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author | Nicolas Tobler <nicolas.tobler@ost.ch> | 2022-08-03 20:37:12 +0200 |
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Deshalb wird die obige Bedingung jeweils für die unterschiedlichen Startbedingungen separat analysiert. +% +\subsection{Anfangsbedingung im \RN{1}-Quadranten} +% +Wenn der Verfolger im \RN{1}-Quadranten startet, dann kann $v(t)$ mit den Gleichungen aus \eqref{lambertw:eqFunkXNachT}, welche +\begin{align*} + x\left(t\right) + &= + x_0\cdot\sqrt{\frac{1}{\chi}W\left(\chi\cdot \exp\left( \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right) \right)} \\ + y(t) + &= + \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2+\left(r_0-y_0\right)\operatorname{ln}\left(\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2\right)-r_0+3y_0\right)\\ + \chi + &= + \frac{r_0+y_0}{r_0-y_0}, \quad + \eta + = + \left(\frac{x}{x_0}\right)^2,\quad + r_0 + = + \sqrt{x_0^2+y_0^2} +\end{align*} +% +Der Folger ist durch +\begin{equation} + v(t) + = + \left( \begin{array}{c} x(t) \\ y(t) \end{array} \right) + \text{.} +\end{equation} +% +parametrisiert, wobei $y(t)$ viel komplexer ist als $x(t)$. +Daher wird das Problem in zwei einzelne Teilprobleme zerlegt, wodurch die Bedingung der $x$- und $y$-Koordinaten einzeln überprüft werden müssen. Es entstehen daher folgende Bedingungen +% +\begin{align*} + 0 + &= + x(t) + = + x_0\sqrt{\frac{1}{\chi}W\left(\chi\cdot \exp\left( \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right)\right)} + \\ + t + &= + y(t) + = + \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2+\left(r_0-y_0\right)\operatorname{ln}\left(\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2\right)-r_0+3y_0\right)\text{,} +\end{align*} +% +welche Beide gleichzeitig erfüllt sein müssen, damit das Ziel erreicht wurde. +Zuerst wird die Bedingung der $x$-Koordinate betrachtet. +Da $x_0 \neq 0$ und $\chi \neq 0$ mit +\begin{equation} + 0 + = + x_0\sqrt{\frac{1}{\chi}W\left(\chi\cdot \exp\left( \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right)\right)} +\end{equation} +ist diese Bedingung genau dann erfüllt, wenn +\begin{equation} + 0 + = + W\left(\chi\cdot \exp\left( \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right)\right) + \text{.} +\end{equation} +% +Es ist zu beachten, dass $W(x)$ die Lambert W-Funktion ist, welche im Kapitel \eqref{buch:section:lambertw} behandelt wurde. +Diese Gleichung entspricht genau den Nullstellen der Lambert W-Funktion. Da die Lambert W-Funktion genau eine Nullstelle bei +\begin{equation} + W(0)=0 +\end{equation} +% +Da $\chi\neq0$ und die Exponentialfunktion nie null sein kann, ist diese Bedingung unmöglich zu erfüllen. +Beim Grenzwert für $t\rightarrow\infty$ geht die Exponentialfunktion gegen null. +Dies nützt nicht viel, da unendlich viel Zeit vergehen müsste damit ein Einholen möglich wäre. +Somit kann nach den gestellten Bedingungen das Ziel nie erreicht werden. +% +% +% +%Diese kann durch dividieren durch $x_0$, anschliessendes quadrieren und multiplizieren von $\chi$ vereinfacht werden. Daraus folgt +%\begin{equation} +% 0 +% = +% W\left(\chi\cdot \exp\left( \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right)\right) +% \text{.} +%5\end{equation} +% +%Es ist zu beachten, dass $W(x)$ die Lambert W-Funktion ist, welche im Kapitel \eqref{buch:section:lambertw} behandelt wurde. +%Diese Gleichung entspricht genau den Nullstellen der Lambert W-Funktion. Da die Lambert W-Funktion genau eine Nullstelle bei +% +%\begin{equation*} +% W(0)=0 +%\end{equation*} +% +%besitzt, kann die Bedingung weiter vereinfacht werden zu +% +%\begin{equation} +% 0 +% = +% \chi\cdot \exp\left( \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right) +% \text{.} +%\end{equation} +% +%Da $\chi\neq0$ und die Exponentialfunktion nie null sein kann, ist diese Bedingung unmöglich zu erfüllen. +%Beim Grenzwert für $t\rightarrow\infty$ geht die Exponentialfunktion gegen null. +%Dies nützt nicht viel, da unendlich viel Zeit vergehen müsste damit ein Einholen möglich wäre. +%Somit kann nach den gestellten Bedingungen das Ziel nie erreicht werden. +% +\subsection{Anfangsbedingung $y_0<0$} +Da die Geschwindigkeit des Verfolgers und des Ziels übereinstimmen, kann der Verfolgers niemals das Ziel einholen. +Dies kann veranschaulicht werden anhand +% +\begin{equation} + v(t)\cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right) + \leq + z(t)\cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right) + = + 1\text{.} +\end{equation} +% +Da der $y$-Anteil der Geschwindigkeit des Ziels grösser-gleich der des Verfolgers ist, können die $y$-Koordinaten nie übereinstimmen. +% +\subsection{Anfangsbedingung auf positiven $y$-Achse} +Wenn der Verfolger auf der positiven $y$-Achse startet, befindet er sich direkt auf der Fluchtgeraden des Ziels. +Dies führt dazu, dass der Verfolger und das Ziel sich direkt aufeinander zu bewegen, da der Geschwindigkeitsvektor des Verfolgers auf das Ziel zeigt. +Die Folge ist, dass das Ziel zwingend erreicht wird. +Um $t_1$ zu bestimmen, kann die Verfolgungskurve in diesem Fall mit +% +\begin{equation} + v(t) + = + \left( \begin{array}{c} 0 \\ y_0-t \end{array} \right) +\end{equation} +% +parametrisiert werden. +Nun kann der Abstand zwischen Verfolger und Ziel leicht bestimmt und nach 0 aufgelöst werden. +Woraus folgt +% +\begin{equation} + 0 + = + |v(t_1)-z(t_1)| + = + y_0-2t_1\text{,} +\end{equation} +% +was aufgelöst zu +% +\begin{equation} + t_1 + = + \frac{y_0}{2} +\end{equation} +% +führt. +Somit wird das Ziel immer erreicht bei $t_1$, wenn der Verfolger auf der positiven $y$-Achse startet. +\subsection{Fazit} +Durch die Symmetrie der Fluchtkurve an der $y$-Achse führen die Anfangsbedingungen in den Quadranten \RN{1} und \RN{2} zu den gleichen Ergebnissen. Nun ist klar, dass lediglich Anfangspunkte auf der positiven $y$-Achse oder direkt auf dem Ziel dazu führen, dass der Verfolger das Ziel bei $t_1$ einholt. +Bei allen anderen Anfangspunkten wird der Verfolger das Ziel nie erreichen. +Dieses Resultat ist aber eher akademischer Natur, weil der Verfolger und das Ziel als Punkt betrachtet wurden. +Wobei aber in Realität nicht von Punkten sondern von Objekten mit einer räumlichen Ausdehnung gesprochen werden kann. +Somit wird in einer nächsten Betrachtung untersucht, ob der Verfolger dem Ziel näher kommt als ein definierter Trefferradius. +Falls dies stattfinden sollte, wird dies als Treffer interpretiert. +Mathematisch kann dies mit +% +\begin{equation} + |v-z|<a_{min} \text{,}\quad a_{min}\in\mathbb{R}^+ +\end{equation} +% +beschrieben werden, wobei $a_{min}$ dem Trefferradius entspricht. +Durch quadrieren verschwindet die Wurzel des Betrages, womit +% +\begin{equation} + |v-z|^2<a_{min}^2 \text{,}\quad a_{min}\in \mathbb{R}^+ +\end{equation} +% +die neue Bedingung ist. +Da sowohl der Betrag als auch $a_{min}$ grösser null sind, bleibt die Aussage unverändert. -Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis -suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? -Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit -esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum -fugiat quo voluptas nulla pariatur? -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{lambertw:subsection:finibus}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}. -Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio -\ref{lambertw:section:loesung}. -Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil -impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis -voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus -\ref{lambertw:section:folgerung}. -Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum -necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et -molestiae non recusandae. -Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis -voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus -asperiores repellat. |