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index 704de43..dbe1171 100644
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@@ -1,6 +1,5 @@
 \section{Anwendung \label{kra:section:anwendung}}
 \rhead{Anwendung}
-\newcommand{\dt}[0]{\frac{d}{dt}}
 
 Die Matrix-Riccati Differentialgleichung findet unter anderem Anwendung in der Regelungstechnik beim RQ- und RQG-Regler oder aber auch beim Kalman-Filter.
 Im folgenden Abschnitt möchten wir uns an einem Beispiel anschauen wie wir mit Hilfe der Matrix-Riccati-Differentialgleichung (\ref{kra:equation:matrixriccati}) ein Feder-Masse-System untersuchen können \cite{kra:riccati}.
@@ -163,12 +162,12 @@ In Matrixschreibweise erhalten wir
 
 \subsection{Phasenraum}
 \subsubsection{Motivation}
-Die Beschreibung eines klassischen physikalischen Systems führt in der Newtonschen-Mechanik, wie wir in \ref{kra:subsection:feder-masse-system} gesehen haben, auf eine DGL 2. Ordung der Dimension $n$.
+Die Beschreibung eines klassischen physikalischen Systems führt in der Newtonschen-Mechanik, wie wir in \ref{kra:subsection:feder-masse-system} gesehen haben, auf eine Differentialgleichung 2. Ordung der Dimension $n$.
 Zur Betrachung des Systems verwenden wir dabei den Konfigurationsraum, ein Raum $\mathbb{R}^n$, bei dem ein einziger Punkt die Position aller $n$ Teilchen festlegt.
 Der Nachteil des Konfigurationsraums ist dabei, dass dieser nur die Positionen der Teilchen widerspiegelt.
 Um den Zustand eines Systems vollständig zu beschreiben, muss man aber nicht nur wissen wo sich die Teilchen zu einem bestimmten Zeitpunkt befinden, sondern auch wie sie sich bewegen.
 
-Im Gegensatz dazu führt die Beschreibung des Systems mit Hilfe der Hamilton-Mechanik \ref{kra:subsection:hamilton-funktion}, auf eine DGL 1. Ordnung der Dimension $2n$.
+Im Gegensatz dazu führt die Beschreibung des Systems mit Hilfe der Hamilton-Mechanik \ref{kra:subsection:hamilton-funktion}, auf eine Differentialgleichung 1. Ordnung der Dimension $2n$.
 Die Betrachtung erfolgt im einem Raum $\mathbb{R}^{2n}$, bei dem ein einzelner Punkt den Bewegungszustand vollständig beschreibt, dem sogennanten Phasenraum.
 Die Phasenraumdarstellung eignet sich somit sehr gut für die systematische Untersuchung der Feder-Masse-Systeme.
 
@@ -187,45 +186,23 @@ Abbildung~\ref{kra:fig:phasenraum} zeigt Phasenraumtrajektorien mit den Energien
 \end{figure}
 
 \subsubsection{Erweitertes Feder-Masse-System}
-Wir interessieren uns nun dafür, wie der Phasenwinkel $U = PQ^{-1}$ von der Zeit abhängt,
-wir suchen also die Grösse $\Theta = \dt U$.
-Ersetzten wir in der Gleichung \eqref{kra:equation:hamilton-multispringmass} die Matrix $G$ mit $\tilde{G}$ so erhalten wir
+Die Lösung der Gleichung \eqref{kra:equation:hamilton-multispringmass} beschreibt sowohl die zeitliche Entwicklung der Position als auch der Impulse.
+Um das System im Phasenraum zu untersuchen, reicht uns aber auch die zeitliche Entwicklung des Phasenwinkels $U(t) = P(t)Q^{-1}(t)$.
+Nach Satz~\ref{kra:satz:riccati-matrix-dgl} erhalten wir für Ableitung von $U$
 \begin{equation}
-    \dt
-    \begin{pmatrix}
-        Q \\
-        P
-    \end{pmatrix}
-    =
-    \underbrace{
-        \begin{pmatrix}
-            A & B \\
-            C & D
-        \end{pmatrix}
-    }_{\displaystyle{\tilde{G}}}
-    \begin{pmatrix}
-        Q \\
-        P
-    \end{pmatrix}.
-\end{equation}
-Ausgeschrieben folgt
-\begin{align*}
-    \dot{Q} = AQ + BP \\
-    \dot{P} = CQ + DP
-\end{align*}
-\begin{equation}
-    \label{kra:equation:feder-masse-riccati-matrix}
     \begin{split}
-        \dt U   &= \dot{P} Q^{-1} + P \dt Q^{-1} \\
-        &= (CQ + DP) Q^{-1} - P (Q^{-1} \dot{Q} Q^{-1}) \\
-        &= C\underbrace{QQ^{-1}}_\text{$I$} + D\underbrace{PQ^{-1}}_\text{$U$} - P(Q^{-1} (AQ + BP) Q^{-1}) \\
-        &= C + DU - \underbrace{PQ^{-1}}_\text{$U$}(A\underbrace{QQ^{-1}}_\text{$I$} + B\underbrace{PQ^{-1}}_\text{$U$}) \\
-        &= C  + DU - UA - UBU
+        \dt U   &= K  + 0U(t) - U(t)0 - U(t)MU(t) \\
+        &= K + U(t)MU(t),
     \end{split}
 \end{equation}
-was uns direkt auf die Matrix-Riccati Gleichung \eqref{kra:equation:matrixriccati} führt.
-Wir sehen das sich die Dimension der DGL reduziert, dabei aber gleichzeitig der Grad erhöht.
+eine Riccati-Matrix-Differentialgleichung.
+Die Matrix $U(t)$ beschreibt, wie man die Impulse $P$ zur Zeit $t$ aus den Positionen $Q$ berechnen kann.
+Die Berechnung der Position $Q$ zur Zeit $t$ aus den Anfangsbedingungen ermöglicht die Matrix $Q$.
+Die Inverse $Q^{-1}$ rechnet dann von den aktuellen Auslenkungen zurück auf Auslenkungen zur Zeit $t=0$.
+Die Matrix-Riccati-Differentialgleichung löst also das Problem die Impulse aus den Positionen zu berechnen, wenn man die Anfangsinpulsverteilung kennt.
+
+Durch die Beschränkung auf den Phasenwinkel wird die Dimension der Differentialgleichung \eqref{kra:equation:hamilton-multispringmass} reduziert, dabei aber gleichzeitig deren Grad erhöht.
 
 \subsection{Fazit}
-Wir haben gezeigt wie wir ein Federmassesystem mit Hilfe der Hamilton-Funktion Beschreiben und im Phasenraum untersuchen können.
-Ausserdem haben wir gesehen, dass sich bei der Entstehung der Riccati-Gleichung \eqref{kra:equation:feder-masse-riccati-matrix} die Dimension auf Kosten des Grades reduziert wird.
\ No newline at end of file
+Wir haben gezeigt wie wir ein Federmassesystem mit Hilfe der Hamilton-Funktion Beschreiben und im Phasenraum untersuchen können und wie dabei die Matrix-Riccati-Differentialgleichung in Erscheinung tritt.
+Ausserdem haben wir gesehen, dass dabei die Dimension auf Kosten des Grades reduziert wird.
\ No newline at end of file
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index 0503742..b5b76a8 100644
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@@ -3,7 +3,7 @@
 Die riccatische Differentialgleichung ist eine nicht lineare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung der Form
 \begin{equation}
     \label{kra:equation:riccati}
-    y' = f(x)y + g(x)y^2 + h(x)
+    y' = f(x)y + g(x)y^2 + h(x).
 \end{equation}
 Sie ist benannt nach dem italienischen Grafen Jacopo Francesco Riccati (1676–1754) der sich mit der Klassifizierung von Differentialgleichungen befasste.
 Als Riccati Gleichung werden auch Matrixgleichungen der Form
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index 18ac853..604a5ec 100644
--- a/buch/papers/kra/loesung.tex
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@@ -15,13 +15,13 @@ Durch Ausschreiben des Differentialquotienten
 \begin{equation}
     \frac{dy}{dx} = fy^2 + gy + h
 \end{equation}
-erkennt man, dass die DGL separierbar ist. Die Lösung findet man nun durch die Berechnung des Integrals
+erkennt man, dass die Differentialgleichung separierbar ist. Die Lösung findet man nun durch die Berechnung des Integrals
 \begin{equation} \label{kra:equation:case1_int}
     \int \frac{dy}{fy^2 + gy + h} = \int dx.
 \end{equation}
 
 \subsubsection{Fall 2: Bekannte spezielle Lösung}
-Kennt man eine spezielle Lösung $y_p$, so kann die riccatische DGL mit Hilfe einer Substitution auf eine lineare Gleichung reduziert werden.
+Kennt man eine spezielle Lösung $y_p$, so kann die riccatische Differentialgleichung mit Hilfe einer Substitution auf eine lineare Gleichung reduziert werden.
 Wir wählen als Substitution
 \begin{equation} \label{kra:equation:substitution}
     z = \frac{1}{y - y_p},
@@ -33,7 +33,7 @@ durch Umstellen von \eqref{kra:equation:substitution} folgt
 \begin{equation}
     y' = y_p' - \frac{1}{z^2}z',
 \end{equation}
-mit Einsetzten in die DGL \eqref{kra:equation:riccati} resultiert
+mit Einsetzten in die Differentialgleichung \eqref{kra:equation:riccati} resultiert
 \begin{equation}
     y_p' - \frac{1}{z^2}z' = f(x)(y_p + \frac{1}{z}) + g(x)(y_p + \frac{1}{z})^2 + h(x)
 \end{equation}
@@ -49,7 +49,9 @@ Diese kann nun mit den Methoden zur Lösung von linearen Differentialgleichungen
 Durch die Rücksubstitution \eqref{kra:equation:backsubstitution} erhält man dann die Lösung von \eqref{kra:equation:riccati}.
 
 \subsection{Matrix-Riccati-Differentialgleichung} \label{kra:loesung:riccati}
-Im Folgenden wollen wir uns anschauen wie die Matrix-Riccati-DGL entsteht und wie sie gelöst werden kann.
+Im Folgenden wollen wir uns anschauen wie die Matrix-Riccati-Differentialgleichung entsteht und wie sie gelöst werden kann.
+
+\subsubsection{Entstehung}
 Der Ausgangspunkt bildet die Matrix-Differentialgleichung
 \begin{equation}
     \label{kra:equation:matrix-dgl}
@@ -63,19 +65,77 @@ Der Ausgangspunkt bildet die Matrix-Differentialgleichung
             A & B \\
             C & D
         \end{pmatrix}
-    }_{\displaystyle{H}},
+    }_{\displaystyle{H}}
+    \begin{pmatrix}
+        X(t) \\
+        Y(t)
+    \end{pmatrix}
 \end{equation}
-mit den allgemeinen quadratischen Matrizen $A, B, C$ und $D$ welche zusammen die sogennante Hamilonsche-Matrix bilden.
-Betrachten wir das Verhältniss von $Y$ zu $X$
+mit den allgemeinen quadratischen Matrizen $A, B, C$ und $D$, welche in der sogenannten Hamiltonschen-Matrix $H$ zusammengefasst werden können.
+Wir führen eine neue Grösse
 \[
-    P(t) = Y(t)X^{-1}
+    U(t) = Y(t)X(t)^{-1}
 \]
-und deren Ableitung $\dot{P}(t)$, so erhalten wir die Riccati-Matrix-DGL
+ein, für dessen Ableitung $\dt U(t)$ wir mit
 \[
-    \dot{P}(t) = C  + DU - UA - UBU.
+    \dot{X}(t) = AX(t) + BY(t) \quad \text{und} \quad \dot{Y}(t) = CX(t) + DY(t)
 \]
+folgendes Ergebnis erhalten
+\begin{equation}
+    \label{kra:equation:feder-masse-riccati-matrix}
+    \begin{split}
+        \dt U(t)   &= \dot{Y}(t) X(t)^{-1} + Y(t) \dt X(t)^{-1} \\
+        &= (CX(t) + DY(t)) X(t)^{-1} - Y(t) (X(t)^{-1} \dot{X}(t) X(t)^{-1}) \\
+        &= C\underbrace{X(t)X(t)^{-1}}_\text{$I$} + D\underbrace{Y(t)X(t)^{-1}}_\text{$U(t)$} - Y(t)(X(t)^{-1} (AX(t) + BY(t)) X(t)^{-1}) \\
+        &= C + DU(t) - \underbrace{Y(t)X(t)^{-1}}_\text{$U(t)$}(A\underbrace{X(t)X(t)^{-1}}_\text{$I$} + B\underbrace{Y(t)X(t)^{-1}}_\text{$U(t)$}) \\
+        &= C  + DU(t) - U(t)A - U(t)BU(t).
+    \end{split}
+\end{equation}
+\begin{satz}
+    \label{kra:satz:riccati-matrix-dgl}
+    Die Ableitung $\dt U(t) = \dt (Y(t)X(t)^{-1})$ ist eine Matrix-Riccati-Differentialgleichung.
+\end{satz}
 
-Die Lösung erhalten wir dann mit
+\subsubsection{Lösung}
+Sei
+\[
+    V(t)
+    =
+    \begin{pmatrix}
+        X(t) \\
+        Y(t)
+    \end{pmatrix},
+    \quad
+    \dot{V}(t) = HV(t)
+\]
+eine Matrix-Differentialgleichung 1. Ordnung, dann ist
+\[
+    V(t) = e^{H(t)} V(0)
+\]
+eine Lösung.
+Die Berechnung des Matrixexpontentials $e^{H(t)}$ kann mittels Diagonalisierung
+\[
+    H = Q \Lambda Q^{-1}
+\]
+effizient berechnet werden.
+Es folgt dann, dass
+\[
+    e^{Ht}
+    =
+    Q
+    e^{\Lambda t}
+    Q^{-1}
+    =
+    Q
+    \begin{pmatrix}
+        e^{\lambda_1 t} & 0               & \dots  & 0               \\
+        0               & e^{\lambda_2 t} & \ddots & \vdots          \\
+        \vdots          & \ddots          & \ddots & 0               \\
+        0               & \dots           & 0      & e^{\lambda_n t}
+    \end{pmatrix}
+    Q^{-1}
+\]
+ist. Die Lösung der Matrix-Riccati-Differentialgleichung erhalten wir analog mit
 \begin{equation}
     \label{kra:matrixriccati-solution}
     \begin{pmatrix}
@@ -108,4 +168,5 @@ Die Lösung erhalten wir dann mit
     \end{pmatrix}
     ^{-1}
 \end{equation}
-wobei $\Phi(t_0, t) = e^{H(t - t_0)}$ die sogenannte Zustandsübergangsmatrix von \eqref{kra:equation:matrix-dgl} ist \cite{kra:kalmanisae}.
+wobei $\Phi(t_0, t) = e^{H(t - t_0)}$ die sogenannte Zustandsübergangsmatrix von \eqref{kra:equation:matrix-dgl} ist,
+welche die Zeitentwicklung der einzelnen Lösungen beschreibt \cite{kra:kalmanisae}.
diff --git a/buch/papers/kra/main.tex b/buch/papers/kra/main.tex
index a84ebaf..9e41039 100644
--- a/buch/papers/kra/main.tex
+++ b/buch/papers/kra/main.tex
@@ -3,6 +3,8 @@
 %
 % (c) 2020 Hochschule Rapperswil
 %
+\newcommand{\dt}[0]{\frac{d}{dt}}
+
 \chapter{Riccati Differentialgleichung\label{chapter:kra}}
 \lhead{Riccati Differentialgleichung}
 \begin{refsection}