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diff --git a/buch/papers/lambertw/teil1.tex b/buch/papers/lambertw/teil1.tex
index a330838..2733759 100644
--- a/buch/papers/lambertw/teil1.tex
+++ b/buch/papers/lambertw/teil1.tex
@@ -6,7 +6,7 @@
 \section{Wird das Ziel erreicht?
 \label{lambertw:section:Wird_das_Ziel_erreicht}}
 \rhead{Wird das Ziel erreicht?}
-
+%
 Sehr oft kommt es vor, dass bei Verfolgungsproblemen die Frage auftaucht, ob das Ziel überhaupt erreicht wird.
 Wenn zum Beispiel die Geschwindigkeit des Verfolgers kleiner ist als diejenige des Ziels, gibt es Anfangsbedingungen bei denen das Ziel nie erreicht wird.
 Im Anschluss dieser Frage stellt sich meist die nächste Frage, wie lange es dauert bis das Ziel erreicht wird.
@@ -16,7 +16,7 @@ Das Beispiel wird bei dieser Betrachtung noch etwas erweitert indem alle Punkte
 Nun gilt es zu definieren, wann das Ziel erreicht wird.
 Da sowohl Ziel und Verfolger als Punkte modelliert wurden, gilt das Ziel als erreicht, wenn die Koordinaten des Verfolgers mit denen des Ziels bei einem diskreten Zeitpunkt $t_1$ übereinstimmen.
 Somit gilt es
-
+%
 \begin{equation*}
     z(t_1)=v(t_1)
 \end{equation*}
@@ -30,15 +30,14 @@ Die Parametrisierung von $z(t)$ ist im Beispiel definiert als
 \end{equation}
 %
 Die Parametrisierung von $v(t)$ ist von den Startbedingungen abhängig. Deshalb wird die obige Bedingung jeweils für die unterschiedlichen Startbedingungen separat analysiert.
-
+%
 \subsection{Anfangsbedingung im \RN{1}-Quadranten}
 %
-$ x_0$ $\boldsymbol{x}$ dd
 Wenn der Verfolger im \RN{1}-Quadranten startet, dann kann $v(t)$ mit den Gleichungen aus \eqref{lambertw:eqFunkXNachT}, welche
 \begin{align*}
     x\left(t\right)
     &=
-    x_0\cdot\sqrt{\frac{1}{\chi}W\left(\chi\cdot \exp(\chi-\frac{4t}{r_0-y_0})\right)} \\
+    x_0\cdot\sqrt{\frac{1}{\chi}W\left(\chi\cdot \exp\left( \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right) \right)} \\
     y(t)
     &=
     \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2+\left(r_0-y_0\right)\operatorname{ln}\left(\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2\right)-r_0+3y_0\right)\\
@@ -63,13 +62,13 @@ Der Folger ist durch
 %
 parametrisiert, wobei $y(t)$ viel komplexer ist als $x(t)$.
 Daher wird das Problem in zwei einzelne Teilprobleme zerlegt, wodurch die Bedingung der $x$- und $y$-Koordinaten einzeln überprüft werden müssen. Es entstehen daher folgende Bedingungen
-
+%
 \begin{align*}
     0
     &=
     x(t)
     =
-    x_0\sqrt{\frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}}
+    x_0\sqrt{\frac{1}{\chi}W\left(\chi\cdot \exp\left( \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right)\right)}
     \\
     t
     &=
@@ -80,39 +79,66 @@ Daher wird das Problem in zwei einzelne Teilprobleme zerlegt, wodurch die Beding
 %
 welche Beide gleichzeitig erfüllt sein müssen, damit das Ziel erreicht wurde.
 Zuerst wird die Bedingung der $x$-Koordinate betrachtet.
-Diese kann durch dividieren durch $x_0$, anschliessendes quadrieren und multiplizieren von $\chi$ vereinfacht werden. Daraus folgt 
+Da $x_0 \neq 0$ und $\chi \neq 0$ mit
 \begin{equation}
-	0
-	=
-	W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)
-	\text{.}
+    0
+    =
+    x_0\sqrt{\frac{1}{\chi}W\left(\chi\cdot \exp\left( \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right)\right)}
 \end{equation}
-%
-Es ist zu beachten, dass $W(x)$ die Lambert W-Funktion ist, welche im Kapitel  \eqref{buch:section:lambertw} behandelt wurde.
-Diese Gleichung entspricht genau den Nullstellen der Lambert W-Funktion. Da die Lambert W-Funktion genau eine Nullstelle bei
-
-\begin{equation*}
-    W(0)=0
-\end{equation*}
-%
-besitzt, kann die Bedingung weiter vereinfacht werden zu
-
+ist diese Bedingung genau dann erfüllt, wenn
 \begin{equation}
     0
     =
-    \chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}
+    W\left(\chi\cdot \exp\left( \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right)\right)
     \text{.}
 \end{equation}
 %
+Es ist zu beachten, dass $W(x)$ die Lambert W-Funktion ist, welche im Kapitel  \eqref{buch:section:lambertw} behandelt wurde.
+Diese Gleichung entspricht genau den Nullstellen der Lambert W-Funktion. Da die Lambert W-Funktion genau eine Nullstelle bei
+\begin{equation}
+    W(0)=0
+\end{equation}
+%
 Da $\chi\neq0$ und die Exponentialfunktion nie null sein kann, ist diese Bedingung unmöglich zu erfüllen.
 Beim Grenzwert für $t\rightarrow\infty$ geht die Exponentialfunktion gegen null.
 Dies nützt nicht viel, da unendlich viel Zeit vergehen müsste damit ein Einholen möglich wäre.
-Somit kann nach den Gestellten Bedingungen das Ziel nie erreicht werden.
-
+Somit kann nach den gestellten Bedingungen das Ziel nie erreicht werden.
+%
+%
+%
+%Diese kann durch dividieren durch $x_0$, anschliessendes quadrieren und multiplizieren von $\chi$ vereinfacht werden. Daraus folgt 
+%\begin{equation}
+%	0
+%	=
+%	W\left(\chi\cdot \exp\left( \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right)\right)
+%	\text{.}
+%5\end{equation}
+%
+%Es ist zu beachten, dass $W(x)$ die Lambert W-Funktion ist, welche im Kapitel  \eqref{buch:section:lambertw} behandelt wurde.
+%Diese Gleichung entspricht genau den Nullstellen der Lambert W-Funktion. Da die Lambert W-Funktion genau eine Nullstelle bei
+%
+%\begin{equation*}
+%    W(0)=0
+%\end{equation*}
+%
+%besitzt, kann die Bedingung weiter vereinfacht werden zu
+%
+%\begin{equation}
+%    0
+%    =
+%    \chi\cdot \exp\left( \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right)
+%    \text{.}
+%\end{equation}
+%
+%Da $\chi\neq0$ und die Exponentialfunktion nie null sein kann, ist diese Bedingung unmöglich zu erfüllen.
+%Beim Grenzwert für $t\rightarrow\infty$ geht die Exponentialfunktion gegen null.
+%Dies nützt nicht viel, da unendlich viel Zeit vergehen müsste damit ein Einholen möglich wäre.
+%Somit kann nach den gestellten Bedingungen das Ziel nie erreicht werden.
+%
 \subsection{Anfangsbedingung $y_0<0$}
 Da die Geschwindigkeit des Verfolgers und des Ziels übereinstimmen, kann der Verfolgers niemals das Ziel einholen.
 Dies kann veranschaulicht werden anhand
-
+%
 \begin{equation}
     v(t)\cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right) 
     \leq
@@ -122,13 +148,13 @@ Dies kann veranschaulicht werden anhand
 \end{equation}
 %
 Da der $y$-Anteil der Geschwindigkeit des Ziels grösser-gleich der des Verfolgers ist, können die $y$-Koordinaten nie übereinstimmen.
-
+%
 \subsection{Anfangsbedingung auf positiven $y$-Achse}
 Wenn der Verfolger auf der positiven $y$-Achse startet, befindet er sich direkt auf der Fluchtgeraden des Ziels.
 Dies führt dazu, dass der Verfolger und das Ziel sich direkt aufeinander zu bewegen, da der Geschwindigkeitsvektor des Verfolgers auf das Ziel zeigt.
 Die Folge ist, dass das Ziel zwingend erreicht wird.
 Um $t_1$ zu bestimmen, kann die Verfolgungskurve in diesem Fall mit
-
+%
 \begin{equation}
     v(t)
     =
@@ -138,17 +164,17 @@ Um $t_1$ zu bestimmen, kann die Verfolgungskurve in diesem Fall mit
 parametrisiert werden.
 Nun kann der Abstand zwischen Verfolger und Ziel leicht bestimmt und nach 0 aufgelöst werden.
 Woraus folgt
-
+%
 \begin{equation}
     0
     =
     |v(t_1)-z(t_1)|
     =
-    y_0-2t_1
+    y_0-2t_1\text{,}
 \end{equation}
 %
-, was aufgelöst zu
-
+was aufgelöst zu
+%
 \begin{equation}
     t_1
     =
@@ -165,14 +191,14 @@ Wobei aber in Realität nicht von Punkten sondern von Objekten mit einer räumli
 Somit wird in einer nächsten Betrachtung untersucht, ob der Verfolger dem Ziel näher kommt als ein definierter Trefferradius.
 Falls dies stattfinden sollte, wird dies als Treffer interpretiert.
 Mathematisch kann dies mit
-
+%
 \begin{equation}
     |v-z|<a_{min} \text{,}\quad a_{min}\in\mathbb{R}^+
 \end{equation}
 %
 beschrieben werden, wobei $a_{min}$ dem Trefferradius entspricht.
 Durch quadrieren verschwindet die Wurzel des Betrages, womit
-
+%
 \begin{equation}
     |v-z|^2<a_{min}^2 \text{,}\quad a_{min}\in \mathbb{R}^+
 \end{equation}