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author | Runterer <37069007+Runterer@users.noreply.github.com> | 2022-05-16 15:32:38 +0200 |
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committer | GitHub <noreply@github.com> | 2022-05-16 15:32:38 +0200 |
commit | f9caa1457bc5cda6f4585813f05dadf807c3bff8 (patch) | |
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-rw-r--r-- | buch/papers/fresnel/teil3.tex | 136 |
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diff --git a/buch/papers/fresnel/teil3.tex b/buch/papers/fresnel/teil3.tex index d4f15f6..37e6bee 100644 --- a/buch/papers/fresnel/teil3.tex +++ b/buch/papers/fresnel/teil3.tex @@ -3,38 +3,110 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Teil 3 -\label{fresnel:section:teil3}} -\rhead{Teil 3} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit -aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores -eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam -est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci -velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore -et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima -veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam, -nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure -reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae -consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla -pariatur? +\section{Numerische Berechnung der Fresnel-Integrale +\label{fresnel:section:numerik}} +\rhead{Numerische Berechnung} +Die Fresnel-Integrale können mit verschiedenen Methoden effizient berechnet +werden. -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{fresnel:subsection:malorum}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis -est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis -est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime -placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor -repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut -rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae -sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a -sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias -consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat. +\subsection{Komplexe Fehlerfunktionen} +Es wurde schon darauf hingewiesen, dass der Integrand der Fresnel-Integrale +mit $e^{t^2}$ verwandt ist. +Tatsächlich kann gezeigt werden dass sich die Fresnel-Integrale mit +Hilfe der komplexen Fehlerfunktion als +\[ +\left. +\begin{matrix} +S_1(z) +\\ +C_1(z) +\end{matrix} +\; +\right\} += +\frac{1\pm i}4\biggl( +\operatorname{erf}\biggl(\frac{1+i}2\sqrt{\pi}z\biggr) +\mp +\operatorname{erf}\biggl(\frac{1-i}2\sqrt{\pi}z\biggr) +\biggr) +\] +ausdrücken lassen \cite{fresnel:fresnelC}. +Diese Darstellung ist jedoch für die numerische Berechnung nur +beschränkt nützlich, weil die meisten Bibliotheken für die Fehlerfunktion +diese nur für reelle Argument auszuwerten gestatten. + +\subsection{Als Lösung einer Differentialgleichung} +Da die Fresnel-Integrale die sehr einfachen Differentialgleichungen +\[ +C'(x) = \cos \biggl(\frac{\pi}2 x^2\biggr) +\qquad\text{und}\qquad +S'(x) = \sin \biggl(\frac{\pi}2 x^2\biggr) +\] +erfüllen, kann man eine Methode zur Lösung von Differentialgleichung +verwenden. +Die Abbildungen~\ref{fresnel:figure:plot} und \ref{fresnel:figure:eulerspirale} +wurden auf diese Weise erzeugt. + +\subsection{Taylor-Reihe integrieren} +Die Taylorreihen +\begin{align*} +\cos x +&= +\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k} +&&\text{und}& +\sin x +&= +\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k+1} +\intertext{% +der trigonometrischen Funktionen werden durch Einsetzen von $x=t^2$ +zu} +\cos t^2 +&= +\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!} t^{4k} +&&\text{und}& +\sin t^2 +&= +\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} t^{4k+2}. +\intertext{% +Die Fresnel-Integrale $C_1(x)$ und $S_1(x)$ können daher durch +termweise Integration mit Hilfe der Reihen} +C_1(x) +&= +\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!} \frac{x^{4k+1}}{4k+1} +&&\text{und}& +S_1(x) +&= +\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} \frac{x^{4k+3}}{4k+3} +\end{align*} +berechnet werden. +Diese Reihen sind insbesondere für kleine Werte von $x$ sehr +schnell konvergent. + +\subsection{Hypergeometrische Reihen} +Aus der Reihenentwicklung kann jetzt auch eine Darstellung der +Fresnel-Integrale durch hypergeometrische Reihen gefunden werden +\cite{fresnel:fresnelC}. +Es ergibt sich +\begin{align*} +S(z) +&= +\frac{\pi z^3}{6} +\cdot +\mathstrut_1F_2\biggl( +\begin{matrix}\frac34\\\frac32,\frac74\end{matrix} +; +-\frac{\pi^2z^4}{16} +\biggr) +\\ +C(z) +&= +z +\cdot +\mathstrut_1F_2\biggl( +\begin{matrix}\frac14\\\frac12,\frac54\end{matrix} +; +-\frac{\pi^2z^4}{16} +\biggr). +\end{align*} |