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author | LordMcFungus <mceagle117@gmail.com> | 2022-07-22 21:28:45 +0200 |
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committer | GitHub <noreply@github.com> | 2022-07-22 21:28:45 +0200 |
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-rw-r--r-- | buch/papers/laguerre/quadratur.tex | 188 |
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diff --git a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex index 8ab1af5..a494362 100644 --- a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex +++ b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex @@ -3,27 +3,185 @@ % % (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule % -\section{Gauss-Laguerre Quadratur -\label{laguerre:section:quadratur}} - +\section{Gauss-Quadratur + \label{laguerre:section:quadratur}} +Die Gauss-Quadratur ist ein numerisches Integrationsverfahren, +welches die Eigenschaften von orthogonalen Polynomen verwendet. +Herleitungen und Analysen der Gauss-Quadratur können im +Abschnitt~\ref{buch:orthogonal:section:gauss-quadratur} gefunden werden. +Als grundlegende Idee wird die Beobachtung, +dass viele Funktionen sich gut mit Polynomen approximieren lassen, +verwendet. +Stellt man also sicher, +dass ein Verfahren gut für Polynome funktioniert, +sollte es auch für andere Funktionen angemessene Resultate liefern. +Es wird ein Polynom verwendet, +welches an den Punkten $x_0 < x_1 < \ldots < x_n$ +die Funktionwerte~$f(x_i)$ annimmt. +Als Resultat kann das Integral via einer gewichteten Summe der Form \begin{align} - \int_a^b f(x) w(x) - \approx - \sum_{i=1}^N f(x_i) A_i - \label{laguerre:gaussquadratur} +\int_a^b f(x) w(x) \, dx +\approx +\sum_{i=1}^n f(x_i) A_i +\label{laguerre:gaussquadratur} \end{align} +berechnet werden. +Die Gauss-Quadratur ist exakt für Polynome mit Grad $2n -1$, +wenn ein Interpolationspolynom von Grad $n$ gewählt wurde. +\subsection{Gauss-Laguerre-Quadratur +\label{laguerre:subsection:gausslag-quadratur}} +Wir möchten nun die Gauss-Quadratur auf die Berechnung +von uneigentlichen Integralen erweitern, +spezifisch auf das Interval $(0, \infty)$. +Mit dem vorher beschriebenen Verfahren ist dies nicht direkt möglich. +Mit einer Transformation die das unendliche Intervall $(a, \infty)$ mit +\begin{align*} +x += +a + \frac{1 - t}{t} +\end{align*} +auf das Intervall $[0, 1]$ transformiert, +kann dies behoben werden. +Für unseren Fall gilt $a = 0$. +Das Integral eines Polynomes in diesem Intervall ist immer divergent. +Darum müssen wir das Polynom mit einer Funktion multiplizieren, +die schneller als jedes Polynom gegen $0$ geht, +damit das Integral immer noch konvergiert. +Die Laguerre-Polynome $L_n$ schaffen hier Abhilfe, +da ihre Gewichtsfunktion $w(x) = e^{-x}$ schneller +gegen $0$ konvergiert als jedes Polynom. +% In unserem Falle möchten wir die Gauss Quadratur auf die Laguerre-Polynome +% $L_n$ ausweiten. +% Diese sind orthogonal im Intervall $(0, \infty)$ bezüglich +% der Gewichtsfunktion $e^{-x}$. +Die Gleichung~\eqref{laguerre:gaussquadratur} lässt sich wie folgt +umformulieren: \begin{align} - \int_{0}^{\infty} f(x) e^{-x} dx - \approx - \sum_{i=1}^{N} f(x_i) A_i - \label{laguerre:laguerrequadratur} +\int_{0}^{\infty} f(x) e^{-x} dx +\approx +\sum_{i=1}^{n} f(x_i) A_i +\label{laguerre:laguerrequadratur} \end{align} +\subsubsection{Stützstellen und Gewichte} +Nach der Definition der Gauss-Quadratur müssen als Stützstellen die Nullstellen +des verwendeten Polynoms genommen werden. +Für das Laguerre-Polynom $L_n$ müssen demnach dessen Nullstellen $x_i$ und +als Gewichte $A_i$ die Integrale $l_i(x)e^{-x}$ verwendet werden. +Dabei sind +\begin{align*} +l_i(x_j) += +\delta_{ij} += +\begin{cases} +1 & i=j \\ +0 & \text{sonst} +\end{cases} +% . +\end{align*} +die Lagrangschen Interpolationspolynome. +Laut \cite{laguerre:hildebrand2013introduction} können die Gewichte mit +\begin{align*} +A_i + & = +-\frac{C_{n+1} \gamma_n}{C_n \phi'_n(x_i) \phi_{n+1} (x_i)} +\end{align*} +berechnet werden. +$C_i$ entspricht dabei dem Koeffizienten von $x^i$ +des orthogonalen Polynoms $\phi_n(x)$, $\forall i =0,\ldots,n$ und +\begin{align*} +\gamma_n += +\int_0^\infty w(x) \phi_n^2(x)\,dx +\end{align*} +dem Normalisierungsfaktor. +Wir setzen nun $\phi_n(x) = L_n(x)$ und +nutzen den Vorzeichenwechsel der Laguerre-Koeffizienten aus, +damit erhalten wir +\begin{align*} +A_i + & = +-\frac{C_{n+1} \gamma_n}{C_n L'_n(x_i) L_{n+1} (x_i)} +\\ + & = \frac{C_n}{C_{n-1}} \frac{\gamma_{n-1}}{L_{n-1}(x_i) L'_n(x_i)} +. +\end{align*} +Für Laguerre-Polynome gilt +\begin{align*} +\frac{C_n}{C_{n-1}} += +-\frac{1}{n} +\quad \text{und} \quad +\gamma_n += +1 +. +\end{align*} +Daraus folgt +\begin{align} +A_i +&= +- \frac{1}{n L_{n-1}(x_i) L'_n(x_i)} +. +\label{laguerre:gewichte_lag_temp} +\end{align} +Nun kann die Rekursionseigenschaft der Laguerre-Polynome +\begin{align*} +x L'_n(x) +&= +n L_n(x) - n L_{n-1}(x) +\\ +&= (x - n - 1) L_n(x) + (n + 1) L_{n+1}(x) +\end{align*} +umgeformt werden und da $x_i$ die Nullstellen von $L_n(x)$ sind, +vereinfacht sich der Term zu +\begin{align*} +x_i L'_n(x_i) +&= +- n L_{n-1}(x_i) +\\ +&= + (n + 1) L_{n+1}(x_i) +. +\end{align*} +Setzen wir das nun in \eqref{laguerre:gewichte_lag_temp} ein, +ergibt sich \begin{align} - A_i - = - \frac{x_i}{(n + 1)^2 \left[ L_{n + 1}(x_i)\right]^2} - \label{laguerre:quadratur_gewichte} +\nonumber +A_i +&= +\frac{1}{x_i \left[ L'_n(x_i) \right]^2} +\\ +&= +\frac{x_i}{(n+1)^2 \left[ L_{n+1}(x_i) \right]^2} +. +\label{laguerre:quadratur_gewichte} \end{align} +\subsubsection{Fehlerterm} +Die Gauss-Laguerre-Quadratur mit $n$ Stützstellen berechnet Integrale +von Polynomen bis zum Grad $2n - 1$ exakt. +Für beliebige Funktionen kann eine Fehlerabschätzung angegeben werden. +Der Fehlerterm $R_n$ folgt direkt aus der Approximation +\begin{align*} +\int_0^{\infty} f(x) e^{-x} \, dx += +\sum_{i=1}^n f(x_i) A_i + R_n +\end{align*} +und \cite{laguerre:abramowitz+stegun} gibt ihn als +\begin{align} +R_n + & = +\frac{f^{(2n)}(\xi)}{(2n)!} \int_0^\infty l(x)^2 e^{-x}\,dx +\\ + & = +\frac{(n!)^2}{(2n)!} f^{(2n)}(\xi) +,\quad +0 < \xi < \infty +\label{laguerre:lag_error} +\end{align} +an. +Der Fehler ist also abhängig von der $2n$-ten Ableitung +der zu integrierenden Funktion. |