Merge branch 'master' of https://github.com/AndreasFMueller/SeminarSpezielleFunktionen

13 files changed, 602 insertions, 220 deletions

diff --git a/buch/papers/0f1/images/konvergenzAiry.pdf b/buch/papers/0f1/images/konvergenzAiry.pdf
new file mode 100644
index 0000000..206cd3a
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/0f1/images/konvergenzAiry.pdf
diff --git a/buch/papers/0f1/images/konvergenzNegativ.pdf b/buch/papers/0f1/images/konvergenzNegativ.pdf
new file mode 100644
index 0000000..03b2ba1
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/0f1/images/konvergenzNegativ.pdf
diff --git a/buch/papers/0f1/images/konvergenzPositiv.pdf b/buch/papers/0f1/images/konvergenzPositiv.pdf
new file mode 100644
index 0000000..2e45129
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/0f1/images/konvergenzPositiv.pdf
diff --git a/buch/papers/0f1/images/stabilitaet.pdf b/buch/papers/0f1/images/stabilitaet.pdf
new file mode 100644
index 0000000..13dea39
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/0f1/images/stabilitaet.pdf
diff --git a/buch/papers/0f1/listings/kettenbruchIterativ.c b/buch/papers/0f1/listings/kettenbruchIterativ.c
new file mode 100644
index 0000000..d897b8f
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/0f1/listings/kettenbruchIterativ.c
@@ -0,0 +1,53 @@
+/**

+  * @brief Calculates the Hypergeometric Function 0F1(;b;z)

+  * @param b0 in 0F1(;b0;z)

+  * @param z in 0F1(;b0;z)

+  * @param n number of itertions (precision)

+  * @return Result

+  */

+static double fractionRekursion0f1(const double c, const double z, unsigned int n)

+{

+    //declaration

+    double a = 0.0;

+    double b = 0.0;

+    double Ak = 0.0;

+    double Bk = 0.0;

+    double Ak_1 = 0.0;

+    double Bk_1 = 0.0;

+    double Ak_2 = 0.0;

+    double Bk_2 = 0.0;

+

+    for (unsigned int k = 0; k <= n; ++k)

+    {

+        if (k == 0)

+        {

+            a = 1.0; //a0

+            //recursion fomula for A0, B0

+            Ak = a;

+            Bk = 1.0;

+        }

+        else if (k == 1)

+        {

+            a = 1.0; //a1

+            b = z/c; //b1

+            //recursion fomula for A1, B1

+            Ak = a * Ak_1 + b * 1.0;

+            Bk = a * Bk_1;

+        }

+        else

+        {

+            a = 1 + (z / (k * ((k - 1) + c)));//ak

+            b = -(z / (k * ((k - 1) + c)));   //bk

+            //recursion fomula for Ak, Bk

+            Ak = a * Ak_1 + b * Ak_2;

+            Bk = a * Bk_1 + b * Bk_2;

+        }        

+        //save old values

+        Ak_2 = Ak_1;

+        Bk_2 = Bk_1;

+        Ak_1 = Ak;

+        Bk_1 = Bk; 

+    }

+    //approximation fraction

+    return  Ak/Bk;

+}

diff --git a/buch/papers/0f1/listings/kettenbruchRekursion.c b/buch/papers/0f1/listings/kettenbruchRekursion.c
new file mode 100644
index 0000000..3caaf43
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/0f1/listings/kettenbruchRekursion.c
@@ -0,0 +1,27 @@
+/**

+  * @brief Calculates the Hypergeometric Function 0F1(;c;z)

+  * @param c in 0F1(;c;z)

+  * @param z in 0F1(;c;z)

+  * @param k number of itertions (precision)

+  * @return Result

+  */

+static double fractionIter0f1(const double c, const double z, unsigned int k)

+{

+    //declaration

+    double a = 0.0;

+    double b = 0.0;

+    double abk = 0.0;

+    double temp = 0.0;

+

+    for (; k > 0; --k)

+    {

+        abk = z / (k * ((k - 1) + c));  //abk = ak, bk

+        

+        a = k > 1 ? (1 + abk) : 1;      //a0, a1

+        b = k > 1 ? -abk : abk;         //b1

+

+        temp = b / (a + temp);          //bk / (ak + last result)

+    }

+

+    return a + temp;                    //a0 + temp

+}
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/0f1/listings/potenzreihe.c b/buch/papers/0f1/listings/potenzreihe.c
new file mode 100644
index 0000000..23fdfea
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/0f1/listings/potenzreihe.c
@@ -0,0 +1,69 @@
+#include <math.h>

+

+/**

+  * @brief Calculates pochhammer

+  * @param (a+n-1)!

+  * @return Result

+  */

+static double pochhammer(const double x, double n)

+{

+    double temp = x;

+

+    if (n > 0)

+    {

+        while (n > 1)

+        {

+            temp *= (x + n - 1);

+            --n;

+        }

+

+        return temp;

+    }

+    else

+    {

+        return 1;

+    }

+}

+

+/**

+  * @brief Calculates the Factorial

+  * @param n!

+  * @return Result

+  */

+static double fac(int n)

+{

+    double temp = n;

+

+    if (n > 0)

+    {

+        while (n > 1)

+        {

+            --n;

+            temp *= n;

+        }

+        return temp;

+    }

+    else

+    {

+        return 1;

+    }

+}

+

+/**

+  * @brief Calculates the Hypergeometric Function 0F1(;b;z)

+  * @param c in 0F1(;c;z)

+  * @param z in 0F1(;c;z)

+  * @param n number of itertions (precision)

+  * @return Result

+  */

+static double powerseries(const double c, const double z, unsigned int n)

+{

+    double temp = 0.0;

+

+    for (unsigned int k = 0; k < n; ++k)

+    {

+        temp += pow(z, k) / (factorial(k) * pochhammer(c, k));

+    }

+

+    return temp;

+}
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/0f1/main.tex b/buch/papers/0f1/main.tex
index 264ad56..0b1020f 100644
--- a/buch/papers/0f1/main.tex
+++ b/buch/papers/0f1/main.tex
@@ -1,36 +1,24 @@
-%
-% main.tex -- Paper zum Thema <0f1>
-%
-% (c) 2020 Hochschule Rapperswil
-%
-\chapter{Thema\label{chapter:0f1}}
-\lhead{Thema}
-\begin{refsection}
-\chapterauthor{Hans Muster}
-
-Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes
-\begin{itemize}
-\item
-Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt.
-Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet.
-\item
-Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende
-Optionen werden gelöscht. 
-Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen.
-\item
-Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. 
-Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen
-in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt 
-anzuwenden.
-\item 
-Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren
-Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern.
-\end{itemize}
-
-\input{papers/0f1/teil0.tex}
-\input{papers/0f1/teil1.tex}
-\input{papers/0f1/teil2.tex}
-\input{papers/0f1/teil3.tex}
-
-\printbibliography[heading=subbibliography]
-\end{refsection}
+%

+% main.tex -- Paper zum Thema <0f1>

+%

+% (c) 2020 Hochschule Rapperswil

+%

+%

+

+

+

+\chapter{Algorithmus zur Berechnung von $\mathstrut_0F_1$\label{chapter:0f1}}

+\lhead{Algorithmus zur Berechnung von $\mathstrut_0F_1$}

+\begin{refsection}

+\chapterauthor{Fabian Dünki}

+

+

+

+

+\input{papers/0f1/teil0.tex}

+\input{papers/0f1/teil1.tex}

+\input{papers/0f1/teil2.tex}

+\input{papers/0f1/teil3.tex}

+

+\printbibliography[heading=subbibliography]

+\end{refsection}

diff --git a/buch/papers/0f1/references.bib b/buch/papers/0f1/references.bib
index fb9cd8b..47555da 100644
--- a/buch/papers/0f1/references.bib
+++ b/buch/papers/0f1/references.bib
@@ -4,32 +4,82 @@
 % (c) 2020 Autor, Hochschule Rapperswil
 %
 
-@online{0f1:bibtex,
-	title = {BibTeX},
-	url = {https://de.wikipedia.org/wiki/BibTeX},
-	date = {2020-02-06},
-	year = {2020},
-	month = {2},
-	day = {6}
-}
-
-@book{0f1:numerical-analysis,
-	title = {Numerical Analysis},
-	author = {David Kincaid and Ward Cheney},
-	publisher = {American Mathematical Society},
-	year = {2002},
-	isbn = {978-8-8218-4788-6},
-	inseries = {Pure and applied undegraduate texts},
-	volume = {2}
-}
-
-@article{0f1:mendezmueller,
-        author = { Tabea Méndez and Andreas Müller },
-        title = { Noncommutative harmonic analysis and image registration },
-        journal = { Appl. Comput. Harmon. Anal.},
-        year = 2019,
-        volume = 47,
-        pages = {607--627},
-        url = {https://doi.org/10.1016/j.acha.2017.11.004}
+@online{0f1:library-gsl,
+	title = {GNU Scientific Library},
+	url ={https://www.gnu.org/software/gsl/},
+	date = {2022-07-07},
+	year = {2022},
+	month = {7},
+	day = {7}
 }
 
+@online{0f1:wiki-airyFunktion,
+	title = {Airy-Funktion},
+	url ={https://de.wikipedia.org/wiki/Airy-Funktion},
+	date = {2022-07-07},
+	year = {2022},
+	month = {7},
+	day = {7}
+}
+
+@online{0f1:wiki-kettenbruch,
+	title = {Kettenbruch},
+	url ={https://de.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch},
+	date = {2022-07-07},
+	year = {2022},
+	month = {7},
+	day = {25}
+}
+
+@online{0f1:double,
+	title = {C - Data Types},
+	url ={https://www.tutorialspoint.com/cprogramming/c_data_types.htm},
+	date = {2022-07-07},
+	year = {2022},
+	month = {7},
+	day = {7}
+}
+
+@online{0f1:wolfram-0f1,
+	title = {Hypergeometric 0F1},
+	url ={https://functions.wolfram.com/webMathematica/FunctionEvaluation.jsp?name=Hypergeometric0F1},
+	date = {2022-07-07},
+	year = {2022},
+	month = {7},
+	day = {7}
+}
+
+@online{0f1:wiki-fraction,
+	title = {Gauss continued fraction},
+	url ={https://en.wikipedia.org/wiki/Gauss%27s_continued_fraction},
+	date = {2022-07-07},
+	year = {2022},
+	month = {7},
+	day = {7}
+}
+
+@online{0f1:code,
+	title = {Vollständiger C-Code},
+	url ={https://github.com/AndreasFMueller/SeminarSpezielleFunktionen/tree/master/buch/papers/0f1/listings},
+	date = {2022-07-07},
+	year = {2022},
+	month = {7},
+	day = {7}
+}
+
+@book{0f1:SeminarNumerik,
+	title = {Mathematisches Seminar Numerik},
+	author = {Andreas Müller et al},
+	publisher = {Andreas Müller},
+	year = {2022},
+}
+
+@article{0f1:kettenbrueche,
+        author = { Benjamin Bouhafs-Keller },
+        title = { Kettenbrüche },
+        journal = { Mathematisches Seminar Numerik },
+        year = 2020,
+        volume = 13,
+        pages = {363--376},
+        url = {https://github.com/AndreasFMueller/SeminarNumerik}
+}
diff --git a/buch/papers/0f1/teil0.tex b/buch/papers/0f1/teil0.tex
index 9087808..adccac7 100644
--- a/buch/papers/0f1/teil0.tex
+++ b/buch/papers/0f1/teil0.tex
@@ -1,22 +1,15 @@
-%
-% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 0\label{0f1:section:teil0}}
-\rhead{Teil 0}
-Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
-nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam
-erat, sed diam voluptua \cite{0f1:bibtex}.
-At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum.
-Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum
-dolor sit amet.
-
-Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
-nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam
-erat, sed diam voluptua.
-At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum.  Stet clita
-kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit
-amet.
-
-
+%

+% einleitung.tex -- Einleitung

+%

+% (c) 2022 Fabian Dünki, Hochschule Rapperswil

+%

+\section{Ausgangslage\label{0f1:section:ausgangslage}}

+\rhead{Ausgangslage}

+Die Hypergeometrische Funktion $\mathstrut_0F_1$ wird in vielen Funktionen als Basisfunktion benutzt, 

+zum Beispiel um die Airy Funktion zu berechnen. 

+In der GNU Scientific Library \cite{0f1:library-gsl} 

+ist die Funktion $\mathstrut_0F_1$ vorhanden. 

+Allerdings wirft die Funktion, bei negativen Übergabenwerten wie zum Beispiel \verb+gsl_sf_hyperg_0F1(1, -1)+, eine Exception. 

+Bei genauerer Untersuchung hat sich gezeigt, dass die Funktion je nach Betriebssystem funktioniert oder eben nicht. 

+So kann die Funktion unter Windows fehlerfrei aufgerufen werden, beim Mac OS und Linux sind negative Übergabeparameter im Moment nicht möglich.

+Ziel dieser Arbeit war es zu evaluieren, ob es mit einfachen mathematischen Operationen möglich ist, die Hypergeometrische Funktion $\mathstrut_0F_1$ zu implementieren.

diff --git a/buch/papers/0f1/teil1.tex b/buch/papers/0f1/teil1.tex
index aca84d2..2ca9647 100644
--- a/buch/papers/0f1/teil1.tex
+++ b/buch/papers/0f1/teil1.tex
@@ -1,55 +1,101 @@
-%
-% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 1
-\label{0f1:section:teil1}}
-\rhead{Problemstellung}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo.
-Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit
-aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione
-voluptatem sequi nesciunt
-\begin{equation}
-\int_a^b x^2\, dx
-=
-\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b
-=
-\frac{b^3-a^3}3.
-\label{0f1:equation1}
-\end{equation}
-Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet,
-consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora
-incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem.
-
-Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis
-suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur?
-Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit
-esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum
-fugiat quo voluptas nulla pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{0f1:subsection:finibus}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}.
-
-Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio
-\ref{0f1:section:loesung}.
-Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil
-impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis
-voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus
-\ref{0f1:section:folgerung}.
-Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum
-necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et
-molestiae non recusandae.
-Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis
-voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus
-asperiores repellat.
-
-
+%

+% teil1.tex -- Mathematischer Hintergrund

+%

+% (c) 2022 Fabian Dünki, Hochschule Rapperswil

+%

+\section{Mathematischer Hintergrund

+\label{0f1:section:mathHintergrund}}

+\rhead{Mathematischer Hintergrund}

+Basierend auf den Herleitungen des vorhergehenden Kapitels \ref{buch:rekursion:section:hypergeometrische-funktion}, werden im nachfolgenden Abschnitt nochmals die Resultate

+beschrieben.

+

+\subsection{Hypergeometrische Funktion

+\label{0f1:subsection:hypergeometrisch}}

+Als Grundlage der umgesetzten Algorithmen dient die Hypergeometrische Funktion $\mathstrut_0F_1$. Diese ist eine Unterfunktion der allgemein definierten Funktion $\mathstrut_pF_q$.

+

+\begin{definition}

+	\label{0f1:math:qFp:def}

+	Die hypergeometrische Funktion

+	$\mathstrut_pF_q$ ist definiert durch die Reihe

+	\[

+	\mathstrut_pF_q

+	\biggl(

+	\begin{matrix}

+		a_1,\dots,a_p\\

+		b_1,\dots,b_q

+	\end{matrix}

+	;

+	x

+	\biggr)

+	=

+	\mathstrut_pF_q(a_1,\dots,a_p;b_1,\dots,b_q;x)

+	=

+	\sum_{k=0}^\infty

+	\frac{(a_1)_k\cdots(a_p)_k}{(b_1)_k\cdots(b_q)_k}\frac{x^k}{k!}.

+	\]

+\end{definition}

+

+Angewendet auf die Funktion $\mathstrut_pF_q$ ergibt sich für $\mathstrut_0F_1$:

+

+\begin{equation}

+    \label{0f1:math:0f1:eq}

+    \mathstrut_0F_1

+    \biggl(

+    \begin{matrix}

+    \\

+    b_1

+    \end{matrix}

+    ;

+    x

+    \biggr)

+    =

+    \mathstrut_0F_1(;b_1;x)

+    =

+    \sum_{k=0}^\infty

+    \frac{x^k}{(b_1)_k \cdot k!}.

+\end{equation}

+

+

+

+

+\subsection{Airy Funktion

+\label{0f1:subsection:airy}}

+Die Airy-Funktion $Ai(x)$ und die verwandte Funktion $Bi(x)$ werden als Airy-Funktion bezeichnet. Sie werden zur Lösung verschiedener physikalischer Probleme benutzt, wie zum Beispiel zur Lösung der Schrödinger-Gleichung. \cite{0f1:wiki-airyFunktion}

+

+\begin{definition}

+    \label{0f1:airy:differentialgleichung:def}

+    Die Differentialgleichung

+    $y'' - xy = 0$

+    heisst die {\em Airy-Differentialgleichung}. \cite{0f1:wiki-airyFunktion} 

+\end{definition}

+

+Die Airy Funktion lässt sich auf verschiedene Arten darstellen. \cite{0f1:wiki-airyFunktion} 

+Als hypergeometrische Funktion berechnet, ergibt sich wie in Kapitel \ref{buch:differentialgleichungen:section:hypergeometrisch} hergeleitet, folgende Lösungen der Airy-Differentialgleichung zu den Anfangsbedingungen $A(0)=1$ und $A'(0)=0$, sowie $B(0)=0$ und $B'(0)=0$.

+

+\begin{align}

+\label{0f1:airy:hypergeometrisch:eq}

+Ai(x)

+=

+\sum_{k=0}^\infty

+\frac{1}{(\frac23)_k} \frac{1}{k!}\biggl(\frac{x^3}{9}\biggr)^k

+=

+\mathstrut_0F_1\biggl(

+\begin{matrix}\text{---}\\\frac23\end{matrix};\frac{x^3}{9}

+\biggr).

+\\

+Bi(x)

+=

+\sum_{k=0}^\infty

+\frac{1}{(\frac43)_k} \frac{1}{k!}\biggl(\frac{x^3}{9}\biggr)^k

+=

+x\cdot\mathstrut_0F_1\biggl(

+\begin{matrix}\text{---}\\\frac43\end{matrix};

+\frac{x^3}{9}

+\biggr).

+\qedhere

+\end{align}

+

+In diesem speziellem Fall wird die Airy Funktion $Ai(x)$ \eqref{0f1:airy:hypergeometrisch:eq}

+benutzt, um die Stabilität der Algorithmen zu $\mathstrut_0F_1$ zu überprüfen.

+

+

diff --git a/buch/papers/0f1/teil2.tex b/buch/papers/0f1/teil2.tex
index 804d11b..9269961 100644
--- a/buch/papers/0f1/teil2.tex
+++ b/buch/papers/0f1/teil2.tex
@@ -1,40 +1,172 @@
-%
-% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2 
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 2 
-\label{0f1:section:teil2}}
-\rhead{Teil 2}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{0f1:subsection:bonorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
-
-
+%

+% teil2.tex -- Umsetzung in C Programmen

+%

+% (c) 2022 Fabian Dünki, Hochschule Rapperswil

+%

+\section{Umsetzung

+\label{0f1:section:teil2}}

+\rhead{Umsetzung}

+Zur Umsetzung wurden drei verschiedene Ansätze gewählt.\cite{0f1:code} Dabei wurde der Schwerpunkt auf die Funktionalität und eine gute Lesbarkeit des Codes gelegt.

+Die Unterprogramme wurde jeweils, wie die GNU Scientific Library, in C geschrieben. Die Zwischenresultate wurden vom Hauptprogramm in einem CSV-File gespeichert. Anschliessen wurde mit der Matplot-Libray in Python die Resultate geplottet.

+

+\subsection{Potenzreihe

+\label{0f1:subsection:potenzreihe}}

+Die naheliegendste Lösung ist die Programmierung der Potenzreihe. Allerdings ist ein Problem dieser Umsetzung \ref{0f1:listing:potenzreihe}, dass die Fakultät im Nenner schnell grosse Werte annimmt und so der Bruch gegen Null strebt. Spätesten ab $k=167$ stösst diese Umsetzung  \eqref{0f1:umsetzung:0f1:eq} an ihre Grenzen, da die Fakultät von $168$ eine Bereichsüberschreitung des \textit{double} Bereiches darstellt. \cite{0f1:double}

+

+\begin{align}

+    \label{0f1:umsetzung:0f1:eq}

+    \mathstrut_0F_1(;c;z)

+    &=

+    \sum_{k=0}^\infty

+    \frac{z^k}{(c)_k \cdot k!}

+    &= 

+    \frac{1}{c}

+    +\frac{z^1}{(c+1) \cdot 1}

+    + \cdots

+    + \frac{z^{20}}{c(c+1)(c+2)\cdots(c+19) \cdot 2.4 \cdot 10^{18}}

+\end{align}

+

+\lstinputlisting[style=C,float,caption={Potenzreihe.},label={0f1:listing:potenzreihe}, firstline=59]{papers/0f1/listings/potenzreihe.c}

+

+\subsection{Kettenbruch

+\label{0f1:subsection:kettenbruch}}

+Ein endlicher Kettenbruch ist ein Bruch der Form

+\begin{equation*}

+a_0 + \cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\cfrac{b_3}{a_3+\cdots}}}

+\end{equation*}

+in welchem $a_0, a_1,\dots,a_n$ und $b_1,b_2,\dots,b_n$ ganze Zahlen darstellen.

+Die Kurzschreibweise für einen allgemeinen Kettenbruch ist 

+\begin{equation*}

+	a_0 + \frac{a_1|}{|b_1} + \frac{a_2|}{|b_2} + \frac{a_3|}{|b_3} + \cdots

+\end{equation*}

+und ist somit verknüpfbar mit der Potenzreihe.

+\cite{0f1:wiki-kettenbruch}

+Angewendet auf die Funktion $\mathstrut_0F_1$ bedeutet dies\cite{0f1:wiki-fraction}:

+\begin{equation*}

+	\mathstrut_0F_1(;c;z) = 1 + \frac{z}{c\cdot1!} + \frac{z^2}{c(c+1)\cdot2!} + \frac{z^3}{c(c+1)(c+2)\cdot3!} + \cdots

+\end{equation*}

+Nach allen Umformungen ergibt sich folgender, irregulärer Kettenbruch \eqref{0f1:math:kettenbruch:0f1:eq}

+\begin{equation}

+	\label{0f1:math:kettenbruch:0f1:eq}

+	\mathstrut_0F_1(;c;z) = 1 + \cfrac{\cfrac{z}{c}}{1+\cfrac{-\cfrac{z}{2(c+1)}}{1+\cfrac{z}{2(c+1)}+\cfrac{-\cfrac{z}{3(c+2)}}{1+\cfrac{z}{5(c+4)} + \cdots}}},

+\end{equation}

+der als Code \ref{0f1:listing:kettenbruchIterativ} umgesetzt wurde. 

+\cite{0f1:wolfram-0f1}

+

+\lstinputlisting[style=C,float,caption={Iterativ umgesetzter Kettenbruch.},label={0f1:listing:kettenbruchIterativ},  firstline=8]{papers/0f1/listings/kettenbruchIterativ.c}

+

+\subsection{Rekursionsformel

+\label{0f1:subsection:rekursionsformel}}

+Wesentlich stabiler zur Berechnung eines Kettenbruches ist die Rekursionsformel. Nachfolgend wird die verkürzte Herleitung vom Kettenbruch zur Rekursionsformel aufgezeigt. Eine vollständige Schritt für Schritt Herleitung ist im Seminarbuch Numerik, im Kapitel Kettenbrüche zu finden. \cite{0f1:kettenbrueche}

+

+\subsubsection{Herleitung}

+Ein Näherungsbruch in der Form

+\begin{align*}

+	\cfrac{A_k}{B_k} = a_k + \cfrac{b_{k + 1}}{a_{k + 1} + \cfrac{p}{q}}

+\end{align*}

+lässt sich zu

+\begin{align*}

+	\cfrac{A_k}{B_k} = \cfrac{b_{k+1}}{a_{k+1} + \cfrac{p}{q}} = \frac{b_{k+1} \cdot q}{a_{k+1} \cdot q + p}

+\end{align*}

+umformen.

+Dies lässt sich auch durch die folgende Matrizenschreibweise ausdrücken:

+\begin{equation*}

+	\begin{pmatrix}

+		A_k\\

+		B_k

+	\end{pmatrix}

+	= 		\begin{pmatrix}

+		b_{k+1} \cdot q\\

+		a_{k+1} \cdot q + p

+	\end{pmatrix}

+	=\begin{pmatrix}

+		0&	b_{k+1}\\

+		1&	a_{k+1}

+	\end{pmatrix}

+	\begin{pmatrix}

+		p \\

+		q

+	\end{pmatrix}.

+	%\label{0f1:math:rekursionsformel:herleitung}

+\end{equation*}

+Wendet man dies nun auf den Kettenbruch in der Form

+\begin{equation*}

+	\frac{A_k}{B_k} = a_0 + \cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\cfrac{\cdots}{\cdots+\cfrac{b_{k-1}}{a_{k-1} + \cfrac{b_k}{a_k}}}}}

+\end{equation*}

+an, ergibt sich folgende Matrixdarstellungen:

+

+\begin{align*}

+	\begin{pmatrix}

+		A_k\\

+		B_k

+	\end{pmatrix}

+	&=

+	\begin{pmatrix}

+		1& a_0\\

+		0& 1

+	\end{pmatrix}

+	\begin{pmatrix}

+		0& b_1\\

+		1& a_1

+	\end{pmatrix}

+	\cdots

+	\begin{pmatrix}

+		0& b_{k-1}\\

+		1& a_{k-1}

+	\end{pmatrix}

+	\begin{pmatrix}

+		b_k\\

+		a_k

+	\end{pmatrix}

+\end{align*}

+Nach vollständiger Induktion ergibt sich für den Schritt $k$, die Matrix

+\begin{equation}

+	\label{0f1:math:matrix:ende:eq}

+	 \begin{pmatrix}

+		A_{k}\\

+		B_{k}			

+	\end{pmatrix} 

+	=

+		\begin{pmatrix}

+		A_{k-2}& A_{k-1}\\

+		B_{k-2}& B_{k-1}			

+	\end{pmatrix}

+		\begin{pmatrix}

+		b_k\\

+		a_k

+	\end{pmatrix}.

+\end{equation}

+Und Schlussendlich kann der Näherungsbruch

+\[

+\frac{Ak}{Bk}

+\] 

+berechnet werden.

+

+

+\subsubsection{Lösung}

+Die Berechnung von $A_k, B_k$ \eqref{0f1:math:matrix:ende:eq} kann man auch ohne die Matrizenschreibweise aufschreiben: \cite{0f1:wiki-fraction}

+\begin{itemize}

+\item Startbedingungen:

+\begin{align*}

+A_{-1} &= 0		&		A_0 &= a_0 \\

+B_{-1} &= 1		&		B_0 &= 1 

+\end{align*}

+\item Schritt $k\to k+1$:

+\[

+\begin{aligned}

+\label{0f1:math:loesung:eq}

+k &\rightarrow k + 1:

+&

+A_{k+1} &= A_{k-1} \cdot b_k + A_k \cdot a_k \\

+&&

+B_{k+1} &= B_{k-1} \cdot b_k + B_k \cdot a_k

+\end{aligned}

+\]

+\item

+Näherungsbruch: \qquad$\displaystyle\frac{A_k}{B_k}$

+\end{itemize}

+

+Ein grosser Vorteil dieser Umsetzung \ref{0f1:listing:kettenbruchRekursion} ist, dass im Vergleich zum Code \ref{0f1:listing:kettenbruchIterativ} eine Division gespart werden kann und somit weniger Rundungsfehler entstehen können.

+

+%Code

+\lstinputlisting[style=C,float,caption={Rekursionsformel für Kettenbruch.},label={0f1:listing:kettenbruchRekursion},  firstline=8]{papers/0f1/listings/kettenbruchRekursion.c}
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/0f1/teil3.tex b/buch/papers/0f1/teil3.tex
index 25472cb..2855e26 100644
--- a/buch/papers/0f1/teil3.tex
+++ b/buch/papers/0f1/teil3.tex
@@ -1,40 +1,64 @@
-%
-% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 3
-\label{0f1:section:teil3}}
-\rhead{Teil 3}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{0f1:subsection:malorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
-
-
+%

+% teil3.tex -- Resultate und Ausblick

+%

+% (c) 2022 Fabian Dünki, Hochschule Rapperswil

+%

+\section{Auswertung

+\label{0f1:section:teil3}}

+\rhead{Resultate}

+Im Verlauf des Seminares hat sich gezeigt, 

+das ein einfacher mathematischer Algorithmus zu implementieren gar nicht so einfach ist.

+So haben alle drei umgesetzten Ansätze Probleme mit grossen negativen $z$ in der Funktion $\mathstrut_0F_1(;c;z)$.

+Ebenso kann festgestellt werden,dass je grösser der Wert $z$ in $\mathstrut_0F_1(;c;z)$ wird, desto mehr weichen die berechneten Resultate von den Erwarteten ab. \cite{0f1:wolfram-0f1}

+

+\subsection{Konvergenz

+\label{0f1:subsection:konvergenz}}

+Es zeigt sich in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:airy:konvergenz}, dass schon nach drei Iterationen ($k = 3$) die Funktionen schon genaue Resultate im Bereich von -2 bis 2 liefert. Ebenso kann festgestellt werden, dass der Kettenbruch schneller konvergiert und im positiven Bereich sogar mit der Referenzfunktion $Ai(x)$ übereinstimmt. Da die Rekursionsformel \ref{0f1:listing:kettenbruchRekursion} eine Abwandlung des Kettenbruches ist, verhalten sich die Funktionen in diesem Fall gleich.

+

+Erst wenn mehrere Durchläufe gemacht werden, um die Genauigkeit zu verbessern, ist der Kettenbruch den anderen zwei Algorithmen, bezüglich Konvergenz überlegen. 

+Interessant ist auch, dass die Rekursionsformel nahezu gleich schnell wie die Potenzreihe konvergiert, aber sich danach einschwingt. Dieses Verhalten ist auch bei grösseren $z$ zu beobachten, allerdings ist dann die Differenz zwischen dem ersten lokalen Minimum von k bis zum Abbruch kleiner.

+\ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv}

+Dieses Phänomen ist auf die Lösung der Rekursionsformel zurück zu führen.\ref{0f1:math:loesung:eq} Da im Gegensatz die ganz kleinen Werte nicht zu einer Konvergenz wie beim Kettenbruch führen, sondern sich noch eine Zeit lang durch die Multiplikation aufschwingen.

+

+Ist $z$ negativ wie im Abbild \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:negativ}, führt dies zu einer Gegenseitigen Kompensation von negativen und positiven Termen so bricht die Rekursionsformel hier zusammen mit der Potenzreihe ab.

+Die ansteigende Differenz mit anschliessender, ist aufgrund der sich alternierenden Termen mit wechselnden Vorzeichens zu erklären.

+

+\subsection{Stabilität

+\label{0f1:subsection:Stabilitaet}}

+Verändert sich der Wert von z in $\mathstrut_0F_1(;c;z)$ gegen grössere positive Werte, wie zum Beispiel $c = 800$ liefert die Kettenbruch-Funktion \ref{0f1:listing:kettenbruchIterativ} \verb+inf+ zurück. Dies könnte durch ein Abbruchkriterien abgefangen werden. Allerdings würde das, bei grossen Werten zulasten der Genauigkeit gehen. Trotzdem könnte, je nach Anwendung, auf ein paar Nachkommastellen verzichtet werden.

+

+Wohingegen die Potenzreihe \ref{0f1:listing:potenzreihe} das Problem hat, dass je mehr Terme berechnet werden, desto schneller wächst die Fakultät und irgendwann gibt es eine Bereichsüberschreitung von \verb+double+. Schlussendlich gibt das Unterprogramm das Resultat \verb+-nan(ind)+ zurück.

+Die Rekursionformel \ref{0f1:listing:kettenbruchRekursion} liefert für sehr grosse positive Werte die genausten Ergebnisse, verglichen mit der GNU Scientific Library. Wie schon vermutet ist die Rekursionsformel, im positivem Bereich, der stabilste Algorithmus. Um die Stabilität zu gewährleisten, muss wie in \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} dargestellt, die Iterationstiefe $k$ genug gross gewählt werden.

+

+Im negativem Bereich sind alle gewählten und umgesetzten Ansätze instabil. Grund dafür ist die Fakultät im Nenner, was zum Phänomen der Auslöschung führt.\cite{0f1:SeminarNumerik} Schön zu beobachten ist dies in der Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:airy:stabilitaet} mit der Airy-Funktion als Test. So sind sowohl der Kettenbruch, als auch die Rekursionsformel bis ungefähr $\frac{-15^3}{9}$ stabil. Dies macht auch Sinn, da beide auf der gleichen mathematischen Grundlage basieren. Danach verhält sich allerdings die Instabilität unterschiedlich. Das unterschiedliche Verhalten kann damit erklärt werden, dass beim Kettenbruch jeweils eine zusätzliche Division stattfindet. Diese Unterschiede sind auch in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} festzustellen.

+

+

+

+\begin{figure}

+    \centering

+    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{papers/0f1/images/konvergenzAiry.pdf}

+    \caption{Konvergenz nach drei Iterationen, dargestellt anhand der Airy Funktion zu den Anfangsbedingungen $Ai(0)=1$ und $Ai'(0)=0$.

+    \label{0f1:ausblick:plot:airy:konvergenz}}

+\end{figure}

+

+\begin{figure}

+    \centering

+    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{papers/0f1/images/konvergenzPositiv.pdf}

+    \caption{Konvergenz: Logarithmisch dargestellte Differenz vom erwarteten Endresultat.

+    \label{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv}}

+\end{figure}

+

+\begin{figure}

+    \centering

+    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{papers/0f1/images/konvergenzNegativ.pdf}

+    \caption{Konvergenz: Logarithmisch dargestellte Differenz vom erwarteten Endresultat.

+    \label{0f1:ausblick:plot:konvergenz:negativ}}

+\end{figure}

+

+\begin{figure}

+    \centering

+    \includegraphics[width=1\textwidth]{papers/0f1/images/stabilitaet.pdf}

+    \caption{Stabilität der 3 Algorithmen verglichen mit der Referenz Funktion $Ai(x)$.

+    \label{0f1:ausblick:plot:airy:stabilitaet}}

+\end{figure}

+