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| author | daHugen <david.hugentobler@ost.ch> | 2022-04-06 11:38:38 +0200 |
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diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc b/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc index ed8fd51..a222b1c 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc @@ -9,6 +9,7 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex \ chapters/040-rekursion/integral.tex \ chapters/040-rekursion/beta.tex \ + chapters/040-rekursion/betaverteilung.tex \ chapters/040-rekursion/linear.tex \ chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex \ chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/401.tex \ diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex b/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex index ea847bc..ff59bad 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex @@ -3,11 +3,17 @@ % % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule % -\subsection{Die Beta-Funktion -\label{buch:rekursion:gamma:subsection:beta}} +\section{Die Beta-Funktion +\label{buch:rekursion:gamma:section:beta}} Die Eulersche Integralformel für die Gamma-Funktion in -Definition~\ref{buch:rekursion:def:gamma} wurde bisher nicht -gerechtfertigt. +Definition~\ref{buch:rekursion:def:gamma} wurde in +Abschnitt~\ref{buch:subsection:integral-eindeutig} +mit dem Satz von Mollerup gerechtfertigt. +Man kann Sie aber auch als Grenzfall der Beta-Funktion verstehen, +die in diesem Abschnitt dargestellt wird. + + +\subsection{Beta-Integral} In diesem Abschnitt wird das Beta-Integral eingeführt, eine Funktion von zwei Variablen, welches eine Integral-Definition mit einer reichaltigen Menge von Rekursionsbeziehungen hat, die sich direkt auf @@ -233,6 +239,16 @@ B(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} berechnet werden. \end{satz} +% +% Info über die Beta-Verteilung +% +\input{chapters/040-rekursion/betaverteilung.tex} + +\subsection{Weitere Eigenschaften der Gamma-Funktion} +Die nahe Verwandtschaft der Gamma- mit der Beta-Funktion ermöglicht +nun, weitere Eigenschaften der Gamma-Funktion mit Hilfe der Beta-Funktion +herzuleiten. + \subsubsection{Nochmals der Wert von $\Gamma(\frac12)$?} Der Wert von $\Gamma(\frac12)=\sqrt{\pi}$ wurde bereits in \eqref{buch:rekursion:gamma:wert12} @@ -484,83 +500,3 @@ Setzt man $x=\frac12$ in die Verdoppelungsformel ein, erhält man in Übereinstimmung mit dem aus \eqref{buch:rekursion:gamma:gamma12} bereits bekannten Wert. -\subsubsection{Beta-Funktion und Binomialkoeffizienten} -Die Binomialkoeffizienten können mit Hilfe der Fakultät als -\begin{align*} -\binom{n}{k} -&= -\frac{n!}{(n-k)!\,k!} -\intertext{geschrieben werden. -Drückt man die Fakultäten durch die Gamma-Funktion aus, erhält man} -&= -\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n-k+1)\Gamma(k+1)}. -\intertext{Schreibt man $x=k-1$ und $y=n-k+1$, wird daraus -wegen $x+y=k+1+n-k+1=n+2=(n+1)+1$} -&= -\frac{\Gamma(x+y-1)}{\Gamma(x)\Gamma(y)}. -\intertext{Die Rekursionsformel für die Gamma-Funktion erlaubt, -den Zähler umzuwandeln in $\Gamma(x+y-1)=\Gamma(x+y)/(x+y-1)$, so dass -der Binomialkoeffizient schliesslich} -&= -\frac{\Gamma(x+y)}{(x+y-1)\Gamma(x)\Gamma(y)} -= -\frac{1}{(n-1)B(n-k+1,k+1)} -\label{buch:rekursion:gamma:binombeta} -\end{align*} -geschrieben werden kann. -Die Rekursionsbeziehung -\[ -\binom{n+1}{k} = \binom{n}{k-1} + \binom{n}{k} -\] -der Binomialkoeffizienten erzeugt das vertraute Pascal-Dreieck, -die Formel \eqref{buch:rekursion:gamma:binombeta} für die -Binomialkoeffizienten macht daraus -\[ -\frac{n-1}{B(n-k,k-1)} -= -\frac{n-2}{B(n-k,k-2)} -+ -\frac{n-2}{B(n-k-1,k-1)}, -\] -die für ganzzahlige Argumente gilt. -Wir wollen nachrechnen, dass dies für beliebige Argumente gilt. -\begin{align*} -\frac{(n-1)\Gamma(n-1)}{\Gamma(n-k)\Gamma(k-1)} -&= -\frac{(n-2)\Gamma(n-2)}{\Gamma(n-k)\Gamma(k-2)} -+ -\frac{(n-2)\Gamma(n-2)}{\Gamma(n-k-1)\Gamma(k-1)} -\\ -\frac{\Gamma(n)}{\Gamma(n-k)\Gamma(k-1)} -&= -\frac{\Gamma(n-1)}{\Gamma(n-k)\Gamma(k-2)} -+ -\frac{\Gamma(n-1)}{\Gamma(n-k-1)\Gamma(k-1)} -\intertext{Durch Zusammenfassen der Faktoren im Zähler mit Hilfe -der Rekursionsformel für die Gamma-Funktion und Multiplizieren -mit dem gemeinsamen Nenner -$\Gamma(n-k)\Gamma(k-1)=(n-k-1)\Gamma(n-k-1)(k-2)\Gamma(k-2)$ wird daraus} -\Gamma(n) -&= -(k-2) -\Gamma(n-1) -+ -(n-k-1) -\Gamma(n-1) -\intertext{Indem wir die Rekursionsformel für die Gamma-Funktion auf -die rechte Seite anwenden können wir erreichen, dass in allen Termen -ein Faktor -$\Gamma(n-1)$ auftritt:} -(n-1)\Gamma(n-1) -&= -(k-2)\Gamma(n-1) -+ -(n+k-1)\Gamma(n-1) -\\ -n-1 -&= -k-2 -+ -n-k-1 -\end{align*} - diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/betaverteilung.tex b/buch/chapters/040-rekursion/betaverteilung.tex new file mode 100644 index 0000000..979d04c --- /dev/null +++ b/buch/chapters/040-rekursion/betaverteilung.tex @@ -0,0 +1,487 @@ +% +% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper +% +% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\subsection{Ordnungsstatistik und Beta-Funktion +\label{buch:rekursion:ordnung:section:ordnungsstatistik}} +\rhead{Ordnungsstatistik und Beta-Funktion} +In diesem Abschnitt ist $X$ eine Zufallsvariable mit der Verteilungsfunktion +$F_X(x)$, und $X_i$, $1\le i\le n$ sei ein Stichprobe von unabhängigen +Zufallsvariablen, die wie $X$ verteilt sind. +Ziel ist, die Verteilungsfunktion und die Wahrscheinlichkeitsdichte +des grössten, zweitgrössten, $k$-t-grössten Wertes in der Stichprobe +zu finden. +Wir schreiben $[n]=\{1,\dots,n\}$ für die Menge der natürlichen +Zahlen von zwischen $1$ und $n$. + +\subsubsection{Verteilung von $\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)$ und +$\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)$ +\label{buch:rekursion:ordnung:subsection:minmax}} +Die Verteilungsfunktion von $\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)$ hat +den Wert +\begin{align*} +F_{\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)}(x) +&= +P(\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n) \le x) +\\ +&= +P(X_1\le x\wedge \dots \wedge X_n\le x) +\\ +&= +P(X_1\le x) \cdot \ldots \cdot P(X_n\le x) +\\ +&= +P(X\le x)^n += +F_X(x)^n. +\end{align*} +Für die Gleichverteilung ist +\[ +F_{\text{equi}}(x) += +\begin{cases} +0&\qquad x< 0 +\\ +x&\qquad 0\le x\le 1 +\\ +1&\qquad 1<x. +\end{cases} +\] +In diesem Fall ist Verteilung des Maximums +\[ +F_{\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)}(x) += +\begin{cases} +0&\qquad x<0\\ +x^n&\qquad 0\le x\le 1\\ +1&\qquad 1 < x. +\end{cases} +\] +Mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsdichte +\[ +\varphi_{\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)} += +\frac{d}{dx} +F_{\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)}(x) += +\begin{cases} +nx^{n-1}&\qquad 0\le x\le 1\\ +0 &\qquad \text{sonst} +\end{cases} +\] +kann man zum Beispiel den Erwartungswert +\[ +E(\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)) += +\int_{-\infty}^\infty +x +\varphi_{\operatorname{X_1,\dots,X_n}}(x) +\,dx += +\int_{0}^1 x\cdot nx^{n-1}\,dt += +\biggl[ +\frac{n}{n+1}x^{n+1} +\biggr]_0^1 += +\frac{n}{n+1} +\] +berechnen. + +Ganz analog kann man auch die Verteilungsfunktion von +$\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)$ bestimmen. +Sie ist +\begin{align*} +F_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)}(x) +&= +P(x\le X_1\vee \dots \vee x\le X_n) +\\ +&= +1- +P(x > X_1\wedge \dots \wedge x > X_n) +\\ +&= +1- +(1-P(x\le X_1)) \cdot\ldots\cdot (1-P(x\le X_n)) +\\ +&= +1-(1-F_X(x))^n, +\end{align*} +Im Speziellen für im Intervall $[0,1]$ gleichverteilte $X_i$ ist die +Verteilungsfunktion des Minimums +\[ +F_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)}(x) += +\begin{cases} +0 &\qquad x<0 \\ +1-(1-x)^n&\qquad 0\le x\le 1\\ +1 &\qquad 1 < x +\end{cases} +\] +mit Wahrscheinlichkeitsdichte +\[ +\varphi_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)} += +\frac{d}{dx} +F_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)} += +\begin{cases} +n(1-x)^{n-1}&\qquad 0\le x\le 1\\ +0 &\qquad \text{sonst} +\end{cases} +\] +und Erwartungswert +\begin{align*} +E(\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n) +&= +\int_{-\infty}^\infty x\varphi_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)}(x)\,dx += +\int_0^1 x\cdot n(1-x)^{n-1}\,dx +\\ +&= +\bigl[ -x(1-x)^n \bigr]_0^1 + \int_0^1 (1-x)^n\,dx += +\biggl[ +- +\frac{1}{n+1} +(1-x)^{n+1} +\biggr]_0^1 += +\frac{1}{n+1}. +\end{align*} +Es ergibt sich daraus als natürlich Verallgemeinerung die Frage nach +der Verteilung des zweitegrössten oder zweitkleinsten Wertes unter den +Werten $X_i$. + +\subsubsection{Der $k$-t-grösste Wert} +Sie wieder $X_i$ eine Stichprobe von $n$ unabhängigen wie $X$ verteilten +Zufallsvariablen. +Diese werden jetzt der Grösse nach sortiert, die sortierten Werte werden +mit +\[ +X_{1:n} \le X_{2:n} \le \dots \le X_{(n-1):n} \le X_{n:n} +\] +bezeichnet. +Die Grössen $X_{k:n}$ sind Zufallsvariablen, sie heissen die $k$-ten +Ordnungsstatistiken. +Die in Abschnitt~\ref{buch:rekursion:ordnung:subsection:minmax} behandelten Zufallsvariablen +$\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)$ +und +$\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)$ +sind die Fälle +\begin{align*} +X_{1:n} &= \operatorname{min}(X_1,\dots,X_n) \\ +X_{n:n} &= \operatorname{max}(X_1,\dots,X_n). +\end{align*} + +Um den Wert der Verteilungsfunktion von $X_{k:n}$ zu berechnen, müssen wir +die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass $k$ der $n$ Werte $X_i$ $x$ nicht +übersteigen. +Der $k$-te Wert $X_{k:n}$ übersteigt genau dann $x$ nicht, wenn +mindestens $k$ der Zufallswerte $X_i$ $x$ nicht übersteigen, also +\[ +P(X_{k:n} \le x) += +P\left( +|\{i\in[n]\,|\, X_i\le x\}| \ge k +\right). +\] + +Das Ereignis $\{X_i\le x\}$ ist eine Bernoulli-Experiment, welches mit +Wahrscheinlichkeit $F_X(x)$ eintritt. +Die Anzahl der Zufallsvariablen $X_i$, die $x$ übertreffen, ist also +Binomialverteilt mit $p=F_X(x)$. +Damit haben wir gefunden, dass mit Wahrscheinlichkeit +\begin{equation} +F_{X_{k:n}}(x) += +P(X_{k:n}\le x) += +\sum_{i=k}^n \binom{n}{i}F_X(x)^i (1-F_X(x))^{n-i} +\label{buch:rekursion:ordnung:eqn:FXkn} +\end{equation} +mindestens $k$ der Zufallsvariablen den Wert $x$ überschreiten. + +\subsubsection{Wahrscheinlichkeitsdichte der Ordnungsstatistik} +Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Ordnungsstatistik kann durch Ableitung +von \eqref{buch:rekursion:ordnung:eqn:FXkn} gefunden, werden, sie ist +\begin{align*} +\varphi_{X_{k:n}}(x) +&= +\frac{d}{dx} +F_{X_{k:n}}(x) +\\ +&= +\sum_{i=k}^n +\binom{n}{i} +\bigl( +iF_X(x)^{i-1}\varphi_X(x) (1-F_X(x))^{n-i} +- +F_X(x)^k +(n-i) +(1-F_X(x))^{n-i-1} +\varphi_X(x) +\bigr) +\\ +&= +\sum_{i=k}^n +\binom{n}{i} +\varphi_X(x) +F_X(x)^{i-1}(1-F_X(x))^{n-i-1} +\bigl( +iF_X(x)-(n-i)(1-F_X(x)) +\bigr) +\\ +&= +\varphi_X(x) +\biggl( +\sum_{i=k}^n i\binom{n}{i} F_X(x)^{i-1}(1-F_X(x))^{n-i} +- +\sum_{j=k}^n (n-j)\binom{n}{j} F_X(x)^{j}(1-F_X(x))^{n-j-1} +\biggr) +\\ +&= +\varphi_X(x) +\biggl( +\sum_{i=k}^n i\binom{n}{i} F_X(x)^{i-1}(1-F_X(x))^{n-i} +- +\sum_{i=k+1}^{n+1} (n-i+1)\binom{n}{i-1} F_X(x)^{i-1}(1-F_X(x))^{n-i} +\biggr) +\\ +&= +\varphi_X(x) +\biggl( +k\binom{n}{k}F_X(x)^{k-1}(1-F_X(x))^{n-k} ++ +\sum_{i=k+1}^{n+1} +\left( +i\binom{n}{i} +- +(n-i+1)\binom{n}{i-1} +\right) +F_X(x)^{i-1}(1-F_X(x))^{n-i} +\biggr) +\end{align*} +Mit den wohlbekannten Identitäten für die Binomialkoeffizienten +\begin{align*} +i\binom{n}{i} +- +(n-i+1)\binom{n}{i-1} +&= +n\binom{n-1}{i-1} +- +n +\binom{n-1}{i-1} += +0 +\end{align*} +folgt jetzt +\begin{align*} +\varphi_{X_{k:n}}(x) +&= +\varphi_X(x)k\binom{n}{k} F_X(x)^{k-1}(1-F_X(x))^{n-k}(x). +\intertext{Im Speziellen für gleichverteilte Zufallsvariablen $X_i$ ist +} +\varphi_{X_{k:n}}(x) +&= +k\binom{n}{k} x^{k-1}(1-x)^{n-k}. +\end{align*} +Dies ist die Wahrscheinlichkeitsdichte einer Betaverteilung +\[ +\beta(k,n-k+1)(x) += +\frac{1}{B(k,n-k+1)} +x^{k-1}(1-x)^{n-k}. +\] +Tatsächlich ist die Normierungskonstante +\begin{align} +\frac{1}{B(k,n-k+1)} +&= +\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(k)\Gamma(n-k+1)} += +\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}. +\label{buch:rekursion:ordnung:betaverteilung:normierung1} +\end{align} +Andererseits ist +\[ +k\binom{n}{k} += +k\frac{n!}{k!(n-k)!} += +\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}, +\] +in Übereinstimmung mit~\eqref{buch:rekursion:ordnung:betaverteilung:normierung1}. +Die Verteilungsfunktion und die Wahrscheinlichkeitsdichte der +Ordnungsstatistik sind in Abbildung~\ref{buch:rekursion:ordnung:fig:order} dargestellt. + +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/040-rekursion/images/order.pdf} +\caption{Verteilungsfunktion und Wahrscheinlichkeitsdichte der +Ordnungsstatistiken $X_{k:n}$ einer gleichverteilung Zuvallsvariable +mit $n=10$. +\label{buch:rekursion:ordnung:fig:order}} +\end{figure} + +% +% Die Beta-Funktion +% +\subsection{Die Beta-Verteilung +\label{buch:rekursion:subsection:beta-verteilung}} +Die Wahrscheinlichkeitsdichte, die im +Abschnitt~\ref{buch:rekursion:ordnung:section:ordnungsstatistik} +gefunden worden ist, ist nicht nur für ganzzahlige Exponenten +definiert. + +\begin{figure} +\centering +\includegraphics[width=0.92\textwidth]{chapters/040-rekursion/images/beta.pdf} +\caption{Wahrscheinlichkeitsdichte der Beta-Verteilung +$\beta(a,b,x)$ +für verschiedene Werte der Parameter $a$ und $b$. +Die Werte des Parameters für einen Graphen einer Beta-Verteilung +sind im kleinen Quadrat rechts im Graphen +als Punkt mit der gleichen Farbe dargestellt. +\label{buch:rekursion:ordnung:fig:betaverteilungn}} +\end{figure} + +\begin{definition} +Die Beta-Verteilung ist die Verteilung mit der Wahrscheinlichkeitsdichte +\[ +\beta_{a,b}(x) += +\begin{cases} +\displaystyle +\frac{1}{B(a,b)} +x^{a-1}(1-x)^{b-1}&\qquad 0\le x \le 1\\ +0&\qquad\text{sonst.} +\end{cases} +\] +\end{definition} + +Die Beta-Funktion ist also die Normierungskonstante der Beta-Verteilung. +Die wichtigsten Kennzahlen der Beta-Verteilung wie Erwartungswert und +Varianz lassen sich alle ebenfalls als Werte der Beta-Funktion ausdrücken. + +\subsubsection{Erwartungswert} +Mit der Wahrscheinlichkeitsdichte kann man jetzt auch den Erwartungswerte +der $k$-ten Ordnungsstatistik bestimmen. +Die Rechnung ergibt: +\begin{align*} +E(X_{k:n}) +&= +\int_0^1 x\cdot k\binom{n}{k} x^{k-1}(1-x)^{n-k}\,dx += +k +\binom{n}{k} +\int_0^1 +x^{k}(1-x)^{n-k}\,dx. +\intertext{Dies ist das Beta-Integral} +&= +k\binom{n}{k} +B(k+1,n-k+1) +\intertext{welches man durch Gamma-Funktionen bzw.~durch Fakultäten wie in} +&= +k\frac{n!}{k!(n-k)!} +\frac{\Gamma(k+1)\Gamma(n-k+1)}{n+2} += +k\frac{n!}{k!(n-k)!} +\frac{k!(n-k)!}{(n+1)!} += +\frac{k}{n+1} +\end{align*} +ausdrücken kann. +Die Erwartungswerte haben also regelmässige Abstände, sie sind in +Abbildung~\ref{buch:rekursion:ordnung:fig:order} als blaue vertikale Linien eingezeichnet. + +Für die Beta-Verteilung lässt sich die Rechnung noch allgemeiner +durchführen. +Der Erwartungswert einer $\beta_{a,b}$-verteilten Zufallsvariablen $X$ +ist +\begin{align*} +E(X) +&= +\int_0^1 x \beta_{a,b}(x)\,dx += +\frac{1}{B(a,b)} +\int_0^1 x\cdot x^{a-1}(1-x)^{b-1}\,dx += +\frac{B(a+1,b)}{B(a,b)} += +\frac{a}{a+b}. +\end{align*} +Durch Einsetzen von $a=k+1$ und $b=n-k+1$ lassen sich die für die +Ordnungsstatistik berechneten Werte wiederfinden. + +\subsubsection{Varianz} +Auch die Varianz lässt sich einfach berechnen, dazu muss zunächst +der Erwartungswert von $X_{k:n}^2$ bestimmt werden. +Er ist +\begin{align*} +E(X_{k:n}^2) +&= +\int_0^1 x^2\cdot k\binom{n}{k} x^{k-1}(1-x)^{n-k}\,dx += +k +\binom{n}{k} +\int_0^1 +x^{k+1}(1-x)^{n-k}\,dx. +\intertext{Auch dies ist ein Beta-Integral, nämlich} +&= +k\binom{n}{k} +B(k+2,n-k+1) += +k\frac{n!}{k!(n-k)!} +\frac{(k+1)!(n-k)!}{(n+2)!} += +\frac{k(k+1)}{(n+1)(n+2)}. +\end{align*} +Die Varianz wird damit +\begin{align} +\operatorname{var}(X_{k:n}) +&= +E(X_{k:n}^2) - E(X_{k:n})^2 +\notag +\\ +& += +\frac{k(k+1)}{(n+1)(n+2)}-\frac{k^2}{(n+1)^2} += +\frac{k(k+1)(n+1)-k^2(n+2)}{(n+1)^2(n+2)} += +\frac{k(n-k+1)}{(n+1)^2(n+2)}. +\label{buch:rekursion:ordnung:eqn:ordnungsstatistik:varianz} +\end{align} +In Abbildung~\ref{buch:rekursion:ordnung:fig:order} ist die Varianz der +Ordnungsstatistik $X_{k:n}$ für $k=7$ und $n=10$ als oranges +Rechteck dargestellt. + +Auch die Varianz kann ganz allgemein für die Beta-Verteilung +bestimmt werden. +Dazu berechnen wir zunächst +\begin{align*} +E(X^2) +&= +\frac{1}{B(a,b)} +\int_0^1 +x^2\cdot x^{a-1}(1-y)^{b-1}\,dx += +\frac{B(a+2,b)}{B(a,b)}. +\end{align*} +Daraus folgt dann +\[ +\operatorname{var}(X) += +E(X^2)-E(X)^2 += +\frac{B(a+2,b)B(a,b)-B(a+1,b)^2}{B(a,b)^2}. +\] + +Die Formel~\eqref{buch:rekursion:ordnung:eqn:ordnungsstatistik:varianz} +besagt auch, dass die Varianz der proportional ist zu $k((n+1)-k)$. +Dieser Ausdruck ist am grössten für $k=(n+1)/2$, die Varianz ist +also grösser für die ``mittleren'' Ordnungstatistiken als für die +extremen $X_{1:n}=\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)$ und +$X_{n:n}=\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)$. + diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/Makefile b/buch/chapters/040-rekursion/images/Makefile index 9608a94..86dfa1e 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/images/Makefile +++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/Makefile @@ -3,7 +3,7 @@ # # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # -all: gammaplot.pdf fibonacci.pdf +all: gammaplot.pdf fibonacci.pdf order.pdf beta.pdf gammaplot.pdf: gammaplot.tex gammapaths.tex pdflatex gammaplot.tex @@ -16,3 +16,17 @@ fibonaccigrid.tex: fibonacci.m fibonacci.pdf: fibonacci.tex fibonaccigrid.tex pdflatex fibonacci.tex + +order.pdf: order.tex orderpath.tex + pdflatex order.tex + +orderpath.tex: order.m + octave order.m + +beta.pdf: beta.tex betapaths.tex + pdflatex beta.tex + +betapaths.tex: betadist.m + octave betadist.m + + diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/beta.pdf b/buch/chapters/040-rekursion/images/beta.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..0e6567b --- /dev/null +++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/beta.pdf diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/beta.tex b/buch/chapters/040-rekursion/images/beta.tex new file mode 100644 index 0000000..1e1a1b3 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/beta.tex @@ -0,0 +1,236 @@ +% +% beta.tex -- display some symmetric beta distributions +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc} +\input{betapaths.tex} +\begin{document} +\def\skala{12} +\definecolor{colorone}{rgb}{1.0,0.6,0.0} +\definecolor{colortwo}{rgb}{1.0,0.0,0.0} +\definecolor{colorthree}{rgb}{0.6,0.0,0.6} +\definecolor{colorfour}{rgb}{0.6,0.0,1.0} +\definecolor{colorfive}{rgb}{0.0,0.0,1.0} +\definecolor{colorsix}{rgb}{0.4,0.6,1.0} +\definecolor{colorseven}{rgb}{0.0,0.0,0.0} +\definecolor{coloreight}{rgb}{0.0,0.8,0.8} +\definecolor{colornine}{rgb}{0.0,0.8,0.2} +\definecolor{colorten}{rgb}{0.2,0.4,0.0} +\definecolor{coloreleven}{rgb}{0.6,1.0,0.0} +\definecolor{colortwelve}{rgb}{1.0,0.8,0.4} + +\def\achsen{ + \foreach \x in {0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9}{ + \draw ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) -- ({\x*\dx},{0.1/\skala}); + \node at ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) [below] {$\x$}; + } + \foreach \y in {1,2,3,4}{ + \draw ({-0.1/\skala},{\y*\dy}) -- ({0.1/\skala},{\y*\dy}); + \node at ({-0.1/\skala},{\y*\dy}) [left] {$\y$}; + } + \def\x{1} + \draw ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) -- ({\x*\dx},{0.1/\skala}); + \node at ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) [below] {$\x$}; + \def\x{0} + \node at ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) [below] {$\x$}; + + \draw[->] ({-0.1/\skala},0) -- ({1*\dx+0.4/\skala},0) + coordinate[label={$x$}]; + \draw[->] (0,{-0.1/\skala}) -- (0,{\betamax*\dy+0.4/\skala},0) + coordinate[label={right:$\beta(a,b,x)$}]; +} + +\def\farbcoord#1#2{ + ({\dx*(0.63+((#1)/5)*0.27)},{\dx*(0.18+((#2)/5)*0.27)}) +} +\def\farbviereck{ + \foreach \x in {1,2,3,4}{ + \draw[color=gray!30] \farbcoord{\x}{0} -- \farbcoord{\x}{4}; + \draw[color=gray!30] \farbcoord{0}{\x} -- \farbcoord{4}{\x}; + } + \draw[->] \farbcoord{0}{0} -- \farbcoord{4.4}{0} + coordinate[label={$a$}]; + \draw[->] \farbcoord{0}{0} -- \farbcoord{0}{4.4} + coordinate[label={left: $b$}]; + \foreach \x in {1,2,3,4}{ + \node[color=gray] at \farbcoord{4}{\x} [right] {\tiny $b=\x$}; + %\fill[color=white,opacity=0.7] + % \farbcoord{(\x-0.1)}{3.3} + % rectangle + % \farbcoord{(\x+0.1)}{4}; + \node[color=gray] at \farbcoord{\x}{4} [right,rotate=90] + {\tiny $a=\x$}; + } +} +\def\farbpunkt#1#2#3{ + \fill[color=#3] \farbcoord{#1}{#2} circle[radius={0.1/\skala}]; +} + +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\def\dx{1.15} +\def\dy{0.1} +\def\opa{0.1} + +\def\betamax{4.9} + +\begin{scope} +\clip (0,0) rectangle ({1*\dx},{\betamax*\dy}); +\fill[color=colorone,opacity=\opa] (0,0) -- \betaaa -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colortwo,opacity=\opa] (0,0) -- \betabb -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colorthree,opacity=\opa] (0,0) -- \betacc -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colorfour,opacity=\opa] (0,0) -- \betadd -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colorfive,opacity=\opa] (0,0) -- \betaee -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colorsix,opacity=\opa] (0,0) -- \betaff -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colorseven,opacity=\opa] (0,0) -- \betagg -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=coloreight,opacity=\opa] (0,0) -- \betahh -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colornine,opacity=\opa] (0,0) -- \betaii -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colorten,opacity=\opa] (0,0) -- \betajj -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=coloreleven,opacity=\opa] (0,0) -- \betakk -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colortwelve,opacity=\opa] (0,0) -- \betall -- (\dx,0) -- cycle; + +\draw[color=colorone] \betaaa; +\draw[color=colortwo] \betabb; +\draw[color=colorthree] \betacc; +\draw[color=colorfour] \betadd; +\draw[color=colorfive] \betaee; +\draw[color=colorsix] \betaff; +\draw[color=colorseven] \betagg; +\draw[color=coloreight] \betahh; +\draw[color=colornine] \betaii; +\draw[color=colorten] \betajj; +\draw[color=coloreleven] \betakk; +\draw[color=colortwelve] \betall; + +\end{scope} + +\achsen + +\farbviereck + +\farbpunkt{\alphatwelve}{\betatwelve}{colortwelve} +\farbpunkt{\alphaeleven}{\betaeleven}{coloreleven} +\farbpunkt{\alphaten}{\betaten}{colorten} +\farbpunkt{\alphanine}{\betanine}{colornine} +\farbpunkt{\alphaeight}{\betaeight}{coloreight} +\farbpunkt{\alphaseven}{\betaseven}{colorseven} +\farbpunkt{\alphasix}{\betasix}{colorsix} +\farbpunkt{\alphafive}{\betafive}{colorfive} +\farbpunkt{\alphafour}{\betafour}{colorfour} +\farbpunkt{\alphathree}{\betathree}{colorthree} +\farbpunkt{\alphatwo}{\betatwo}{colortwo} +\farbpunkt{\alphaone}{\betaone}{colorone} + + +\def\betamax{4.9} + +\begin{scope}[yshift=-0.6cm] + +\begin{scope} +\clip (0,0) rectangle ({1*\dx},{\betamax*\dy}); +\fill[color=colorone,opacity=\opa] (0,0) -- \betaea -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colortwo,opacity=\opa] (0,0) -- \betaeb -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colorthree,opacity=\opa] (0,0) -- \betaec -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colorfour,opacity=\opa] (0,0) -- \betaed -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colorfive,opacity=\opa] (0,0) -- \betaee -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colorsix,opacity=\opa] (0,0) -- \betaef -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colorseven,opacity=\opa] (0,0) -- \betaeg -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=coloreight,opacity=\opa] (0,0) -- \betaeh -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colornine,opacity=\opa] (0,0) -- \betaei -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colorten,opacity=\opa] (0,0) -- \betaej -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=coloreleven,opacity=\opa] (0,0) -- \betaek -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colortwelve,opacity=\opa] (0,0) -- \betael -- (\dx,0) -- cycle; + +\draw[color=colorone] \betaea; +\draw[color=colortwo] \betaeb; +\draw[color=colorthree] \betaec; +\draw[color=colorfour] \betaed; +\draw[color=colorfive] \betaee; +\draw[color=colorsix] \betaef; +\draw[color=colorseven] \betaeg; +\draw[color=coloreight] \betaeh; +\draw[color=colornine] \betaei; +\draw[color=colorten] \betaej; +\draw[color=coloreleven] \betaek; +\draw[color=colortwelve] \betael; +\end{scope} + +\achsen + +\farbviereck + +\farbpunkt{\alphafive}{\betatwelve}{colortwelve} 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+\fill[color=colorsix,opacity=\opa] (0,0) -- \betafl -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colorseven,opacity=\opa] (0,0) -- \betagl -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=coloreight,opacity=\opa] (0,0) -- \betahl -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colornine,opacity=\opa] (0,0) -- \betail -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colorten,opacity=\opa] (0,0) -- \betajl -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=coloreleven,opacity=\opa] (0,0) -- \betakl -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colortwelve,opacity=\opa] (0,0) -- \betall -- (\dx,0) -- cycle; + +\draw[color=colorone] \betaal; +\draw[color=colortwo] \betabl; +\draw[color=colorthree] \betacl; +\draw[color=colorfour] \betadl; +\draw[color=colorfive] \betael; +\draw[color=colorsix] \betafl; +\draw[color=colorseven] \betagl; +\draw[color=coloreight] \betahl; +\draw[color=colornine] \betail; +\draw[color=colorten] \betajl; +\draw[color=coloreleven] \betakl; +\draw[color=colortwelve] \betall; +\end{scope} + +\achsen + +\farbviereck + +\farbpunkt{\alphatwelve}{\betatwelve}{colortwelve} +\farbpunkt{\alphaeleven}{\betatwelve}{coloreleven} +\farbpunkt{\alphaten}{\betatwelve}{colorten} +\farbpunkt{\alphanine}{\betatwelve}{colornine} +\farbpunkt{\alphaeight}{\betatwelve}{coloreight} +\farbpunkt{\alphaseven}{\betatwelve}{colorseven} +\farbpunkt{\alphasix}{\betatwelve}{colorsix} +\farbpunkt{\alphafive}{\betatwelve}{colorfive} +\farbpunkt{\alphafour}{\betatwelve}{colorfour} +\farbpunkt{\alphathree}{\betatwelve}{colorthree} +\farbpunkt{\alphatwo}{\betatwelve}{colortwo} +\farbpunkt{\alphaone}{\betatwelve}{colorone} + +\end{scope} + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/betadist.m b/buch/chapters/040-rekursion/images/betadist.m new file mode 100644 index 0000000..5b466a6 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/betadist.m @@ -0,0 +1,58 @@ +# +# betadist.m +# +# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# +global N; +N = 201; +global nmin; +global nmax; +nmin = -4; +nmax = 7; +n = nmax - nmin + 1 +A = 3; + +t = (nmin:nmax) / nmax; +alpha = 1 + A * t .* abs(t) +#alpha(1) = 0.01; + +#alpha = [ 1, 1.03, 1.05, 1.1, 1.25, 1.5, 2, 2.5, 3, 4, 5 ]; +beta = alpha; +names = [ "one"; "two"; "three"; "four"; "five"; "six"; "seven"; "eight"; + "nine"; "ten"; "eleven"; "twelve" ] + +function retval = Beta(a, b, x) + retval = x^(a-1) * (1-x)^(b-1) / beta(a, b); + if (retval > 100) + retval = 100 + end +end + +function plotbeta(fn, a, b, name) + global N; + fprintf(fn, "\\def\\beta%s{\n", strtrim(name)); + fprintf(fn, "\t({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", 0, Beta(a, b, 0)); + for x = (1:N-1)/(N-1) + X = (1-cos(pi * x))/2; + fprintf(fn, "\n\t--({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", + X, Beta(a, b, X)); + end + fprintf(fn, "\n}\n"); +end + +fn = fopen("betapaths.tex", "w"); + +for i = (1:n) + fprintf(fn, "\\def\\alpha%s{%f}\n", strtrim(names(i,:)), alpha(i)); + fprintf(fn, "\\def\\beta%s{%f}\n", strtrim(names(i,:)), beta(i)); +end + +for i = (1:n) + for j = (1:n) + printf("working on %d,%d:\n", i, j); + plotbeta(fn, alpha(i), beta(j), + char(['a' + i - 1, 'a' + j - 1])); + end +end + +fclose(fn); diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/order.m b/buch/chapters/040-rekursion/images/order.m new file mode 100644 index 0000000..762f458 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/order.m @@ -0,0 +1,119 @@ +# +# order.m +# +# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# +global N; +N = 10; +global subdivisions; +subdivisions = 100; +global P; +P = 0.5 + +function retval = orderF(p, n, k) + retval = 0; + for i = (k:n) + retval = retval + nchoosek(n,i) * p^i * (1-p)^(n-i); + end +end + +function retval = orderd(p, n, k) + retval = 0; + for i = (k:n) + s = i * p^(i-1) * (1-p)^(n-i); + s = s - p^i * (n-i) * (1-p)^(n-i-1); + retval = retval + nchoosek(n,i) * s; + end +end + +function retval = orders(p, n, k) + retval = k * nchoosek(n, k) * p^(k-1) * (1-p)^(n-k); +end + +function orderpath(fn, k, name) + fprintf(fn, "\\def\\order%s{\n\t(0,0)", name); + global N; + global subdivisions; + for i = (0:subdivisions) + p = i/subdivisions; + fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", + p, orderF(p, N, k)); + end + fprintf(fn, "\n}\n"); +end + +function orderdpath(fn, k, name) + fprintf(fn, "\\def\\orderd%s{\n\t(0,0)", name); + global N; + global subdivisions; + for i = (1:subdivisions-1) + p = i/subdivisions; + fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", + p, orderd(p, N, k)); + end + fprintf(fn, "\n\t-- ({1*\\dx},0)"); + fprintf(fn, "\n}\n"); +end + +function orderspath(fn, k, name) + fprintf(fn, "\\def\\orders%s{\n\t(0,0)", name); + global N; + global subdivisions; + for i = (1:subdivisions-1) + p = i/subdivisions; + fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", + p, orders(p, N, k)); + end + fprintf(fn, "\n\t-- ({1*\\dx},0)"); + fprintf(fn, "\n}\n"); +end + +fn = fopen("orderpath.tex", "w"); + +orderpath(fn, 0, "zero"); +orderdpath(fn, 0, "zero"); +orderspath(fn, 0, "zero"); + +orderpath(fn, 1, "one"); +orderdpath(fn, 1, "one"); +orderspath(fn, 1, "one"); + +orderpath(fn, 2, "two"); +orderdpath(fn, 2, "two"); +orderspath(fn, 2, "two"); + +orderpath(fn, 3, "three"); +orderdpath(fn, 3, "three"); +orderspath(fn, 3, "three"); + +orderpath(fn, 4, "four"); +orderdpath(fn, 4, "four"); +orderspath(fn, 4, "four"); + +orderpath(fn, 5, "five"); +orderdpath(fn, 5, "five"); +orderspath(fn, 5, "five"); + +orderpath(fn, 6, "six"); +orderdpath(fn, 6, "six"); +orderspath(fn, 6, "six"); + +orderpath(fn, 7, "seven"); +orderdpath(fn, 7, "seven"); +orderspath(fn, 7, "seven"); + +orderpath(fn, 8, "eight"); +orderdpath(fn, 8, "eight"); +orderspath(fn, 8, "eight"); + +orderpath(fn, 9, "nine"); +orderdpath(fn, 9, "nine"); +orderspath(fn, 9, "nine"); + +orderpath(fn, 10, "ten"); +orderdpath(fn, 10, "ten"); +orderspath(fn, 10, "ten"); + +fclose(fn); + + diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/order.pdf b/buch/chapters/040-rekursion/images/order.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..cc175a9 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/order.pdf diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/order.tex b/buch/chapters/040-rekursion/images/order.tex new file mode 100644 index 0000000..9a2511c --- /dev/null +++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/order.tex @@ -0,0 +1,125 @@ +% +% order.tex -- Verteilungsfunktion für Ordnungsstatistik +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{8} +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} + +\def\n{10} +\def\E#1#2{ + \draw[color=#2] + ({\dx*#1/(\n+1)},{-0.1/\skala}) -- ({\dx*#1/(\n+1)},{4.4*\dy}); + \node[color=#2] at ({\dx*#1/(\n+1)},{3.2*\dy}) + [rotate=90,above right] {$k=#1$}; +} +\def\var#1#2{ + \pgfmathparse{\dx*sqrt(#1*(\n-#1+1)/((\n+1)*(\n+1)*(\n+2)))} + \xdef\var{\pgfmathresult} + \fill[color=#2,opacity=0.5] + ({\dx*#1/(\n+1)-\var},0) rectangle ({\dx*#1/(\n+1)+\var},{4.4*\dy}); +} + +\input{orderpath.tex} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\def\dx{1.6} +\def\dy{0.5} + +\def\pfad#1#2{ +\draw[color=#2,line width=1.4pt] ({-0.1/\skala},0) + -- + #1 + -- + ({1*\dx+0.1/\skala},0.5); +} + +\pfad{\orderzero}{darkgreen!20} +\pfad{\orderone}{darkgreen!20} +\pfad{\ordertwo}{darkgreen!20} +\pfad{\orderthree}{darkgreen!20} +\pfad{\orderfour}{darkgreen!20} +\pfad{\orderfive}{darkgreen!20} +\pfad{\ordersix}{darkgreen!20} +\pfad{\ordereight}{darkgreen!20} +\pfad{\ordernine}{darkgreen!20} +\pfad{\orderten}{darkgreen!20} +\pfad{\orderseven}{darkgreen} + +\draw[->] ({-0.1/\skala},0) -- ({1.03*\dx},0) coordinate[label={$x$}]; +\draw[->] (0,{-0.1/\skala}) -- (0,0.6) coordinate[label={right:$F(X)$}]; +\foreach \x in {0,0.2,0.4,0.6,0.8,1}{ + \draw ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) -- ({\x*\dx},{0.1/\skala}); + \node at ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) [below] {$\x$}; +} +\foreach \y in {0.5,1}{ + \draw ({-0.1/\skala},{\y*\dy}) -- ({0.1/\skala},{\y*\dy}); + \node at ({-0.1/\skala},{\y*\dy}) [left] {$\y$}; +} + +\node[color=darkgreen] at (0.65,{0.5*\dy}) [above,rotate=55] {$k=7$}; + +\begin{scope}[yshift=-0.7cm] +\def\dy{0.125} + +\foreach \k in {1,2,3,4,5,6,8,9,10}{ + \E{\k}{blue!30} +} +\def\k{7} +\var{\k}{orange!40} +\node[color=blue] at ({\dx*\k/(\n+1)},{4.3*\dy}) [above] {$E(X_{7:n})$}; + +\def\pfad#1#2{ + \draw[color=#2,line width=1.4pt] ({-0.1/\skala},0) + -- + #1 + -- + ({1*\dx+0.1/\skala},0.0); +} + +\begin{scope} +\clip ({-0.1/\skala},{-0.1/\skala}) + rectangle ({1*\dx+0.1/\skala},{0.56+0.1/\skala}); + +\pfad{\orderdzero}{red!20} +\pfad{\orderdone}{red!20} +\pfad{\orderdtwo}{red!20} +\pfad{\orderdthree}{red!20} +\pfad{\orderdfour}{red!20} +\pfad{\orderdfive}{red!20} +\pfad{\orderdsix}{red!20} +\pfad{\orderdeight}{red!20} +\pfad{\orderdnine}{red!20} +\pfad{\orderdten}{red!20} +\E{\k}{blue} +\pfad{\orderdseven}{red} + +\end{scope} + +\draw[->] ({-0.1/\skala},0) -- ({1.03*\dx},0) coordinate[label={$x$}]; +\draw[->] (0,{-0.1/\skala}) -- (0,0.6) coordinate[label={right:$\varphi(X)$}]; +\foreach \x in {0,0.2,0.4,0.6,0.8,1}{ + \draw ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) -- ({\x*\dx},{0.1/\skala}); + \node at ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) [below] {$\x$}; +} +\foreach \y in {1,2,3,4}{ + \draw ({-0.1/\skala},{\y*\dy}) -- ({0.1/\skala},{\y*\dy}); + \node at ({-0.1/\skala},{\y*\dy}) [left] {$\y$}; +} + +\node[color=red] at ({0.67*\dx},{2.7*\dy}) [above] {$k=7$}; + + +\end{scope} + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/Makefile.inc b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/Makefile.inc index 48e5356..286ab2e 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/Makefile.inc @@ -13,4 +13,5 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ chapters/070-orthogonalitaet/jacobi.tex \ chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex \ chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex \ + chapters/070-orthogonalitaet/uebungsaufgaben/701.tex \ chapters/070-orthogonalitaet/chapter.tex diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/chapter.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/chapter.tex index 5ebb795..4756844 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/chapter.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/chapter.tex @@ -25,7 +25,7 @@ \rhead{Übungsaufgaben} \aufgabetoplevel{chapters/070-orthogonalitaet/uebungsaufgaben} \begin{uebungsaufgaben} -%\uebungsaufgabe{0} +\uebungsaufgabe{701} %\uebungsaufgabe{1} \end{uebungsaufgaben} diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex index 55f9700..acfdb1a 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex @@ -135,12 +135,12 @@ p(x)&=x^2\colon& \frac23 &= A_0x_0^2 + A_1x_1^2\\ p(x)&=x^3\colon& 0 &= A_0x_0^3 + A_1x_1^3. \end{aligned} \] -Dividiert man die zweite und vierte Gleichung in der Form +Dividiert man die vierte durch die zweite Gleichung in der Form \[ \left. \begin{aligned} -A_0x_0 &= -A_1x_1\\ -A_0x_0^2 &= -A_1x_1^2 +A_0x_0^3 &= -A_1x_1^3 &\qquad&\text{(vierte Gleichung)}\\ +A_0x_0 &= -A_1x_1 &\qquad&\text{(zweite Gleichung)} \end{aligned} \quad \right\} @@ -155,7 +155,7 @@ x_1=-x_0. \] Indem wir dies in die zweite Gleichung einsetzen, finden wir \[ -0 = A_0x_0 + A_1x_1 = A_0x_1 -A_1x_0 = (A_0-A_1)x_0 +0 = A_0x_0 + A_1x_1 = A_0x_0 -A_1x_0 = (A_0-A_1)x_0 \quad\Rightarrow\quad A_0=A_1. \] diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/jacobi.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/jacobi.tex index 042d466..f776c03 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/jacobi.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/jacobi.tex @@ -189,6 +189,28 @@ rechten Rand haben. \label{buch:orthogonal:fig:jacobi-parameter}} \end{figure} +\subsection{Jacobi-Gewichtsfunktion und Beta-Verteilung +\label{buch:orthogonal:subsection:beta-verteilung}} +Die Jacobi-Gewichtsfunktion entsteht aus der Wahrscheinlichkeitsdichte +der Beta-Verteilung, die in +Abschnitt~\ref{buch:rekursion:subsection:beta-verteilung} +eingeführt wurde mit Hilfe der Variablen-Transformation $x = 2t-1$ +oder $t=(x+1)/2$. +Das Integral mit der Jacobi-Gewichtsfunktion $w^{(\alpha,\beta)}(x)$ +kann damit umgeformt werden in +\[ +\int_{-1}^1 +f(x)\,w^{(\alpha,\beta)}(x)\,dx += +\int_0^1 +f(2t-1) w^{(\alpha,\beta)}(2t-1)\,2\,dt += +\int_0^1 +f(2t-1) +(1-(2t-1))^\alpha (1+(2t-1))^\beta +\,2\,dt +\] + % % % diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex index d06f46e..a84248a 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex @@ -737,6 +737,57 @@ rechten Rand haben. \label{buch:orthogonal:fig:jacobi-parameter}} \end{figure} +\subsubsection{Jacobi-Gewichtsfunktion und Beta-Verteilung +\label{buch:orthogonal:subsection:beta-verteilung}} +Die Jacobi-Gewichtsfunktion entsteht aus der Wahrscheinlichkeitsdichte +der Beta-Verteilung, die in +Abschnitt~\ref{buch:rekursion:subsection:beta-verteilung} +eingeführt wurde mit Hilfe der Variablen-Transformation $x = 2t-1$ +oder $t=(x+1)/2$. +Das Integral mit der Jacobi-Gewichtsfunktion $w^{(\alpha,\beta)}(x)$ +kann damit umgeformt werden in +\begin{align*} +\int_{-1}^1 +f(x)\,w^{(\alpha,\beta)}(x)\,dx +&= +\int_0^1 +f(2t-1) w^{(\alpha,\beta)}(2t-1)\,2\,dt +\\ +&= +\int_0^1 +f(2t-1) +(1-(2t-1))^\alpha (1+(2t-1))^\beta +\,2\,dt +\\ +&= +2^{\alpha+\beta+1} +\int_0^1 +f(2t-1) +\, +t^\beta +(1-t)^\alpha +\,dt +\\ +&= +2^{\alpha+\beta+1} +B(\alpha+1,\beta+1) +\int_0^1 +f(2t-1) +\, +\frac{ +t^\beta +(1-t)^\alpha +}{B(\alpha+1,\beta+1)} +\,dt. +\end{align*} +Auf der letzten Zeile steht ein Integral mit der Wahrscheinlichkeitsdichte +der Beta-Verteilung. +Orthogonale Funktionen bezüglich der Jacobischen Gewichtsfunktion +$w^{(\alpha,\beta)}$ werden mit der genannten Substitution also +zu orthogonalen Funktionen bezüglich der Beta-Verteilung mit +Parametern $\beta+1$ und $\alpha+1$. + + % % Tschebyscheff-Gewichtsfunktion % diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/uebungsaufgaben/701.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/uebungsaufgaben/701.tex new file mode 100644 index 0000000..dad489f --- /dev/null +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/uebungsaufgaben/701.tex @@ -0,0 +1,137 @@ +Für Funktionen auf dem Interval $(-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2)$ ist +\[ +\langle f,g\rangle += +\frac12\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} f(x)g(x)\cos x\,dx +\] +ein Skalarprodukt. +Bestimmen Sie bezüglich dieses Skalarproduktes orthogonale Polynome +bis zum Grad $2$. + +\begin{hinweis} +Verwenden Sie +\begin{align*} +\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} 1\cos x\,dx +&= +1, +& +\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} x^2\cos x\,dx +&= +\frac{\pi^2-8}{2}, +& +\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} x^4\cos x\,dx +&= +\frac{\pi^4-48\pi^2+384}{8}. +\end{align*} +\end{hinweis} + +\begin{loesung} +Wir müssen den Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsprozess für die +Polynome $f_0(x)=1$, $f_1(x)=x$ und $f_2(x)=x^2$ durchführen. +Zunächst halten wir fest, dass +\[ +\langle f_0,f_0\rangle += +\frac12 +\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} \cos x\,dx += +1, +\] +das Polynom $g_0(x)=f_0(x)$ ist hat also Norm $1$. + +Ein dazu orthogonales Polynom ist +\( +f_1(x) - \langle g_0,f_1\rangle g_0(x), +\) +wir müssen also das Skalarprodukt +\[ +\langle g_0,f_1\rangle += +\frac{1}{2} +\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} +x\cos x\,dx +\] +bestimmen. +Es verschwindet, weil die Funktion $x\cos x$ ungerade ist. +Somit ist die Funktion $f_1(x)=x$ orthogonal zu $f_0(x)=1$, um sie auch zu +normieren berechnen wir das Integral +\[ +\| f_1\|^2 += +\frac12\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} x^2\cos x\,dx += +\frac{\pi^2-8}{4}, +\] +und +\[ +g_1(x) += +\frac{2}{\sqrt{\pi^2-8}} x. +\] + +Zur Berechnung von $g_2$ müssen wir die Skalarprodukte +\begin{align*} +\langle g_0,f_2\rangle +&= +\frac{1}{2} +\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} +x^2 +\cos x +\,dx += +\frac{\pi^2-8}{4} +\\ +\langle g_1,f_2\rangle +&= +\frac{1}{2} +\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} +\frac{2}{\sqrt{\pi^2-8}} +x +\cdot x^2 +\cos x +\,dx += +0 +\end{align*} +bestimmen. +Damit wird das dritte Polynom +\[ +f_2(x) +- g_0(x)\langle g_0,f_2\rangle +- g_1(x)\langle g_1,f_2\rangle += +x^2 - \frac{\pi^2-8}{4}, +\] +welches bereits orthogonal ist zu $g_0$ und $g_1$. +Wir können auch noch erreichen, obwohl das nicht verlangt war, +dass es normiert ist, indem wir die Norm berechnen: +\[ +\left\| x^2-\frac{\pi^2-8}{4} \right\|^2 += +\frac12 +\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} +\biggl(x^2-\frac{\pi^2-8}{4}\biggr)^2 +\cos x\,dx += +20-2\pi^2 +\] +woraus sich +\[ +g_2(x) += +\frac{1}{\sqrt{20-2\pi^2}} +\biggl( +x^2 - \frac{\pi^2-8}{4} +\biggr). +\] +Damit haben wir die ersten drei bezüglich des obigen Skalarproduktes +orthogonalen Polynome +\begin{align*} +g_0(x)&=1, +& +g_1(x)&=\frac{2x}{\sqrt{\pi^2-8}}, +& +g_2(x)&=\frac{1}{\sqrt{20-2\pi^2}}\biggl(x^2-\frac{\pi^2-8}{4}\biggr) +\end{align*} +gefunden. +\end{loesung} diff --git a/buch/chapters/075-fourier/2d.tex b/buch/chapters/075-fourier/2d.tex new file mode 100644 index 0000000..cc019c7 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/075-fourier/2d.tex @@ -0,0 +1,19 @@ +% +% 2d.tex +% +% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\section{Zweidimensionale Fourier-Transformation +\label{buch:fourier:section:2d}} +\rhead{Zweidimensionale Fourier-Transformation} + +\subsection{Fourier-Transformation und partielle Differentialgleichungen} + +\subsection{Fourier-Transformation in kartesischen Koordinaten} + +\subsection{Basisfunktionen in Polarkoordinaten} + + + + + diff --git a/buch/chapters/075-fourier/Makefile.inc b/buch/chapters/075-fourier/Makefile.inc index ee9641c..c153dc4 100644 --- a/buch/chapters/075-fourier/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/075-fourier/Makefile.inc @@ -5,4 +5,6 @@ # CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ + chapters/075-fourier/bessel.tex \ + chapters/075-fourier/2d.tex \ chapters/075-fourier/chapter.tex diff --git a/buch/chapters/075-fourier/bessel.tex b/buch/chapters/075-fourier/bessel.tex new file mode 100644 index 0000000..7e978f7 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/075-fourier/bessel.tex @@ -0,0 +1,620 @@ +% +% bessel.tex +% +% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\section{Fourier-Transformation und Bessel-Funktionen +\label{buch:fourier:section:fourier-und-bessel}} +\rhead{Fourier-Transformation und Bessel-Funktionen} + +Sei $f\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{C}$ eine auf $\mathbb{R}$ definierte +Funktion. +Die Fourier-Transformation von $f$ ist das Integral +\begin{equation} +(\mathscr{F}f)(u,v) += +F(u,v) += +\frac{1}{2\pi} +\int_{-\infty}^\infty +\int_{-\infty}^\infty +f(x,y) e^{i(xu+yv)} +\,dx\,dy. +\label{buch:fourier:eqn:2dfourier} +\end{equation} +Die Funktionen $e_{u,v}\colon (x,y)\mapsto e^{i(xu+yv)}$ +sind die Eigenfunktionen des Laplace-Operators in kartesischen Koordinaten, +sie erfüllen +\[ +\Delta e_{u,v} = (u^2+v^2) \Delta e_{u,v}. +\] +Die Fourier-Integrale sind die Skalarprodukte +\[ +(\mathscr{F}f)(u,v) += +\langle +e_{u,v}, +f +\rangle, +\] +wobei das Skalarprodukt durch +\[ +\langle f,g\rangle += +\int_{-\infty}^\infty +\int_{-\infty}^\infty +\overline{f(x)} g(x) +\,dx\,dy +\] +definiert ist. + +Jede Funktion in der Ebene kann auch in Polarkoordinaten ausgedrückt werden. +Die kartesischen Koordinaten können mittels +\begin{align*} +x&=r\cos\varphi +y&=r\sin\varphi +\end{align*} +durch die Polarkoordinaten $(r,\varphi)$ ausgedrückt werden. +Wir schreiben +\[ +\tilde{f}(r,\varphi) += +f(r\cos\varphi,r\sin\varphi) +\] +für die Funktion $f$ ausgedrückt in Polarkoordinaten. + +In Polarkoordinaten wird das Skalarprodukt +\[ +\langle f,g\rangle += +\int_0^\infty \int_{0}^{2\pi} e^{in\varphi} +\overline{ +\tilde{f}(r,\varphi) +} +\tilde{g}(r,\varphi) +r\,dr\,d\varphi. +\] +Auch die Fouriertransformation kann jetzt durch Berechnung eines +doppelten Integrals in Polarkoordinaten ermittelt werden. +Ziel dieses Abschnitts ist zu zeigen, dass auch diese Berechnung auf +Bessel-Funktionen führt. +Im Gegenzug werden sich neue Eigenschaften und Darstellungen derselben +ergeben. + + +\subsection{Berechnung der Fourier-Transformation in Polarkoordinaten} +Die Fourier-Transformation $(\mathscr{F}f)(u,v)$ ist eine Funktion +$\mathbb{R}^2\to\mathbb{C}$, die vom Wellenvektor $(u,v)$ abhängt. +Auch dieser Vektor kann in Polarkoordinaten ausgedrückt werden. +Für die Polarkoordinaten in der Wellenvektor-Ebene soll die Bezeichnung +$(R,\vartheta)$ verwendet werden, was auf die Transformationsgleichungen +\begin{align*} +u&=R\cos\vartheta\\ +v&=R\sin\vartheta +\end{align*} +führt. +Im Exponenten der Exponentialfunktion +des Fourier-Integrals~\eqref{buch:fourier:eqn:2dfourier} +steht der Ausdruck +\[ +xu+yv += +r\cos\varphi\cdot R\cos\vartheta ++ +r\sin\varphi\cdot R\sin\vartheta += +rR\cos(\varphi-\vartheta). +\] +Mit diesen Bezeichnungen wird das +Fourier-Integral~\eqref{buch:fourier:eqn:2dfourier} +zu +\begin{align} +\tilde{F}(R,\vartheta) +&= +\frac{1}{2\pi} +\int_{0}^{\infty} +\int_{0}^{2\pi} +f(r\cos\varphi,r\sin\varphi) +e^{irR\cos(\varphi-\vartheta)} +\,d\varphi\,r\, dr +\notag +\\ +&= +\frac{1}{2\pi} +\int_{0}^{\infty} +\int_{0}^{2\pi} +\tilde{f}(r,\varphi) +e^{irR\cos(\varphi-\vartheta)} +\,d\varphi\,r\, dr. +\label{buch:fourier:eqn:fouriertrafopolar} +\end{align} +Die partielle Funktion $\varphi\mapsto \tilde{f}(r,\varphi)$ +ist eine $2\pi$-periodische Funktion, sie lässt sich also als +komplexe Fourier-Reihe +\begin{equation} +\tilde{f}(r,\varphi) += +\sum_{n\in\mathbb{Z}} \hat{f}_n(r) e^{in\varphi} +\label{buch:fourier:eqn:fourierkoef} +\end{equation} +schreiben, die Funktionen $\hat{f}_n(r)$ sind die komplexen +Fourier-Koeffizienten. +Setzt man \eqref{buch:fourier:eqn:fourierkoef} in die Fourier-Transformation +\eqref{buch:fourier:eqn:fouriertrafopolar} ein, erhält man +\begin{align*} +\tilde{F}(R,\vartheta) +&= +\sum_{n\in\mathbb{Z}} +\int_0^\infty +\hat{f}_n(r) +\frac{1}{2\pi} +\int_0^{2\pi} +e^{in\varphi+irR\cos(\varphi-\vartheta)} +\,d\varphi +\, +r\,dr. +\end{align*} +Der Exponent im inneren Integral kann als +\[ +in\varphi+irR\cos(\varphi-\vartheta) += +i(n(\varphi-\vartheta)+rR\cos(\varphi-\vartheta)) ++ +in\vartheta, +\] +oder im Integral als +\[ +\tilde{F}(R,\vartheta) += +\sum_{n\in\mathbb{Z}} +\int_0^\infty +\hat{f}_n(r) +\frac{1}{2\pi} +\int_0^{2\pi} +e^{in(\varphi-\vartheta)+irR\cos(\varphi-\vartheta)} +e^{in\vartheta} +\,d\varphi +\, +r\,dr +\] +geschrieben werden. +Der zweite Exonentialfaktor hängt nicht von $\varphi$ ab und kann daher +aus dem Integral herausgezogen werden. +Der erste Exponentialfaktor hängt nur von $\varphi-\vartheta$ ab. +Da die Exponentialfunktion $2\pi$-periodisch ist, hat die Verschiebung +um $\vartheta$ keinen Einfluss auf den Wert des Integrals. +Die Fourier-Transformation ist daher auch +\[ +\tilde{F}(R,\vartheta) += +\sum_{n\in\mathbb{Z}} +\int_0^\infty +\hat{f}_n(r) +e^{in\vartheta} +\underbrace{ +\frac{1}{2\pi} +\int_0^{2\pi} +e^{in\varphi+irR\cos\varphi} +\,d\varphi +}_{\displaystyle =:F_n(rR)} +\, +r\,dr. +\] +Die Beziehung zu den Besselfunktionen können wir daraus herstellen, +indem wir zunächst $\xi = rR$ abkürzen und dann das innere Integral +\begin{equation} +F_n(\xi) += +\frac{1}{2\pi} +\int_{0}^{2\pi} +e^{in\varphi+i\xi\cos\varphi} +\,d\varphi += +\frac{1}{2\pi} +\int_{0}^{2\pi} +e^{in\varphi}e^{i\xi\cos\varphi} +\,d\varphi +\label{buch:fourier:eqn:Fncosphi} +\end{equation} +auswerten. +Exponentialfunktion als Potenzreihe entwickeln: +\[ +F_n(\xi) += +\frac{1}{2\pi} +\int_0^{2\pi} +e^{in\varphi} +\sum_{k=0}^\infty +\frac{ +i^k\xi^k \cos^k\varphi +}{k!} +\,d\varphi += +\sum_{k=0}^\infty +\frac{i^k\xi^k}{k!} +\underbrace{ +\frac{1}{2\pi} +\int_0^{2\pi} +e^{in\varphi} +\cos^k\varphi +\,d\varphi}_{\displaystyle =c_{n,k}}. +\] +Das Integral auf der rechten Seite ist im Wesentlichen ein +Fourier-Koeffizient der Funktion $\varphi\mapsto \cos^k\varphi$. + +\subsubsection{Berechnung der Fourier-Koeffizienten von $\cos^k\varphi$} +Indem man die Kosinus-Funktion als die Linearkombination +\[ +\cos\varphi += +\frac{e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}}2 +\] +von Exponentialfunktionen ausdrückt, kann man auch die $k$-te Potenz +mit Hilfe des binomischen Satzes als +\[ +\cos^k\varphi += +\sum_{m=0}^k +\frac{1}{2^k} +\binom{k}{m} +e^{im\varphi}e^{i(m-k)\varphi} += +\sum_{m=0}^k +\frac{1}{2^k} +\binom{k}{m} +e^{i(2m-k)\varphi} +\] +ausdrücken. +Der Fourier-Koeffizient von $\cos^k\varphi$ ist daher das Integral +\begin{align*} +c_{n,k} +&= +\frac{1}{2\pi} +\int_0^{2\pi} +e^{in\varphi}\cos^k\varphi\,d\varphi +\\ +&= +\frac{1}{2^k} +\sum_{m=0}^k +\binom{k}{m} +\frac{1}{2\pi} +\int_0^{2\pi} +e^{in\varphi}e^{i(2m-k)\varphi} +\,d\varphi +\\ +&= +\frac{1}{2^k} +\sum_{m=0}^k +\binom{k}{m} +\frac{1}{2\pi} +\int_0^{2\pi} +e^{i(2m-k+n)\varphi} +\,d\varphi. +\end{align*} +Für $2m-k+n=0$ ist das Integral ein Integral der Funktion $1$ über +ein Intervall der Länge $2\pi$, zusammen mit dem Faktor $1/2\pi$ hat +es daher den Wert $1$. +Für $2m-k+n\ne 0$ ist das Integral +\[ +\frac{1}{2\pi} +\int_0^{2\pi} +e^{i(2m-k+n)\varphi} +\,d\varphi += +\frac{1}{i} +\biggl[ +\frac{e^{i(2m-k+n)\varphi}}{2m-k+n} +\biggr]_0^{2\pi} += +0 +\] +weil die Exponentialfunktion $2\pi$-periodisch ist. +Nur für $k=2m+n$ ergibt sich ein nicht verschwindender +Fourier-Koeffizient. +Eine Summe über $k\in\mathbb{N}$ kann daher auch als Summe über +$m\in\mathbb{N}$ interpretiert werden, in der $k$ durch die Formel +$k=2m+n$ gegeben wird. +Mit dieser Konvention wird +\[ +c_{n,k} += +c_{n,2m+n} +%= +%\frac{1}{2\pi} +%\int_0^{2\pi} +%e^{-i(2m+n)\varphi} +%\cos^{2m+n}\varphi +%\,d\varphi += +\frac{1}{2^{2m+n}} +\binom{2m+n}{m} +\] +schreiben lässt. + +\subsubsection{Berechnung von $F_n(\xi)$} +Die Reihe für $F_n(\xi)$ lässt sich weiter vereinfachen. +Wir verwenden wieder die Tatsache, dass sich nur für $n=-2m-k$ +ein Beitrag ergibt. +Dies bedeutet, dass $k=2m+n$ sein muss, die Summe kann damit als +Summe über $m$ statt über $k$ geschrieben werden. +Somit ist +\begin{align*} +F_n(\xi) +&= +\sum_{k=0}^\infty +\frac{i^k\xi^k}{k!} +c_{n,k} += +\sum_{m=0}^\infty +\frac{i^{2m+n}\xi^{2m+n}}{(2m+n)!} +c_{n,2m+n} +\\ +&= +\sum_{m=0}^\infty +\frac{1}{2^{2m+n}} +\binom{2m+n}{m} +\frac{i^{2m+n}\xi^{2m+n}}{(2m+n)!} +\\ +&= +i^n +\sum_{m=0}^\infty +\frac{(-1)^m}{(2m+n)!} +\frac{(2m+n)!}{m!\,(2m+n-m)!} +\biggl(\frac{\xi}{2}\biggr)^{2m+n} +\\ +&= +i^n +\sum_{m=0}^\infty +\frac{(-1)^m} +{m!\,\Gamma(m+n+1)} +\biggl(\frac{\xi}{2}\biggr)^{2m+n} += +i^n J_n(\xi). +\end{align*} +Die Funktionen $F_n(\xi)$ sind daher bis auf einen Phasenfaktor der +Wert $J_n(\xi)$ einer Bessel-Funktion. + +\subsubsection{Berechnung der Fourier-Transformation mit Bessel-Funktionen} +Mit allen oben zusammengestellten Notationen kann die Fourier-Transformation +jetzt in Polarkoordinaten als +\[ +\tilde{F}(R,\vartheta) += +\sum_{n\in\mathbb{Z}} +e^{in\vartheta} +\int_0^\infty +\hat{f}_n(r) +i^n +J_n(rR) +r\,dr +\] +geschrieben werden. +Dies hat tatsächlich die Form eines Skalarproduktes der Funktion +$\tilde{f}(r,\varphi)$ mit einer Funktion der Form +\[ +\tilde{e}_{n,R}(r,\varphi) += +e^{in\varphi} +J_n(rR). +\] +Letzeres sind die in Abschnitt~\ref{buch:fourier:section:2d} +versprochenen Basisfunktionen. + +\subsubsection{Fourier-Reihe von $e^{i\xi\cos\varphi}$} +Die Funktionen $F_n(\xi)$ sind wegen +\[ +F_n(\xi) += +\frac{1}{2\pi} +\int_0^{2\pi} +e^{in\varphi} +e^{i\xi\cos\varphi} +\,d\varphi, +\] +daraus kann man die Fourier-Reihe von $e^{i\xi\cos\varphi}$ +berechnen, dies wird im folgenden Satz durchgeführt. + + +\begin{satz} +\label{buch:fourier:satz:expinphi} +Die komplexe Fourier-Reihe der Funktion +$\varphi\mapsto \exp(i\xi\cos\varphi)$ +ist +\begin{align} +e^{i\xi\cos\varphi} +&= +J_0(\xi) ++ +2\sum_{n=1}^\infty i^n J_n(\xi) \cos n\varphi. +\label{buch:fourier:eqn:expinphicomplex}. +\intertext{Real- und Imaginärteil davon sind die Fourier-Reihen} +\cos(\xi\cos\varphi) +&= +J_0(\xi) + 2\sum_{m=1}^\infty (-1)^m J_{2m}(\xi) \cos2m\varphi +\label{buch:fourier:eqn:expinphireal} +\\ +\sin(\xi\cos\varphi) +&= +2\sum_{m=0}^\infty (-1)^m J_{2m+1}(\xi) \cos(2m+1)\varphi. +\label{buch:fourier:eqn:expinphiimaginary} +\end{align} +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Die Fourier-Koeffizienten $F_n(\xi)$ der Funktion $e^{i\xi\cos\varphi}$ +führen auf die Fourier-Reihe +\begin{align*} +e^{i\xi\cos\varphi} +&= +\sum_{n\in\mathbb{Z}} F_n(\xi) e^{in\varphi} += +\sum_{n\in\mathbb{Z}} i^n J_n(\xi) e^{in\varphi}. +\end{align*} +Terme mit $\pm n$ können wegen +\[ +\left. +\begin{aligned} +J_{-n}(\xi) &= (-1)^n J_n(\xi) +\\ +i^{-n}&=(-1)^n i^n +\end{aligned} +\quad +\right\} +\qquad\Rightarrow\qquad +i^{-n}J_{-n}(\xi) = i^n J_n(\xi) +\] +zusammengefasst werden, auf diese Weise erhält man +\begin{align*} +e^{i\xi\cos\varphi} +&= +J_0(\xi) ++ +\sum_{n=1}^\infty i^n J_n(\xi) (e^{in\varphi}+e^{-in\varphi}) += +2\sum_{n=1}^\infty i^n J_n(\xi) \cos n\varphi. +\end{align*} +Dies beweist +\eqref{buch:fourier:eqn:expinphicomplex}. + +Indem man Real- und Imaginärteil trennt, kann man daraus auch +die Fourier-Reihen von $\cos(\xi\cos\varphi)$ und +$\sin(\xi\cos\varphi)$ gewinnen, sie sind +\begin{align*} +\exp(\xi\cos\varphi) +&= +J_0(\xi) + 2\sum_{n=1}^\infty i^{n} J_{n}(\xi) \cos n\varphi +\\ +&= +J_0(\xi) ++ +2\sum_{m=1}^\infty i^{2m}J_{2m}(\xi)\cos 2m\varphi ++ +2\sum_{m=0}^\infty i^{2m+1}J_{2m+1}(\xi)\cos(2m+1)\varphi +\\ +&= +J_0(\xi) ++ +2\sum_{m=1}^\infty (-1)^{m}J_{2m}(\xi)\cos 2m\varphi ++ +2i\sum_{m=0}^\infty (-1)^{m}J_{2m+1}(\xi)\cos(2m+1)\varphi +\\ +\cos(\xi\cos\varphi) +&= +J_0(\xi) ++ +2\sum_{m=1}^\infty (-1)^{m}J_{2m}(\xi)\cos 2m\varphi +\\ +\sin(\xi\cos\varphi) +&= +2\sum_{m=0}^\infty (-1)^m J_{2m+1}(\xi) \cos(2m+1)\varphi. +\end{align*} +Damit sind auch die Formeln +\eqref{buch:fourier:eqn:expinphireal} +und +\eqref{buch:fourier:eqn:expinphiimaginary} +für die reellen Fourier-Reihen bewiesen. +\end{proof} + +% +% Integraldarstellung der Bessel-Funktion +% +\subsection{Integraldarstellung der Bessel-Funktion} +Aus \eqref{buch:fourier:eqn:Fncosphi} kann jetzt die Integraldarstelltung +der Bessel-Funktionen gewonnen werden. +Dazu substituiert man $\varphi$ durch $\tau$ mit +$\varphi = \frac{\pi}2-\tau$ +oder +$\tau=\frac{\pi}2-\varphi$ +und $d\tau = -d\varphi$ +im Integral und berechnet +\begin{align*} +J_n(\xi) +&= +(-i)^n +\frac{1}{2\pi} +\int_0^{2\pi} +e^{in\varphi+i\xi \cos\varphi} +\,d\varphi +\\ +&= +- +(-i)^n +\frac{1}{2\pi} +\int_{\frac{\pi}2}^{-\frac{3\pi}2} +e^{in(\frac{\pi}2-\tau) + i\xi\cos(\frac{\pi}2-\tau)} +\,d\tau +\\ +&= +(-i)^n +\frac{1}{2\pi} +\int^{\frac{\pi}2}_{-\frac{3\pi}2} +i^n +e^{-in\tau + i\xi\sin\tau)} +\,d\tau. +\intertext{Da der Integrand $2\pi$-periodisch ist, kann das +Integrationsintervall auf $[-\pi,\pi]$ verschoben werden, was} +&= +\frac{1}{2\pi} +\int_{-\pi}^{\pi} +e^{-in\tau + i\xi\sin\tau)} +\,d\tau. +\intertext{ergibt. +Das Integral kann in zwei Integrale} +&= +\frac{1}{2\pi} +\int_0^\pi +e^{-in\tau + i\xi\sin\tau} +\,d\tau ++ +\frac{1}{2\pi} +\int_0^\pi +e^{in\tau - i\xi\sin\tau} +\,d\tau +\intertext{aufgeteilt werden, +} +&= +\frac{1}{\pi} +\int_0^\pi +\frac{ +e^{-in\tau + i\xi\sin\tau} ++ +e^{in\tau - i\xi\sin\tau} +}{2} +\,d\tau +\\ +&= +\frac{1}{\pi} +\int_0^\pi +\frac{ +e^{i(-n\tau + \xi\sin\tau)} ++ +e^{-i(-n\tau + \xi\sin\tau)} +}{2} +\,d\tau +\\ +&= +\frac{1}{\pi} +\int_0^\pi +\cos(n\tau - \xi\sin\tau) +\,d\tau. +\end{align*} +Damit haben wir den folgenden Satz bewiesen: + +\begin{satz}[Integraldarstelltung der Bessel-Funktionen] +\label{buch:fourier:satz:bessel-integraldarstellung} +Die Bessel-Funktionen $J_n$ mit ganzzahliger Ordnung $n$ haben +die Integraldarstellung +\begin{equation} +J_n(\xi) += +\frac{1}{\pi} +\int_0^\pi +\cos(n\tau - \xi\sin\tau) +\,d\tau. +\label{buch:fourier:eqn:bessel-integraldarstellung} +\end{equation} +\end{satz} + + + + diff --git a/buch/chapters/075-fourier/chapter.tex b/buch/chapters/075-fourier/chapter.tex index 341d8df..681a1c0 100644 --- a/buch/chapters/075-fourier/chapter.tex +++ b/buch/chapters/075-fourier/chapter.tex @@ -13,7 +13,8 @@ führen zu neuen speziellen Funktionen. In diesem Kapitel soll als Beispiel die Fourier-Transformation der Bessel-Funktionen untersucht werden. -%\input{chapters/075-fourier/bessel.tex} +\input{chapters/075-fourier/2d.tex} +\input{chapters/075-fourier/bessel.tex} %\section{TODO} %\begin{itemize} diff --git a/buch/chapters/090-pde/Makefile.inc b/buch/chapters/090-pde/Makefile.inc index a9ef74a..c64af06 100644 --- a/buch/chapters/090-pde/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/090-pde/Makefile.inc @@ -10,4 +10,5 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ chapters/090-pde/rechteck.tex \ chapters/090-pde/kreis.tex \ chapters/090-pde/kugel.tex \ + chapters/090-pde/uebungsaufgaben/901.tex \ chapters/090-pde/chapter.tex diff --git a/buch/chapters/090-pde/chapter.tex b/buch/chapters/090-pde/chapter.tex index db909ee..a393da5 100644 --- a/buch/chapters/090-pde/chapter.tex +++ b/buch/chapters/090-pde/chapter.tex @@ -21,11 +21,11 @@ deren Lösungen spezielle Funktionen sind. \input{chapters/090-pde/kreis.tex} \input{chapters/090-pde/kugel.tex} -%\section*{Übungsaufgaben} -%\rhead{Übungsaufgaben} -%\aufgabetoplevel{chapters/020-exponential/uebungsaufgaben} -%\begin{uebungsaufgaben} -%\uebungsaufgabe{0} +\section*{Übungsaufgaben} +\rhead{Übungsaufgaben} +\aufgabetoplevel{chapters/090-pde/uebungsaufgaben} +\begin{uebungsaufgaben} +\uebungsaufgabe{901} %\uebungsaufgabe{1} -%\end{uebungsaufgaben} +\end{uebungsaufgaben} diff --git a/buch/chapters/090-pde/gleichung.tex b/buch/chapters/090-pde/gleichung.tex index 7f65f06..583895d 100644 --- a/buch/chapters/090-pde/gleichung.tex +++ b/buch/chapters/090-pde/gleichung.tex @@ -5,6 +5,7 @@ % \section{Gleichungen und Randbedingungen \label{buch:pde:section:gleichungen-und-randbedingungen}} +\rhead{Gebiete, Gleichungen und Randbedingungen} \subsection{Gebiete, Differentialoperatoren, Randbedingungen} diff --git a/buch/chapters/090-pde/kreis.tex b/buch/chapters/090-pde/kreis.tex index a24b6bb..a8cab3e 100644 --- a/buch/chapters/090-pde/kreis.tex +++ b/buch/chapters/090-pde/kreis.tex @@ -5,6 +5,7 @@ % \section{Kreisförmige Membran \label{buch:pde:section:kreis}} +\rhead{Kreisförmige Membran} In diesem Abschnitt soll die Differentialgleichung einer kreisförmigen Membran mit Hilfe der Separationsmethode gelöst werden. Dabei werden die Bessel-Funktionen als Lösungsfunktionen @@ -32,7 +33,7 @@ Der Laplace-Operator hat in Polarkoordinaten die Form \frac1r \frac{\partial}{\partial r} + -\frac{1}{r 2} +\frac{1}{r^2} \frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}. \label{buch:pde:kreis:laplace} \end{equation} @@ -120,7 +121,7 @@ für $\Phi(\varphi)$. Die Gleichung für $\Phi$ hat für $\mu\ne 0$ die Lösungen \begin{align*} \Phi(\varphi) &= \cos\mu\varphi -\text{und}\qquad +&&\text{und}& \Phi(\varphi) &= \sin\mu\varphi. \end{align*} Die Lösung muss aber auch stetig sein, d.~h.~es muss $\Phi(0)=\Phi(2\pi)$ diff --git a/buch/chapters/090-pde/kugel.tex b/buch/chapters/090-pde/kugel.tex index 0e3524f..ee56316 100644 --- a/buch/chapters/090-pde/kugel.tex +++ b/buch/chapters/090-pde/kugel.tex @@ -5,4 +5,386 @@ % \section{Kugelfunktionen \label{buch:pde:section:kugel}} +\rhead{Kugelfunktionen} +Kugelsymmetrische Probleme können oft vorteilhaft in Kugelkoordinaten +beschrieben werden. +Die Separationsmethode kann auf partielle Differentialgleichungen +mit dem Laplace-Operator angewendet werden. +Die daraus resultierenden gewöhnlichen Differentialgleichungen führen +einerseits auf die Laguerre-Differentialgleichung für den radialen +Anteil sowie auf Kugelfunktionen für die Koordinaten der +geographischen Länge und Breite. + +\subsection{Kugelkoordinaten} +Wir verwenden Kugelkoordinaten $(r,\vartheta,\varphi)$, wobei $r$ +der Radius ist, $\vartheta$ die geographische Breite gemessen vom +Nordpol der Kugel und $\varphi$ die geographische Breite. +Der Definitionsbereich für Kugelkoordinaten ist +\[ +\Omega += +\{(r,\vartheta,\varphi) +\;|\; +r\ge 0\wedge +0\le \vartheta\le \pi\wedge +0\le \varphi< 2\pi +\}. +\] +Die Entfernung eines Punktes von der $z$-Achse ist $r\sin\vartheta$. +Daraus lassen sich die karteischen Koordinaten eines Punktes mit Hilfe +von +\[ +\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +r\cos\vartheta\\ +r\sin\vartheta\cos\varphi\\ +r\sin\vartheta\sin\varphi +\end{pmatrix}. +\] +Man beachte, dass die Punkte auf der $z$-Achse keine eindeutigen +Kugelkoordinaten haben. +Sie sind charakterisiert durch $r\sin\vartheta=0$, was $\cos\vartheta=\pm1$ +impliziert. +Entsprechend führen alle Werte von $\varphi$ auf den gleichen Punkt +$(0,0,\pm r)$. + +\subsection{Der Laplace-Operator in Kugelkoordinaten} +Der Laplace-Operator in Kugelkoordinaten lautet +\begin{align} +\Delta +&= +\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}r^2\frac{\partial}{\partial r} ++ +\frac{1}{r^2\sin\vartheta}\frac{\partial}{\partial\vartheta} +\sin\vartheta\frac{\partial}{\partial\vartheta} ++ +\frac{1}{r^2\sin^2\vartheta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}. +\label{buch:pde:kugel:laplace1} +\intertext{Dies kann auch geschrieben werden als} +&= +\frac{\partial^2}{\partial r^2} ++ +\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r} ++ +\frac{1}{r^2\sin\vartheta}\frac{\partial}{\partial\vartheta} +\sin\vartheta\frac{\partial}{\partial\vartheta} ++ +\frac{1}{r^2\sin^2\vartheta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2} +\label{buch:pde:kugel:laplace2} +\intertext{oder} +&= +\frac{1}{r} +\frac{\partial^2}{\partial r^2} r ++ +\frac{1}{r^2\sin\vartheta}\frac{\partial}{\partial\vartheta} +\sin\vartheta\frac{\partial}{\partial\vartheta} ++ +\frac{1}{r^2\sin^2\vartheta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}. +\label{buch:pde:kugel:laplace3} +\end{align} +Dabei ist zu berücksichtigen, dass mit der Notation gemeint ist, +dass ein Ableitungsoperator auf alles wirkt, was rechts im gleichen +Term steht. +Der Operator +\[ +\frac{1}{r} +\frac{\partial^2}{\partial r^2}r +\quad\text{wirkt daher als}\quad +\frac{1}{r} +\frac{\partial^2}{\partial r^2}rf += +\frac{1}{r} +\frac{\partial}{\partial r}\biggl(f + r\frac{\partial f}{\partial r}\biggr) += +\frac{1}{r} +\frac{\partial f}{\partial r} ++ +\frac{1}{r} +\frac{\partial f}{\partial r} ++ +\frac{\partial^2f}{\partial r^2}. += +\frac{2}{r}\frac{\partial f}{\partial r} ++ +\frac{\partial^2f}{\partial r^2}, +\] +was die Äquivalenz der beiden Formen +\eqref{buch:pde:kugel:laplace2} +und +\eqref{buch:pde:kugel:laplace3} +rechtfertigt. +Auch die Äquivalenz mit +\eqref{buch:pde:kugel:laplace1} +kann auf ähnliche Weise verstanden werden. + +Die Herleitung dieser Formel ist ziemlich aufwendig und soll hier +nicht dargestellt werden. +Es sei aber darauf hingewiesen, dass sich für $\vartheta=\frac{\pi}2$ +wegen $\sin\vartheta=\sin\frac{\pi}2=1$ +der eingeschränkte Operator +\[ +\Delta += +\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r} r^2\frac{\partial}{\partial r} ++ +\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2} +\] +ergibt. +Wendet man wie oben die Produktregel auf den ersten Term an, entsteht die +Form +\[ +\frac{\partial^2}{\partial r^2} ++ +\frac{2}{r} +\frac{\partial}{\partial r} ++ +\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2} +\] +die {\em nicht} übereinstimmt mit dem Laplace-Operator in +Polarkoordinaten~\eqref{buch:pde:kreis:laplace}. +Der Unterschied rührt daher, dass der Laplace-Operator die Krümmung +der Koordinatenlinien berücksichtigt, in diesem Fall der Meridiane. + +\subsection{Separation} +In Abschnitt~\ref{buch:pde:subsection:eigenwertproblem} +wurde bereits gzeigt, wie die Wellengleichung +\[ +\frac{1}{c^2} +\frac{\partial^2 U}{\partial t^2} +-\Delta U += +0 +\] +durch Separation der Zeit auf ein Eigenwertproblem für eine +Funktion $u$ reduziert werden kann, die nur von den Ortskoordinaten +abhängt. +Es geht also nur noch darum, dass Eigenwertproblem +\[ +\Delta u = -\lambda^2 u +\] +mit geeigneten Randbedingungen zu lösen. +Dazu gehören einerseits eventuelle Gebietsränder, die im Moment +nicht interessieren. +Andererseits muss sichergestellt sein, dass die Lösungsfunktionen +stetig und differentierbar sind an den Orten, wo das Koordinatensystem +singulär ist. +So müssen $u(r,\vartheta,\varphi)$ $2\pi$-periodisch in $\varphi$ sein. +% XXX Ableitungen + +\subsubsection{Separation des radialen Anteils} +Für das Eigenwertproblem verwenden wir den Ansatz +\[ +u(r,\vartheta,\varphi) += +R(r) \Theta(\vartheta) \Phi(\varphi), +\] +den wir in die Differentialgleichung einsetzen. +So erhalten wir +\[ +\biggl(\frac{1}{r^2}R''(r)+\frac{2}{r}R'(r) \biggr) +\Theta(\vartheta)\Phi(\varphi) ++ +R(r) +\frac{1}{r^2\sin\vartheta} +\frac{\partial}{\partial\vartheta}(\sin\vartheta \Theta'(\vartheta)) +\Phi(\varphi) ++ +R(r)\Theta(\vartheta) +\frac{1}{r^2\sin\vartheta} \Phi''(\varphi) += +-\lambda^2 R(r)\Theta(\vartheta)\Phi(\varphi). +\] +Die Gleichung lässt sich nach Multiplikation mit $r^2$ und +Division durch $u$ separieren in +\begin{equation} +\frac{R''(r)+2rR'(r)+\lambda^2r^2}{R(r)} ++ +\frac{1}{\Theta(\vartheta) \sin\vartheta} +\frac{\partial}{\partial\vartheta}\sin\vartheta\Theta'(\vartheta) ++ +\frac{1}{\sin^2\vartheta}\frac{\Phi''(\varphi)}{\Phi(\varphi)} += +0 +\label{buch:pde:kugel:separiert2} +\end{equation} +Der erste Term hängt nur von $r$ ab, die anderen nur von $\vartheta$ und +$\varphi$, daher muss der erste Term konstant sein. +Damit ergbit sich für den Radialanteil die gewöhnliche Differentialgleichung +\[ +R''(r) + 2rR'(r) +\lambda^2 r^2 = \mu^2 R(r), +\] +die zum Beispiel mit der Potenzreihenmethode gelöst werden kann. +Sie kann aber durch eine geeignete Substition nochmals auf die +Laguerre-Differentialgleichung reduziert werden, wie in +Kapitel~\ref{chapter:laguerre} dargelegt wird. + +\subsubsection{Kugelflächenanteil} +Für die Separation der verbleibenden winkelabhängigen Teile muss die +Gleichung +\[ +\frac{1}{\Theta(\vartheta) \sin\vartheta} +\frac{\partial}{\partial\vartheta}\sin\vartheta\Theta'(\vartheta) ++ +\frac{1}{\sin^2\vartheta}\frac{\Phi''(\varphi)}{\Phi(\varphi)} += +-\mu^2 +\] +mit $\sin^2\vartheta$ multipliziert werden, was auf +\[ +\frac{\sin\vartheta}{\Theta(\vartheta)} +\frac{\partial}{\partial\vartheta}\sin\vartheta\Theta'(\vartheta) ++ +\frac{\Phi''(\varphi)}{\Phi(\varphi)} += +-\mu^2\sin^2\vartheta +\quad\Rightarrow\quad +\frac{\sin\vartheta}{\Theta(\vartheta)} +\frac{\partial}{\partial\vartheta}\sin\vartheta\Theta'(\vartheta) ++ +\mu^2\sin^2\vartheta += +- +\frac{\Phi''(\varphi)}{\Phi(\varphi)} +\] +führt. +Die linke Seite der letzten Gleichung hängt nur von $\vartheta$ +ab, die rechte nur von $\varphi$, beide Seiten müssen daher +konstant sein, wir bezeichnen diese Konstante mit $\alpha^2$. +So ergibt sich die Differentialgleichung +\[ +\alpha^2 += +-\frac{\Phi''(\varphi)}{\Phi(\varphi)} +\] +für die Abhängigkeit von $\varphi$, mit der allgemeinen Lösung +\[ +\Phi(\varphi) += +A\cos\alpha \varphi ++ +B\sin\alpha \varphi. +\] +Die Randbedingungen verlangen, dass $\Phi(\varphi)$ eine $2\pi$-periodische +Funktion ist, was genau dann möglich ist, wenn $\alpha=m$ ganzzahlig ist. +Damit ergibt sich für die $\vartheta$-Abhängigkeit die Differentialgleichung +\begin{equation} +\frac{\sin\vartheta}{\Theta(\vartheta)} +\frac{\partial}{\partial\vartheta}\sin\vartheta\Theta'(\vartheta) ++ +\mu^2\sin^2\vartheta += +m^2. +\label{buch:pde:kugel:eqn:thetaanteil} +\end{equation} + +\subsubsection{Abhängigkeit von $\vartheta$} +Die Differentialgleichung~\eqref{buch:pde:kugel:eqn:thetaanteil} +ist etwas unhandlich, daher verwenden wir die Substitution $z=\cos\vartheta$, +um die trigonometrischen Funktionen los zu werden. +Wegen +\[ +\frac{dz}{d\vartheta} = -\sin\vartheta =-\sqrt{1-z^2} +\] +können die Ableitungen nach $\vartheta$ auch durch Ableitungen nach $z$ +ausgedrückt werden. +Wir schreiben dazu $Z(z)=\Theta(\vartheta)$ und berechnen +\[ +\Theta'(\vartheta) += +\frac{d\Theta}{d\vartheta} += +\frac{dZ}{dz}\frac{dz}{d\vartheta} += +- +\sqrt{1-z^2} +Z'(z). +\] +Dies bedeutet auch, dass +\[ +\sin\vartheta\frac{d}{d\vartheta} += +- +(1-z^2)\frac{d}{dz}, +\] +damit lässt sich die Differentialgleichung für $\Theta(\vartheta)$ umschreiben +in eine Differentialgleichung für $Z(z)$, nämlich +\[ +(1-z^2)\frac{d}{dz}(1-z^2)\frac{d}{dz} Z(z) ++ +\mu^2 +(1-z^2) +Z(z) += +m^2 +Z(z). +\] +Indem man die Ableitung im ersten Term mit Hilfe der Produktregel +ausführt, kann man die Gleichung +\[ +(1-z^2)\biggl( +-2zZ'(z) + (1-z^2)Z''(z) +\biggr) ++ +\mu^2(1-z^2)Z(z) += +-m^2 Z(z) +\] +bekommen. +Division durch $1-z^2$ ergibt die +{\em Legendre-Differentialgleichung} +\begin{equation} +(1-z^2)Z''(z) +-2zZ'(z) ++ +\biggl( +\mu^2 - \frac{m^2}{1-z^2} +\biggr) +Z(z) += +0. +\label{buch:pde:kugel:eqn:legendre-dgl} +\end{equation} +Eine Diskussion der Lösungen dieser Differentialgleichung erfolgt im +Kapitel~\ref{chapter:kugel}. + +\subsection{Kugelfunktionen} +Die Legendre-Differentialgleichung~\eqref{buch:pde:kugel:eqn:legendre-dgl} +hat Lösungen für Werte von $\mu$ derart, dass $\mu^2=l(l+1)$ für natürliche +Zahlen $l$. +Die Lösungen sind sogar Polynome, die wir mit $P_l^{(m)}(z)$ +bezeichnen, dabei ist $m$ eine ganze Zahl mit $-l\le m\le l$. +Die Funktionen $P_l^{(m)}(\cos\vartheta)e^{im\varphi}$ +sind daher alle Lösungen des von $\vartheta$ und $\varphi$ +abhängigen Teils der Lösungen des Eigenwertproblems. +Mit einer geeigneten Normierung kann man zudem eine Familie von +bezüglich des Skalarproduktes +\[ +\langle f,g\rangle_{S^2} += +\int_{-\pi}^{\pi} +\int_{0}^{\pi} +\overline{f(\vartheta,\varphi)} +g(\vartheta,\varphi) +\sin\vartheta +\,d\vartheta +\,d\varphi +\] +orthonormiete Funktionen auf der Kugeloberfläche erhalten, die +man normalerweise als +\[ +Y_{lm}(\vartheta,\varphi) += +\frac{1}{\sqrt{2\pi}} +\sqrt{ +\frac{2l+1}{2}\cdot +\frac{(l-m)!}{(l+m)!} +} +P_{l}^{(m)}(\cos\vartheta)e^{im\varphi} +\] +bezeichnet. + + + + diff --git a/buch/chapters/090-pde/rechteck.tex b/buch/chapters/090-pde/rechteck.tex index 72e2806..b7dfe11 100644 --- a/buch/chapters/090-pde/rechteck.tex +++ b/buch/chapters/090-pde/rechteck.tex @@ -5,6 +5,7 @@ % \section{Rechteckige Membran \label{buch:pde:section:rechteck}} +\rhead{Rechteckige Membran} Als Beispiel für die Lösung des in Abschnitt~\ref{buch:pde:subsection:eigenwertproblem} aus der Wellengleichung abgeleiteten Eigenwertproblems diff --git a/buch/chapters/090-pde/separation.tex b/buch/chapters/090-pde/separation.tex index 6faceaa..e5e144a 100644 --- a/buch/chapters/090-pde/separation.tex +++ b/buch/chapters/090-pde/separation.tex @@ -5,6 +5,7 @@ % \section{Separationsmethode \label{buch:pde:section:separation}} +\rhead{Separationsmethode} Die Existenz der Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung ist unter einigermassen milden Bedingungen in der Nähe der Anfangsbedingung garantiert. diff --git a/buch/chapters/090-pde/uebungsaufgaben/901.tex b/buch/chapters/090-pde/uebungsaufgaben/901.tex new file mode 100644 index 0000000..67fa8e5 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/090-pde/uebungsaufgaben/901.tex @@ -0,0 +1,82 @@ +Die Differentialgleichung +\begin{equation} +\frac{\partial u}{\partial t} = \kappa \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} +\qquad +\text{im Gebiet} +\qquad +(t,x)\in \Omega=\mathbb{R}^+\times (0,l) +\label{505:waermeleitungsgleichung} +\end{equation} +beschreibt die Änderung der Temperatur eines Stabes der Länge $l$. +Die homogene Randbedingung +\begin{equation} +u(t,0)= +u(t,l)=0 +\label{505:homogene-randbedingung} +\end{equation} +besagt, dass der Stab an seinen Enden auf Temperatur $0$ gehalten. +Zur Lösung dieser Differentialgleichung muss auch die Temperatur +zur Zeit $t=0$ in Form einer Randbedingung +\[ +u(0,x) = T_0(x) +\] +gegeben sein. +Führen Sie Separation für die +Differentialgleichung~\eqref{505:waermeleitungsgleichung} +durch und bestimmen Sie die zulässigen Werte der Separationskonstanten. + +\begin{loesung} +Man verwendet den Ansatz $u(t,x)= T(t)\cdot X(x)$ und setzt diesen +in die Differentialgleichung ein, die dadurch zu +\[ +T'(t)X(x) = \kappa T(t) X''(x) +\] +wird. +Division durch $T(t)X(x)$ wird dies zu +\[ +\frac{T'(t)}{T(t)} += +\kappa +\frac{X''(x)}{X(x)}. +\] +Da die linke Seite nur von $t$ abhängt, die rechte aber nur von $x$, müssen +beide Seiten konstant sein. +Wir bezeichnen die Konstante mit $-\lambda^2$, so dass wir die beiden +gewöhnlichen Differentialgleichungen +\begin{align*} +\frac{1}{\kappa} +\frac{T'(t)}{T(t)}&=-\lambda^2 +& +\frac{X''(x)}{X(x)}&=-\lambda^2 +\\ +T'(t)&=-\lambda^2\kappa T(t) +& +X''(x) &= -\lambda^2 X(x) +\intertext{welche die Lösungen} +T(t)&=Ce^{-\lambda^2\kappa t} +& +X(x)&= A\cos\lambda x + B\sin\lambda x +\end{align*} +haben. +Die Lösung $X(x)$ muss aber auch die homogene Randbedingung +\eqref{505:homogene-randbedingung} erfüllen. +Setzt man $x=0$ und $x=l$ ein, folgt +\begin{align*} +0 = X(0)&=A\cos 0 + B\sin 0 = A +& +0 = X(l)&=B\sin \lambda l, +\end{align*} +woraus man schliessen kann, dass $\lambda l$ ein ganzzahliges +Vielfaches von $\pi$ ist, wir schreiben $\lambda l = k\pi$ oder +\[ +\lambda = \frac{k\pi}{l}. +\] +Damit sind die möglichen Werte $\lambda$ bestimmt und man kann jetzt +auch die möglichen Lösungen aufschreiben, sie sind +\[ +u(t,x) += +\sum_{k=1}^\infty b_k e^{-k^2\pi^2\kappa t/l^2}\sin\frac{k\pi x}{l}. +\qedhere +\] +\end{loesung} diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc b/buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc index 0ca1392..538db68 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc @@ -8,4 +8,5 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex \ chapters/110-elliptisch/jacobi.tex \ chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex \ + chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/001.tex \ chapters/110-geometrie/chapter.tex diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/chapter.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/chapter.tex index a03ce24..e09fa53 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/chapter.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/chapter.tex @@ -20,11 +20,11 @@ aufgebaute Integrale in dieser Familie zu finden. \input{chapters/110-elliptisch/jacobi.tex} \input{chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex} -%\section*{Übungsaufgaben} -%\rhead{Übungsaufgaben} -%\aufgabetoplevel{chapters/020-exponential/uebungsaufgaben} -%\begin{uebungsaufgaben} +\section*{Übungsaufgaben} +\rhead{Übungsaufgaben} +\aufgabetoplevel{chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben} +\begin{uebungsaufgaben} %\uebungsaufgabe{0} -%\uebungsaufgabe{1} -%\end{uebungsaufgaben} +\uebungsaufgabe{1} +\end{uebungsaufgaben} diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf Binary files differindex d11bde8..88cf119 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.tex index 4fc572e..fec04fc 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.tex @@ -31,7 +31,7 @@ \fill[color=gray!50] (-0.2,1.65) rectangle (7.0,2.3); \draw[line width=0.5pt] (-0.2,-6) rectangle (7.0,2.3); \begin{scope}[scale=0.5] -\node at (6.5,{\dy+2}) {$m = #1$}; +\node at (6.5,{\dy+2}) {$k^2 = #1$}; \end{scope} } \def\jacobiplot#1#2#3#4{ diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex new file mode 100644 index 0000000..8e4b39f --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex @@ -0,0 +1,312 @@ +In einem anharmonische Oszillator oszilliert eine Masse $m$ unter dem +Einfluss einer Kraft, die nach dem Gesetz +\[ +F(x) = -\kappa x + \delta x^3 +\] +von der Auslenkung aus der Ruhelage abhängt. +Nehmen Sie im Folgenden an, dass $\delta >0$ ist, +dass also die rücktreibende Kraft $F(x)$ kleiner ist als bei einem +harmonischen Oszillator. +Ziel der folgenden Teilaufgaben ist, die Lösung $x(t)$ schrittweise +dadurch zu bestimmen, dass die Bewegungsgleichung in die Differentialgleichung +der Jacobischen elliptischen Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ umgeformt +wird. +\begin{teilaufgaben} +\item +Berechnen Sie die Auslenkung $x_0$, bei der die rücktreibende Kraft +verschwindet. +Eine beschränkte Schwingung kann diese Amplitude nicht überschreiten. +\item +Berechnen Sie die potentielle Energie in Abhängigkeit von der +Auslenkung. +\item +\label{buch:1101:basic-dgl} +Formulieren Sie den Energieerhaltungssatz für die Gesamtenergie $E$ +dieses Oszillators. +Leiten Sie daraus eine nichtlineare Differentialgleichung erster Ordnung +for den anharmonischen Oszillator ab, die sie in der Form +$\frac12m\dot{x}^2 = f(x)$ schreiben. +\item +Die Amplitude der Schwingung ist derjenige $x$-Wert, für den die +Geschwindigkeit verschwindet. +Leiten Sie die Amplitude aus der Differentialgleichung von +\ref{buch:1101:basic-dgl} ab. +Sie erhalten zwei Werte $x_{\pm}$, wobei der kleinere $x_-$ +die Amplitude einer beschränkten Schwingung beschreibt, +während die $x_+$ die minimale Ausgangsamplitude einer gegen +$\infty$ divergenten Lösung ist. +\item +Rechnen Sie nach, dass +\[ +\frac{x_+^2+x_-^2}{2} += +x_0^2 +\qquad\text{und}\qquad +x_-^2x_+^2 += +\frac{4E}{\delta}. +\] +\item +Faktorisieren Sie die Funktion $f(x)$ in der Differentialgleichung +von Teilaufgabe c) mit Hilfe der in Teilaufgabe d) bestimmten +Nullstellen $x_{\pm}^2$. +\item +Dividieren Sie die Differentialgleichung durch $x_-^2$, schreiben +Sie $X=x/x_-$ und bringen Sie die Differentialgleichung in die +Form +\begin{equation} +A \dot{X}^2 += +(1-X^2) +(1-k^2X^2), +\label{buch:1101:eqn:dgl3} +\end{equation} +wobei $k^2=x_-^2/x_+^2$ und $A$ geeignet gewählt werden müssen. +\item +\label{buch:1101:teilaufgabe:dgl3} +Verwenden Sie $t(\tau) = \alpha\tau$ +und +$Y(\tau)=X(t(\tau))$ um eine Differentialgleichung für die Funktion +$Y(\tau)$ zu gewinnen, die die Form der Differentialgleichung +von $\operatorname{sn}(u,k)$ hat, für die also $A=0$ in +\eqref{buch:1101:eqn:dgl3} ist. +\item +Verwenden Sie die Lösung $\operatorname{sn}(u,k)$ der in +\ref{buch:1101:teilaufgabe:dgl3} erhaltenen Differentialgleichung, +um die Lösung $x(t)$ der ursprünglichen Gleichung aufzuschreiben. +\end{teilaufgaben} + +\begin{loesung} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/anharmonisch.pdf} +\caption{Rechte Seite der Differentialgleichung +\eqref{buch:1101:eqn:dglf}. +Eine beschränkte Lösung bewegt sich im Bereich $x<x_-$ +während im Bereich $x>x_+$ die Kraft abstossend ist und zu einer +divergenten Lösung führt. +\label{buch:1101:fig:potential} +} +\end{figure} +\begin{teilaufgaben} +\item +Wegen +\[ +F(x) += +-\kappa x\biggl(1-\frac{\delta}{\kappa}x^2\biggr) += +-Ix +\biggl(1-\sqrt{\frac{\delta}{\kappa}}x\biggr) +\biggl(1+\sqrt{\frac{\delta}{\kappa}}x\biggr) +\] +folgt, dass die rücktreibende Kraft bei der Auslenkung $\pm x_0$ mit +\[ +x_0^2 += +\frac{\kappa}{\delta} +\qquad\text{oder}\qquad +x_0 = \sqrt{\frac{\kappa}{\delta}} +\] +verschwindet. +\item +Die potentielle Energie ist die Arbeit, die gegen die rücktreibende Kraft +geleistet wird, um die Auslenkung $x$ zu erreichen. +Sie entsteht durch Integrieren der Kraft über +das Auslenkungsinterval, also +\[ +E_{\text{pot}} += +- +\int_0^x F(\xi) \,d\xi += +\int_0^x \kappa\xi-\delta\xi^3\,d\xi += +\biggl[ +\kappa\frac{\xi^2}{2} +- +\delta +\frac{\xi^4}{4} +\biggr]_0^x += +\kappa\frac{x^2}{2} +- +\delta\frac{x^4}{4}. +\] +\item +Die kinetische Energie ist gegeben durch +\[ +E_{\text{kin}} += +\frac12m\dot{x}^2. +\] +Die Gesamtenergie ist damit +\[ +E += +\frac12m\dot{x}^2 ++ +\kappa +\frac{x^2}{2} +- +\delta +\frac{x^4}{4}. +\] +Die verlangte Umformung ergibt +\begin{align} +\frac12m\dot{x}^2 +&= +E +- +\kappa\frac{x^2}{2} ++ +\delta\frac{x^4}{4} +\label{buch:1101:eqn:dglf} +\end{align} +als Differentialgleichung für $x$. +Die Ableitung $\dot{x}$ hat positives Vorzeichen wenn die Kraft +abstossend ist und negatives Vorzeichen dort, wo die Kraft anziehend ist. +% +\item +Die Amplitude der Schwingung ist derjenige $x$-Wert, für den +die Geschwindigkeit verschwindet, also eine Lösung der Gleichung +\[ +0 += +\frac{2E}{m} -\frac{\kappa}{m}x^2 + \frac{\delta}{2m}x^4. +\] +Der gemeinsame Nenner $m$ spielt offenbar keine Rolle. +Die Gleichung hat die zwei Lösungen +\[ +x_{\pm}^2 += +\frac{\kappa \pm \sqrt{\kappa^2-4E\delta}}{\delta} += +\frac{\kappa}{\delta} +\pm +\sqrt{ +\biggl(\frac{\kappa}{\delta}\biggr)^2 +- +\frac{4E}{\delta} +}. +\] +Die Situation ist in Abbildung~\ref{buch:1101:fig:potential} +Für $x>x_+$ ist die Kraft abstossend, die Lösung divergiert. +Die Lösung mit dem negativen Zeichen $x_-$ bleibt dagegen beschränkt, +dies ist die Lösung, die wir suchen. + +\item +Die beiden Formeln ergeben sich aus den Regeln von Vieta für die +Lösungen einer quadratischen Gleichungg der Form $x^4+px^2+q$. +Die Nullstellen haben den Mittelwert $-p/2$ und das Produkt $q$. + +\item +Die rechte Seite der Differentialgleichung lässt sich mit Hilfe +der beiden Nullstellen $x_{\pm}^2$ faktorisieren und bekommt die Form +\[ +\frac12m\dot{x}^2 += +\frac{\delta}{4}(x_+^2-x^2)(x_-^2-x^2). +\] + +\item +Indem die ganze Gleichung durch $x_-^2$ dividiert wird, entsteht +\[ +\frac12m +\biggl(\frac{\dot{x}}{x_-}\biggr)^2 += +\frac{\delta}{4} +(x_+^2-x^2) +\biggl(1-\frac{x^2}{x_-^2}\biggr). +\] +Schreiben wir $X=x/x_-$ wird daraus +\[ +\frac1{2}m\dot{X}^2 += +\frac{\delta}{4} +\biggl(x_+^2-x_-^2 X^2\biggr) +(1-X^2). +\] +Durch Ausklammern von $x_+^2$ im ersten Faktor wir daraus +\[ +\frac1{2}m\dot{X}^2 += +\frac{\delta}{4} +x_+^2 +\biggl(1-\frac{x_-^2}{x_+^2} X^2\biggr) +(1-X^2). +\] +Mit der Schreibweise $k^2 = x_-^2/x_+^2$ wird die Differentialgleichung +zu +\begin{equation} +\frac{2m}{\delta x_+^2} \dot{X}^2 += +(1-X^2)(1-k^2X^2), +\label{buch:1101:eqn:dgl2} +\end{equation} +was der Differentialgleichung für die Jacobische elliptische Funktion +$\operatorname{sn}(u,k)$ bereits sehr ähnlich sieht. +\item +Bis auf den Faktor vor $\dot{X}^2$ ist +\eqref{buch:1101:eqn:dgl2} +die Differentialgleichung +von +$\operatorname{sn}(u,k)$. +Um den Faktor zum Verschwinden zu bringen, schreiben wir +$t(\tau) = \alpha\tau$. +Die Ableitung von $Y(\tau)=X(t(\tau))$ nach $\tau$ ist +\[ +\frac{dY}{d\tau} += +\dot{X}(t(\tau))\frac{dt}{d\tau} += +\alpha +\dot{X}(t(\tau)) +\qquad\Rightarrow\qquad +\frac{1}{\alpha^2}\frac{dY}{d\tau} += +\dot{X}(t(\tau)). +\] +Die Differentialgleichung für $Y(\tau)$ ist +\[ +\frac{2mk^2}{\delta x_+^2\alpha^2} +\frac{dY}{d\tau} += +(1-Y^2)(1-k^2Y^2). +\] +Der Koeffizient vor der Ableitung wird $1$, wenn man +\[ +\alpha^2 += +\frac{2mk^2}{\delta x_+^2} +\] +wählt. +Diese Differentialgleichug hat die Lösung +\[ +Y(\tau) = \operatorname{sn}(\tau,k). +\] +\item +Indem man die gefunden Grössen einsetzt kann man jetzt die Lösung +der Differentialgleichung in geschlossener Form als +\begin{align*} +x(t) +&= +x_- X(t) += +x_- \operatorname{sn}\biggl( +t\sqrt{\frac{\delta x_+^2}{2mk^2} } +,k +\biggr) +\end{align*} +Das Produkt $\delta x_+^2$ kann auch als +\[ +\delta x_+^2 += +\kappa+\sqrt{\kappa -4\delta E} +\] +geschrieben werden. +\qedhere +\end{teilaufgaben} +\end{loesung} + + diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/Makefile b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/Makefile new file mode 100644 index 0000000..0ca5234 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/Makefile @@ -0,0 +1,8 @@ +# +# Makefile +# +# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# + +anharmonisch.pdf: anharmonisch.tex + pdflatex anharmonisch.tex diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/anharmonisch.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/anharmonisch.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..4b00f4d --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/anharmonisch.pdf diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/anharmonisch.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/anharmonisch.tex new file mode 100644 index 0000000..a00c393 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/anharmonisch.tex @@ -0,0 +1,62 @@ +% +% anharmonisch.tex -- Potential einer anharmonischen Schwingung +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{1} +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\def\E{3} +\def\K{0.2} +\def\D{0.0025} + +\pgfmathparse{sqrt(\K/\D)} +\xdef\xnull{\pgfmathresult} + +\pgfmathparse{sqrt((\K+sqrt(\K*\K-4*\E*\D))/\D)} +\xdef\xplus{\pgfmathresult} +\pgfmathparse{sqrt((\K-sqrt(\K*\K-4*\E*\D))/\D)} +\xdef\xminus{\pgfmathresult} + +\def\xmax{13} + +\fill[color=darkgreen!20] (0,-1.5) rectangle (\xminus,4.7); +\node[color=darkgreen] at ({0.5*\xminus},4.7) [below] {anziehende Kraft\strut}; + +\fill[color=orange!20] (\xplus,-1.5) rectangle (\xmax,4.7); +\node[color=orange] at ({0.5*(\xplus+\xmax)},4.7) [below] {abstossende\strut}; +\node[color=orange] at ({0.5*(\xplus+\xmax)},4.3) [below] {Kraft\strut}; + +\node[color=gray] at (\xnull,4.7) [below] {verbotener Bereich\strut}; + +\draw (-0.1,\E) -- (0.1,\E); +\node at (-0.1,\E) [left] {$E$}; + +\draw[color=red,line width=1pt] + plot[domain=0:13,samples=100] + ({\x},{\E-(0.5*\K-0.25*\D*\x*\x)*\x*\x}); + +\draw[->] (-0.1,0) -- ({\xmax+0.3},0) coordinate[label={$x$}]; +\draw[->] (0,-1.5) -- (0,5) coordinate[label={right:$f(x)$}]; + +\fill[color=blue] (\xminus,0) circle[radius=0.08]; +\node[color=blue] at (\xminus,0) [below left] {$x_-\mathstrut$}; + +\fill[color=blue] (\xplus,0) circle[radius=0.08]; +\node[color=blue] at (\xplus,0) [below right] {$x_+\mathstrut$}; + +\fill[color=blue] (\xnull,0) circle[radius=0.08]; +\node[color=blue] at (\xnull,0) [below] {$x_0\mathstrut$}; + +\end{tikzpicture} +\end{document} + |