Merge branch 'AndreasFMueller:master' into master

23 files changed, 590 insertions, 26 deletions

diff --git a/buch/papers/fresnel/Makefile b/buch/papers/fresnel/Makefile
index 11af3a7..ed74861 100644
--- a/buch/papers/fresnel/Makefile
+++ b/buch/papers/fresnel/Makefile
@@ -3,20 +3,6 @@
 #
 # (c) 2022 Prof Dr Andreas Mueller
 #
-all:	fresnelgraph.pdf eulerspirale.pdf pfad.pdf
-
 images:
 	@echo "no images to be created in fresnel"
 
-eulerpath.tex:	eulerspirale.m
-	octave eulerspirale.m
-
-fresnelgraph.pdf:	fresnelgraph.tex eulerpath.tex
-	pdflatex fresnelgraph.tex
-
-eulerspirale.pdf:	eulerspirale.tex eulerpath.tex
-	pdflatex eulerspirale.tex
-
-pfad.pdf:	pfad.tex
-	pdflatex pfad.tex
-
diff --git a/buch/papers/fresnel/images/Makefile b/buch/papers/fresnel/images/Makefile
new file mode 100644
index 0000000..eb7dc57
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/fresnel/images/Makefile
@@ -0,0 +1,38 @@
+#
+# Makefile
+#
+# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+all:	schale.pdf							\
+	fresnelgraph.pdf						\
+	eulerspirale.pdf						\
+	pfad.pdf							\
+	apfel.pdf							\
+	kruemmung.pdf
+
+schale.png:	schale.pov
+	povray +A0.1 -W1920 -H1080 -Oschale.png schale.pov
+
+schale.jpg:	schale.png Makefile
+	convert -extract 1240x1080+340 schale.png -density 300 -units PixelsPerInch schale.jpg
+
+schale.pdf:	schale.tex schale.jpg
+	pdflatex schale.tex
+
+eulerpath.tex:	eulerspirale.m
+	octave eulerspirale.m
+
+fresnelgraph.pdf:	fresnelgraph.tex eulerpath.tex
+	pdflatex fresnelgraph.tex
+
+eulerspirale.pdf:	eulerspirale.tex eulerpath.tex
+	pdflatex eulerspirale.tex
+
+pfad.pdf:	pfad.tex
+	pdflatex pfad.tex
+
+apfel.pdf:	apfel.tex apfel.jpg eulerpath.tex
+	pdflatex apfel.tex
+
+kruemmung.pdf:	kruemmung.tex
+	pdflatex kruemmung.tex
diff --git a/buch/papers/fresnel/images/apfel.jpg b/buch/papers/fresnel/images/apfel.jpg
new file mode 100644
index 0000000..76e48e7
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/fresnel/images/apfel.jpg
diff --git a/buch/papers/fresnel/images/apfel.pdf b/buch/papers/fresnel/images/apfel.pdf
new file mode 100644
index 0000000..69e5092
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/fresnel/images/apfel.pdf
diff --git a/buch/papers/fresnel/images/apfel.tex b/buch/papers/fresnel/images/apfel.tex
new file mode 100644
index 0000000..754886b
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/fresnel/images/apfel.tex
@@ -0,0 +1,49 @@
+%
+% apfel.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{times}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{graphics}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\usepackage{ifthen}
+\begin{document}
+
+\newboolean{showgrid}
+\setboolean{showgrid}{false}
+\def\breite{7}
+\def\hoehe{4}
+
+\input{eulerpath.tex}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+
+% Povray Bild
+\begin{scope}
+\clip(-0.6,-0.6) rectangle (7,6);
+\node at (3.1,2.2) [rotate=-3] {\includegraphics[width=9.4cm]{apfel.jpg}};
+\end{scope}
+
+% Gitter
+\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{
+\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw                            (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\fill (0,0) circle[radius=0.05];
+}{}
+
+\draw[color=gray!50] (0,0) rectangle (4,4);
+\draw[->] (-0.5,0) -- (7.5,0) coordinate[label={$C(t)$}];
+\draw[->] (0,-0.5) -- (0,6.0) coordinate[label={left:$S(t)$}];
+\begin{scope}[scale=8]
+\draw[color=red,opacity=0.5,line width=1.4pt] \fresnela;
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/fresnel/eulerspirale.m b/buch/papers/fresnel/images/eulerspirale.m
index 84e3696..84e3696 100644
--- a/buch/papers/fresnel/eulerspirale.m
+++ b/buch/papers/fresnel/images/eulerspirale.m
diff --git a/buch/papers/fresnel/eulerspirale.pdf b/buch/papers/fresnel/images/eulerspirale.pdf
index 4a85a50..db74e4b 100644
--- a/buch/papers/fresnel/eulerspirale.pdf
+++ b/buch/papers/fresnel/images/eulerspirale.pdf
diff --git a/buch/papers/fresnel/eulerspirale.tex b/buch/papers/fresnel/images/eulerspirale.tex
index 38ef756..38ef756 100644
--- a/buch/papers/fresnel/eulerspirale.tex
+++ b/buch/papers/fresnel/images/eulerspirale.tex
diff --git a/buch/papers/fresnel/fresnelgraph.pdf b/buch/papers/fresnel/images/fresnelgraph.pdf
index 9ccad56..c658901 100644
--- a/buch/papers/fresnel/fresnelgraph.pdf
+++ b/buch/papers/fresnel/images/fresnelgraph.pdf
diff --git a/buch/papers/fresnel/fresnelgraph.tex b/buch/papers/fresnel/images/fresnelgraph.tex
index 20df951..20df951 100644
--- a/buch/papers/fresnel/fresnelgraph.tex
+++ b/buch/papers/fresnel/images/fresnelgraph.tex
diff --git a/buch/papers/fresnel/images/kruemmung.pdf b/buch/papers/fresnel/images/kruemmung.pdf
new file mode 100644
index 0000000..1180116
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/fresnel/images/kruemmung.pdf
diff --git a/buch/papers/fresnel/images/kruemmung.tex b/buch/papers/fresnel/images/kruemmung.tex
new file mode 100644
index 0000000..af0a1a9
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/fresnel/images/kruemmung.tex
@@ -0,0 +1,51 @@
+%
+% kruemmung.tex -- Krümmung einer ebenen Kurve
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\begin{scope}
+\clip (-1,-1) rectangle (4,4);
+
+\def\r{3}
+\def\winkel{30}
+
+\fill[color=blue!20] (0,0) -- (0:{0.6*\r}) arc (0:\winkel:{0.6*\r}) -- cycle;
+\fill[color=blue!20] (\winkel:\r)
+	-- ($(\winkel:\r)+(0,{0.6*\r})$) arc (90:{90+\winkel}:{0.6*\r}) -- cycle;
+\node[color=blue] at ({0.5*\winkel}:{0.45*\r}) {$\Delta\varphi$};
+
+\node[color=blue] at ($(\winkel:\r)+({90+0.5*\winkel}:{0.45*\r})$)
+	{$\Delta\varphi$};
+
+\draw[line width=0.3pt] (0,0) circle[radius=\r];
+
+\draw[->] (0,0) -- (0:\r);
+\draw[->] (0,0) -- (\winkel:\r);
+
+\draw[->] (0:\r) -- ($(0:\r)+(90:0.7*\r)$);
+\draw[->] (\winkel:\r) -- ($(\winkel:\r)+({90+\winkel}:0.7*\r)$);
+\draw[->,color=gray] (\winkel:\r) -- ($(\winkel:\r)+(0,0.7*\r)$);
+
+\draw[color=red,line width=1.4pt] (0:\r) arc (0:\winkel:\r);
+\node[color=red] at ({0.5*\winkel}:\r) [left] {$\Delta s$};
+\fill[color=red] (0:\r) circle[radius=0.05];
+\fill[color=red] (\winkel:\r) circle[radius=0.05];
+
+\node at (\winkel:{0.5*\r}) [above] {$r$};
+\node at (0:{0.5*\r}) [below] {$r$};
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/fresnel/pfad.pdf b/buch/papers/fresnel/images/pfad.pdf
index ff514cc..df3c7af 100644
--- a/buch/papers/fresnel/pfad.pdf
+++ b/buch/papers/fresnel/images/pfad.pdf
diff --git a/buch/papers/fresnel/pfad.tex b/buch/papers/fresnel/images/pfad.tex
index 5439a71..680cd78 100644
--- a/buch/papers/fresnel/pfad.tex
+++ b/buch/papers/fresnel/images/pfad.tex
@@ -15,6 +15,9 @@
 \definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
 \begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
 
+\fill[color=gray!40] (0,0) -- (2,0) arc (0:45:2) -- cycle;
+\node at (22.5:1.4) {$\displaystyle\frac{\pi}4$};
+
 \draw[->] (-1,0) -- (9,0) coordinate[label={$\operatorname{Re}$}];
 \draw[->] (0,-1) -- (0,6) coordinate[label={left:$\operatorname{Im}$}];
 
diff --git a/buch/papers/fresnel/images/schale.pdf b/buch/papers/fresnel/images/schale.pdf
new file mode 100644
index 0000000..9c21951
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/fresnel/images/schale.pdf
diff --git a/buch/papers/fresnel/images/schale.pov b/buch/papers/fresnel/images/schale.pov
new file mode 100644
index 0000000..085a6a4
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/fresnel/images/schale.pov
@@ -0,0 +1,191 @@
+//
+// schale.pov -- 
+//
+// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+#version 3.7;
+#include "colors.inc"
+
+#declare O = <0,0,0>;
+
+global_settings {
+	assumed_gamma 1
+}
+
+#declare imagescale = 0.036;
+
+camera {
+        location <40, 20, -20>
+        look_at <0, 0.5, 0>
+        right 16/9 * x * imagescale
+        up y * imagescale
+}
+
+light_source {
+        <10, 10, -40> color White
+        area_light <1,0,0> <0,0,1>, 10, 10
+        adaptive 1
+        jitter
+}
+
+sky_sphere {
+        pigment {
+                color rgb<1,1,1>
+        }
+}
+
+sphere {
+	<0, 0, 0>, 1
+	pigment {
+		color rgb<0.8,0.8,0.8>
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
+#declare stripcolor = rgb<0.2,0.2,0.8>;
+
+#declare R = 1.002;
+
+#macro punkt(phi,theta)
+R * < cos(phi) * cos(theta), sin(theta), sin(phi) * cos(theta) > 
+#end
+
+#declare N = 24;
+#declare thetaphi = 0.01;
+#declare thetawidth = pi * 0.008;
+#declare theta = function(phi) { phi * thetaphi }
+
+#declare axisdiameter = 0.007;
+
+cylinder {
+	< 0, -2, 0>, < 0, 2, 0>, axisdiameter
+	pigment {
+		color White
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
+#declare curvaturecircle = 0.008;
+#declare curvaturecirclecolor = rgb<0.4,0.8,0.4>;
+
+#declare phit = 12.8 * 2 * pi;
+#declare P = punkt(phit, theta(phit));
+#declare Q = <0, R / sin(theta(phit)), 0>;
+
+#declare e1 = vnormalize(P - Q) / tan(theta(phit));
+#declare e2 = vnormalize(vcross(e1, <0,1,0>)) / tan(theta(phit));
+#declare psimin = -0.1 * pi;
+#declare psimax = 0.1 * pi;
+#declare psistep = (psimax - psimin) / 30;
+
+union {
+	#declare psi = psimin;
+	#declare K = Q + cos(psi) * e1 + sin(psi) * e2;
+	#while (psi < psimax - psistep/2)
+		sphere { K, curvaturecircle }
+		#declare psi = psi + psistep;
+		#declare K2 = Q + cos(psi) * e1 + sin(psi) * e2;
+		cylinder { K, K2, curvaturecircle }
+		#declare K = K2;
+	#end
+	sphere { K, curvaturecircle }
+	pigment {
+		color curvaturecirclecolor
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
+object {
+	mesh {
+		#declare psi = psimin;
+		#declare K = Q + cos(psi) * e1 + sin(psi) * e2;
+		#while (psi < psimax - psistep/2)
+			#declare psi = psi + psistep;
+			#declare K2 = Q + cos(psi) * e1 + sin(psi) * e2;
+			triangle { K, K2, Q }
+			#declare K = K2;
+		#end
+	}
+	pigment {
+		color rgbt<0.4,0.8,0.4,0.5>
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
+union {
+	sphere { P, 0.02 }
+	sphere { Q, 0.02 }
+	cylinder { P, Q, 0.01 }
+	pigment {
+		color Red
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
+#declare phisteps = 300;
+#declare phistep = 2 * pi / phisteps;
+#declare phimin = 0;
+#declare phimax = N * 2 * pi;
+
+object {
+	mesh {
+		#declare phi = phimin;
+		#declare Poben = punkt(phi, theta(phi) + thetawidth);
+		#declare Punten = punkt(phi, theta(phi) - thetawidth);
+		triangle { O, Punten, Poben }
+		#while (phi < phimax - phistep/2)
+			#declare phi = phi + phistep;
+			#declare Poben2 = punkt(phi, theta(phi) + thetawidth);
+			#declare Punten2 = punkt(phi, theta(phi) - thetawidth);
+			triangle { O, Punten, Punten2 }
+			triangle { O, Poben, Poben2 }
+			triangle { Punten, Punten2, Poben }
+			triangle { Punten2, Poben2, Poben }
+			#declare Poben = Poben2;
+			#declare Punten = Punten2;
+		#end
+		triangle { O, Punten, Poben }
+	}
+	pigment {
+		color stripcolor
+	}
+	finish {
+		specular 0.8
+		metallic
+	}
+}
+
+union {
+	#declare phi = phimin;
+	#declare P = punkt(phi, theta(phi));
+	#while (phi < phimax - phistep/2)
+		sphere { P, 0.003 }
+		#declare phi = phi + phistep;
+		#declare P2 = punkt(phi, theta(phi));
+		cylinder { P, P2, 0.003 }
+		#declare P = P2;
+	#end
+	sphere { P, 0.003 }
+	pigment {
+		color stripcolor
+	}
+	finish {
+		specular 0.8
+		metallic
+	}
+}
diff --git a/buch/papers/fresnel/images/schale.tex b/buch/papers/fresnel/images/schale.tex
new file mode 100644
index 0000000..577ede4
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/fresnel/images/schale.tex
@@ -0,0 +1,77 @@
+%
+% schlange.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{times}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{graphics}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc}
+\usepackage{ifthen}
+\begin{document}
+
+\newboolean{showgrid}
+\setboolean{showgrid}{false}
+\def\breite{4}
+\def\hoehe{4}
+\def\a{47}
+\def\r{3.3}
+\def\skala{0.95}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\begin{scope}[xshift=-7.4cm,yshift=-1.2cm]
+	\clip (-3.6,-2.2) rectangle (3.6,5.1);
+
+	\fill[color=blue!20] (0,0)
+		-- ({180-\a}:{0.4*\r}) arc ({180-\a}:180:{0.4*\r})
+		-- cycle;
+	\node[color=blue] at ({180-\a/2}:{0.3*\r}) {$\vartheta$};
+
+	\fill[color=blue!20] (0,{\r/sin(\a)})
+		-- ($(0,{\r/sin(\a)})+({270-\a}:{0.3*\r})$)
+			arc ({270-\a}:270:{0.3*\r})
+		-- cycle;
+	\node[color=blue] at ($(0,{\r/sin(\a)})+({270-\a/2}:{0.2*\r})$)
+		{$\vartheta$};
+
+
+	\draw (0,0) circle[radius=\r];
+	\draw[->] (0,-3.0) -- (0,5);
+	\draw ({-\r-0.2},0) -- ({\r+0.2},0);
+	\fill (0,0) circle[radius=0.06];
+
+	\draw (0,0) -- ({180-\a}:\r);
+	\node at ({180-\a+3}:{0.65*\r}) [above right] {$1$};
+
+	\draw[color=red,line width=1.4pt]
+		({180-\a}:\r) -- (0,{\r/cos(90-\a)});
+	\fill[color=red] ({180-\a}:\r) circle[radius=0.08];
+	\fill[color=red] (0,{\r/cos(90-\a)}) circle[radius=0.08];
+	\node[color=red] at (-1.0,3.7) [left] {$r=\cot\vartheta$};
+	\node[color=red] at ({180-\a}:\r) [above left] {$P$};
+	\node[color=red] at (0,{\r/sin(\a)}) [right] {$Q$};
+\end{scope}
+
+% Povray Bild
+\node at (0,0) {\includegraphics[width=7.6cm]{schale.jpg}};
+
+% Gitter
+\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{
+\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw                            (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\fill (0,0) circle[radius=0.05];
+}{}
+
+\node[color=red] at (-1.4,1.4) {$r$};
+\node[color=red] at (-2.2,-0.2) {$P$};
+\node[color=red] at (0,3.3) [right] {$Q$};
+
+\end{tikzpicture}
+
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/fresnel/main.tex b/buch/papers/fresnel/main.tex
index e6ee3b5..2050fd4 100644
--- a/buch/papers/fresnel/main.tex
+++ b/buch/papers/fresnel/main.tex
@@ -8,6 +8,11 @@
 \begin{refsection}
 \chapterauthor{Andreas Müller}
 
+{\parindent0pt Die} Fresnel-Integrale tauchen in der Untersuchung der Beugung
+in paraxialer Näherung auf, auch bekannt als die Fresnel-Approximation.
+In diesem Kapitel betrachen wir jedoch nur die geometrische
+Anwendung der Fresnel-Integrale als Parametrisierung der Euler-Spirale
+und zeigen, dass letztere eine Klothoide ist.
 
 \input{papers/fresnel/teil0.tex}
 \input{papers/fresnel/teil1.tex}
diff --git a/buch/papers/fresnel/references.bib b/buch/papers/fresnel/references.bib
index 58e9242..cf8fb21 100644
--- a/buch/papers/fresnel/references.bib
+++ b/buch/papers/fresnel/references.bib
@@ -44,3 +44,9 @@
 	title = { Fresnel Integral },
 	date = { 2022-05-13 }
 }
+
+@online{fresnel:schale,
+	url = { https://www.youtube.com/watch?v=D3tdW9l1690 },
+	title = { A Strange Map Projection (Euler Spiral) - Numberphile },
+	date = { 2022-05-14 }
+}
diff --git a/buch/papers/fresnel/teil0.tex b/buch/papers/fresnel/teil0.tex
index 253e2f3..85b8bf7 100644
--- a/buch/papers/fresnel/teil0.tex
+++ b/buch/papers/fresnel/teil0.tex
@@ -20,7 +20,7 @@ C(x) &= \int_0^x \cos\biggl(\frac{\pi}2 t^2\biggr)\,dt
 \\
 S(x) &= \int_0^x \sin\biggl(\frac{\pi}2 t^2\biggr)\,dt
 \end{align*}
-heissen die Fesnel-Integrale.
+heissen die Fresnel-Integrale.
 \end{definition}
 
 Der Faktor $\frac{\pi}2$ ist einigermassen willkürlich, man könnte
@@ -39,7 +39,7 @@ C(x) &= C_{\frac{\pi}2}(x),
 S(x) &= S_{\frac{\pi}2}(x).
 \end{aligned}
 \]
-Durch eine Substution $t=bs$ erhält man
+Durch eine Substitution $t=bs$ erhält man
 \begin{align*}
 C_a(x)
 &=
@@ -91,7 +91,7 @@ $C_1(x)$ und $S_1(x)$ betrachten, da in diesem Fall die Formeln einfacher
 werden.
 \begin{figure}
 \centering
-\includegraphics{papers/fresnel/fresnelgraph.pdf}
+\includegraphics{papers/fresnel/images/fresnelgraph.pdf}
 \caption{Graph der Funktionen $C(x)$ ({\color{red}rot}) 
 und $S(x)$ ({\color{blue}blau})
 \label{fresnel:figure:plot}}
diff --git a/buch/papers/fresnel/teil1.tex b/buch/papers/fresnel/teil1.tex
index a41ddb7..c716cd7 100644
--- a/buch/papers/fresnel/teil1.tex
+++ b/buch/papers/fresnel/teil1.tex
@@ -8,7 +8,7 @@
 \rhead{Euler-Spirale}
 \begin{figure}
 \centering
-\includegraphics{papers/fresnel/eulerspirale.pdf}
+\includegraphics{papers/fresnel/images/eulerspirale.pdf}
 \caption{Die Eulerspirale ist die Kurve mit der Parameterdarstellung
 $x\mapsto (C(x),S(x))$, sie ist rot dargestellt.
 Sie windet sich unendlich oft um die beiden Punkte $(\pm\frac12,\pm\frac12)$.
@@ -25,7 +25,7 @@ $(\pm\frac12,\pm\frac12)$ zu winden.
 
 \begin{figure}
 \centering
-\includegraphics{papers/fresnel/pfad.pdf}
+\includegraphics{papers/fresnel/images/pfad.pdf}
 \caption{Pfad zur Berechnung der Grenzwerte $C_1(\infty)$ und
 $S_1(\infty)$ mit Hilfe des Cauchy-Integralsatzes
 \label{fresnel:figure:pfad}}
@@ -182,7 +182,7 @@ muss, folgt $C_1(\infty)=S_1(\infty)$.
 Nach Multlikation mit $\sqrt{2}$ folgt aus der Tatsache, dass auch
 der Realteil verschwinden muss
 \[
-\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{2}} = C_1(\infty)+S_1(\infty)
+\sqrt{\frac{\pi}{2}} = C_1(\infty)+S_1(\infty)
 \qquad
 \Rightarrow
 \qquad
@@ -190,7 +190,10 @@ C_1(\infty)
 =
 S_1(\infty)
 =
-\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{2}}.
+\frac12
+\sqrt{
+\frac{\pi}{2}
+}.
 \]
 Aus
 \eqref{fresnel:equation:arg}
diff --git a/buch/papers/fresnel/teil2.tex b/buch/papers/fresnel/teil2.tex
index 22d2a89..ec8c896 100644
--- a/buch/papers/fresnel/teil2.tex
+++ b/buch/papers/fresnel/teil2.tex
@@ -15,10 +15,165 @@ Eine ebene Kurve, deren Krümmung proportionale zur Kurvenlänge ist,
 heisst {\em Klothoide}.
 \end{definition}
 
-Die Klothoide wird zum Beispiel im Strassenbau bei Autobahnkurven
-angewendet.
-Fährt man mit konstanter Geschwindigkeit mit entlang einer Klothoide,
+Die Klothoide wird zum Beispiel im Strassenbau für Autobahnkurven
+verwendet.
+Fährt man mit konstanter Geschwindigkeit entlang einer Klothoide,
 muss man die Krümmung mit konstaner Geschwindigkeit ändern,
 also das Lenkrad mit konstanter Geschwindigkeit drehen.
 Dies ermöglicht eine ruhige Fahrweise.
 
+\subsection{Krümmung einer ebenen Kurve}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{papers/fresnel/images/kruemmung.pdf}
+\caption{Berechnung der Krümmung einer ebenen Kurve.
+\label{fresnel:figure:kruemmung}}
+\end{figure}
+Abbildung~\ref{fresnel:figure:kruemmung} erinnert daran, dass der
+Bogen eines Kreises vom Radius $r$, entlang dem sich die Richtung
+der Tangente um $\Delta\varphi$ ändert, die Länge
+$\Delta s = r\Delta\varphi$.
+Die Krümmung ist der Kehrwert des Krümmungsradius, daraus kann
+man ablesen, dass 
+\[
+\kappa = \frac{1}{r} = \frac{\Delta \varphi}{\Delta s}.
+\]
+Für eine beliebige ebene Kurve ist daher die Krümmung
+\[
+\kappa = \frac{d\varphi}{ds}.
+\]
+
+\subsection{Krümmung der Euler-Spirale}
+Wir betrachten jetzt die Euler-Spirale mit der Parametrisierung
+$\gamma(s) = (C_1(s),S_1(s))$.
+Zunächst stellen wir fest, dass die Länge der Tangente
+\[
+\dot{\gamma}(s)
+=
+\frac{d\gamma}{ds}
+=
+\begin{pmatrix}
+\dot{C}_1(s)\\
+\dot{S}_1(s)
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+\cos s^2\\
+\sin s^2
+\end{pmatrix}
+\qquad\Rightarrow\qquad
+|\dot{\gamma}(s)|
+=
+\sqrt{\cos^2s^2+\sin^2s^2}
+=
+1.
+\]
+Insbesondere ist der Parameter $s$ der Kurve $\gamma(s)$ die
+Bogenlänge.
+
+Der zu $\dot{\gamma}(s)$ gehörige Polarwinkel kann aus dem Vergleich
+mit einem Vektor mit bekanntem Polarwinkel $\varphi$ abgelesen werden:
+\[
+\begin{pmatrix}
+\cos \varphi\\
+\sin \varphi
+\end{pmatrix}
+=
+\dot{\gamma}(s)
+=
+\begin{pmatrix}
+\cos s^2\\\sin s^2
+\end{pmatrix},
+\]
+der Polarwinkel 
+ist daher $\varphi = s^2$.
+Die Krümmung ist die Ableitung des Polarwinkels nach $s$, also
+\[
+\kappa
+=
+\frac{d\varphi}{ds}
+=
+\frac{ds^2}{ds}
+=
+2s,
+\]
+sie ist somit proportional zur Bogenlänge $s$.
+Damit folgt, dass die Euler-Spirale eine Klothoide ist.
+
+\subsection{Eine Kugel schälen}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=\textwidth]{papers/fresnel/images/schale.pdf}
+\caption{Schält man eine einen Streifen konstanter Breite beginnend am
+Äquator von einer Kugel ab und breitet ihn in der Ebene aus, entsteht
+eine Klothoide.
+\label{fresnel:figure:schale}}
+\end{figure}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{papers/fresnel/images/apfel.pdf}
+\caption{Klothoide erhalten durch Abschälen eines Streifens von einem
+Apfel (vgl.~Abbildung~\ref{fresnel:figure:schale})
+\label{fresnel:figure:apfel}}
+\end{figure}
+Schält man einen Streifen konstanter Breite beginnend parallel zum Äquator
+von einer Kugel ab und breitet ihn in die Ebene aus, entsteht eine
+Approximation einer Klothoide.
+Abbildung~\ref{fresnel:figure:schale} zeigt blau den abgeschälten Streifen,
+Abbildung~\ref{fresnel:figure:apfel} zeigt das Resultat dieses Versuches
+an einem Apfel, das Youtube-Video \cite{fresnel:schale} des
+Numberphile-Kanals illustriert das Problem anhand eines aufblasbaren
+Globus.
+
+Windet sich die Kurve in Abbildung~\ref{fresnel:figure:schale} $n$
+mal um die vertikale Achse, bevor sie den Nordpol erreicht, dann kann
+die Kurve mit der Funktion
+\[
+\gamma(t)
+=
+\begin{pmatrix}
+\cos(t) \cos(t/n) \\
+\sin(t) \cos(t/n) \\
+\sin(t/n)
+\end{pmatrix}
+\]
+parametrisiert werden.
+Der Tangentialvektor
+\[
+\dot{\gamma}(t)
+=
+\begin{pmatrix}
+-\sin(t)\cos(t/n) - \cos(t)\sin(t/n)/n \\
+\cos(t)\cos(t/n) - \sin(t)\sin(t/n)/n \\
+\cos(t/n)/n
+\end{pmatrix}
+\]
+hat die Länge
+\[
+| \dot{\gamma}(t) |^2
+=
+\frac{1}{n^2}
++
+\cos^2\frac{t}{n}.
+\]
+Die Ableitung der Bogenlänge ist daher
+\[
+\dot{s}(t)
+=
+\sqrt{
+\frac{1}{n^2}
++
+\cos^2\frac{t}{n}
+}.
+\]
+
+
+Der Krümmungsradius des blauen Streifens, der die Kugel im Punkt $P$ bei 
+geographischer $\vartheta$ berührt, hat die Länge der Tangente, die
+die Kugel im Punkt $P$ berührt und im Punkt $Q$ durch die Achse der
+Kugel geht (Abbildung~\ref{fresnel:figure:schale}).
+Die Krümmung in Abhängigkeit von $\vartheta$ ist daher $\tan\vartheta$.
+
+
+
+
diff --git a/buch/papers/fresnel/teil3.tex b/buch/papers/fresnel/teil3.tex
index 37e6bee..ceddbe0 100644
--- a/buch/papers/fresnel/teil3.tex
+++ b/buch/papers/fresnel/teil3.tex
@@ -42,8 +42,8 @@ C'(x) = \cos \biggl(\frac{\pi}2 x^2\biggr)
 \qquad\text{und}\qquad
 S'(x) = \sin \biggl(\frac{\pi}2 x^2\biggr)
 \]
-erfüllen, kann man eine Methode zur Lösung von Differentialgleichung
-verwenden.
+erfüllen, kann man eine Methode zur numerischen Lösung von
+Differentialgleichung verwenden.
 Die Abbildungen~\ref{fresnel:figure:plot} und \ref{fresnel:figure:eulerspirale}
 wurden auf diese Weise erzeugt.