Laplace Gamma

1 files changed, 34 insertions, 2 deletions

diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
index d19b51b..713215c 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
@@ -437,8 +437,40 @@ die Werte der Fakultät annimmt.
 \label{buch:rekursion:fig:gamma}}
 \end{figure}
 
-XXX Laplace-Transformation der Potenzfunktionen $t^\alpha$ und
-$\Gamma$-Funktion.
+% XXX Beweis der Integraldarstellung der Gamma-Funktion
+
+\subsubsection{Laplace-Transformierte der Potenzfunktion}
+Die Integraldarstellung der Gamma-Funktion erlaubt jetzt auch, die
+Laplace-Transformation der Potenzfunktion zu berechnen.
+
+\begin{satz}
+Die Laplace-Transformierte der Potenzfunktion $f(t)=t^\alpha$ ist
+\[
+(\mathcal{L}f)(s)
+=
+\frac{1}{s^\alpha} \Gamma(\alpha+1).
+\qedhere
+\]
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Die Laplace-Transformierte ist das Integral
+\[
+(\mathcal{L}f)(s)
+=
+\int_0^\infty t^\alpha e^{-st}\,dt
+\]
+Durch die Substitution $st = u$ oder $t=\frac{u}{s}$ wird daraus
+\[
+(\mathcal{L}f)(s)
+=
+\int_0^\infty \biggl(\frac{u}{s}\biggr)^\alpha e^{-u}\,du
+=
+\frac{1}{s^\alpha}\int_0^\infty u^{\alpha} e^{-u}\,du
+=
+\frac{1}{s^\alpha} \Gamma(\alpha+1).
+\]
+\end{proof}
 
 \subsubsection{Alternative Lösungen}
 Die Funktion $\Gamma(z)$ ist nicht die einzige Funktion, die natürlichen