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author | JODBaer <55744603+JODBaer@users.noreply.github.com> | 2022-05-15 15:38:10 +0200 |
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committer | GitHub <noreply@github.com> | 2022-05-15 15:38:10 +0200 |
commit | f176135c17eacc124e6ad3ed84ca805323bcbee7 (patch) | |
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-rw-r--r-- | buch/papers/fresnel/teil0.tex | 109 |
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diff --git a/buch/papers/fresnel/teil0.tex b/buch/papers/fresnel/teil0.tex index 5e9fdaf..253e2f3 100644 --- a/buch/papers/fresnel/teil0.tex +++ b/buch/papers/fresnel/teil0.tex @@ -1,22 +1,101 @@ % -% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung +% teil0.tex -- Definition % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Teil 0\label{fresnel:section:teil0}} -\rhead{Teil 0} -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, sed diam voluptua \cite{fresnel:bibtex}. -At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. -Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum -dolor sit amet. +\section{Definition\label{fresnel:section:teil0}} +\rhead{Definition} +Die Funktion $e^{x^2}$ hat bekanntermassen keine elementare Stammfunktion, +weshalb die Fehlerfunktion als Stammfunktion definiert wurde. +Die Funktionen $\cos x^2$ und $\sin x^2$ sind eng mit $e^{x^2}$ +verwandt, es ist daher nicht überraschend, dass sie ebenfalls +keine elementare Stammfunktionen haben. +Dies rechtfertigt die Definition der Fresnel-Integrale als neue spezielle +Funktionen. -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, sed diam voluptua. -At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. Stet clita -kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit -amet. +\begin{definition} +Die Funktionen +\begin{align*} +C(x) &= \int_0^x \cos\biggl(\frac{\pi}2 t^2\biggr)\,dt +\\ +S(x) &= \int_0^x \sin\biggl(\frac{\pi}2 t^2\biggr)\,dt +\end{align*} +heissen die Fesnel-Integrale. +\end{definition} +Der Faktor $\frac{\pi}2$ ist einigermassen willkürlich, man könnte +daher noch allgemeiner die Funktionen +\begin{align*} +C_a(x) &= \int_0^x \cos(at^2)\,dt +\\ +S_a(x) &= \int_0^x \sin(at^2)\,dt +\end{align*} +definieren, so dass die Funktionen $C(x)$ und $S(x)$ der Fall +$a=\frac{\pi}2$ werden, also +\[ +\begin{aligned} +C(x) &= C_{\frac{\pi}2}(x), +& +S(x) &= S_{\frac{\pi}2}(x). +\end{aligned} +\] +Durch eine Substution $t=bs$ erhält man +\begin{align*} +C_a(x) +&= +\int_0^x \cos(at^2)\,dt += +b +\int_0^{\frac{x}b} \cos(ab^2s^2)\,ds += +b +C_{ab^2}\biggl(\frac{x}b\biggr) +\\ +S_a(x) +&= +\int_0^x \sin(at^2)\,dt += +b +\int_0^{\frac{x}b} \sin(ab^2s^2)\,ds += +b +S_{ab^2}\biggl(\frac{x}b\biggr). +\end{align*} +Indem man $ab^2=\frac{\pi}2$ setzt, also +\[ +b += +\sqrt{\frac{\pi}{2a}} +, +\] +kann man die Funktionen $C_a(x)$ und $S_a(x)$ durch $C(x)$ und $S(x)$ +ausdrücken: +\begin{align} +C_a(x) +&= +\sqrt{\frac{\pi}{2a}} +C\biggl(x +\sqrt{\frac{2a}{\pi}} +\biggr) +&&\text{und}& +S_a(x) +&= +\sqrt{\frac{\pi}{2a}} +S\biggl(x +\sqrt{\frac{2a}{\pi}} +\biggr). +\label{fresnel:equation:arg} +\end{align} +Im Folgenden werden wir meistens nur den Fall $a=1$, also die Funktionen +$C_1(x)$ und $S_1(x)$ betrachten, da in diesem Fall die Formeln einfacher +werden. +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{papers/fresnel/fresnelgraph.pdf} +\caption{Graph der Funktionen $C(x)$ ({\color{red}rot}) +und $S(x)$ ({\color{blue}blau}) +\label{fresnel:figure:plot}} +\end{figure} +Die Abbildung~\ref{fresnel:figure:plot} zeigt die Graphen der +Funktion $C(x)$ und $S(x)$. |