Merge branch 'master' of https://github.com/daHugen/SeminarSpezielleFunktionen

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diff --git a/buch/papers/dreieck/images/beta.pdf b/buch/papers/dreieck/images/beta.pdf
index c3ab4f6..cd5ed80 100644
--- a/buch/papers/dreieck/images/beta.pdf
+++ b/buch/papers/dreieck/images/beta.pdf
diff --git a/buch/papers/dreieck/images/beta.tex b/buch/papers/dreieck/images/beta.tex
index 50509ee..f0ffdf0 100644
--- a/buch/papers/dreieck/images/beta.tex
+++ b/buch/papers/dreieck/images/beta.tex
@@ -23,7 +23,8 @@
 \definecolor{coloreight}{rgb}{0.0,0.8,0.8}
 \definecolor{colornine}{rgb}{0.0,0.8,0.2}
 \definecolor{colorten}{rgb}{0.2,0.4,0.0}
-\definecolor{coloreleven}{rgb}{1.0,0.8,0.4}
+\definecolor{coloreleven}{rgb}{0.6,1.0,0.0}
+\definecolor{colortwelve}{rgb}{1.0,0.8,0.4}
 
 \def\achsen{
 	\foreach \x in {0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9}{
@@ -47,24 +48,24 @@
 }
 
 \def\farbcoord#1#2{
-	({\dx*(0.7+((#1-1)/4)*0.27)},{\dx*(0.15+((#2-1)/4)*0.27)})
+	({\dx*(0.63+((#1)/5)*0.27)},{\dx*(0.18+((#2)/5)*0.27)})
 }
 \def\farbviereck{
-	\foreach \x in {1,2,3,4,5}{
-		\draw[color=gray!30] \farbcoord{\x}{1} -- \farbcoord{\x}{5};
-		\draw[color=gray!30] \farbcoord{1}{\x} -- \farbcoord{5}{\x};
+	\foreach \x in {1,2,3,4}{
+		\draw[color=gray!30] \farbcoord{\x}{0} -- \farbcoord{\x}{4};
+		\draw[color=gray!30] \farbcoord{0}{\x} -- \farbcoord{4}{\x};
 	}
-	\draw[->] \farbcoord{1}{1} -- \farbcoord{5.4}{1}
+	\draw[->] \farbcoord{0}{0} -- \farbcoord{4.4}{0}
 		coordinate[label={$a$}];
-	\draw[->] \farbcoord{1}{1} -- \farbcoord{1}{5.4}
+	\draw[->] \farbcoord{0}{0} -- \farbcoord{0}{4.4}
 		coordinate[label={left: $b$}];
-	\foreach \x in {1,2,3,4,5}{
-		\node[color=gray] at \farbcoord{5}{\x} [right] {\tiny $b=\x$};
-		\fill[color=white,opacity=0.7] 
-			\farbcoord{(\x-0.1)}{4.3}
-			rectangle
-			\farbcoord{(\x+0.1)}{5};
-		\node[color=gray] at \farbcoord{\x}{5} [left,rotate=90]
+	\foreach \x in {1,2,3,4}{
+		\node[color=gray] at \farbcoord{4}{\x} [right] {\tiny $b=\x$};
+		%\fill[color=white,opacity=0.7] 
+		%	\farbcoord{(\x-0.1)}{3.3}
+		%	rectangle
+		%	\farbcoord{(\x+0.1)}{4};
+		\node[color=gray] at \farbcoord{\x}{4} [right,rotate=90]
 			{\tiny $a=\x$};
 	}
 }
@@ -74,23 +75,26 @@
 
 \begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
 
-\def\dx{1}
+\def\dx{1.1}
 \def\dy{0.1}
 \def\opa{0.1}
 
-\def\betamax{4.2}
-
-\fill[color=colorone,opacity=\opa] (0,0) -- \betaaa -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colortwo,opacity=\opa] (0,0) -- \betabb -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colorthree,opacity=\opa] (0,0) -- \betacc -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colorfour,opacity=\opa] (0,0) -- \betadd -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colorfive,opacity=\opa] (0,0) -- \betaee -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colorsix,opacity=\opa] (0,0) -- \betaff -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colorseven,opacity=\opa] (0,0) -- \betagg -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=coloreight,opacity=\opa] (0,0) -- \betahh -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colornine,opacity=\opa] (0,0) -- \betaii -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colorten,opacity=\opa] (0,0) -- \betajj -- (\dx,0) -- cycle;
+\def\betamax{4.9}
+
+\begin{scope}
+\clip (0,0) rectangle ({1*\dx},{\betamax*\dy});
+\fill[color=colorone,opacity=\opa]    (0,0) -- \betaaa -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colortwo,opacity=\opa]    (0,0) -- \betabb -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorthree,opacity=\opa]  (0,0) -- \betacc -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorfour,opacity=\opa]   (0,0) -- \betadd -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorfive,opacity=\opa]   (0,0) -- \betaee -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorsix,opacity=\opa]    (0,0) -- \betaff -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorseven,opacity=\opa]  (0,0) -- \betagg -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=coloreight,opacity=\opa]  (0,0) -- \betahh -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colornine,opacity=\opa]   (0,0) -- \betaii -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorten,opacity=\opa]    (0,0) -- \betajj -- (\dx,0) -- cycle;
 \fill[color=coloreleven,opacity=\opa] (0,0) -- \betakk -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colortwelve,opacity=\opa] (0,0) -- \betall -- (\dx,0) -- cycle;
 
 \draw[color=colorone]    \betaaa;
 \draw[color=colortwo]    \betabb;
@@ -103,11 +107,15 @@
 \draw[color=colornine]   \betaii;
 \draw[color=colorten]    \betajj;
 \draw[color=coloreleven] \betakk;
+\draw[color=colortwelve] \betall;
+
+\end{scope}
 
 \achsen
 
 \farbviereck
 
+\farbpunkt{\alphatwelve}{\betatwelve}{colortwelve}
 \farbpunkt{\alphaeleven}{\betaeleven}{coloreleven}
 \farbpunkt{\alphaten}{\betaten}{colorten}
 \farbpunkt{\alphanine}{\betanine}{colornine}
@@ -124,88 +132,102 @@
 \def\betamax{4.9}
 
 \begin{scope}[yshift=-0.6cm]
-\fill[color=colorone,opacity=\opa] (0,0) -- \betaaa -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colortwo,opacity=\opa] (0,0) -- \betaab -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colorthree,opacity=\opa] (0,0) -- \betaac -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colorfour,opacity=\opa] (0,0) -- \betaad -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colorfive,opacity=\opa] (0,0) -- \betaae -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colorsix,opacity=\opa] (0,0) -- \betaaf -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colorseven,opacity=\opa] (0,0) -- \betaag -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=coloreight,opacity=\opa] (0,0) -- \betaah -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colornine,opacity=\opa] (0,0) -- \betaai -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colorten,opacity=\opa] (0,0) -- \betaaj -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=coloreleven,opacity=\opa] (0,0) -- \betaak -- (\dx,0) -- cycle;
 
-\draw[color=colorone]    \betaaa;
-\draw[color=colortwo]    \betaab;
-\draw[color=colorthree]  \betaac;
-\draw[color=colorfour]   \betaad;
-\draw[color=colorfive]   \betaae;
-\draw[color=colorsix]    \betaaf;
-\draw[color=colorseven]  \betaag;
-\draw[color=coloreight]  \betaah;
-\draw[color=colornine]   \betaai;
-\draw[color=colorten]    \betaaj;
-\draw[color=coloreleven] \betaak;
+\begin{scope}
+\clip (0,0) rectangle ({1*\dx},{\betamax*\dy});
+\fill[color=colorone,opacity=\opa]    (0,0) -- \betaea -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colortwo,opacity=\opa]    (0,0) -- \betaeb -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorthree,opacity=\opa]  (0,0) -- \betaec -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorfour,opacity=\opa]   (0,0) -- \betaed -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorfive,opacity=\opa]   (0,0) -- \betaee -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorsix,opacity=\opa]    (0,0) -- \betaef -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorseven,opacity=\opa]  (0,0) -- \betaeg -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=coloreight,opacity=\opa]  (0,0) -- \betaeh -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colornine,opacity=\opa]   (0,0) -- \betaei -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorten,opacity=\opa]    (0,0) -- \betaej -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=coloreleven,opacity=\opa] (0,0) -- \betaek -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colortwelve,opacity=\opa] (0,0) -- \betael -- (\dx,0) -- cycle;
+
+\draw[color=colorone]    \betaea;
+\draw[color=colortwo]    \betaeb;
+\draw[color=colorthree]  \betaec;
+\draw[color=colorfour]   \betaed;
+\draw[color=colorfive]   \betaee;
+\draw[color=colorsix]    \betaef;
+\draw[color=colorseven]  \betaeg;
+\draw[color=coloreight]  \betaeh;
+\draw[color=colornine]   \betaei;
+\draw[color=colorten]    \betaej;
+\draw[color=coloreleven] \betaek;
+\draw[color=colortwelve] \betael;
+\end{scope}
 
 \achsen
 
 \farbviereck
 
-\farbpunkt{\alphaone}{\betaeleven}{coloreleven}
-\farbpunkt{\alphaone}{\betaten}{colorten}
-\farbpunkt{\alphaone}{\betanine}{colornine}
-\farbpunkt{\alphaone}{\betaeight}{coloreight}
-\farbpunkt{\alphaone}{\betaseven}{colorseven}
-\farbpunkt{\alphaone}{\betasix}{colorsix}
-\farbpunkt{\alphaone}{\betafive}{colorfive}
-\farbpunkt{\alphaone}{\betafour}{colorfour}
-\farbpunkt{\alphaone}{\betathree}{colorthree}
-\farbpunkt{\alphaone}{\betatwo}{colortwo}
-\farbpunkt{\alphaone}{\betaone}{colorone}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betatwelve}{colortwelve}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betaeleven}{coloreleven}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betaten}{colorten}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betanine}{colornine}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betaeight}{coloreight}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betaseven}{colorseven}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betasix}{colorsix}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betafive}{colorfive}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betafour}{colorfour}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betathree}{colorthree}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betatwo}{colortwo}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betaone}{colorone}
 
 \end{scope}
 
 \begin{scope}[yshift=-1.2cm]
-\fill[color=colorone,opacity=\opa]    (0,0) -- \betaak -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colortwo,opacity=\opa]    (0,0) -- \betabk -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colorthree,opacity=\opa]  (0,0) -- \betack -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colorfour,opacity=\opa]   (0,0) -- \betadk -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colorfive,opacity=\opa]   (0,0) -- \betaek -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colorsix,opacity=\opa]    (0,0) -- \betafk -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colorseven,opacity=\opa]  (0,0) -- \betagk -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=coloreight,opacity=\opa]  (0,0) -- \betahk -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colornine,opacity=\opa]   (0,0) -- \betaik -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=colorten,opacity=\opa]    (0,0) -- \betajk -- (\dx,0) -- cycle;
-\fill[color=coloreleven,opacity=\opa] (0,0) -- \betakk -- (\dx,0) -- cycle;
 
-\draw[color=colorone]    \betaak;
-\draw[color=colortwo]    \betabk;
-\draw[color=colorthree]  \betack;
-\draw[color=colorfour]   \betadk;
-\draw[color=colorfive]   \betaek;
-\draw[color=colorsix]    \betafk;
-\draw[color=colorseven]  \betagk;
-\draw[color=coloreight]  \betahk;
-\draw[color=colornine]   \betaik;
-\draw[color=colorten]    \betajk;
-\draw[color=coloreleven] \betakk;
+\begin{scope}
+\clip (0,0) rectangle ({1*\dx},{\betamax*\dy});
+\fill[color=colorone,opacity=\opa]    (0,0) -- \betaal -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colortwo,opacity=\opa]    (0,0) -- \betabl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorthree,opacity=\opa]  (0,0) -- \betacl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorfour,opacity=\opa]   (0,0) -- \betadl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorfive,opacity=\opa]   (0,0) -- \betael -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorsix,opacity=\opa]    (0,0) -- \betafl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorseven,opacity=\opa]  (0,0) -- \betagl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=coloreight,opacity=\opa]  (0,0) -- \betahl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colornine,opacity=\opa]   (0,0) -- \betail -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorten,opacity=\opa]    (0,0) -- \betajl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=coloreleven,opacity=\opa] (0,0) -- \betakl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colortwelve,opacity=\opa] (0,0) -- \betall -- (\dx,0) -- cycle;
+
+\draw[color=colorone]    \betaal;
+\draw[color=colortwo]    \betabl;
+\draw[color=colorthree]  \betacl;
+\draw[color=colorfour]   \betadl;
+\draw[color=colorfive]   \betael;
+\draw[color=colorsix]    \betafl;
+\draw[color=colorseven]  \betagl;
+\draw[color=coloreight]  \betahl;
+\draw[color=colornine]   \betail;
+\draw[color=colorten]    \betajl;
+\draw[color=coloreleven] \betakl;
+\draw[color=colortwelve] \betall;
+\end{scope}
 
 \achsen
 
 \farbviereck
 
-\farbpunkt{\alphaeleven}{\betaeleven}{coloreleven}
-\farbpunkt{\alphaten}{\betaeleven}{colorten}
-\farbpunkt{\alphanine}{\betaeleven}{colornine}
-\farbpunkt{\alphaeight}{\betaeleven}{coloreight}
-\farbpunkt{\alphaseven}{\betaeleven}{colorseven}
-\farbpunkt{\alphasix}{\betaeleven}{colorsix}
-\farbpunkt{\alphafive}{\betaeleven}{colorfive}
-\farbpunkt{\alphafour}{\betaeleven}{colorfour}
-\farbpunkt{\alphathree}{\betaeleven}{colorthree}
-\farbpunkt{\alphatwo}{\betaeleven}{colortwo}
-\farbpunkt{\alphaone}{\betaeleven}{colorone}
+\farbpunkt{\alphatwelve}{\betatwelve}{colortwelve}
+\farbpunkt{\alphaeleven}{\betatwelve}{coloreleven}
+\farbpunkt{\alphaten}{\betatwelve}{colorten}
+\farbpunkt{\alphanine}{\betatwelve}{colornine}
+\farbpunkt{\alphaeight}{\betatwelve}{coloreight}
+\farbpunkt{\alphaseven}{\betatwelve}{colorseven}
+\farbpunkt{\alphasix}{\betatwelve}{colorsix}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betatwelve}{colorfive}
+\farbpunkt{\alphafour}{\betatwelve}{colorfour}
+\farbpunkt{\alphathree}{\betatwelve}{colorthree}
+\farbpunkt{\alphatwo}{\betatwelve}{colortwo}
+\farbpunkt{\alphaone}{\betatwelve}{colorone}
 
 \end{scope}
 
diff --git a/buch/papers/dreieck/images/betadist.m b/buch/papers/dreieck/images/betadist.m
index 9ff78ed..5b466a6 100644
--- a/buch/papers/dreieck/images/betadist.m
+++ b/buch/papers/dreieck/images/betadist.m
@@ -5,24 +5,32 @@
 #
 global N;
 N = 201;
-global n;
-n = 11;
+global nmin;
+global nmax;
+nmin = -4;
+nmax = 7;
+n = nmax - nmin + 1
+A = 3;
 
-t = (0:n-1) / (n-1)
-alpha = 1 + 4 * t.^2
+t = (nmin:nmax) / nmax;
+alpha = 1 + A * t .* abs(t)
+#alpha(1) = 0.01;
 
 #alpha = [ 1, 1.03, 1.05, 1.1, 1.25, 1.5, 2, 2.5, 3, 4, 5 ];
 beta = alpha;
 names = [ "one"; "two"; "three"; "four"; "five"; "six"; "seven"; "eight";
-	  "nine"; "ten"; "eleven" ]
+	  "nine"; "ten"; "eleven"; "twelve" ]
 
 function retval = Beta(a, b, x)
 	retval = x^(a-1) * (1-x)^(b-1) / beta(a, b);
+	if (retval > 100)
+		retval = 100
+	end
 end
 
 function plotbeta(fn, a, b, name)
 	global N;
-	fprintf(fn, "\\def\\beta%s{\n", name);
+	fprintf(fn, "\\def\\beta%s{\n", strtrim(name));
 	fprintf(fn, "\t({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", 0, Beta(a, b, 0));
 	for x = (1:N-1)/(N-1)
 		X = (1-cos(pi * x))/2;
@@ -35,8 +43,8 @@ end
 fn = fopen("betapaths.tex", "w");
 
 for i = (1:n)
-	fprintf(fn, "\\def\\alpha%s{%f}\n", names(i,:), alpha(i));
-	fprintf(fn, "\\def\\beta%s{%f}\n", names(i,:), beta(i));
+	fprintf(fn, "\\def\\alpha%s{%f}\n", strtrim(names(i,:)), alpha(i));
+	fprintf(fn, "\\def\\beta%s{%f}\n", strtrim(names(i,:)), beta(i));
 end
 
 for i = (1:n)
diff --git a/buch/papers/dreieck/teil1.tex b/buch/papers/dreieck/teil1.tex
index 5e7090b..4abe2e1 100644
--- a/buch/papers/dreieck/teil1.tex
+++ b/buch/papers/dreieck/teil1.tex
@@ -5,416 +5,7 @@
 %
 \section{Ordnungsstatistik und Beta-Funktion
 \label{dreieck:section:ordnungsstatistik}}
-\rhead{Ordnungsstatistik und Beta-Funktion}
-In diesem Abschnitt ist $X$ eine Zufallsvariable mit der Verteilungsfunktion
-$F_X(x)$, und $X_i$, $1\le i\le n$ sei ein Stichprobe von unabhängigen
-Zufallsvariablen, die wie $X$ verteilt sind.
-Ziel ist, die Verteilungsfunktion und die Wahrscheinlichkeitsdichte
-des grössten, zweitgrössten, $k$-t-grössten Wertes in der Stichprobe
-zu finden.
-Wir schreiben $[n]=\{1,\dots,n\}$ für die Menge der natürlichen
-Zahlen von zwischen $1$ und $n$.
+\rhead{}
 
-\subsection{Verteilung von $\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)$ und
-$\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)$
-\label{dreieck:subsection:minmax}}
-Die Verteilungsfunktion von $\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)$ hat
-den Wert
-\begin{align*}
-F_{\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)}(x)
-&=
-P(\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n) \le x)
-\\
-&=
-P(X_1\le x\wedge \dots \wedge X_n\le x)
-\\
-&=
-P(X_1\le x) \cdot \ldots \cdot P(X_n\le x)
-\\
-&=
-P(X\le x)^n
-=
-F_X(x)^n.
-\end{align*}
-Für die Gleichverteilung ist
-\[
-F_{\text{equi}}(x)
-=
-\begin{cases}
-0&\qquad x< 0
-\\
-x&\qquad 0\le x\le 1
-\\
-1&\qquad 1<x.
-\end{cases}
-\]
-In diesem Fall ist Verteilung des Maximums
-\[
-F_{\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)}(x)
-=
-\begin{cases}
-0&\qquad x<0\\
-x^n&\qquad 0\le x\le 1\\
-1&\qquad 1 < x.
-\end{cases}
-\]
-Mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsdichte
-\[
-\varphi_{\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)}
-=
-\frac{d}{dx}
-F_{\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)}(x)
-=
-\begin{cases}
-nx^{n-1}&\qquad 0\le x\le 1\\
-0       &\qquad \text{sonst}
-\end{cases}
-\]
-kann man zum Beispiel den Erwartungswert
-\[
-E(\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n))
-=
-\int_{-\infty}^\infty 
-x
-\varphi_{\operatorname{X_1,\dots,X_n}}(x)
-\,dx
-=
-\int_{0}^1 x\cdot nx^{n-1}\,dt
-=
-\biggl[
-\frac{n}{n+1}x^{n+1}
-\biggr]_0^1
-=
-\frac{n}{n+1}
-\]
-berechnen.
-
-Ganz analog kann man auch die Verteilungsfunktion von
-$\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)$ bestimmen.
-Sie ist
-\begin{align*}
-F_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)}(x)
-&=
-P(x\le X_1\vee \dots \vee x\le X_n)
-\\
-&=
-1-
-P(x > X_1\wedge \dots \wedge x > X_n)
-\\
-&=
-1-
-(1-P(x\le X_1)) \cdot\ldots\cdot (1-P(x\le X_n))
-\\
-&=
-1-(1-F_X(x))^n,
-\end{align*}
-Im Speziellen für im Intervall $[0,1]$ gleichverteilte $X_i$ ist die
-Verteilungsfunktion des Minimums
-\[
-F_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)}(x)
-=
-\begin{cases}
-0        &\qquad x<0        \\
-1-(1-x)^n&\qquad 0\le x\le 1\\
-1        &\qquad 1 < x
-\end{cases}
-\]
-mit Wahrscheinlichkeitsdichte
-\[
-\varphi_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)}
-=
-\frac{d}{dx}
-F_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)}
-=
-\begin{cases}
-n(1-x)^{n-1}&\qquad 0\le x\le 1\\
-0           &\qquad \text{sonst}
-\end{cases}
-\]
-und Erwartungswert
-\begin{align*}
-E(\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)
-&=
-\int_{-\infty}^\infty x\varphi_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)}(x)\,dx
-=
-\int_0^1 x\cdot n(1-x)^{n-1}\,dx
-\\
-&=
-\bigl[ -x(1-x)^n \bigr]_0^1 + \int_0^1 (1-x)^n\,dx
-=
-\biggl[
--
-\frac{1}{n+1}
-(1-x)^{n+1}
-\biggr]_0^1
-=
-\frac{1}{n+1}.
-\end{align*}
-Es ergibt sich daraus als natürlich Verallgemeinerung die Frage nach
-der Verteilung des zweitegrössten oder zweitkleinsten Wertes unter den
-Werten $X_i$.
-
-\subsection{Der $k$-t-grösste Wert}
-Sie wieder $X_i$ eine Stichprobe von $n$ unabhängigen wie $X$ verteilten
-Zufallsvariablen.
-Diese werden jetzt der Grösse nach sortiert, die sortierten Werte werden
-mit
-\[
-X_{1:n} \le X_{2:n} \le \dots \le X_{(n-1):n} \le X_{n:n}
-\]
-bezeichnet.
-Die Grössen $X_{k:n}$ sind Zufallsvariablen, sie heissen die $k$-ten
-Ordnungsstatistiken.
-Die in Abschnitt~\ref{dreieck:subsection:minmax} behandelten Zufallsvariablen
-$\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)$
-und
-$\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)$
-sind die Fälle
-\begin{align*}
-X_{1:n} &= \operatorname{min}(X_1,\dots,X_n) \\
-X_{n:n} &= \operatorname{max}(X_1,\dots,X_n).
-\end{align*}
-
-Um den Wert der Verteilungsfunktion von $X_{k:n}$ zu berechnen, müssen wir 
-die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass $k$ der $n$ Werte $X_i$ $x$ nicht
-übersteigen.
-Der $k$-te Wert $X_{k:n}$ übersteigt genau dann $x$ nicht, wenn
-mindestens $k$ der Zufallswerte $X_i$ $x$ nicht übersteigen, also
-\[
-P(X_{k:n} \le x)
-=
-P\left(
-|\{i\in[n]\,|\, X_i\le x\}| \ge k
-\right).
-\]
-
-Das Ereignis $\{X_i\le x\}$ ist eine Bernoulli-Experiment, welches mit
-Wahrscheinlichkeit $F_X(x)$ eintritt.
-Die Anzahl der Zufallsvariablen $X_i$, die $x$ übertreffen, ist also
-Binomialverteilt mit $p=F_X(x)$.
-Damit haben wir gefunden, dass mit Wahrscheinlichkeit
-\begin{equation}
-F_{X_{k:n}}(x)
-=
-P(X_{k:n}\le x)
-=
-\sum_{i=k}^n \binom{n}{i}F_X(x)^i (1-F_X(x))^{n-i}
-\label{dreieck:eqn:FXkn}
-\end{equation}
-mindestens $k$ der Zufallsvariablen den Wert $x$ überschreiten.
-
-\subsubsection{Wahrscheinlichkeitsdichte der Ordnungsstatistik}
-Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Ordnungsstatistik kann durch Ableitung
-von \eqref{dreieck:eqn:FXkn} gefunden, werden, sie ist
-\begin{align*}
-\varphi_{X_{k:n}}(x)
-&=
-\frac{d}{dx}
-F_{X_{k:n}}(x)
-\\
-&=
-\sum_{i=k}^n
-\binom{n}{i}
-\bigl(
-iF_X(x)^{i-1}\varphi_X(x) (1-F_X(x))^{n-i}
--
-F_X(x)^k
-(n-i)
-(1-F_X(x))^{n-i-1}
-\varphi_X(x)
-\bigr)
-\\
-&=
-\sum_{i=k}^n
-\binom{n}{i}
-\varphi_X(x)
-F_X(x)^{i-1}(1-F_X(x))^{n-i-1}
-\bigl(
-iF_X(x)-(n-i)(1-F_X(x))
-\bigr)
-\\
-&=
-\varphi_X(x)
-\biggl(
-\sum_{i=k}^n i\binom{n}{i} F_X(x)^{i-1}(1-F_X(x))^{n-i}
--
-\sum_{j=k}^n (n-j)\binom{n}{j} F_X(x)^{j}(1-F_X(x))^{n-j-1}
-\biggr)
-\\
-&=
-\varphi_X(x)
-\biggl(
-\sum_{i=k}^n i\binom{n}{i} F_X(x)^{i-1}(1-F_X(x))^{n-i}
--
-\sum_{i=k+1}^{n+1} (n-i+1)\binom{n}{i-1} F_X(x)^{i-1}(1-F_X(x))^{n-i}
-\biggr)
-\\
-&=
-\varphi_X(x)
-\biggl(
-k\binom{n}{k}F_X(x)^{k-1}(1-F_X(x))^{n-k}
-+
-\sum_{i=k+1}^{n+1}
-\left(
-i\binom{n}{i} 
--
-(n-i+1)\binom{n}{i-1}
-\right)
-F_X(x)^{i-1}(1-F_X(x))^{n-i}
-\biggr)
-\end{align*}
-Mit den wohlbekannten Identitäten für die Binomialkoeffizienten
-\begin{align*}
-i\binom{n}{i} 
--
-(n-i+1)\binom{n}{i-1}
-&=
-n\binom{n-1}{i-1}
--
-n
-\binom{n-1}{i-1}
-=
-0
-\end{align*}
-folgt jetzt
-\begin{align*}
-\varphi_{X_{k:n}}(x)
-&=
-\varphi_X(x)k\binom{n}{k} F_X(x)^{k-1}(1-F_X(x))^{n-k}(x).
-\intertext{Im Speziellen für gleichverteilte Zufallsvariablen $X_i$ ist
-}
-\varphi_{X_{k:n}}(x)
-&=
-k\binom{n}{k} x^{k-1}(1-x)^{n-k}.
-\end{align*}
-Dies ist die Wahrscheinlichkeitsdichte einer Betaverteilung
-\[
-\beta(k,n-k+1)(x)
-=
-\frac{1}{B(k,n-k+1)}
-x^{k-1}(1-x)^{n-k}.
-\]
-Tatsächlich ist die Normierungskonstante 
-\begin{align}
-\frac{1}{B(k,n-k+1)}
-&=
-\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(k)\Gamma(n-k+1)}
-=
-\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}.
-\label{dreieck:betaverteilung:normierung1}
-\end{align}
-Andererseits ist
-\[
-k\binom{n}{k}
-=
-k\frac{n!}{k!(n-k)!}
-=
-\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!},
-\]
-in Übereinstimmung mit~\eqref{dreieck:betaverteilung:normierung1}.
-Die Verteilungsfunktion und die Wahrscheinlichkeitsdichte der
-Ordnungsstatistik sind in Abbildung~\ref{dreieck:fig:order} dargestellt.
-
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{papers/dreieck/images/order.pdf}
-\caption{Verteilungsfunktion und Wahrscheinlichkeitsdichte der
-Ordnungsstatistiken $X_{k:n}$ einer gleichverteilung Zuvallsvariable
-mit $n=10$.
-\label{dreieck:fig:order}}
-\end{figure}
-
-\subsubsection{Erwartungswert}
-Mit der Wahrscheinlichkeitsdichte kann man jetzt auch den Erwartungswerte
-der $k$-ten Ordnungsstatistik bestimmen.
-Die Rechnung ergibt:
-\begin{align*}
-E(X_{k:n})
-&=
-\int_0^1 x\cdot k\binom{n}{k} x^{k-1}(1-x)^{n-k}\,dx
-=
-k
-\binom{n}{k}
-\int_0^1
-x^{k}(1-x)^{n-k}\,dx.
-\intertext{Dies ist das Beta-Integral}
-&=
-k\binom{n}{k}
-B(k+1,n-k+1)
-\intertext{welches man durch Gamma-Funktionen bzw.~durch Fakultäten wie in}
-&=
-k\frac{n!}{k!(n-k)!}
-\frac{\Gamma(k+1)\Gamma(n-k+1)}{n+2}
-=
-k\frac{n!}{k!(n-k)!}
-\frac{k!(n-k)!}{(n+1)!}
-=
-\frac{k}{n+1}
-\end{align*}
-ausdrücken kann.
-Die Erwartungswerte haben also regelmässige Abstände, sie sind in
-Abbildung~\ref{dreieck:fig:order} als blaue vertikale Linien eingezeichnet.
-
-\subsubsection{Varianz}
-Auch die Varianz lässt sich einfach berechnen, dazu muss zunächst
-der Erwartungswert von $X_{k:n}^2$ bestimmt werden.
-Er ist
-\begin{align*}
-E(X_{k:n}^2)
-&=
-\int_0^1 x^2\cdot k\binom{n}{k} x^{k-1}(1-x)^{n-k}\,dx
-=
-k
-\binom{n}{k}
-\int_0^1
-x^{k+1}(1-x)^{n-k}\,dx.
-\intertext{Auch dies ist ein Beta-Integral, nämlich}
-&=
-k\binom{n}{k}
-B(k+2,n-k+1)
-=
-k\frac{n!}{k!(n-k)!}
-\frac{(k+1)!(n-k)!}{(n+2)!}
-=
-\frac{k(k+1)}{(n+1)(n+2)}.
-\end{align*}
-Die Varianz wird damit
-\begin{align}
-\operatorname{var}(X_{k:n})
-&=
-E(X_{k:n}^2) - E(X_{k:n})^2
-\notag
-\\
-&
-=
-\frac{k(k+1)}{(n+1)(n+2)}-\frac{k^2}{(n+1)^2}
-=
-\frac{k(k+1)(n+1)-k^2(n+2)}{(n+1)^2(n+2)}
-=
-\frac{k(n-k+1)}{(n+1)^2(n+2)}.
-\label{dreieck:eqn:ordnungsstatistik:varianz}
-\end{align}
-In Abbildung~\ref{dreieck:fig:order} ist die Varianz der
-Ordnungsstatistik $X_{k:n}$ für $k=7$ und $n=10$ als oranges
-Rechteck dargestellt.
-
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics[width=0.84\textwidth]{papers/dreieck/images/beta.pdf}
-\caption{Wahrscheinlichkeitsdichte der Beta-Verteilung
-$\beta(a,b,x)$
-für verschiedene Werte der Parameter $a$ und $b$.
-Die Werte des Parameters für einen Graphen einer Beta-Verteilung
-sind als Punkt im kleinen Quadrat rechts
-im Graphen als Punkt mit der gleichen Farbe dargestellt.
-\label{dreieck:fig:betaverteilungn}}
-\end{figure}
-
-Die Formel~\eqref{dreieck:eqn:ordnungsstatistik:varianz}
-besagt auch, dass die Varianz der proportional ist zu $k((n+1)-k)$.
-Dieser Ausdruck ist am grössten für $k=(n+1)/2$, die Varianz ist
-also grösser für die ``mittleren'' Ordnungstatistiken als für die
-extremen $X_{1:n}=\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)$ und
-$X_{n:n}=\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)$.