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author | Nao Pross <np@0hm.ch> | 2022-08-30 22:51:47 +0200 |
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committer | Nao Pross <np@0hm.ch> | 2022-08-30 22:51:47 +0200 |
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diff --git a/buch/papers/fm/02_FM.tex b/buch/papers/fm/02_FM.tex index a01fb69..0413643 100644 --- a/buch/papers/fm/02_FM.tex +++ b/buch/papers/fm/02_FM.tex @@ -3,65 +3,84 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{FM +\section{FM- Frequenzmodulation \label{fm:section:teil1}} \rhead{FM} -\subsection{Frequenzmodulation} (skript Nat ab Seite 60) Als weiterer Parameter, um ein sinusförmiges Trägersignal \(x_c = A_c \cdot \cos(\omega_c t + \varphi)\) zu modulieren, bietet sich neben der Amplitude \(A_c\) auch der Phasenwinkel \(\varphi\) oder die momentane Frequenzabweichung \(\frac{d\varphi}{dt}\) an. -Bei der Phasenmodulation (Englisch: phase modulation, PM) erzeugt das Nachrichtensignal \(m(t)\) eine Phasenabweichung \(\varphi(t)\) des modulierten Trägersignals im Vergleich zum nicht-modulierten Träger. Sie ist pro- -%portional zum Nachrichtensignal \(m(t)\) durch eine Skalierung mit der Phasenhubkonstanten (Englisch: phase deviation constant) -%k p [rad], -%welche die Amplitude des Nachrichtensignals auf die Phasenabweichung des -%modulierten Trägersignals abbildet: φ(t) = k p · m(t). Damit ergibt sich für das phasenmodulierte Trägersi- -%gnal: -%x PM (t) = A c · cos (ω c t + k p · m(t)) -%(5.16) -%Die modulierte Phase φ(t) verändert dabei auch die Momentanfrequenz (Englisch: instantaneous frequency) -%ω i -%, welche wie folgt berechnet wird: -%f i = 2π -%ω i (t) = ω c + -%d φ(t) -%dt -%(5.17) -%Bei der Frequenzmodulation (Englisch: frequency modulation, FM) ist die Abweichung der momentanen -%Kreisfrequenz ω i von der Trägerkreisfrequenz ω c proportional zum Nachrichtensignal m(t). Sie ergibt sich, -%indem m(t) mit der (Kreis-)Frequenzhubkonstanten (Englisch: frequency deviation constant) k f [rad/s] ska- -%liert wird: ω i (t) = ω c + k f · m(t). Diese sich zeitlich verändernde Abweichung von der Kreisfrequenz ω c -%verursacht gleichzeitig auch Schwankungen der Phase φ(t), welche wie folgt berechnet wird: -%φ(t) = -%Z t -%−∞ -%ω i (τ ) − ω c dτ = -%Somit ergibt sich für das frequenzmodulierte Trägersignal: -% -%Z t -%−∞ -%x FM (t) = A c · cos ω c t + k f -%k f · m(t) dτ -%Z t -%−∞ -% -%m(τ ) dτ -%(5.18) -%(5.19) -%Die Phase φ(t) hat dabei einen kontinuierlichen Verlauf, d.h. das FM-modulierte Signal x FM (t) weist keine -%Stellen auf, wo sich die Phase sprunghaft ändert. Aus diesem Grund spricht man bei frequenzmodulierten -%Signalen – speziell auch bei digitalen FM-Signalen – von einer Modulation mit kontinuierlicher Phase (Eng- -%lisch: continuous phase modulation). -%Wie aus diesen Ausführungen hervorgeht, sind Phasenmodulation und Frequenzmodulation äquivalente Mo- -%dulationsverfahren. Beide variieren sowohl die Phase φ wie auch die Momentanfrequenz ω i . Dadurch kann -%man leider nicht – wie vielleicht erhofft – je mit einem eigenen Nachrichtensignal ein gemeinsames Trägersi- -%gnal unabhängig PM- und FM-modulieren, ohne dass sich diese Modulationen für den Empfänger untrennbar -%vermischen würden. -% -%Um die mathematische Behandlung der nicht-linearen Winkelmodulation etwas zu verkürzen, ist es aufgrund -%dieser Äquivalenzen gerechtfertigt, dass PM und FM gemeinsam behandelt werden. Jeweils vor der Modu- -%lation bzw. nach der Demodulation kann dann noch eine Differentiation oder Integration durchgeführt wird, -%um von der einen Modulationsart zur anderen zu gelangen. -%\subsection{Frequenzbereich} +Bei der Phasenmodulation (Englisch: phase modulation, PM) erzeugt das Nachrichtensignal \(m(t)\) eine Phasenabweichung \(\varphi(t)\) +des modulierten Trägersignals im Vergleich zum nicht-modulierten Träger. +Sie ist proportional zum Nachrichtensignal \(m(t)\) durch eine Skalierung mit der Phasenhubkonstanten (Englisch: phase deviation constant) +\[ + k_p [rad], +\] +welche die Amplitude des Nachrichtensignals auf die Phasenabweichung des +modulierten Trägersignals abbildet: \(\varphi(t) = k_p \cdot m(t)\). +Damit ergibt sich für das phasenmodulierte Trägersignal: +\[ + x_{PM} (t) = A_c \cdot \cos (\omega_c t + k_p \cdot m(t)) +\] +Die modulierte Phase \(\varphi(t)\) verändert dabei auch die Momentanfrequenz (Englisch: instantaneous frequency) \(\omega_i\) +, welche wie folgt berechnet wird: +\[ + f_i = 2\pi \omega_i (t) = \omega_c + \frac{d\varphi(t)}{dt} +\] +Bei der Frequenzmodulation (Englisch: frequency modulation, FM) ist die Abweichung der momentanen +Kreisfrequenz \(\omega_i\) von der Trägerkreisfrequenz \(\omega_c\) proportional zum Nachrichtensignal \(m(t)\). +Sie ergibt sich, indem \(m(t)\) mit der (Kreis-)Frequenzhubkonstanten (Englisch: frequency deviation constant) \(k_f [rad/s] \)skaliert wird: +\[ + \omega_i (t) = \omega_c + k_f \cdot m(t). +\] +Diese sich zeitlich verändernde Abweichung von der Kreisfrequenz \(\omega_c\) +verursacht gleichzeitig auch Schwankungen der Phase \(\varphi(t)\), +welche wie folgt berechnet wird: +\[ + \varphi (t) = + \int_{-\infty}^t \omega_i (\tau ) - \omega_c\, d\tau = + \int_{-\infty}^t k_f \cdot m(t)\,d\tau +\] +%\intertext{Somit ergibt sich für das frequenzmodulierte Trägersignal: } +\[ + x_{FM} (t) = A_c \cdot \cos \left( \omega_c t + \int_{-\infty}^t k_f \cdot m ( \tau) \,d\tau \right) +\] +Die Phase \(\varphi(t)\) hat dabei einen kontinuierlichen Verlauf, d.h. das FM-modulierte Signal \(x_{FM}(t)\) weist keine Stellen auf, + wo sich die Phase sprunghaft ändert. Aus diesem Grund spricht man bei frequenzmodulierten + Signalen - speziell auch bei digitalen FM-Signalen - von einer Modulation mit kontinuierlicher Phase (Englisch: continuous phase modulation). +Wie aus diesen Ausführungen hervorgeht, sind Phasenmodulation und Frequenzmodulation äquivalente Modulationsverfahren. +Beide variieren sowohl die Phase \(\varphi\) wie auch die Momentanfrequenz \(\omega_i.\) +Dadurch kannman leider nicht - wie vielleicht erhofft - je mit einem eigenen Nachrichtensignal ein gemeinsames Trägersignal unabhängig PM- und FM-modulieren, + ohne dass sich diese Modulationen für den Empfänger untrennbar vermischen würden. +Um die mathematische Behandlung der nicht-linearen Winkelmodulation etwas zu verkürzen, ist es aufgrund dieser Äquivalenzen gerechtfertigt, +dass PM und FM gemeinsam behandelt werden. +Da beide nur durch die Operation differenzieren getrennt wird, sind diese zwei Modulationen so miteinenader Verwandt das ich nur auf die Frequenzmodulation eingehe. +Jeweils vor der Modulation bzw. nach der Demodulation kann dann noch eine Differentiation oder +Integration durchgeführt wird, um von der einen Modulationsart zur anderen zu gelangen. +\citeauthor{fm:NAT} + +\subsection{Frequenzspektrum} + +Im die Foriertransformation zu berechnen muss man dieses Integral lösen, +\[ + \int +\] +(sollte ich wirklich diese Fouriertransformation zeigen?) +jedoch einfacher ist es wenn man mit Hilfe der Besselfunktion den Term \( \cos \cos()\) wandelt, erhält man +\[ + \sum +\] +Dieses zu transformien ist einfacher da es wieder Summen sind. +Damit ist die Fouriertransformation +\[ + Fourier + \label{fm:FM:fourie} +\] + +Nun sieht ein einfaches Frequenzmodulirtes Sigbnal mit \(m(t) = \sin(t)\) im Frequenzspektrum so aus. +TODO Bild. +Wie man auf diese Umformt von \(cos (cos())\) in die Summe zeige ich im nächsten Kapittel, auch was die eigentliche Bessselfunktion aussieht. + +\ %Nun %TODO %Hier Beschreiben ich FM und FM im Frequenzspektrum. |