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author | haddoucher <reda.haddouche@ost.ch> | 2022-08-16 14:36:07 +0200 |
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committer | haddoucher <reda.haddouche@ost.ch> | 2022-08-16 14:36:07 +0200 |
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diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil0.tex b/buch/papers/kreismembran/teil0.tex index 1552259..c6dac06 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/teil0.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/teil0.tex @@ -4,7 +4,91 @@ % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % \section{Einleitung\label{kreismembran:section:teil0}} -\rhead{Einleitung} +\rhead{Membran} +Eine Membran oder selten ein Schwingblatt ist laut Duden \cite{kreismembran:Duden:Membran} ein ``dünnes Blättchen aus Metall, Papier o. Ä., das durch seine Schwingungsfähigkeit geeignet ist, Schallwellen zu übertragen \dots''. +Ein dünnes Blättchen aus Metall zeig jedoch nicht die selben dynamischen Eigenschaften wie ein gespanntes Stück Papier. +Beschreibt man das dynamische Verhalten, muss zwischen einer dünnen Platte und einer Membrane unterschieden werden \cite{kreismembran:membrane_vs_thin_plate}. +Eine dünne Platte zum Beispiel aus Metall, wirkt selbst entgegen ihrer Deformation sobald sie gekrümmt wird. +Eine Membran auf der anderen Seite besteht aus einem Material, welches sich ohne Kraftaufwand verbiegen lässt wie zum Beispiel Papier. +Bevor Papier als schwingende Membran betrachtet werden kann, wird jedoch noch eine Spannung $ T $ benötigt, welche das Material daran hindert, aus der Ruhelage gebracht zu werden. +Ein geläufiges Beispiel einer Kreismembran ist eine runde Trommel. +Sie besteht herkömmlicherweise aus einem Leder (Fell), welches auf einen offenen Zylinder (Zargen) aufgespannt wird. +Das Leder alleine erzeugt nach einem Aufschlag keine hörbaren Schwingungen. +Sobald das Fell jedoch über den Zargen gespannt wird, kann das Fell auf verschiedensten Weisen weiter schwingen, was für den Klang der Trommel verantwortlich ist. +Wie genau diese Schwingungen untersucht werden können, wird in der folgenden Arbeit diskutiert. + +\subsection{Annahmen} \label{kreimembran:annahmen} +Um die Wellengleichung herzuleiten \cite{kreismembran:wellengleichung_herleitung}, muss ein Modell einer Membran definiert werden. +Das untersuchte Modell erfüllt folgende Eigenschaften: +\begin{enumerate}[i)] + \item Die Membran ist homogen. + Dies bedeutet, dass die Membran über die ganze Fläche die selbe Dichte $ \rho $ und Elastizität hat. + Durch die konstante Elastizität ist die ganze Membran unter gleichmässiger Spannung $ T $. + \item Die Membran ist perfekt flexibel. + Damit ist gemeint, dass die Membran ohne Kraftaufwand verbogen werden kann. + Die Membran ist dadurch nicht allein stehend schwingfähig, hierzu muss sie gespannt werden mit einer Kraft $ T $. + \item Die Membran kann sich nur in Richtung ihrer Normalen in kleinem Ausmass auslenken. + Auslenkungen in der Ebene der Membran sind nicht möglich. + \item Die Membran erfährt keine Art von Dämpfung. + Die Membran wird also nicht durch ihr umliegendes Medium abgebremst noch erfährt sie Wärmeverluste durch Deformation. + +\end{enumerate} +\subsection{Wellengleichung} Um die Wellengleichung einer Membran herzuleiten, wird vorerst eine schwingende Saite betrachtet. +Es lohnt sich, das Verhalten einer Saite zu beschreiben, da eine Saite dasselbe Verhalten wie eine Membran aufweist, mit dem Unterschied einer fehlenden Dimension. +Die Verbindung zwischen Membran und Saite ist intuitiv ersichtlich, stellt man sich einen Querschnitt einer Trommel vor. +\begin{figure} + + \begin{center} + \includegraphics[width=5cm,angle=-90]{papers/kreismembran/images/Saite.pdf} + \caption{Infinitesimales Stück einer Saite} + \label{kreismembran:im:Saite} + \end{center} +\end{figure} + +In Abbildung \ref{kreismembran:im:Saite} ist ein infinitesimales Stück einer Saite mit Länge $ dx $ skizziert. +Wie für die Membran ist die Annahme iii) gültig, es entsteht keine Bewegung entlang der $ x $-Achse. +Um dies zu erfüllen, muss der Punkt $ P_1 $ gleich stark entgegen der $ x $-Achse gezogen werden wie der Punkt $ P_2 $ in Richtung der $ x $-Achse gezogen wird. +Ist $ T_1 $ die Kraft, welche mit Winkel $ \alpha $ auf Punkt $ P_1 $ wirkt sowie $ T_2 $ und $ \beta$ das analoge für Punkt $ P_2 $ ist, so können die Kräfte +\begin{equation}\label{kreismembran:eq:no_translation} + T_1 \cos \alpha = T_2 \cos \beta = T +\end{equation} +gleichgesetzt werden. +Das dynamische Verhalten der senkrechten Auslenkung $ u(x,t) $ muss das newtonsche Gesetz +\begin{equation*} + \sum F = m \cdot a +\end{equation*} +befolgen. Die senkrecht wirkenden Kräfte werden mit $ T_1 $ und $ T_2 $ ausgedrückt, die Masse als Funktion der Dichte $ \rho $ und die Beschleunigung in Form der zweiten Ableitung als +\begin{equation*} + T_2 \sin \beta - T_1 \sin \alpha = \rho dx \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} . +\end{equation*} +Die Gleichung wird durch $ T $ dividiert, wobei $ T $ nach \ref{kreismembran:eq:no_translation} geschickt gewählt wird. Somit kann +\begin{equation*} + \frac{T_2 \sin \beta}{T_2 \cos \beta} - \frac{T_1 \sin \alpha}{T_1 \cos \alpha} = \frac{\rho dx}{T} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} +\end{equation*} +vereinfacht als +\begin{equation*} + \tan \beta - \tan \alpha = \frac{\rho dx}{T} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} +\end{equation*} +geschrieben werden. +Der $ \tan \alpha $ entspricht der örtlichen Ableitung von $ u(x,t) $ an der Stelle $ x_0 $ und analog der $ \tan \beta $ für die Stelle $ x_0 + dx $. +Die Gleichung wird dadurch zu +\begin{equation*} + \frac{\partial u}{\partial x} \bigg|_{x_0 + dx} - \frac{\partial u}{\partial x} \bigg|_{x_0} = \frac{\rho dx}{T} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}. +\end{equation*} +Durch die Division mit $ dx $ entsteht +\begin{equation*} + \frac{1}{dx} \left[\frac{\partial u}{\partial x} \bigg|_{x_0 + dx} - \frac{\partial u}{\partial x} \bigg|_{x_0}\right] = \frac{\rho}{T}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}. +\end{equation*} +Auf der linken Seite der Gleichung wird die Differenz der Steigungen durch die Intervalllänge geteilt. +Wenn $ dx $ als unendlich kleines Stück betrachtet wird, ergibt sich als Grenzwert die zweite Ableitung von $ u(x,t) $ nach $ x $. +Der Term $ \frac{\rho}{T} $ wird durch $ c^2 $ ersetzt, da der Bruch für eine gegebene Membran eine positive Konstante sein muss. +Damit resultiert die in der Literatur gebräuchliche Form +\begin{equation} + \label{kreismembran:Ausgang_DGL} + \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = \Delta u. +\end{equation} +In dieser Form ist die Gleichung auch gültig für eine Membran. +Für den Fall einer Membran muss lediglich der Laplace-Operator $\Delta$ in zwei Dimensionen gerechnet werden.
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