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authorPatrik Müller <patrik.mueller@ost.ch>2022-07-19 16:31:48 +0200
committerPatrik Müller <patrik.mueller@ost.ch>2022-07-19 16:31:48 +0200
commit2625b1234dd68a9cc3ce50675ac0b1cb80eca275 (patch)
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-rw-r--r--buch/papers/laguerre/definition.tex14
-rw-r--r--buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex37
-rw-r--r--buch/papers/laguerre/gamma.tex55
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-rw-r--r--buch/papers/laguerre/quadratur.tex19
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diff --git a/buch/papers/laguerre/definition.tex b/buch/papers/laguerre/definition.tex
index 42cd6f6..4729a93 100644
--- a/buch/papers/laguerre/definition.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/definition.tex
@@ -15,16 +15,16 @@ x y''(x) + (\nu + 1 - x) y'(x) + n y(x)
n \in \mathbb{N}_0
, \quad
x \in \mathbb{R}
-.
\label{laguerre:dgl}
+.
\end{align}
Spannenderweise wurde die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung
zuerst von Yacovlevich Sonine (1849 - 1915) beschrieben,
-aber auf Grund ihrer Ähnlichkeit wurde sie nach Laguerre benannt.
+aber aufgrund ihrer Ähnlichkeit nach Laguerre benannt.
Die klassische Laguerre-Diffentialgleichung erhält man, wenn $\nu = 0$.
Hier wird die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung verwendet,
-weil die Lösung mit der selben Methode berechnet werden kann,
-aber man zusätzlich die Lösung für den allgmeinen Fall erhält.
+weil die Lösung mit derselben Methode berechnet werden kann.
+Zusätzlich erhält man aber die Lösung für den allgmeinen Fall.
Zur Lösung von \eqref{laguerre:dgl} verwenden wir einen
Potenzreihenansatz.
Da wir bereits wissen, dass die Lösung orthogonale Polynome sind,
@@ -47,7 +47,7 @@ y''(x)
=
\sum_{k=1}^\infty (k+1) k a_{k+1} x^{k-1}
\end{align*}
-in die Differentialgleichung ein, erhält man:
+in die Differentialgleichung ein, erhält man
\begin{align*}
\sum_{k=1}^\infty (k+1) k a_{k+1} x^k
+
@@ -138,8 +138,10 @@ Differentialgleichung mit der Form
\Xi_n(x)
=
L_n(x) \ln(x) + \sum_{k=1}^\infty d_k x^k
+.
\end{align*}
-Nach einigen mühsamen Rechnungen,
+Nach einigen aufwändigen Rechnungen,
+% die am besten ein Computeralgebrasystem übernimmt,
die den Rahmen dieses Kapitel sprengen würden,
erhalten wir
\begin{align*}
diff --git a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
index 9b901ae..4adbe86 100644
--- a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
@@ -3,24 +3,11 @@
%
% (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule
%
-% \section{Eigenschaften
-% \label{laguerre:section:eigenschaften}}
-% {
-% \large \color{red}
-% TODO:
-% Evtl. nur Orthogonalität hier behandeln, da nur diese für die Gauss-Quadratur
-% benötigt wird.
-% }
-
-% Die Laguerre-Polynome besitzen einige interessante Eigenschaften
-% \rhead{Eigenschaften}
-
-% \subsection{Orthogonalität
-% \label{laguerre:subsection:orthogonal}}
\section{Orthogonalität
\label{laguerre:section:orthogonal}}
-Im Abschnitt~\ref{laguerre:section:definition} haben wir behauptet,
-dass die Laguerre-Polynome orthogonale Polynome sind.
+Im Abschnitt~\ref{laguerre:section:definition}
+haben wir die Behauptung aufgestellt,
+dass die Laguerre-Polynome orthogonal sind.
Zu dieser Behauptung möchten wir nun einen Beweis liefern.
Wenn wir \eqref{laguerre:dgl} in ein
Sturm-Liouville-Problem umwandeln können, haben wir bewiesen, dass es sich
@@ -40,7 +27,7 @@ und den Laguerre-Operator
x \frac{d}{dx^2} + (\nu + 1 -x) \frac{d}{dx}
\end{align}
erhalten werden,
-in dem wir diese Operatoren einander gleichsetzen.
+indem wir diese Operatoren einander gleichsetzen.
Aus der Beziehung
\begin{align}
S
@@ -58,7 +45,7 @@ Ausserdem ist ersichtlich, dass $p(x)$ die Differentialgleichung
\begin{align*}
x \frac{dp}{dx}
=
--(\nu + 1 - x) p,
+-(\nu + 1 - x) p
\end{align*}
erfüllen muss.
Durch Separation erhalten wir dann
@@ -76,6 +63,7 @@ Durch Separation erhalten wir dann
p(x)
& =
-C x^{\nu + 1} e^{-x}
+.
\end{align*}
Eingefügt in Gleichung~\eqref{laguerre:sl-lag} ergibt sich
\begin{align*}
@@ -117,14 +105,9 @@ Für den rechten Rand ist die Bedingung (Gleichung~\eqref{laguerre:sllag_randb})
0
\end{align*}
für beliebige Polynomlösungen erfüllt für $k_\infty=0$ und $h_\infty=1$.
-Damit können wir schlussfolgern, dass die verallgemeinerten Laguerre-Polynome
-orthogonal bezüglich des Skalarproduktes auf dem Intervall $(0, \infty)$
-mit der verallgemeinerten Laguerre\--Gewichtsfunktion $w(x)=x^\nu e^{-x}$ sind.
+Damit können wir schlussfolgern:
+Die verallgemeinerten Laguerre-Polynome sind orthogonal
+bezüglich des Skalarproduktes auf dem Intervall $(0, \infty)$
+mit der verallgemeinerten Laguerre\--Gewichtsfunktion $w(x)=x^\nu e^{-x}$.
Die Laguerre-Polynome ($\nu=0$) sind somit orthognal im Intervall $(0, \infty)$
mit der Gewichtsfunktion $w(x)=e^{-x}$.
-
-% \subsection{Rodrigues-Formel}
-
-% \subsection{Drei-Terme Rekursion}
-
-% \subsection{Beziehung mit der Hypergeometrischen Funktion}
diff --git a/buch/papers/laguerre/gamma.tex b/buch/papers/laguerre/gamma.tex
index b76daeb..2e5fc06 100644
--- a/buch/papers/laguerre/gamma.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/gamma.tex
@@ -8,8 +8,8 @@
Die Gauss-Laguerre-Quadratur kann nun verwendet werden,
um exponentiell abfallende Funktionen im Definitionsbereich $(0, \infty)$ zu
berechnen.
-Dabei bietet sich z.B. die Gamma-Funkion bestens an, wie wir in den folgenden
-Abschnitten sehen werden.
+Dabei bietet sich z.B. die Gamma-Funkion hervorragend an,
+wie wir in den folgenden Abschnitten sehen werden.
\subsection{Gamma-Funktion}
Die Gamma-Funktion ist eine Erweiterung der Fakultät auf die reale und komplexe
@@ -26,10 +26,12 @@ Integral der Form
\label{laguerre:gamma}
.
\end{align}
-Der Term $e^{-t}$ ist genau die Gewichtsfunktion der Laguerre-Integration und
-der Definitionsbereich passt ebenfalls genau für dieses Verfahren.
-Zu erwähnen ist auch, dass für die verallgemeinerte Laguerre-Integration die
-Gewichtsfunktion $t^\nu e^{-t}$ genau dem Integranden für $\nu=z-1$ entspricht.
+Der Term $e^{-t}$ im Integranden und der Integrationsbereich erfüllen
+genau die Bedingungen der Laguerre-Integration.
+% Der Term $e^{-t}$ ist genau die Gewichtsfunktion der Laguerre-Integration und
+% der Definitionsbereich passt ebenfalls genau für dieses Verfahren.
+Weiter zu erwähnen ist, dass für die verallgemeinerte Laguerre-Integration die
+Gewichtsfunktion $t^\nu e^{-t}$ exakt dem Integranden für $\nu=z-1$ entspricht.
\subsubsection{Funktionalgleichung}
Die Gamma-Funktion besitzt die gleiche Rekursionsbeziehung wie die Fakultät,
@@ -62,7 +64,8 @@ leicht in die linke Halbebene übersetzen und umgekehrt.
\subsection{Berechnung mittels Gauss-Laguerre-Quadratur}
In den vorherigen Abschnitten haben wir gesehen,
dass sich die Gamma-Funktion bestens für die Gauss-Laguerre-Quadratur eignet.
-Nun bieten sich uns zwei Optionen diese zu berechnen:
+Nun bieten sich uns zwei Optionen,
+diese zu berechnen:
\begin{enumerate}
\item Wir verwenden die verallgemeinerten Laguerre-Polynome, dann $f(x)=1$.
\item Wir verwenden die Laguerre-Polynome, dann $f(x)=x^{z-1}$.
@@ -92,7 +95,8 @@ und Nullstellen für unterschiedliche $z$.
In \eqref{laguerre:quadratur_gewichte} ist ersichtlich,
dass die Gewichte einfach zu berechnen sind.
Auch die Nullstellen können vorgängig,
-mittels eines geeigneten Verfahrens aus den Polynomen bestimmt werden.
+mittels eines geeigneten Verfahrens,
+aus den Polynomen bestimmt werden.
Als problematisch könnte sich höchstens
die zu integrierende Funktion $f(x)=x^{z-1}$ für $|z| \gg 0$ erweisen.
Somit entscheiden wir uns aufgrund der vorherigen Punkte,
@@ -101,7 +105,8 @@ die zweite Variante weiterzuverfolgen.
\subsubsection{Direkter Ansatz}
Wenden wir also die Gauss-Laguerre-Quadratur aus
\eqref{laguerre:laguerrequadratur} auf die Gamma-Funktion
-\eqref{laguerre:gamma} an ergibt sich
+\eqref{laguerre:gamma} an,
+ergibt sich
\begin{align}
\Gamma(z)
\approx
@@ -157,11 +162,12 @@ und als Stützstellen die Nullstellen des Laguerre-Polynomes $L_n$.
Evaluieren wir den relativen Fehler unserer Approximation zeigt sich ein
Bild wie in Abbildung~\ref{laguerre:fig:rel_error_simple}.
Man kann sehen,
-wie der relative Fehler Nullstellen aufweist für ganzzahlige $z \leq 2n$,
-was laut der Theorie der Gauss-Quadratur auch zu erwarten ist,
-denn die Approximation via Gauss-Quadratur
-ist exakt für zu integrierende Polynome mit Grad $\leq 2n-1$
-und von $z$ auch noch $1$ abgezogen wird im Exponenten.
+wie der relative Fehler Nullstellen aufweist für ganzzahlige $z \leq 2n$.
+Laut der Theorie der Gauss-Quadratur auch ist das zu erwarten,
+da die Approximation via Gauss-Quadratur
+exakt ist für zu integrierende Polynome mit Grad $\leq 2n-1$
+und hinzukommt,
+dass zudem von $z$ noch $1$ abgezogen wird im Exponenten.
Es ist ersichtlich,
dass sich für den Polynomgrad $n$ ein Interval gibt,
in dem der relative Fehler minimal ist.
@@ -347,7 +353,8 @@ m^*
\end{align*}
Allerdings ist die Funktion $R_{n,m}(\xi)$ unbeschränkt und
hat die gleichen Probleme wie die Fehlerabschätzung des direkten Ansatzes.
-Dazu müssten wir $\xi$ versuchen unter Kontrolle zu bringen,
+Dazu müssten wir $\xi$ versuchen,
+unter Kontrolle zu bringen,
was ein äussersts schwieriges Unterfangen zu sein scheint.
Da die Gauss-Quadratur aber sowieso
nur wirklich praktisch sinnvoll für kleine $n$ ist,
@@ -367,8 +374,8 @@ aus dieser Grafik nicht offensichtlich,
aber sie scheint regelmässig zu sein.
Es lässt die Vermutung aufkommen,
dass die Restriktion von $m^* \in \mathbb{Z}$ Rundungsprobleme verursacht.
-Wir versuchen dieses Problem via lineare Regression und
-geeignete Rundung zu beheben.
+Wir versuchen,
+dieses Problem via lineare Regression und geeignete Rundung zu beheben.
Den linearen Regressor
\begin{align*}
\hat{m}
@@ -391,7 +398,7 @@ In Abbildung~\ref{laguerre:fig:schaetzung} sind die Resultate
der linearen Regression aufgezeigt mit $\alpha = 1.34094$ und $\beta =
0.854093$.
Die lineare Beziehung ist ganz klar ersichtlich und der Fit scheint zu genügen.
-Der optimalen Verschiebungsterm kann nun mit
+Der optimale Verschiebungsterm kann nun mit
\begin{align*}
m^*
\approx
@@ -423,7 +430,7 @@ dann beim Übergang auf die orange Linie wechselt.
\caption{Relativer Fehler des Ansatzes mit Verschiebungsterm
für verschiedene reele Werte von $z$ und Verschiebungsterme $m$.
Das verwendete Laguerre-Polynom besitzt den Grad $n = 8$.
-$m^*$ bezeichnet hier den optimalen Verschiebungsterm}
+$m^*$ bezeichnet hier den optimalen Verschiebungsterm.}
\label{laguerre:fig:rel_error_shifted}
\end{figure}
@@ -433,8 +440,8 @@ Es stellt sich nun die Frage,
wie der relative Fehler sich für verschiedene $z$ und $n$ verhält.
In Abbildung~\ref{laguerre:fig:rel_error_range} sind die relativen Fehler für
unterschiedliche $n$ dargestellt.
-Der relative Fehler scheint immer noch Nullstellen aufzuweisen,
-bei für ganzzahlige $z$.
+Der relative Fehler scheint immer noch Nullstellen aufzuweisen
+für ganzzahlige $z$.
Durch das Verschieben ergibt sich jetzt aber,
wie zu erwarten war,
ein periodischer relativer Fehler mit einer Periodendauer von $1$.
@@ -511,7 +518,7 @@ Diese Methode wurde zum Beispiel in
Diese Methode erreicht für $n = 7$ typischerweise Genauigkeit von $13$
korrekten, signifikanten Stellen für reele Argumente.
Zum Vergleich: die vorgestellte Methode erreicht für $n = 7$
-eine minimale Genauigkeit von $6$-$7$ korrekten, signifikanten Stellen
+eine minimale Genauigkeit von $6$ korrekten, signifikanten Stellen
für reele Argumente.
Das Resultat ist etwas enttäuschend,
aber nicht unerwartet,
@@ -519,7 +526,7 @@ da die Lanczos-Methode spezifisch auf dieses Problem zugeschnitten ist und
unsere Methode eine erweiterte allgemeine Methode ist.
Was die Komplexität der Berechnungen im Betrieb angeht,
ist die Gauss-Laguerre-Quadratur wesentlich ressourcensparender,
-weil sie nur aus $n$ Funktionasevaluationen,
+weil sie nur aus $n$ Funktionsevaluationen,
wenigen Multiplikationen und Additionen besteht.
-Also könnte diese Methode z.B. Anwendung in Systemen mit wenig Rechenleistung
+Demzufolge könnte diese Methode Anwendung in Systemen mit wenig Rechenleistung
und/oder knappen Energieressourcen finden. \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/laguerre/main.tex b/buch/papers/laguerre/main.tex
index d69fbed..57a6560 100644
--- a/buch/papers/laguerre/main.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/main.tex
@@ -11,15 +11,19 @@
{\parindent0pt Die} Laguerre\--Polynome,
benannt nach Edmond Laguerre (1834 - 1886),
sind Lösungen der ebenfalls nach Laguerre benannten Differentialgleichung.
-Laguerre entdeckte diese Polynome als er Approximationsmethoden
-für das Integral $\int_0^\infty \exp(-x) / x \, dx$ suchte.
+Laguerre entdeckte diese Polynome, als er Approximations\-methoden
+für das Integral
+% $\int_0^\infty \exp(-x) / x \, dx $
+\begin{align*}
+\int_0^\infty \frac{e^{-x}}{x} \, dx
+\end{align*}
+suchte.
Darum möchten wir uns in diesem Kapitel,
ganz im Sinne des Entdeckers,
den Laguerre-Polynomen für Approximationen von Integralen mit
exponentiell-abfallenden Funktionen widmen.
-Namentlich werden wir versuchen,
-eine geeignete Approximation für die Gamma-Funktion zu finden
-mittels Laguerre-Polynomen und der Gauss-Quadratur.
+Namentlich werden wir versuchen, mittels Laguerre-Polynomen und
+der Gauss-Quadratur eine geeignete Approximation für die Gamma-Funktion zu finden.
Laguerre-Polynome tauchen zudem auch in der Quantenmechanik im radialen Anteil
der Lösung für die Schrödinger-Gleichung eines Wasserstoffatoms auf.
diff --git a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
index 27519d8..a494362 100644
--- a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
@@ -6,19 +6,19 @@
\section{Gauss-Quadratur
\label{laguerre:section:quadratur}}
Die Gauss-Quadratur ist ein numerisches Integrationsverfahren,
-welches die Eigenschaften von orthogonalen Polynomen ausnützt.
+welches die Eigenschaften von orthogonalen Polynomen verwendet.
Herleitungen und Analysen der Gauss-Quadratur können im
Abschnitt~\ref{buch:orthogonal:section:gauss-quadratur} gefunden werden.
Als grundlegende Idee wird die Beobachtung,
dass viele Funktionen sich gut mit Polynomen approximieren lassen,
verwendet.
Stellt man also sicher,
-dass ein Verfahren gut für Polynome gut funktioniert,
-sollte es auch für andere Funktionen nicht schlecht funktionieren.
+dass ein Verfahren gut für Polynome funktioniert,
+sollte es auch für andere Funktionen angemessene Resultate liefern.
Es wird ein Polynom verwendet,
welches an den Punkten $x_0 < x_1 < \ldots < x_n$
die Funktionwerte~$f(x_i)$ annimmt.
-Als Resultat kann das Integral via eine gewichtete Summe der Form
+Als Resultat kann das Integral via einer gewichteten Summe der Form
\begin{align}
\int_a^b f(x) w(x) \, dx
\approx
@@ -44,11 +44,11 @@ a + \frac{1 - t}{t}
auf das Intervall $[0, 1]$ transformiert,
kann dies behoben werden.
Für unseren Fall gilt $a = 0$.
-Das Integral eines Polynomes in diesem Intervall ist immer divergent,
-darum müssen wir das Polynome mit einer Funktion multiplizieren,
+Das Integral eines Polynomes in diesem Intervall ist immer divergent.
+Darum müssen wir das Polynom mit einer Funktion multiplizieren,
die schneller als jedes Polynom gegen $0$ geht,
damit das Integral immer noch konvergiert.
-Die Laguerre-Polynome $L_n$ bieten hier Abhilfe,
+Die Laguerre-Polynome $L_n$ schaffen hier Abhilfe,
da ihre Gewichtsfunktion $w(x) = e^{-x}$ schneller
gegen $0$ konvergiert als jedes Polynom.
% In unserem Falle möchten wir die Gauss Quadratur auf die Laguerre-Polynome
@@ -67,7 +67,7 @@ umformulieren:
\subsubsection{Stützstellen und Gewichte}
Nach der Definition der Gauss-Quadratur müssen als Stützstellen die Nullstellen
des verwendeten Polynoms genommen werden.
-Das heisst für das Laguerre-Polynom $L_n$ müssen dessen Nullstellen $x_i$ und
+Für das Laguerre-Polynom $L_n$ müssen demnach dessen Nullstellen $x_i$ und
als Gewichte $A_i$ die Integrale $l_i(x)e^{-x}$ verwendet werden.
Dabei sind
\begin{align*}
@@ -146,7 +146,8 @@ x_i L'_n(x_i)
(n + 1) L_{n+1}(x_i)
.
\end{align*}
-Setzen wir das nun in \eqref{laguerre:gewichte_lag_temp} ein ergibt sich
+Setzen wir das nun in \eqref{laguerre:gewichte_lag_temp} ein,
+ergibt sich
\begin{align}
\nonumber
A_i