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author | Andreas Müller <andreas.mueller@ost.ch> | 2022-05-19 17:29:08 +0200 |
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Ut enim ad minima -veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam, -nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure -reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae -consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla -pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{kreismembran:subsection:bonorum}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis -est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis -est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime -placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor -repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut -rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae -sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a -sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias -consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat. + +\section{Die Hankel Transformation \label{kreismembran:section:teil2}} +\rhead{Die Hankel Transformation} + +Hermann Hankel (1839-1873) war ein deutscher Mathematiker, der für seinen Beitrag zur mathematischen Analyse und insbesondere für seine namensgebende Transformation bekannt ist. +Diese Transformation tritt bei der Untersuchung von funktionen auf, die nur von der Enternung des Ursprungs abhängen. +Er studierte auch funktionen, jetzt Hankel- oder Bessel- Funktionen genannt, der dritten Art. +Die Hankel Transformation mit Bessel Funktionen al Kern taucht natürlich bei achsensymmetrischen Problemen auf, die in Zylindrischen Polarkoordinaten formuliert sind. +In diesem Kapitel werden die Theorie der Transformation und einige Eigenschaften der Grundoperationen erläutert. + + +Wir führen die Definition der Hankel Transformation aus der zweidimensionalen Fourier Transformation und ihrer Umkehrung ein, die durch: +\begin{align} + \mathscr{F}\{f(x,y)\} & = F(k,l)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i( \bm{\kappa}\cdot \mathbf{r})}f(x,y) dx dy,\label{equation:fourier_transform}\\ + \mathscr{F}^{-1}\{F(x,y)\} & = f(x,y)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{i(\bm{\kappa}\cdot \mathbf{r}))}F(k,l) dx dy \label{equation:inv_fourier_transform} +\end{align} +wo $\mathbf{r}=(x,y)$ und $\bm{\kappa}=(k,l)$. Wie bereits erwähnt, sind Polarkoordinaten für diese Art von Problemen am besten geeignet, also mit, $(x,y)=r(\cos\theta,\sin\theta)$ und $(k,l)=\kappa(\cos\phi,\sin\phi)$, findet man $\bm{\kappa}\cdot\mathbf{r}=\kappa r(\cos(\theta-\phi))$ und danach: +\begin{align} + F(k,\phi)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}r dr \int_{0}^{2\pi}e^{-ikr\cos(\theta-\phi)}f(r,\theta) d\phi. + \label{equation:F_ohne_variable_wechsel} +\end{align} +Dann wird angenommen dass, $f(r,\theta)=e^{in\theta}f(r)$, was keine strenge Einschränkung ist, und es wird eine Änderung der Variabeln vorgenommen $\theta-\phi=\alpha-\frac{\pi}{2}$, um \eqref{equation:F_ohne_variable_wechsel} zu reduzieren: +\begin{align} + F(k,\phi)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}rf(r) dr \int_{\phi_{0}}^{2\pi+\phi_{0}}e^{in(\phi-\frac{\pi}{2})+i(n\alpha-kr\sin\alpha)} d\alpha, + \label{equation:F_ohne_bessel} +\end{align} +wo $\phi_{0}=(\frac{\pi}{2}-\phi)$. + +Unter Verwendung der Integral Darstellung der Besselfunktion vom Ordnung n +\begin{align} + J_n(\kappa r)=\frac{1}{2\pi}\int_{\phi_{0}}^{2\pi + \phi_{0}}e^{i(n\alpha-\kappa r \sin \alpha)} d\alpha + \label{equation:bessel_n_ordnung} +\end{align} +\eqref{equation:F_ohne_bessel} wird sie zu: +\begin{align} + F(k,\phi)&=e^{in(\phi-\frac{\pi}{2})}\int_{0}^{\infty}rJ_n(\kappa r) f(r) dr \label{equation:F_mit_bessel_step_1} \\ + &=e^{in(\phi-\frac{\pi}{2})}\tilde{f}_n(\kappa), + \label{equation:F_mit_bessel_step_2} +\end{align} +wo $\tilde{f}_n(\kappa)$ ist die \textit{Hankel Transformation} von $f(r)$ und ist formell definiert durch: +\begin{align} + \mathscr{H}_n\{f(r)\}=\tilde{f}_n(\kappa)=\int_{0}^{\infty}rJ_n(\kappa r) f(r) dr. + \label{equation:hankel} +\end{align} + +Ähnlich verhält es sich mit der inversen Fourier Transformation in Form von polaren Koordinaten unter der Annahme $f(r,\theta)=e^{in\theta}f(r)$ mit \eqref{equation:F_mit_bessel_step_2}, wird die inverse Fourier Transformation \eqref{equation:inv_fourier_transform}: + +\begin{align} + e^{in\theta}f(r)&=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}\kappa d\kappa \int_{0}^{2\pi}e^{i\kappa r \cos (\theta - \phi)}F(\kappa,\phi) d\phi\\ + &= \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}\kappa \tilde{f}_n(\kappa) d\kappa \int_{0}^{2\pi}e^{in(\phi - \frac{\pi}{2})- i\kappa r \cos (\theta - \phi)} d\phi, +\end{align} +was durch den Wechsel der Variablen $\theta-\phi=-(\alpha+\frac{\pi}{2})$ und $\theta_0=-(\theta+\frac{\pi}{2})$, + +\begin{align} + &= \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}\kappa \tilde{f}_n(\kappa) d\kappa \int_{\theta_0}^{2\pi+\theta_0}e^{in(\theta + \alpha - i\kappa r \sin\alpha)} d\alpha \nonumber \\ + &= e^{in\theta}\int_{0}^{\infty}\kappa J_n(\kappa r) \tilde{f}_n(\kappa) d\kappa,\quad \text{von \eqref{equation:bessel_n_ordnung}} +\end{align} + +Also, die inverse \textit{Hankel Transformation} ist so definiert: +\begin{align} + \mathscr{H}^{-1}_n\{\tilde{f}_n(\kappa)\}=f(r)=\int_{0}^{\infty}\kappa J_n(\kappa r) \tilde{f}_n(\kappa) d\kappa. + \label{equation:inv_hankel} +\end{align} + +Anstelle von $\tilde{f}_n(\kappa)$, wird häufig für die Hankel Transformation verwendet, indem die Ordnung angegeben wird. +\eqref{equation:hankel} und \eqref{equation:inv_hankel} Integralen existieren für eine grosse Klasse von Funktionen, die normalerweise in physikalischen Anwendungen benötigt werden. +Alternativ kann auch die berühmte Hankel Transformationsformel verwendet werden, + +\begin{align} + f(r) = \int_{0}^{\infty}\kappa J_n(\kappa r) d\kappa \int_{0}^{\infty} p J_n(\kappa p)f(p) dp, + \label{equation:hankel_integral_formula} +\end{align} +um die Hankel Transformation \eqref{equation:hankel} und ihre Inverse \eqref{equation:inv_hankel} zu definieren. +Insbesondere die Hankel Transformation der nullten Ordnung ($n=0$) und der ersten Ordnung ($n=1$) sind häufig nützlich, um Lösungen für Probleme mit der Laplace Gleichung in einer achsensymmetrischen zylindrischen Geometrie zu finden. + +\subsection{Operative Eigenschaften der Hankel Transformation\label{sub:op_properties_hankel}} +In diesem Kapitel werden die operativen Eigenschaften der Hankel Transformation aufgeführt. Der Beweis für ihre Gültigkeit wird jedoch nicht analysiert. + +\subsubsection{Theorem 1: Skalierung \label{subsub:skalierung}} +Wenn $\mathscr{H}_n\{f(r)\}=\tilde{f}_n(\kappa)$, dann: + +\begin{equation*} + \mathscr{H}_n\{f(ar)\}=\frac{1}{a^{2}}\tilde{f}_n \left(\frac{\kappa}{a}\right), \quad a>0. +\end{equation*} + +\subsubsection{Theorem 2: Persevalsche Relation \label{subsub:perseval}} +Wenn $\tilde{f}(\kappa)=\mathscr{H}_n\{f(r)\}$ und $\tilde{g}(\kappa)=\mathscr{H}_n\{g(r)\}$, dann: + +\begin{equation*} + \int_{0}^{\infty}rf(r) dr = \int_{0}^{\infty}\kappa\tilde{f}(\kappa)\tilde{g}(\kappa) d\kappa. +\end{equation*} + +\subsubsection{Theorem 3: Hankel Transformationen von Ableitungen \label{subsub:ableitungen}} +Wenn $\tilde{f}_n(\kappa)=\mathscr{H}_n\{f(r)\}$, dann: + +\begin{align*} + &\mathscr{H}_n\{f'(r)\}=\frac{\kappa}{2n}\left[(n-1)\tilde{f}_{n+1}(\kappa)-(n+1)\tilde{f}_{n-1}(\kappa)\right], \quad n\geq1, \\ + &\mathscr{H}_1\{f'(r)\}=-\kappa \tilde{f}_0(\kappa), +\end{align*} +bereitgestellt dass $[rf(r)]$ verschwindet als $r\to0$ und $r\to\infty$. + +\subsubsection{Theorem 4 \label{subsub:thorem4}} +Wenn $\mathscr{H}_n\{f(r)\}=\tilde{f}_n(\kappa)$, dann: + +\begin{equation*} + \mathscr{H}_n \left\{ \left( \nabla^2 - \frac{n^2}{r^2} f(r)\right)\right\}= \mathscr{H}_n\left\{\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{df}{dr}\right) - \frac{n^2}{r^2}f(r)\right\}=-\kappa^2\tilde{f}_{n}(\kappa), +\end{equation*} +bereitgestellt dass $rf'(r)$ und $rf(r)$ verschwinden als $r\to0$ und $r\to\infty$. |