*}
+Die letzte Gleichung hat die Form einer Differentialgleichung
+für elliptische Funktionen.
+Welche Funktion verwendet werden muss, hängt von der Grösse der
+Koeffizienten in der zweiten Klammer ab.
+Die Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen}
+zeigt, dass in der zweiten Klammer jeweils einer der Terme
+$1$ sein muss.
+
+%
+% Der Fall E < 2mgl
+%
+\subsubsection{Der Fall $E<2mgl$}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf}
+\caption{%
+Abhängigkeit der elliptischen Funktionen von $u$ für
+verschiedene Werte von $k^2=m$.
+Für $m=0$ ist $\operatorname{sn}(u,0)=\sin u$, 
+$\operatorname{cn}(u,0)=\cos u$ und $\operatorname{dn}(u,0)=1$, diese
+sind in allen Plots in einer helleren Farbe eingezeichnet.
+Für kleine Werte von $m$ weichen die elliptischen Funktionen nur wenig
+von den trigonometrischen Funktionen ab,
+es ist aber klar erkennbar, dass die anharmonischen Terme in der
+Differentialgleichung die Periode mit steigender Amplitude verlängern.
+Sehr grosse Werte von $m$ nahe bei $1$ entsprechen der Situation, dass
+die Energie des Pendels fast ausreicht, dass es den höchsten Punkt
+erreichen kann, was es für $m$ macht.
+\label{buch:elliptisch:fig:jacobiplots}}
+\end{figure}
+
+
+Wir verwenden als neue Variable 
+\[
+y = \sin\frac{\vartheta}2
+\]
+mit der Ableitung
+\[
+\dot{y}=\frac12\cos\frac{\vartheta}{2}\cdot \dot{\vartheta}.
+\]
+Man beachte, dass $y$ nicht eine Koordinate in
+Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} ist.
+
+Aus den Halbwinkelformeln finden wir
+\[
+\cos\vartheta
+=
+1-2\sin^2 \frac{\vartheta}2
+=
+1-2y^2.
+\]
+Dies können wir zusammen mit der
+Identität $\cos^2\vartheta/2 = 1-\sin^2\vartheta/2 = 1-y^2$
+in die Energiegleichung einsetzen und erhalten
+\[
+\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 + mgly^2 = E.
+\]
+Durch Multiplizieren mit $\cos^2\frac{\vartheta}{2}=1-y^2$
+erhalten wir auf der linken Seite einen Ausdruck, den wir
+als Funktion von $\dot{y}$ ausdrücken können.
+Wir erhalten
+\begin{align*}
+\frac12ml^2
+\cos^2\frac{\vartheta}2
+\dot{\vartheta}^2
+&=
+(1-y^2)
+(E -mgly^2)
+\\
+\frac{1}{4}\cos^2\frac{\vartheta}{2}\dot{\vartheta}^2
+&=
+\frac{1}{2}
+(1-y^2)
+\biggl(\frac{E}{ml^2} -\frac{g}{l}y^2\biggr)
+\\
+\dot{y}^2
+&=
+\frac{E}{2ml^2}
+(1-y^2)\biggl(
+1-\frac{2gml}{E}y^2
+\biggr).
+\end{align*}
+Dies ist genau die Form der Differentialgleichung für die elliptische
+Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$
+mit $k^2 = 2gml/E< 1$.
+
+%%
+%% Der Fall E > 2mgl
+%%
+%\subsection{Der Fall $E > 2mgl$}
+%In diesem Fall hat das Pendel im höchsten Punkte immer noch genügend
+%kinetische Energie, so dass es sich im Kreise dreht.
+%Indem wir die Gleichung
+
+
+%\subsection{Soliton-Lösungen der Sinus-Gordon-Gleichung}
+
+%\subsection{Nichtlineare Differentialgleichung vierter Ordnung}
+%XXX Möbius-Transformation \\
+%XXX Reduktion auf die Differentialgleichung elliptischer Funktionen
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex
index 8e4b39f..694f18a 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex
@@ -28,9 +28,11 @@ for den anharmonischen Oszillator ab, die sie in der Form
 $\frac12m\dot{x}^2 = f(x)$ schreiben.
 \item
 Die Amplitude der Schwingung ist derjenige $x$-Wert, für den die
-Geschwindigkeit verschwindet.
+Geschwindigkeit $\dot{x}(t)$ verschwindet.
 Leiten Sie die Amplitude aus der Differentialgleichung von
-\ref{buch:1101:basic-dgl} ab.
+%\ref{buch:1101:basic-dgl}
+Teilaufgabe c)
+ab.
 Sie erhalten zwei Werte $x_{\pm}$, wobei der kleinere $x_-$
 die Amplitude einer beschränkten Schwingung beschreibt,
 während die $x_+$ die minimale Ausgangsamplitude einer gegen
@@ -66,13 +68,16 @@ wobei $k^2=x_-^2/x_+^2$ und $A$ geeignet gewählt werden müssen.
 \label{buch:1101:teilaufgabe:dgl3}
 Verwenden Sie $t(\tau) = \alpha\tau$
 und
-$Y(\tau)=X(t(\tau))$ um eine Differentialgleichung für die Funktion
-$Y(\tau)$ zu gewinnen, die die Form der Differentialgleichung
-von $\operatorname{sn}(u,k)$ hat, für die also $A=0$ in
-\eqref{buch:1101:eqn:dgl3} ist.
+$Y(\tau)=X(t(\tau))=X(\alpha\tau)$ um eine Differentialgleichung für
+die Funktion $Y(\tau)$ zu gewinnen, die die Form der Differentialgleichung
+von $\operatorname{sn}(u,k)$ hat (Abschnitt 
+\ref{buch:elliptisch:subsection:differentialgleichungen}),
+für die also $A=0$ in \eqref{buch:1101:eqn:dgl3} ist.
 \item
 Verwenden Sie die Lösung $\operatorname{sn}(u,k)$ der in 
-\ref{buch:1101:teilaufgabe:dgl3} erhaltenen Differentialgleichung,
+Teilaufgabe h)
+%\ref{buch:1101:teilaufgabe:dgl3}
+erhaltenen Differentialgleichung,
 um die Lösung $x(t)$ der ursprünglichen Gleichung aufzuschreiben.
 \end{teilaufgaben}
 
@@ -262,15 +267,21 @@ Die Ableitung von $Y(\tau)=X(t(\tau))$ nach $\tau$ ist
 =
 \alpha
 \dot{X}(t(\tau))
-\qquad\Rightarrow\qquad
-\frac{1}{\alpha^2}\frac{dY}{d\tau}
+\quad\Rightarrow\quad
+\frac{1}{\alpha}\frac{dY}{d\tau}
 =
-\dot{X}(t(\tau)).
+\dot{X}(t(\tau))
+\quad\Rightarrow\quad
+\frac{1}{\alpha^2}\biggl(\frac{dY}{d\tau}\biggr)^2
+=
+\dot{X}(t(\tau))^2.
 \]
 Die Differentialgleichung für $Y(\tau)$ ist
 \[
-\frac{2mk^2}{\delta x_+^2\alpha^2}
+\frac{2m}{\delta x_+^2\alpha^2}
+\biggl(
 \frac{dY}{d\tau}
+\biggr)^2
 =
 (1-Y^2)(1-k^2Y^2).
 \]
@@ -278,7 +289,7 @@ Der Koeffizient vor der Ableitung wird $1$, wenn man
 \[
 \alpha^2
 =
-\frac{2mk^2}{\delta x_+^2}
+\frac{2m}{\delta x_+^2}
 \]
 wählt.
 Diese Differentialgleichug hat die Lösung
@@ -294,9 +305,9 @@ x(t)
 x_- X(t)
 =
 x_- \operatorname{sn}\biggl(
-t\sqrt{\frac{\delta x_+^2}{2mk^2} }
+t\sqrt{\frac{\delta x_+^2}{2m} }
 ,k
-\biggr)
+\biggr).
 \end{align*}
 Das Produkt $\delta x_+^2$ kann auch als
 \[