new stuff on tschebyscheff and conic sections

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diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/chapter.tex b/buch/chapters/010-potenzen/chapter.tex
index 666c426..d887142 100644
--- a/buch/chapters/010-potenzen/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/010-potenzen/chapter.tex
@@ -8,6 +8,34 @@
 \label{buch:chapter:potenzen}}
 \lhead{Potenzen und Wurzeln}
 \rhead{}
+Die einfachsten Funktionen, die man allein mit den arithmetischen
+Operationen definieren kann, sind Polynome der unabhängigen Variablen.
+Die Einfachheit, mit der sich die Werte eines Polynoms berechnen lassen,
+rechtfertigt natürlich nicht, dafür eine spezielle Funktion zu definieren.
+Es gibt aber mindestens die folgenden drei wichtige Bereiche, in denen
+Polynomen eine besondere Bedeutung zu kommt, die eine tiefergehende
+Diskussion rechtfertigen.
+\begin{enumerate}
+\item
+Die Umkehrfunktion der Potenzfunktion sind viel schwieriger zu 
+berechnen und können als eine besonders einfache Art von speziellen
+Funktionen betrachtet werden.
+Die in Abschnitt~\ref{buch:potenzen:section:loesungen} definierten
+Wurzelfunktionen sind der erste Schritt zur Lösung von Polynomgleichungen.
+\item
+Es lassen sich interessante Familien von Funktionen
+definieren, die zum Teil aus Polynomen bestehen.
+Oft zeichnen sie sich durch Besonderheiten aus, die
+direkt mit der Tatsache zusammenhängen, dass sie Polynom sind.
+Ein Beispiel einer solchen Funktionenfamilie wird in
+Abschnitt~\ref{buch:polynome:section:tschebyscheff} vorgestellt.
+\item
+Alles speziellen Funktionen sind analytisch, sie haben eine konvergente
+Potenzreihenentwicklung.
+Die Partialsummen einer Potenzreihenentwicklung sind Approximationen
+An die wichtigsten Eigenschaften von Potenzreihen wird in 
+Abschnitt~\ref{buch:potenzen:section:potenzreihen} erinnert.
+\end{enumerate}
 
 \input{chapters/010-potenzen/polynome.tex}
 \input{chapters/010-potenzen/loesbarkeit.tex}
diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/images/Makefile b/buch/chapters/010-potenzen/images/Makefile
index a4b4f0d..bd6b6c1 100644
--- a/buch/chapters/010-potenzen/images/Makefile
+++ b/buch/chapters/010-potenzen/images/Makefile
@@ -3,7 +3,14 @@
 #
 # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
-all:	wurzel.pdf
+all:	wurzel.pdf lissajous.pdf lissajous-chebyshef.pdf
 
 wurzel.pdf:	wurzel.tex
 	pdflatex wurzel.tex
+
+lissajous.pdf:  lissajous.tex lissajous.jpg
+	pdflatex lissajous.tex
+
+lissajous-chebyshef.pdf:        lissajous-chebyshef.tex lissajous.jpg
+	pdflatex lissajous-chebyshef.tex
+
diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/images/lissajous-chebyshef.pdf b/buch/chapters/010-potenzen/images/lissajous-chebyshef.pdf
new file mode 100644
index 0000000..ea82479
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/010-potenzen/images/lissajous-chebyshef.pdf
diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/images/lissajous-chebyshef.tex b/buch/chapters/010-potenzen/images/lissajous-chebyshef.tex
new file mode 100644
index 0000000..cb8e461
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/010-potenzen/images/lissajous-chebyshef.tex
@@ -0,0 +1,84 @@
+%
+% lissajous.tex -- annotated lissajous figure
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\fill[color=black] (-7.1,-2.4) rectangle (7.5,2.4);
+\begin{scope}
+	\clip (-7,-2) rectangle (7,2);
+	\node at (0,-0.065) [rotate=-0.5]
+		{\includegraphics[width=14cm]{lissajous.jpg}};
+\end{scope}
+
+\draw[->,color=white] (-7,0) -- (7.5,0);
+
+\def\xupper{1.7}
+\xdef\xlower{-\xupper}
+\draw[line width=0.7pt,color=white] (-7.1,\xupper) -- (7.5,\xupper);
+\draw[line width=0.7pt,color=white] (-7.1,\xlower) -- (7.5,\xlower);
+
+
+%\fill[color=red] (-6.315,0) circle[radius=0.08];
+%\fill[color=red] (-5.92,0) circle[radius=0.08];
+%\fill[color=red] (-5.2,0) circle[radius=0.08];
+%\fill[color=red] (-4.13,0) circle[radius=0.08];
+%\fill[color=red] (-2.85,0) circle[radius=0.08];
+%\fill[color=red] (-1.37,0) circle[radius=0.08];
+%\fill[color=red] (0.2,0) circle[radius=0.08];
+%\fill[color=red] (1.73,0) circle[radius=0.08];
+%\fill[color=red] (3.21,0) circle[radius=0.08];
+%\fill[color=red] (4.52,0) circle[radius=0.08];
+%\fill[color=red] (5.57,0) circle[radius=0.08];
+%\fill[color=red] (6.32,0) circle[radius=0.08];
+%\fill[color=red] (6.71,0) circle[radius=0.08];
+%
+\node[color=red] at (-6.315,0) [above left] {$x_0\mathstrut$};
+\node[color=red] at (-5.92,0) [above right] {$x_1\mathstrut$};
+\node[color=red] at (-5.2,0) [below right] {$x_2\mathstrut$};
+\node[color=red] at (-4.13,0) [above right] {$x_3\mathstrut$};
+\node[color=red] at (-2.85,0) [below right] {$x_4\mathstrut$};
+\node[color=red] at (-1.37,0) [above right] {$x_5\mathstrut$};
+\node[color=red] at (0.2,0) [above left] {$x_6\mathstrut$};
+\node[color=red] at (1.73,0) [below left] {$x_7\mathstrut$};
+\node[color=red] at (3.21,0) [above left] {$x_8\mathstrut$};
+\node[color=red] at (4.52,0) [below left] {$x_9\mathstrut$};
+\node[color=red] at (5.57,0) [above left] {$x_{10}\mathstrut$};
+\node[color=red] at ({6.32+0.1},0) [below left] {$x_{11}\mathstrut$};
+\node[color=red] at ({6.71},0) [below right] {$x_{12}\mathstrut$};
+
+\def\xamplitude{6.57}
+\def\yamplitude{1.66}
+
+\begin{scope}[xshift=0.20cm]
+\draw[color=red,line width=1pt] plot[domain=0:180,samples=1000]
+	({\xamplitude*cos(\x)},{\yamplitude*cos(13*\x)});
+
+\foreach \k in {0,...,13}{
+	\pgfmathparse{(90+180*\k)/13}
+	\xdef\winkel{\pgfmathresult}
+	\fill[color=red] 
+	({\xamplitude*cos(\winkel)},{\yamplitude*cos(13*\winkel)})
+		circle[radius=0.08];
+}
+
+\node[color=white] at (0,{\yamplitude+0.4})
+	{$\displaystyle \max \{\, l(x)\;|\; {-1}\le x \le 1 \} $};
+\node[color=white] at (0,{-\yamplitude-0.4}) 
+	{$\displaystyle \min \{\, l(x)\;|\; {-1}\le x \le 1 \} $};
+
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/images/lissajous.jpg b/buch/chapters/010-potenzen/images/lissajous.jpg
new file mode 100644
index 0000000..0e0eb17
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/010-potenzen/images/lissajous.jpg
diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/images/lissajous.pdf b/buch/chapters/010-potenzen/images/lissajous.pdf
new file mode 100644
index 0000000..74d62c7
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/010-potenzen/images/lissajous.pdf
diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/images/lissajous.tex b/buch/chapters/010-potenzen/images/lissajous.tex
new file mode 100644
index 0000000..eb36347
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/010-potenzen/images/lissajous.tex
@@ -0,0 +1,84 @@
+%
+% lissajous.tex -- annotated lissajous figure
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{0.99}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\fill[color=black] (-7.1,-2.4) rectangle (7.5,2.4);
+\begin{scope}
+	\clip (-7,-2) rectangle (7,2);
+	\node at (0,-0.065) [rotate=-0.5]
+		{\includegraphics[width=14cm]{lissajous.jpg}};
+\end{scope}
+
+%\draw[->,color=white] (-7,0) -- (7.1,0);
+
+\def\xupper{1.7}
+\xdef\xlower{-\xupper}
+%\draw[line width=0.7pt,color=white] (-7.1,\xupper) -- (7.1,\xupper);
+%\draw[line width=0.7pt,color=white] (-7.1,\xlower) -- (7.1,\xlower);
+
+
+%\fill[color=red] (-6.315,0) circle[radius=0.08];
+%\fill[color=red] (-5.92,0) circle[radius=0.08];
+%\fill[color=red] (-5.2,0) circle[radius=0.08];
+%\fill[color=red] (-4.13,0) circle[radius=0.08];
+%\fill[color=red] (-2.85,0) circle[radius=0.08];
+%\fill[color=red] (-1.37,0) circle[radius=0.08];
+%\fill[color=red] (0.2,0) circle[radius=0.08];
+%\fill[color=red] (1.73,0) circle[radius=0.08];
+%\fill[color=red] (3.21,0) circle[radius=0.08];
+%\fill[color=red] (4.52,0) circle[radius=0.08];
+%\fill[color=red] (5.57,0) circle[radius=0.08];
+%\fill[color=red] (6.32,0) circle[radius=0.08];
+%\fill[color=red] (6.71,0) circle[radius=0.08];
+%
+%\node[color=red] at (-6.315,0) [above left] {$x_0\mathstrut$};
+%\node[color=red] at (-5.92,0) [above right] {$x_1\mathstrut$};
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+%\node[color=red] at (-4.13,0) [above right] {$x_3\mathstrut$};
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+\def\xamplitude{6.57}
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+
+\begin{scope}[xshift=0.20cm]
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+
+\foreach \k in {0,...,13}{
+	\pgfmathparse{(90+180*\k)/13}
+	\xdef\winkel{\pgfmathresult}
+%	\fill[color=red] 
+%	({\xamplitude*cos(\winkel)},{\yamplitude*cos(13*\winkel)})
+%		circle[radius=0.08];
+}
+
+%\node[color=white] at (0,{\yamplitude+0.4})
+%	{$\displaystyle \max \{\, l(x)\;|\; {-1}\le x \le 1 \} $};
+%\node[color=white] at (0,{-\yamplitude-0.4}) 
+%	{$\displaystyle \min \{\, l(x)\;|\; {-1}\le x \le 1 \} $};
+
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex b/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex
index b8ad03c..df74574 100644
--- a/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex
+++ b/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex
@@ -28,15 +28,15 @@ Ring mit $1$ ist.
 Im Folgenden werden wir uns auf die Fälle $K=\mathbb{R}$ und $K=\mathbb{C}$
 beschränken.
 
-In Abschnitt~\ref{buch:integral:section:orthogonale-polynome} werden
+In Abschnitt~\ref{buch:orthogonalitaet:section:orthogonale-funktionen} werden
 Familien von Polynomen konstruiert werden, die sich durch eine
 Orthogonalitätseigenschaft auszeichnen.
 Diese Polynome lassen sich typischerweise auch als Lösungen von
 Differentialgleichungen finden.
 Ausserdem werden hypergeometrische Funktionen
 \[
-\mathstrut_pF_q(a_1,\dots,a_p;b_1,\dots,b_q;z)
-\], die in
+\mathstrut_pF_q\biggl(\begin{matrix}a_1,\dots,a_p\\b_1,\dots,b_q\end{matrix};z\biggr),
+\] die in
 Abschnitt~\ref{buch:rekursion:section:hypergeometrische-funktion}
 definiert werden, zu Polynomen, wenn mindestens einer der
 Parameter $a_k$ negativ ganzzahlig ist.
@@ -51,7 +51,8 @@ Es bleibt aber immer noch die Notwendigkeit, effiziente
 Berechnungsverfahren für die speziellen Funktionen zu konstruieren.
 Dank des folgenden Satzes kann dies immer mit Polynomen geschehen.
 
-\begin{satz}[Weierstrasse]
+\begin{satz}[Weierstrass]
+\label{buch:potenzen:satz:weierstrass}
 Eine auf einem kompakten Intervall $[a,b]$ stetige Funktion $f(x)$
 lässt sich durch eine Folge $p_n(x)$ von Polynomen gleichmässig
 approximieren.
diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex b/buch/chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex
index be78967..ca6100b 100644
--- a/buch/chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex
+++ b/buch/chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex
@@ -12,6 +12,280 @@ Sie ermöglichen, Interpolationspolynome mit besonders guten
 Fehlereigenschaften zu finden, haben aber auch andere Anwendungen
 zum Beispiel beim Design von Filtern in der Elektronik.
 
-\subsection{Motivation}
-\subsection{Rekursionsbeziehung}
-\subsection{Anwendung: Interpolation}
+\subsection{Motivation: Interpolation}
+Nach dem Satz von Weierstrass~\ref{buch:potenzen:satz:weierstrass}
+lässt sich jede stetige Funktion auf einem kompakten Intervall durch
+ein Polynom approximieren.
+
+\subsubsection{Lagrange-Interplationspolynome}
+Eine mögliche Lösung des Problems, solche approximierenden Polynome
+der Funktion $f(x)$
+zu finden, besteht darin, ein Polynom $p(x)$ zu konstruieren, welches
+in einzelnen, Stützstellen genannten Werten $x_0<x_1<\dots<x_n$ der
+unabhängigen Variablen mit $f$ übereinstimmt, also
+\[
+p(x_i) = f(x_i), \quad i=0,\dots,n.
+\]
+Die Konstruktion eines solchen Polynoms geht aus vom Polynome
+\[
+l(x) = (x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_n),
+\]
+welches an allen Stützstellen verschwindet.
+Daraus lässt sich für jede Stützstelle ein Polynom
+\[
+l_j(x)
+=
+\frac{
+(x-x_0)(x-x_1)\cdots\widehat{(x-x_j)}\cdots(x-x_n)
+}{
+(x_j-x_0)(x_j-x_1)\cdots\widehat{(x_j-x_j)}\cdots(x_j-x_n)
+}
+\]
+konstruieren, wobei $\widehat{(x-x_j)}$ bedeutet, dass dieser Faktor
+weggelassen werden soll.
+Das Polynome $l_j(x)$ hat die Werte
+\begin{align}
+l_j(x_k)
+&=
+\frac{
+(x_k-x_0)(x_k-x_1)\cdots\widehat{(x_k-x_j)}\cdots(x_k-x_n)
+}{
+(x_j-x_0)(x_j-x_1)\cdots\widehat{(x_j-x_j)}\cdots(x_j-x_n)
+}
+=
+\delta_{jk}
+=
+\begin{cases}
+1&\qquad j=k\\
+0&\qquad j\ne k
+\end{cases}
+\label{buch:potenzen:interpolation:lj}
+\end{align}
+auf den Stützstellen.
+Für $j\ne k$ enthält der Zähler von $l_j(x_k)$ den Faktor
+$(x-x_k)$, der für $x=x_k$ verschwindet.
+Daher verschwindet auch $l_j(x)$ für $x=x_k$.
+
+Das sogenannte {\em Lagrange-Interpolationspolynom} ist das Polynom
+\[
+p(x)
+=
+\sum_{j=0}^n f(x_j) l_j(x).
+\]
+Aus der Eigenschaft~\eqref{buch:potenzen:interpolation:lj} folgt, dass
+\[
+p(x_k)
+=
+\sum_{j=0}^n f(x_j) l_j(x_k)
+=
+\sum_{j=0}^n f(x_j) \delta_{jk}
+=
+f(x_k).
+\]
+
+\subsubsection{Fehler des Interpolationspolynoms}
+Der Approximationsfehler des Interpolationspolynoms kann mit der Formel
+\[
+f(x)-p(x)
+=
+l(x) \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}
+\]
+für einen geeigneten Wert $\xi$ mit $x_0 < \xi < x_n$.
+Über die Ableitungen hat man natürlich keine Kontrolle, die einzige 
+Möglichkeit, den Fehler möglichst klein zu halten ist daher,
+die Sütztstellen so zu wählen, dass $l(x)$ kleine Funktionswerte hat.
+Stützstellen in gleichen Abständen erweisen sich dafür als ungeeignet,
+da $l(x)$ nahe $x_0$ und $x_n$ sehr stark oszilliert.
+
+\subsection{Definition der Tschebyscheff-Polynome}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/010-potenzen/images/lissajous.pdf}
+\caption{Lissajous-Figur für zwei Signale $x=\cos t$ und $y=\cos 12t$.
+\label{buch:potenzen:interpolation:lissajous}}
+\end{figure}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/010-potenzen/images/lissajous-chebyshef.pdf}
+\caption{Das Tschebyscheff-Polynom als Lösung des Interpolationsproblems.
+\label{buch:potenzen:interpolation:lissajous-tschebyscheff}}
+\end{figure}
+Die Aufgabe, geeignete Stützstellen für das Interpolationsproblem zu finden,
+die den Fehler minimieren, ist als gleichbedeutend damit, ein Polynom
+zu finden, dessen Betrag beschränkt ist.
+Eine Lissajous-Figur wie die in
+Abbildung~\ref{buch:potenzen:interpolation:lissajous} erfüllt
+diese Bedinung.
+Sofern sie sich als Polynom ausdrücken lässt, könnte ihre Nullstellen
+das Interpolationsproblem optimal lösen.
+
+In der Lissajous-Figur in
+Abbildung~\ref{buch:potenzen:interpolation:lissajous} ist
+die Funktion $x=\cos t$ und $y=\cos 12t$ dargestellt.
+Wegen $t=\arccos x$
+Als Funktion von $x$ ist daher
+\[
+y(x) = \cos(nt)=\cos(n\arccos x).
+\]
+Tatsächlich ist aus der Theorie der trigonometrischen Funktionen
+bekannt, dass die Kosinus eines Vielfachen des Winkels immer
+als Polynom des Kosinus des Winkels dargestellt werden können.
+
+\begin{definition}
+\label{buch:potenzen:def:tschebyscheff}
+Das Polynom
+\[
+T_n(x)
+=
+\cos (n\arccos x),
+\qquad
+x\in[-1,1]
+\]
+heisst
+{\em Tschebyscheff-Polynom (erster Art)} vom Grad $n$.
+\end{definition}
+Die Tschebyscheff-Polynome eignen sich auch hervorragend
+dafür, Eigenschaften spezieller Funktionenfamilien zu
+illustrieren.
+Es wird sich zeigen, dass die Tschebyscheff-Polynome
+Lösungen einer speziellen Differentialgleichung sind und
+bezüglich eines in Kapitel~\ref{buch:chapter:orthogonalitaet}
+definierten Skalarproduktes von Funktionen orthonormiert sind.
+
+\subsection{Rekursionsbeziehungen
+\label{buch:potenzen:tschebyscheff:rekursionsbeziehungen}}
+Es ist etwas mühsam, einen Ausdruck von $T_n(x)$ direkt aus
+trigonometrischen Identitäten herzuleiten.
+In diesem Abschnitt soll daher eine Rekursionsbeziehung
+hergeleitet werden.
+Später in Abschnitt~\ref{buch:orthogonal:subsection:rekursionsrelation}
+wird gezeigt, dass solche Rekursionsbeziehungen eine Begleiterscheinung
+orthogonaler Polynome sind.
+
+\subsubsection{Drei-Term-Rekursion für die Tschebyscheff-Polynome}
+Mit der Abkürzung $y=\arccos(x)$ oder $x=\cos(y)$ bekommt man aus
+der Definition~\label{buch:potenzen:def:tschebyscheff}
+der Tschebyscheff-Polynome
+\begin{align*}
+xT_n(x)
+&=
+\cos(y)\cdot \cos(ny)
+\\
+&=
+\frac12\bigl(
+\cos((n+1)y) + \cos((n-1)y)
+\bigr)
+\\
+x\,T_n(x)
+&=
+\frac12 T_{n+1}(x) + \frac12 T_{n-1}(x).
+\end{align*}
+Auflösen nach $T_{n+1}(x)$ ergibt
+\begin{equation}
+T_{n+1}(x) = 2x\,T_n(x)-T_{n-1}(x),
+\quad T_1(x)=x, T_0(x)=1
+\label{buch:potenzen:tschebyscheff:eqn:rekursion}
+\end{equation}
+Damit können die Tschebyscheff-Polynome sehr effizient berechnet werden:
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+T_0(x)
+&=1
+\\
+T_1(x)
+&=
+x
+\\
+T_2(x)
+&=
+2x^2-1
+\\
+T_3(x)
+&=
+4x^3-3x
+\\
+T_4(x)
+&=
+8x^4-8x^2+1
+\\
+T_5(x)
+&=
+16x^5-20x^3+5x
+\\
+T_6(x)
+&=
+32x^6-48x^4+18x^2-1
+\\
+T_7(x)
+&=
+64x^7-112x^5+56x^3-7x
+\\
+T_8(x)
+&=
+128x^8-256x^6+160x^4-32x^2+1
+\end{aligned}
+\end{equation}
+Die Rekursionsformel
+\eqref{buch:potenzen:tschebyscheff:eqn:rekursion}
+kann auch dazu verwendet werden, Werte der Tschebyscheff-Polynome
+sehr effizient zu berechnen.
+
+\subsubsection{Multiplikationsformel}
+Aus der Definition mit Hilfe trigonometrischer Funktionen
+lässt sich auch eine Multiplikationsformel ableiten.
+
+\begin{satz}
+Es gilt
+\begin{align}
+T_m(x)T_n(x)&=\frac12\bigl(T_{m+n}(x) + T_{m-n}(x)\bigr)
+\label{buch:potenzen:tschebyscheff:mult1}
+\\
+T_{mn}(x) &= T_m(T_n(x)) = T_n(T_m(x))
+\label{buch:potenzen:tschebyscheff:mult2}
+\end{align}
+für alle natürlichen $m$ und $n$.
+\end{satz}
+
+In \eqref{buch:potenzen:tschebyscheff:mult1} können negative Indizes
+auftreten, wenn $n>m$ ist.
+In solchen Fällen ist aber $T_{-n}(x)$ als
+\[
+T_{-n}(x)
+=
+\cos(-n\arccos(x))
+=
+\cos(n\arccos(x))
+=
+T_n(x),
+\]
+da die Kosinus-Funktion gerade ist.
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Zunächst ist wieder mit der Abkürzung $t=\arccos x$
+\begin{align*}
+T_m(x)T_n(x)
+&=
+\cos mt \cos nt
+=
+\frac12\bigl(\cos((m+n)t)+\cos((m-n)t)\bigr)
+=
+\frac12\bigl(
+T_{m+n}(x) + T_{m-n}(x)
+\bigr),
+\end{align*}
+dies beweist~\eqref{buch:potenzen:tschebyscheff:mult1}.
+
+Für \eqref{buch:potenzen:tschebyscheff:mult2} rechnet man
+\[
+T_m(T_n(x))
+=
+\underbrace{\cos(m\arccos(}_{\displaystyle T_m(}\underbrace{\cos(n\arccos x)}_{\displaystyle T_n(x)}\underbrace{))}_{\displaystyle)}
+=
+\cos(mn\arccos x)
+=
+T_{mn}(x).
+\]
+Damit ist auch \eqref{buch:potenzen:tschebyscheff:mult2} bewiesen.
+\end{proof}
+
+
diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/flaeche.tex b/buch/chapters/030-geometrie/flaeche.tex
index 8a19437..d3d70fe 100644
--- a/buch/chapters/030-geometrie/flaeche.tex
+++ b/buch/chapters/030-geometrie/flaeche.tex
@@ -61,7 +61,7 @@ x(t_i)                        &y(t_i)    \\
 x(t_i)           &y(t_i)    \\
 \dot{x}(t_{i+1}) & \dot{y}(t_{i+1})
 \end{matrix}\biggr|
-(t_{i+1}-t_{i})
+(t_{i+1}-t_{i}).
 \end{align*}
 Die letzte Summe kann als Riemann-Summe und damit als Approximation für
 das Integral
@@ -160,6 +160,8 @@ berechnet werden.
 Ellipsen und Hyperbeln sind besonders einfach zu parametrisieren und
 damit ist auch die Fläche, die von Ellipsen oder Hyperbeln berandet
 wird, besonders einfach zu berechnen.
+Der Flächeninhalt eines Ellipsensektors hat eine besondere Bedeutung
+für die Formulierung der Keplerschen Gesetze der Planetenbewegung.
 
 \subsubsection{Ellipse}
 Für die Ellipse mit der Gleichung
diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/images/Makefile b/buch/chapters/030-geometrie/images/Makefile
index 457a0a1..af652ab 100644
--- a/buch/chapters/030-geometrie/images/Makefile
+++ b/buch/chapters/030-geometrie/images/Makefile
@@ -7,9 +7,11 @@
 all:									\
 	deftrig.pdf							\
 	einheitskreis.pdf						\
+	ellipse.pdf							\
 	hyperbelflaeche.pdf						\
 	hyperbel.pdf							\
 	kegelschnitte.pdf						\
+	parabel.pdf							\
 	polargleichung.pdf						\
 	zylinder.pdf
 
@@ -19,12 +21,18 @@ deftrig.pdf:	deftrig.tex
 einheitskreis.pdf:	einheitskreis.tex
 	pdflatex einheitskreis.tex
 
+ellipse.pdf:	ellipse.tex
+	pdflatex ellipse.tex
+
 hyperbelflaeche.pdf:	hyperbelflaeche.tex
 	pdflatex hyperbelflaeche.tex
 
 hyperbel.pdf:	hyperbel.tex
 	pdflatex hyperbel.tex
 
+parabel.pdf:	parabel.tex
+	pdflatex parabel.tex
+
 polargleichung.pdf:	polargleichung.tex
 	pdflatex polargleichung.tex
 
diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/images/ellipse.pdf b/buch/chapters/030-geometrie/images/ellipse.pdf
new file mode 100644
index 0000000..ee4717c
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/030-geometrie/images/ellipse.pdf
diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/images/ellipse.tex b/buch/chapters/030-geometrie/images/ellipse.tex
new file mode 100644
index 0000000..b1d9d9a
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/030-geometrie/images/ellipse.tex
@@ -0,0 +1,81 @@
+%
+% ellipse.tex -- Geometrie einer Ellipse
+%
+% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\def\e{3}
+
+\begin{scope}
+\clip (-6.3,-5.5) rectangle (6.3,5.5);
+\foreach \s in {7,8,9,11,12,13,14,15,16}{
+	%\def\s{9}
+	\pgfmathparse{\s/2}
+	\xdef\a{\pgfmathresult}
+	\pgfmathparse{sqrt(\a*\a-\e*\e)}
+	\xdef\b{\pgfmathresult}
+	\draw[color=red!30,line width=1.4pt] 
+		plot[domain=0:360,samples=100]
+			({\a*cos(\x)},{\b*sin(\x)});
+}
+\end{scope}
+
+\coordinate (O) at (0,0);
+\coordinate (F1) at (3,0);
+\coordinate (F2) at (-3,0);
+\coordinate (A) at (5,0);
+\coordinate (Aminus) at (-5,0);
+\coordinate (B) at (0,4);
+
+\def\winkel{140}
+\pgfmathparse{5*cos(\winkel)}
+\xdef\Px{\pgfmathresult}
+\pgfmathparse{4*sin(\winkel)}
+\xdef\Py{\pgfmathresult}
+\coordinate (P) at (\Px,\Py);
+
+\draw[->] (-6.3,0) -- (6.5,0) coordinate[label={$x$}];
+\draw[->] (0,-5.6) -- (0,5.8) coordinate[label={right:$y$}];
+
+\draw[color=blue,line width=1pt] (0,0) -- (0,4);
+\draw[color=blue,line width=1pt] (0,0) -- (3,0);
+\draw[color=blue,line width=1pt] (0,4) -- (3,0);
+
+\draw[color=red,line width=1.4pt] 
+	plot[domain=0:360,samples=100]
+		({5*cos(\x)},{4*sin(\x)});
+
+\node[color=blue] at ($0.5*(O)+0.5*(F1)$) [above] {$e$};
+\node[color=blue] at ($0.5*(O)+0.5*(B)$) [left] {$b$};
+\node[color=blue] at ($0.5*(F1)+0.5*(B)$) [above right] {$a$};
+
+\fill[color=darkgreen] (P) circle[radius=0.08];
+\node[color=darkgreen] at (P) [above left] {$P$};
+\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (F1) -- (P) -- (F2);
+\node[color=darkgreen] at ($0.55*(P)+0.45*(F1)$) [below] {$\overline{F_1P}$};
+\node[color=darkgreen] at ($0.50*(P)+0.50*(F2)$) [left] {$\overline{F_2P}$};
+
+\fill[color=red] (A) circle[radius=0.08];
+\node[color=red] at (A) [above right] {$A_+$};
+\fill[color=red] (Aminus) circle[radius=0.08];
+\node[color=red] at (Aminus) [above left] {$A_-$};
+
+\fill[color=blue] (F1) circle[radius=0.08];
+\fill[color=blue] (F2) circle[radius=0.08];
+\node at (F1) [below right] {$F_1$};
+\node at (F2) [below left] {$F_2$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/images/kegelschnitte.pdf b/buch/chapters/030-geometrie/images/kegelschnitte.pdf
index c2205bf..40a830b 100644
--- a/buch/chapters/030-geometrie/images/kegelschnitte.pdf
+++ b/buch/chapters/030-geometrie/images/kegelschnitte.pdf
diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/images/parabel.pdf b/buch/chapters/030-geometrie/images/parabel.pdf
new file mode 100644
index 0000000..76d682e
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/030-geometrie/images/parabel.pdf
diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/images/parabel.tex b/buch/chapters/030-geometrie/images/parabel.tex
new file mode 100644
index 0000000..c6eb700
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/030-geometrie/images/parabel.tex
@@ -0,0 +1,59 @@
+%
+% parabel.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\def\f{2.0}
+\def\X{2.7}
+\coordinate (F) at (0,\f);
+
+\begin{scope}
+	\clip (-6.1,-1) rectangle (6.1,4.6);
+	\foreach \x in {-5.5,-5,...,6}{
+		\draw[color=gray!30,line width=1pt]
+			(\x,4.7) -- (\x,{\x*\x/(4*\f)});
+		\draw[color=gray!50,line width=1pt]
+			(\x,{\x*\x/(4*\f)}) -- (F);
+	}
+\end{scope}
+
+\draw[->] (-6.1,0) -- (6.4,0) coordinate[label={$x$}];
+\draw[->] (0,-2.3) -- (0,4.8) coordinate[label={right:$y$}];
+
+\begin{scope}
+	\clip (-6.05,-1) rectangle (6.05,4.6);
+	\draw[color=red,line width=2pt]
+		plot[domain=-6.2:6.2,samples=100] ({\x},{\x*\x/(4*\f)});
+\end{scope}
+
+\fill[color=darkgreen] (\X,{\X*\X/(4*\f)}) circle[radius=0.08];
+\draw[color=darkgreen,line width=1pt] (F) -- (\X,{\X*\X/(4*\f)}) -- (\X,-\f);
+\node[color=darkgreen] at (\X,{\X*\X/(4*\f)})
+	[below right] {$P{\color{black}\mathstrut=(x,y)}$};
+
+\node[color=darkgreen] at (\X,{0.5*(-\f+\X*\X/(4*\f))})
+	[right] {$\overline{Pl}{\color{black}\mathstrut=y+f}$};
+\node[color=darkgreen] at ($0.8*(F)+0.2*(\X,{\X*\X/(4*\f)})+(0,-0.2)$)
+	[above right]
+	{$\overline{PF}{\color{black}\mathstrut=\sqrt{x^2+(y-f)^2}}$};
+
+\node at (F) [above left] {${\color{blue}F}=(0,f)$};
+\draw[color=blue,line width=1pt] (-6,-\f) -- (6,-\f);
+\fill[color=blue] (F) circle[radius=0.08];
+\node[color=blue] at (-4,-\f) [above] {$l$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/images/zylinder.pdf b/buch/chapters/030-geometrie/images/zylinder.pdf
index 2e73d80..2580050 100644
--- a/buch/chapters/030-geometrie/images/zylinder.pdf
+++ b/buch/chapters/030-geometrie/images/zylinder.pdf
diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/laenge.tex b/buch/chapters/030-geometrie/laenge.tex
index 6b3c507..0879a5e 100644
--- a/buch/chapters/030-geometrie/laenge.tex
+++ b/buch/chapters/030-geometrie/laenge.tex
@@ -242,6 +242,29 @@ l(\alpha)
 \end{equation}
 für die Länge der Kurve.
 
+%
+% hierhin verschoben für bessere Platzierung
+%
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/030-geometrie/images/kegelschnitte.pdf}
+\caption{Hyperbeln, Parabeln und Ellipsen sind die Schnittkurven einer
+Ebene mit einem Kegel.
+Der Winkel zwischen der Achse des Kegels und der Schnittebene bestimmt,
+welche Art von Schnittkurve entsteht.
+Wenn keine der Mantellinien des Kegels parallel ist zur Ebene, dann
+entsteht eine Ellipse (rechts).
+In der Mitte ist genau eine Mantellinie (hellblau) parallel zur Ebene,
+es ensteht eine Parabel und links gibt es genau zwei verschiedene
+Mantellinien des Kegels (hellblau), die zur Ebene parallel sind,
+es entsteht eine Hyperbel.
+\label{buch:geometrie:laenge:fig:kegelschnitte}}
+\end{figure}
+%
+
+%
+% Kreis
+%
 \subsection{Kreis}
 Die Länge eines Bogens auf dem Einheitskreis zwischen dem Punkt
 $(1,0)$ und $P=(x,y)$ mit $x^2+y^2=1$ ist nach Definition der
@@ -280,32 +303,30 @@ Tatsächlich ist die Ableitung davon
 was mit der Integralformel~\ref{buch:geometrie:eqn:kreislaenge} 
 übereinstimmt.
 
-\subsection{Hyperbeln
-\label{buch:geometrie:subsection:hyperbeln}}
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{chapters/030-geometrie/images/kegelschnitte.pdf}
-\caption{Hyperbeln, Parabeln und Ellipsen sind die Schnittkurven einer
-Ebene mit einem Kegel.
-Der Winkel zwischen der Achse des Kegels und der Schnittebene bestimmt,
-welche Art von Schnittkurve entsteht.
-Wenn keine der Mantellinien des Kegels parallel ist zur Ebene, dann
-entsteht eine Ellipse (rechts).
-In der Mitte ist genau eine Mantellinie (hellblau) parallel zur Ebene,
-es ensteht eine Parabel und links gibt es genau zwei verschiedene
-Mantellinien des Kegels (hellblau), die zur Ebene parallel sind,
-es entsteht eine Hyperbel.
-\label{buch:geometrie:laenge:fig:kegelschnitte}}
-\end{figure}
-Eine Hyperbel entsteht durch Schneiden eines geraden Kreiskegels mit
-einer Ebene wie in Abbildung~\ref{buch:geometrie:laenge:fig:kegelschnitte}.
-Es lässt sich ableiten, dass die Punkte der Hyperbel die Eigenschaft
-haben, dass die Differenzt der Entfernung von zwei festen Punkte,
-den sogenannten Brennpunkten, konstant ist.
-Dies ist die Definition, von der wir in diesem Abschnitt ausgehen
-wollen.
-
-\subsubsection{Geometrie einer Hyperbel}
+\subsection{Kegelschnitte
+\label{buch:geometrie:subsection:kegelschnitte}}
+Kegelschnitte sind die Schnittkurven eines geraden Kreiskegels
+mit einer Ebene (Abbildung~\ref{buch:geometrie:laenge:fig:kegelschnitte}).
+Der Kreis ist der Spezialfall des Schnittes mit einer horizontalen
+Ebene.
+Im Gegensatz zum Kreis lässt sich aber die Kurvenlänge nicht mehr
+in geschlossener Form berechnen.
+
+\subsubsection{Koordinatengleichung}
+Aus der in Abbildung~\ref{buch:geometrie:laenge:fig:kegelschnitte}
+dargestellten Geometrie kann man die folgende Charakterisierung von
+Ellipsen und Hyperbeln ableiten.
+
+\begin{definition}
+\label{buch:geometrie:def:kegelschnitte}
+Gegeben sind die Punkte $F_1$ und $F_2$ in der Ebene, sie heissen
+die {\em Brennpunkte}.
+Die Punkte in der Ebene, deren Abstandssumme von zwei festen Punkten $F_1$
+und $F_2$ konstant ist, bilden eine {\em Ellipse}.
+Die Punkte in der Ebene, deren Abstandsdifferenz von zwei festen Punkten
+$F_1$ und $F_2$ konstant ist, bilden eine {\em Hyperbel}.
+\end{definition}
+
 \begin{figure}
 \centering
 \includegraphics{chapters/030-geometrie/images/hyperbel.pdf}
@@ -317,40 +338,76 @@ Die Differenz $\pm 2a$ führt auf die Hyperbeln mit Halbachsen
 $a$ und $b$.
 \label{buch:geometrie:hyperbel:fig:2d}}
 \end{figure}
-Die Brennpunkte der Hyperbel sollen $F_1=(e,0)$ und $F_2=(-e,0)$ sein.
-Die Grösse $e$ heisst auch die {\em lineare Exzentrizität} der Hyperbel.
-Die beiden Äste der Hyperbel schneiden die $x$-Achse in den Punkten
-$A_\pm=(\pm a,0)$.
-In Abbildung~\ref{buch:geometrie:hyperbel:fig:2d} ist diese Situation
-dargestellt.
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/030-geometrie/images/ellipse.pdf}
+\caption{Geometrie einer Ellipse in der Ebene.
+Die Ellipse besteht aus den Punkten $P$ der Ebene, deren Entfernungssumme
+$\overline{F_1P}+\overline{F_2P}$
+zu zwei vorgegebenen Punkten $F_1$ und $F_2$ konstant ist.
+Die Summe $\pm 2a$ führt auf die Ellipsen mit Halbachsen
+$a$ und $b$.
+\label{buch:geometrie:ellipse:fig:2d}}
+\end{figure}
+Aus der Definition~\ref{buch:geometrie:def:kegelschnitte} soll jetzt
+eine Koordinatengleichung für Ellipsen und Hyperbeln hergeleitet werden.
+Die Brennpunkte haben die Koordinaten $F_1=(e,0)$ und $F_2=(-e,0)$.
+Die Grösse $e$ heisst auch die {\em lineare Exzentrizität}.
+Die Abstandssumme bzw.~-differenz wird mit $2a$ bezeichnet
 
-Die Differenz der Entfernungen von $A_+$ zu den beiden Brennpunkten ist
+Die Punkte $A_+=(a,0)$ und $A_-=(-a,0)$ sind Punkte der gesuchten
+Kurven,
+denn die Summe bzw.~Differenz der Entfernungen von $A_+$ zu den beiden
+Brennpunkten ist
 \[
 \overline{A_+F_2}
--
+\pm
 \overline{A_+F_1}
 =
+\begin{cases}
+(a-e)+(a+e) = 2a
+&\qquad\text{Ellipse}
+\\
 (e+a)-(e-a) = 2a
+&\qquad\text{Hyperbel}
+\end{cases}
+\]
+In Abbildung~\ref{buch:geometrie:hyperbel:fig:2d} ist diese Situation
+für eine Hyperbel dargestellt, in 
+Abbildung~\ref{buch:geometrie:ellipse:fig:2d} für eine Ellipse.
+Für eine Ellipse ist $e<a$, für eine Hyperbel ist $e>a$, wir schreiben
+\[
+b^2
+=
+\begin{cases}
+a^2-e^2&\qquad\text{Ellipse} \\
+e^2-a^2&\qquad\text{Hyperbel}
+\end{cases}
 \]
+Die Zahlen $a$ und $b$ heissen die {\em grosse} bzw.~{\em kleine Halbachse}
+der Ellipse bzw.~Hyperbel.
+
 Für einen beliebigen Punkt $P=(x,y)$ in der Ebene wird die Bedingung
 an die Abstände zu
 \[
 \overline{PF_2}
--
+\pm
 \overline{PF_1}
 =
 \sqrt{(x+e)^2+y^2}
--
+\pm
 \sqrt{(x-e)^2+y^2}
 =
 2a.
 \]
+Hier und in der folgenden Rechnung gilt das obere Zeichen jeweils
+für die Ellipse, das untere für die Hyperbel.
 Quadrieren ergibt
 \begin{align*}
 4a^2
 &=
 (x+e)^2+y^2
-+
+\pm
 2\sqrt{
 ((x+e)^2+y^2)
 ((x-e)^2+y^2)
@@ -360,12 +417,12 @@ Quadrieren ergibt
 \\
 2a^2-x^2-e^2-y^2
 &=
-\sqrt{
+\pm\sqrt{
 y^4 + y^2((x+e)^2 + (x-e)^2) +(x^2-e^2)^2
 }
 \\
 &=
-\sqrt{y^4 + 2y^2 ( x^2+e^2) +x^4 - 2x^2e^2 + e^4}.
+\pm\sqrt{y^4 + 2y^2 ( x^2+e^2) +x^4 - 2x^2e^2 + e^4}.
 \end{align*}
 Erneutes Quadrieren bringt auch die Wurzel auf der rechten Seiten
 zum Verschwinden:
@@ -390,22 +447,31 @@ a^4+x^2e^2&=a^2(x^2+y^2+e^2)
 x^2(e^2-a^2)&=a^2(e^2-a^2) + a^2y^2.
 \notag
 \end{align}
-Schreiben wir $b^2=e^2-a^2$ und stellen die Gleichung etwas um,
-ergibt sich
+Die Differenz $e^2-a^2$ ist bis auf das Vorzeichen identisch mit $b^2$,
+genauer gilt
+\begin{equation*}
+\mp x^2b^2 = \mp a^2b^2 + a^2y^2.
+\end{equation*}
+Nach Division durch $\mp a^2b^2$ bleibt
 \begin{equation}
-b^2x^2 - a^2y^2 = a^2b^2
+\frac{x^2}{a^2} = 1 \mp{y^2}{b^2}
 \qquad\Rightarrow\qquad
-\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1.
+\frac{x^2}{a^2} \pm \frac{y^2}{b^2} = 1,
 \label{buch:geometrie:hyperbel:gleichung}
 \end{equation}
-Die Zahlen $a$ und $b$ heissen die {\em grosse} bzw.~{\em kleine Halbachse}
-der Hyperbel.
+die Koordinatengleichunggleichung einer Ellipse bwz.~Hyperbel.
+
 
+\subsubsection{Hyperbeln}
 Die Hyperbeln können auch als Graphen einer Funktion von $x$ gefunden werden.
 Dazu wird die Gleichung~\eqref{buch:geometrie:hyperbel:gleichung}
 nach $y$ aufgelöst:
 \[
-\frac{y^2}{b^2} = \frac{x^2}{a^2} - 1
+\frac{x^2}{a^2}
+-
+\frac{y^2}{b^2}
+=
+1
 \qquad\Rightarrow\qquad
 y
 =
@@ -500,19 +566,39 @@ ausführbar und rechtfertigt die Definition neuer spezieller Funktionen.
 Die Kurvenlänge auf einer Hyperbel kann mit den in
 Kapitel~\ref{buch:chapter:elliptischefunktionen}
 beschriebenen elliptischen Integralen beschrieben werden.
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/030-geometrie/images/parabel.pdf}
+\caption{Eine Parabel ist die Menge der Punkte, die von der Geraden $l$
+und dem Brennpunkt $F$ gleichen Abstand haben.
+\label{buch:geometrie:fig:parabel}}
+\end{figure}
 
-\subsection{Ellipsen
-\label{buch:geometrie:subsection:ellipsen}}
-Für eine Ellipse kann man die Parameterdarstellung 
+\subsubsection{Ellipsen}
+Sei $(x,y)$ ein Punkt, der die
+Ellipsengleichung~\eqref{buch:geometrie:hyperbel:gleichung} erfüllt.
+Dann erfüllt $(X,Y)=(x/a, y/b)$ die Gleichung $X^2+Y^2=1$, ein Punkt auf
+einem Kreis.
+Insbesondere gibt es ein $t\in\mathbb{R}$ derart, dass
 \[
-t\mapsto \begin{pmatrix}a\cos t\\b\sin t\end{pmatrix}
+\frac{x}{a} = \cos t ,\quad \frac{y}{b}=\sin t
+\qquad\Rightarrow\qquad
+x=a\cos t,\quad y=b\sin t.
 \]
-verwenden.
+Somit ist
+\[
+\gamma
+\colon
+\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2
+:
+t \mapsto\begin{pmatrix}a\cos t\\b\sin t\end{pmatrix}
+\]
+eine Parametrisierung der Ellipse.
 Die Länge eines Ellipsenbogens zwischen den Winkelargumenten $\alpha$ und
 $\beta$ ist dann
-\[
+\begin{align*}
 l(\alpha,\beta)
-=
+&=
 \int_\alpha^\beta
 \sqrt{
 a^2 \sin^2 t + b^2 \cos^2t
@@ -524,30 +610,106 @@ a^2 \sin^2 t + b^2 \cos^2t
 a^2 - (a^2-b^2)\cos^2 t
 }
 \,dt
-=
+\\
+&=
 a
 \int_\alpha^\beta
 \sqrt{
 1 - \frac{a^2-b^2}{a^2} \cos^2t
 }
-\,dt.
+\,dt
 =
 a\int_\alpha^\beta
 \sqrt{
 1-\varepsilon^2 \cos^2t
 }
-\,dt
-\]
+\,dt.
+\end{align*}
 Auch dieses Integral ist nicht in geschlossener Form lösbar.
 Dies motiviert in Kapitel~\ref{buch:chapter:elliptischefunktionen}
 die Definition~\ref{buch:elliptisch:def:integrale123}
-der sogenannten elliptischen Intefrale als neue
+der sogenannten elliptischen Integrale als neue
 spezielle Funktionen.
 Auf Seite~\pageref{buch:elliptisch:fig:ellipsenumfang} wird gezeigt,
 dass der Umfang einer Ellipse $4aE(\varepsilon)$ ist,
 wobei $\varepsilon=e/a$ und $e^2=a^2-b^2$ (siehe auch
 Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:ellipsenumfang}).
 
+\subsubsection{Parabeln}
+Aus der Geometrie der Kegelschnitte
+(Abbildung~\ref{buch:geometrie:def:kegelschnitte})
+kann auch die folgende Charakterisierung einer Parabel abgeleitet werden.
+
+\begin{definition}
+\label{buch:geometrie:def:parabel}
+Sei $F$ ein Punkt in der Ebene $l$ eine Gerade, die $F$ nicht enthält.
+$F$ heisst {\em Brennpunkt}, $l$ heisst {\em Leitgerade} der Parabel.
+Die Menge aller Punkte $P$, die von $F$ und $l$ den gleichen
+Abstand haben, heisst {\em Parabel}.
+Die {\em Brennweite} $f$ ist der halbe Abstand von $F$ zu $l$,
+also $\overline{Fl}=2f$.
+\end{definition}
+
+Ohne Einschränkung der Allgemeinheit kann man $F=(0,f)$ und
+$l$ als die Gerade $y=-f$ annehmen
+(siehe Abbildung~\ref{buch:geometrie:fig:parabel}).
+Ein Punkt $P=(x,y)$ liegt genau dann auf der Parabel, wenn
+\begin{align*}
+\overline{Pl}
+&=
+\overline{PF}
+\\
+(y+f)^2
+&=
+x^2 + (y-f)^2
+\\
+y^2+2yf+f^2
+&=
+x^2 + y^2-2yf+f^2
+\\
+4yf
+&=
+x^2
+\qquad\Rightarrow\qquad y=\frac{1}{4f}x^2.
+\end{align*}
+Eine Parabel ist also der Graph einer quadratischen Funktion.
+
+Parabeln haben erhebliche praktische Bedeutung, weil sie parallel zur
+Achse einfallende Strahlen im Brennpunkt $F$ fokusieren.
+
+\subsubsection{Bogenlänge einer Parabel}
+Die Länge eines Parabelbogens zwischen $x_1$ und $x_2$ ist
+\begin{align*}
+l(x_1,x_2)
+&=
+\int_{x_1}^{x_2}
+\sqrt{1+\biggl(\frac{1}{2f}x\biggr)^2}
+\,dx
+\end{align*}
+Mit der Substitution $x=2ft$ wird das Integral zu
+\[
+l(x_1,x_2)
+=
+2f
+\int_{x_1/2f}^{x_2/2f}
+\sqrt{1+t^2}
+\,dt
+=
+f\biggl[
+\operatorname{arsinh} t +t\sqrt{1+t^2}
+\biggr]_{x_1/2f}^{x_2/2f}
+=
+\biggl[
+f
+\operatorname{arsinh}\frac{x}{2f}
++
+\frac{x}{4f}\sqrt{4f^2+x^2}
+\biggr]_{x_1}^{x_2}.
+\]
+Während also Ellipsen- und Hyperbelbogen nicht in geschlossener
+Form berechnet werden können, ist dies für Parabelbögen sehr wohl
+möglich.
+
 
 
 
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/jacobi.pdf b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/jacobi.pdf
index 1504128..d1977f0 100644
--- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/jacobi.pdf
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/jacobi.pdf
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/jacobi.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/jacobi.tex
index 2a53e75..e7d53a5 100644
--- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/jacobi.tex
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/jacobi.tex
@@ -38,8 +38,8 @@
 	\end{scope}
 	\draw[->] (-6.1,0) -- (6.3,0) coordinate[label={$x$}];
 	\draw[->] (0,-2.55) -- (0,2.6) coordinate[label={right:$y$}];
-	\node at (6,2.3) [left] {$a=0$};
-	\node at (-6,2.3) [right] {$b=0$};
+	\node at (6,2.3) [left] {$\alpha=0$\strut};
+	\node at (-6,2.3) [right] {$\beta=0$\strut};
 	\draw ({-1*\dx},-0.1) -- ({-1*\dx},0.1);
 	\draw ({1*\dx},-0.1) -- ({1*\dx},0.1);
 	\node at ({1*\dx},-0.1) [below] {$1$};
@@ -70,8 +70,8 @@
 	\draw[->] (-6.1,0) -- (6.3,0) coordinate[label={$x$}];
 	\draw[->] (0,-2.55) -- (0,2.6) coordinate[label={right:$y$}];
 	\fill[color=white,opacity=0.8] (4.9,2.1) rectangle (5.9,2.5);
-	\node at (6,2.3) [left] {$a=1$};
-	\node at (-6,2.3) [right] {$b=0$};
+	\node at (6,2.3) [left] {$\alpha=1$\strut};
+	\node at (-6,2.3) [right] {$\beta=0$\strut};
 	\draw ({-1*\dx},-0.1) -- ({-1*\dx},0.1);
 	\draw ({1*\dx},-0.1) -- ({1*\dx},0.1);
 	\node at ({1*\dx},-0.1) [below] {$1$};
@@ -102,8 +102,8 @@
 	\end{scope}
 	\draw[->] (-6.1,0) -- (6.3,0) coordinate[label={$x$}];
 	\draw[->] (0,-2.55) -- (0,2.6) coordinate[label={right:$y$}];
-	\node at (6,2.3) [left] {$a=-1$};
-	\node at (-6,2.3) [right] {$b=0$};
+	\node at (6,2.3) [left] {$\alpha=-1$\strut};
+	\node at (-6,2.3) [right] {$\beta=0$\strut};
 	\draw ({-1*\dx},-0.1) -- ({-1*\dx},0.1);
 	\draw ({1*\dx},-0.1) -- ({1*\dx},0.1);
 	\node at ({1*\dx},-0.1) [below] {$1$};
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/weight.pdf b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/weight.pdf
index 164af55..bd15f94 100644
--- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/weight.pdf
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/weight.pdf
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/weight.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/weight.tex
index 796f09a..303a3ac 100644
--- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/weight.tex
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/weight.tex
@@ -129,8 +129,8 @@
 			(0.6666,-1) rectangle (1,1);
 	\end{scope}
 	\draw[color=white,line width=0.5pt] \rand;
-	\draw[color=white,line width=0.5pt] ({-2/3},-1) -- ({-2/3},1);
-	\draw[color=white,line width=0.5pt] ({2/3},-1) -- ({2/3},1);
+	\draw[color=white,line width=0.8pt] ({-2/3},-1) -- ({-2/3},1);
+	\draw[color=white,line width=0.8pt] ({2/3},-1) -- ({2/3},1);
 \end{scope}
 
 \draw[->] (-1.1,0) -- (1.1,0) coordinate[label={$x$}];
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/jacobi.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/jacobi.tex
index 8ccf6a3..576ef62 100644
--- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/jacobi.tex
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/jacobi.tex
@@ -101,7 +101,7 @@ oder $a > \frac12(\alpha+1)$.
  
 Pole der Gewichtsfunktion schränken also ein, welche Funktionen
 überhaupt der Untersuchung mit Hilfe des Skalarproduktes
-$\langle\,\;,\;\rangle$ zugänglich sind
+$\langle\,\;,\;\rangle_w$ zugänglich sind
 (Abbildung~\ref{buch:orthogonalitaet:fig:gewicht}).
 Ist die Ordnung $\alpha$ des Poles grösser als $1$, dann müssen die Funktionen
 eine Nullstelle mindestens vom Grad $\frac12(a+1)$ haben.
@@ -181,10 +181,10 @@ $\frac12(1-\alpha)$ haben.
 \centering
 \includegraphics[width=\textwidth]{chapters/070-orthogonalitaet/images/jacobi.pdf}
 \caption{Jacobi-Polynome vom Grad $1$ bis $14$ für verschiedene Werte
-der Parameter $a$ und $b$.
-Je grösser $a$, desto weniger Gewicht bekommen die Funktionswerte am
+der Parameter $\alpha$ und $\beta$.
+Je grösser $\alpha$, desto weniger Gewicht bekommen die Funktionswerte am
 rechten Rand und desto grösser werden die Funktionswerte.
-Für negative $a$ müssen die Polynome dagegen eine Nullstelle am
+Für negative $\alpha$ müssen die Polynome dagegen eine Nullstelle am
 rechten Rand haben.
 \label{buch:orthogonal:fig:jacobi-parameter}}
 \end{figure}
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex
index 12555b8..073b004 100644
--- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex
@@ -35,7 +35,7 @@ man
 \]
 Ersetzt man $t=-x$, dann wird daraus
 \[
-(1-x^2)y''(t) -2t y(t) + n(n+1) y(t) = 0
+(1-t^2)y''(t) -2t y(t) + n(n+1) y(t) = 0
 \]
 aus der Differentialgleichung
 \eqref{buch:integral:eqn:legendre-differentialgleichung}.
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex
index 7849e2d..9447c6f 100644
--- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex
@@ -370,126 +370,6 @@ Nach obigem Satz sind die Eigenfunktionen von $D$ orthogonal.
 Das Beispiel illustriert, dass orthogonale Funktionenfamilien
 ein automatisches Nebenprodukt selbstadjungierter Operatoren sind.
 
-%%
-%% Besselfunktionen also orthogonale Funktionenfamilie
-%%
-%\subsection{Bessel-Funktionen als orthogonale Funktionenfamilie}
-%Auch die Besselfunktionen sind eine orthogonale Funktionenfamilie.
-%Sie sind Funktionen differenzierbaren Funktionen $f(r)$ für $r>0$
-%mit $f'(r)=0$ und für $r\to\infty$ nimmt $f(r)$ so schnell ab, dass
-%auch $rf(r)$ noch gegen $0$ strebt.
-%Das Skalarprodukt ist
-%\[
-%\langle f,g\rangle
-%=
-%\int_0^\infty r f(r) g(r)\,dr,
-%\]
-%als Operator verwenden wir
-%\[
-%A = \frac{d^2}{dr^2} + \frac{1}{r}\frac{d}{dr} + s(r),
-%\]
-%wobei $s(r)$ eine beliebige integrierbare Funktion sein kann.
-%Zunächst überprüfen wir, ob dieser Operator wirklich selbstadjungiert ist.
-%Dazu rechnen wir
-%\begin{align}
-%\langle Af,g\rangle
-%&=
-%\int_0^\infty
-%r\,\biggl(f''(r)+\frac1rf'(r)+s(r)f(r)\biggr) g(r)
-%\,dr
-%\notag
-%\\
-%&=
-%\int_0^\infty rf''(r)g(r)\,dr
-%+
-%\int_0^\infty f'(r)g(r)\,dr
-%+
-%\int_0^\infty s(r)f(r)g(r)\,dr.
-%\notag
-%\intertext{Der letzte Term ist symmetrisch in $f$ und $g$, daher
-%ändern wir daran weiter nichts.
-%Auf das erste Integral kann man partielle Integration anwenden und erhält}
-%&=
-%\biggl[rf'(r)g(r)\biggr]_0^\infty
-%-
-%\int_0^\infty f'(r)g(r) + rf'(r)g'(r)\,dr
-%+
-%\int_0^\infty f'(r)g(r)\,dr
-%+
-%\int_0^\infty s(r)f(r)g(r)\,dr.
-%\notag
-%\intertext{Der erste Term verschwindet wegen der Bedingungen an die
-%Funktionen $f$ und $g$.
-%Der erste Term im zweiten Integral hebt sich gegen das
-%zweite Integral weg.
-%Der letzte Term ist das Skalarprodukt von $f'$ und $g'$.
-%Somit ergibt sich
-%}
-%&=
-%-\langle f',g'\rangle
-%+
-%\int_0^\infty s(r) f(r)g(r)\,dr.
-%\label{buch:integrale:orthogonal:besselsa}
-%\end{align}
-%Vertauscht man die Rollen von $f$ und $g$, erhält man das Gleiche, da im
-%letzten Ausdruck~\eqref{buch:integrale:orthogonal:besselsa} die Funktionen
-%$f$ und $g$ symmetrische auftreten.
-%Damit ist gezeigt, dass der Operator $A$ selbstadjungiert ist.
-%Es folgt nun, dass Eigenvektoren des Operators $A$ automatisch
-%orthogonal sind.
-%
-%Eigenfunktionen von $A$ sind aber Lösungen der Differentialgleichung
-%\[
-%\begin{aligned}
-%&&
-%Af&=\lambda f
-%\\
-%&\Rightarrow\qquad&
-%f''(r) +\frac1rf'(r) + s(r)f(r) &= \lambda f(r)
-%\\
-%&\Rightarrow\qquad&
-%r^2f''(r) +rf'(r)+ (-\lambda r^2+s(r)r^2)f(r) &= 0
-%\end{aligned}
-%\]
-%sind.
-%
-%Durch die Wahl $s(r)=1$ wird der Operator $A$ zum Bessel-Operator
-%$B$ definiert in
-%\eqref{buch:differentialgleichungen:bessel-operator}.
-%Die Lösungen der Besselschen Differentialgleichung zu verschiedenen Werten
-%des Parameters müssen also orthogonal sein, insbesondere sind die
-%Besselfunktion $J_\nu(r)$ und $J_\mu(r)$ orthogonal wenn $\mu\ne\nu$ ist.
-%
-%
-% Orthogonale Polynome
-%
-\subsection{Orthogonale Polynome
-\label{buch:integral:subsection:orthogonale-polynome}}
-Die Polynome $1,x,x^2,\dots,x^n$ bilden eine Basis des Vektorraums
-der Polynome vom Grad $\le n$.
-Bezüglich des Skalarproduktes
-\[
-\langle p,q\rangle
-=
-\int_{-1}^1 p(x)q(x)\,dx
-\]
-sind sie jedoch nicht orthogonal, denn es ist
-\[
-\langle x^i,x^j\rangle
-=
-\int_{-1}^1 x^{i+j}\,dx
-=
-\biggl[\frac{x^{i+j+1}}{i+j+1}\biggr]_{-1}^1
-=
-\begin{cases}
-\displaystyle
-\frac{2}{i+j+1}&\qquad\text{$i+j$ gerade}\\
-              0&\qquad\text{$i+j$ ungerade}.
-\end{cases}
-\]
-Wir können daher das Gram-Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren
-anwenden, um eine orthogonale Basis von Polynomen zu finden, was
-wir im Folgenden tun wollen.
 
 % XXX Orthogonalisierungsproblem so formulieren, dass klar wird,
 % XXX dass man ein "Normierungskriterium braucht.
@@ -714,8 +594,6 @@ orthogonale Polynome vom Grad $n$, die den Wert $P_n(1)=1$ haben.
 \label{buch:integral:table:legendre-polynome}}
 \end{table}
 
-
-
 Die so konstruierten Polynome heissen die {\em Legendre-Polynome}.
 Durch weitere Durchführung des Verfahrens liefert die Polynome in
 Tabelle~\ref{buch:integral:table:legendre-polynome}.
@@ -725,3 +603,220 @@ Abbildung~\ref{buch:integral:orthogonal:legendreortho} illustriert,
 dass die die beiden Polynome $P_4(x)$ und $P_7(x)$ orthogonal sind.
 Das Produkt $P_4(x)\cdot P_7(x)$ hat Integral $=0$.
 
+%
+% Rekursionsrelation
+%
+\subsection{Drei-Term-Rekursion
+\label{buch:orthogonal:subsection:rekursionsrelation}}
+Die Berechnung der Legendre-Polynome mit Hilfe des Gram-Schmidt-Verfahrens
+ist ausserordentlich mühsame wenig hilfreich, wenn es darum geht, Werte
+der Polynome zu berechnen.
+Glücklicherweise erfüllen orthogonale Polynome automatisch eine 
+Rekursionsbeziehung mit nur drei Termen.
+Zum Beispiel kann man zeigen, dass für die Legendre-Polynome die
+Relation
+\begin{align*}
+nP_n(x) &= (2n-1)xP_{n-1}(x) - (n-1)P_{n-2}(x),\;\forall n\ge 2,
+\\
+P_1(x) &= x,
+\\
+P_0(x) &= 1.
+\end{align*}
+Mit so einer Rekursionsbeziehung ist es sehr einfach, die Funktionswerte
+für alle $P_n(x)$ zu berechnen.
+
+\begin{definition}
+Eine Folge von Polynomen $p_n(x)$ heisst orthogonal bezüglich des
+Skalarproduktes $\langle\,\;,\;\rangle_w$, wenn 
+\[
+\langle p_n,p_m\rangle_w = h_n \delta_{nm}
+\]
+für alle $n$, $m$.
+\end{definition}
+
+\subsubsection{Allgemeine Drei-Term-Rekursion für orthogonale Polynome}
+Der folgende Satz besagt, dass $p_n$ eine Rekursionsbeziehung erfüllt.
+
+\begin{satz}
+\label{buch:orthogonal:satz:drei-term-rekursion}
+Eine Folge bezüglich $\langle\,\;,\;\rangle_w$ orthogonaler Polynome $p_n$ 
+mit dem Grade $\deg p_n = n$ erfüllt eine Rekursionsbeziehung der Form
+\begin{equation}
+p_{n+1}(x)
+=
+(A_nx+B_n)p_n(x) - C_np_{n-1}(x)
+\label{buch:orthogonal:eqn:rekursion}
+\end{equation}
+für $n\ge 0$, wobei $p_{-1}(x)=0$ gesetzt wird.
+Die Zahlen $A_n$, $B_n$ und $C_n$ sind reell und es ist
+$A_{n-1}A_nC_n\ge 0$ für $n>0$. 
+Wenn $k_n>0$ der Leitkoeffizient von $p_n(x)$ ist, dann gilt
+\begin{equation}
+A_n=\frac{k_{n+1}}{k_n},
+\qquad
+C_{n+1} = \frac{A_{n+1}}{A_n}\frac{h_{n+1}}{h_n}.
+\label{buch:orthogonal:eqn:koeffizientenrelation}
+\end{equation}
+\end{satz}
+
+\subsubsection{Multiplikationsoperator mit $x$}
+Man kann die Relation auch nach dem Produkt $xp_n(x)$ auflösen, dann
+wird sie
+\begin{equation}
+xp_n(x)
+=
+\frac{1}{A_n}p_{n+1}(x)
+-
+\frac{B_n}{A_n}p_n(x)
++
+\frac{C_n}{A_n}p_{n-1}(x).
+\label{buch:orthogonal:eqn:multixrelation}
+\end{equation}
+Die Multiplikation mit $x$ ist eine lineare Abbildung im Raum der Funktionen.
+Die Relation~\eqref{buch:orthogonal:eqn:multixrelation} besagt, dass diese
+Abbildung in der Basis der Polynome $p_k$ tridiagonale Form hat.
+
+\subsubsection{Drei-Term-Rekursion für die Tschebyscheff-Polynome}
+Eine Relation der Form~\eqref{buch:orthogonal:eqn:multixrelation}
+wurde bereits in 
+Abschnitt~\ref{buch:potenzen:tschebyscheff:rekursionsbeziehungen}
+hergeleitet.
+In der Form~\eqref{buch:orthogonal:eqn:rekursion} geschrieben lautet
+sie
+\[
+T_{n+1}(x) = 2x\,T_n(x)-T_{n-1}(x).
+\]
+also
+$A_n=2$, $B_n=0$ und $C_n=1$.
+
+\subsubsection{Beweis von Satz~\ref{buch:orthogonal:satz:drei-term-rekursion}}
+Die Relation~\eqref{buch:orthogonal:eqn:multixrelation} zeigt auch,
+dass der Beweis die Koeffizienten $\langle xp_k,p_j\rangle_w$
+berechnen muss.
+Dabei wird wiederholt der folgende Trick verwendet.
+Für jede beliebige Funktion $f$ mit $\|f\|_w^2<\infty$ ist
+\[
+\langle fp_k,p_j\rangle_w
+=
+\langle p_k,fp_j\rangle_w.
+\]
+Für $f(x)=x$ kann man weiter verwenden, dass $xp_k(x)$ ein Polynom
+vom Grad $k+1$ ist.
+Die Gleichheit $\langle xp_k,p_j\rangle_w=\langle p_k,xp_j\rangle_w$
+ermöglicht also, den Faktor $x$ dorthin zu schieben, wo es nützlicher ist.
+
+\begin{proof}[Beweis des Satzes]
+Multipliziert man die rechte Seite von
+\eqref{buch:orthogonal:eqn:rekursion} aus, dann ist der einzige Term
+vom Grad $n+1$ der Term $A_nxp_n(x)$.
+Der Koeffizient $A_n$ ist also dadurch festgelegt, dass
+\begin{equation}
+b(x)
+=
+p_{n+1}(x) - A_nxp_n(x)
+\label{buch:orthogonal:rekbeweis}
+\end{equation}
+Grad $\le n$ hat.
+Dazu müssen sich die Terme vom Grad $n+1$ in den Polynomen wegheben,
+d.~h.~$k_{n+1}-A_nk_n=0$, woraus die erste Beziehung in
+\eqref{buch:orthogonal:eqn:koeffizientenrelation} folgt.
+
+Die Polynome $p_k$ sind durch Orthogonalisierung der Monome
+$1$, $x$,\dots $x^{k}$ entstanden.
+Dies bedeutet, dass $\langle p_n,x^k\rangle_w=0$ für alle $k<n$
+gilt und daher auch $\langle p_n,Q\rangle_w=0$ für jedes Polynome
+$Q(x)$ vom Grad $<n$.
+
+Das Polynom $b(x)$ ist vom Grad $\le n$, es lässt sich also als
+Linearkombination
+\[
+b(x) = \sum_{k=0}^n b_k p_k(x)
+\]
+der $p_k$ mit $k\le n$ schreiben.
+Die Koeffizienten $b_j$ kann man erhalten, indem man 
+\eqref{buch:orthogonal:rekbeweis} Skalar mit $p_j$ multipliziert.
+Dabei erhält man
+\[
+h_jb_j
+=
+\langle b,p_j\rangle_w
+=
+\langle p_{n+1},p_j\rangle_w
+-
+A_n\langle xp_n,p_j\rangle_w.
+\]
+Für $j\le n$ verschwindet der erste Term nach der Definition einer
+Folge von orthogonalen Polynomen.
+Den zweiten Term kann man umformen in
+\[
+\langle xp_n,p_j\rangle_w
+=
+\langle p_n,xp_j\rangle_w.
+\]
+Darin ist $xp_j$ ein Polynom vom Grad $j+1$.
+Für $n>j+1$ folgt, dass der zweite Term verschwindet.
+Somit sind alle $b_j=0$ mit $j<n-1$, nur der Term $j=n-1$
+bleibt bestehen.
+Mit $B_n=b_n$ und $C_n=b_{n-1}$ bekommt man die somit die
+Rekursionsbeziehung~\eqref{buch:orthogonal:eqn:rekursion}.
+
+Indem man das Skalarprodukt von~\eqref{buch:orthogonal:eqn:rekursion}
+mit $p_{n-1}$ bildet, findet man
+\begin{align}
+\underbrace{\langle
+p_{n+1},p_{n-1}
+\rangle_w}_{\displaystyle=0}
+&=
+\langle (A_nx+B_n)p_n+C_np_{n-1},p_{n-1} \rangle_w
+\notag
+\\
+0
+&=
+A_n\langle xp_n,p_{n-1} \rangle_w
++B_n\underbrace{\langle p_n,b_{n-1}\rangle_w}_{\displaystyle=0}
+-C_n\|p_{n-1}\|_w^2
+\notag
+\\
+0
+&=
+A_n\langle p_n,xp_{n-1} \rangle_w
+-C_n\|p_{n-1}\|_w^2
+\label{buch:orthogonal:eqn:rekbeweis2}
+\end{align}
+Indem man $xp_n$ als
+\[
+xp_{n-1}(x)
+=
+\frac{k_{n-1}}{k_n} p_n(x)
++
+\sum_{k=0}^{n-1} d_kp_k(x)
+\]
+schreibt, bekommt man
+\begin{align*}
+\langle
+p_n,
+xp_{n-1}
+\rangle_w
+&=
+\biggl\langle
+p_n,
+\frac{k_{n-1}}{k_n} p_n
++
+\sum_{k=0}^{n-1} d_kp_k
+\biggr\rangle_w
+=
+\frac{k_{n-1}}{k_n}h_n
++
+\sum_{k=0}^{n-1} d_k\underbrace{\langle p_n,p_k\rangle_w}_{\displaystyle=0}
+\end{align*}
+Eingesetzt in~\eqref{buch:orthogonal:eqn:rekbeweis2} erhält man
+\[
+A_n\frac{k_{n-1}}{k_n}h_n = C_n h_{n-1}
+\qquad\Rightarrow\qquad
+C_n
+=
+A_n\frac{k_{n-1}}{k_n}\frac{h_n}{h_{n-1}},
+\]
+damit ist auch die zweite Beziehung von
+\eqref{buch:orthogonal:eqn:koeffizientenrelation}.
+\end{proof}