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diff --git a/buch/papers/nav/Makefile.inc b/buch/papers/nav/Makefile.inc
index b30377e..5e86543 100644
--- a/buch/papers/nav/Makefile.inc
+++ b/buch/papers/nav/Makefile.inc
@@ -6,9 +6,10 @@
 dependencies-nav =						\
 	papers/nav/packages.tex					\
 	papers/nav/main.tex					\
-	papers/nav/references.bib				\
-	papers/nav/teil0.tex					\
-	papers/nav/teil1.tex					\
-	papers/nav/teil2.tex					\
-	papers/nav/teil3.tex
+	papers/nav/einleitung.tex				\
+	papers/nav/flatearth.tex				\
+	papers/nav/nautischesdreieck.tex			\
+	papers/nav/sincos.tex					\
+	papers/nav/trigo.tex					\
+	papers/nav/references.bib
 
diff --git a/buch/papers/nav/beispiel.txt b/buch/papers/nav/beispiel.txt
new file mode 100644
index 0000000..b8716fc
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/beispiel.txt
@@ -0,0 +1,24 @@
+Datum: 28. 5. 2022
+Zeit: 15:29:49 UTC
+Sternzeit: 7h 54m 26.593s  7.90738694h
+
+Deneb
+
+RA    20h 42m 12.14s      20.703372h
+DEC   45  21' 40.3"       45.361194
+
+H     50g 15' 17.1"       50.254750
+Azi   59g 36' 02.0"       59.600555
+
+Spica
+
+RA     13h 26m 23.44s     13.439844h
+DEC   -11g 16' 46.8"      11.279666
+
+H      18g 27' 30.0"      18.458333
+Azi   240g 23' 52.5"     240.397916
+
+Position:
+
+l = 140 14' 00.01" E     140.233336 E
+b =  35 43' 00.02" N      35.716672 N
diff --git a/buch/papers/nav/bilder/beispiele1.pdf b/buch/papers/nav/bilder/beispiele1.pdf
new file mode 100644
index 0000000..1f91809
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/bilder/beispiele1.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/bilder/beispiele2.pdf b/buch/papers/nav/bilder/beispiele2.pdf
new file mode 100644
index 0000000..4b28f2f
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/bilder/beispiele2.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/bilder/dreieck.pdf b/buch/papers/nav/bilder/dreieck.pdf
new file mode 100644
index 0000000..9d630aa
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/bilder/dreieck.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/bilder/dreieck.png b/buch/papers/nav/bilder/dreieck.png
new file mode 100644
index 0000000..2b02105
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/bilder/dreieck.png
diff --git a/buch/papers/nav/bilder/ephe.png b/buch/papers/nav/bilder/ephe.png
new file mode 100644
index 0000000..3f99a36
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/bilder/ephe.png
diff --git a/buch/papers/nav/bilder/kugel1.png b/buch/papers/nav/bilder/kugel1.png
new file mode 100644
index 0000000..b3188b7
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/bilder/kugel1.png
diff --git a/buch/papers/nav/bilder/kugel2.png b/buch/papers/nav/bilder/kugel2.png
new file mode 100644
index 0000000..057740f
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/bilder/kugel2.png
diff --git a/buch/papers/nav/bilder/kugel3.png b/buch/papers/nav/bilder/kugel3.png
new file mode 100644
index 0000000..97066a2
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/bilder/kugel3.png
diff --git a/buch/papers/nav/bilder/position1.pdf b/buch/papers/nav/bilder/position1.pdf
new file mode 100644
index 0000000..ba7755f
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/bilder/position1.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/bilder/position2.pdf b/buch/papers/nav/bilder/position2.pdf
new file mode 100644
index 0000000..3333dd4
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/bilder/position2.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/bilder/position3.pdf b/buch/papers/nav/bilder/position3.pdf
new file mode 100644
index 0000000..fae0b85
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/bilder/position3.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/bilder/position4.pdf b/buch/papers/nav/bilder/position4.pdf
new file mode 100644
index 0000000..ac80c46
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/bilder/position4.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/bilder/position5.pdf b/buch/papers/nav/bilder/position5.pdf
new file mode 100644
index 0000000..afe120e
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/bilder/position5.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/bilder/projektion.png b/buch/papers/nav/bilder/projektion.png
new file mode 100644
index 0000000..5dcc0c8
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/bilder/projektion.png
diff --git a/buch/papers/nav/bilder/recht.jpg b/buch/papers/nav/bilder/recht.jpg
new file mode 100644
index 0000000..3f60370
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/bilder/recht.jpg
diff --git a/buch/papers/nav/bilder/sextant.jpg b/buch/papers/nav/bilder/sextant.jpg
new file mode 100644
index 0000000..472e61f
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/bilder/sextant.jpg
diff --git a/buch/papers/nav/bsp.tex b/buch/papers/nav/bsp.tex
new file mode 100644
index 0000000..ff01828
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/bsp.tex
@@ -0,0 +1,182 @@
+\section{Beispielrechnung}
+\rhead{Beispielrechnung}
+
+\subsection{Einführung}
+In diesem Abschnitt wird die Theorie vom Abschnitt 21.6 in einem Praxisbeispiel angewendet. 
+Wir haben die Deklination, Rektaszension, Höhe der beiden Planeten Deneb und Arktur und die Sternzeit von Greenwich als Ausgangslage.
+Die Deklinationen und Rektaszensionen sind von einem vergangenen Datum und die Höhe der Gestirne und die Sternzeit wurden von unserem Dozenten digital in einer Stadt in Japan mit den Koordinaten 35.716672 N, 140.233336 E bestimmt.
+Wir werden rechnerisch beweisen, dass wir mit diesen Ergebnissen genau auf diese Koordinaten kommen.
+\subsection{Vorgehen}
+
+\begin{center}
+	\begin{tabular}{l l l}
+		1. & Koordinaten der Bildpunkte der Gestirne bestimmen \\
+		2. & Dreiecke aufzeichnen und richtig beschriften\\
+		3. & Dreieck ABC bestimmmen\\
+		4. & Dreieck BPC bestimmen \\
+		5. & Dreieck ABP bestimmen \\ 
+		6. & Geographische Breite bestimmen \\
+		7. & Geographische Länge bestimmen \\
+	\end{tabular}
+\end{center}
+
+\subsection{Ausgangslage}
+\begin{wrapfigure}{R}{5.6cm}
+	\includegraphics{papers/nav/bilder/position1.pdf}
+	\caption{Ausgangslage}
+\end{wrapfigure}
+Die Rektaszension und die Sternzeit sind in der Regeln in Stunden angegeben.
+Für die Umrechnung in Grad kann folgender Zusammenhang verwendet werden:
+\[ Stunden \cdot 15 = Grad\].
+Dies wurde hier bereits gemacht.
+\begin{center}
+	\begin{tabular}{l l l}
+		Sternzeit $s$ & $118.610804^\circ$ \\
+		Deneb&\\
+		& Rektaszension $RA_{Deneb}$& $310.55058^\circ$ \\
+		& Deklination $DEC_{Deneb}$& $45.361194^\circ$ \\
+		& Höhe $h_c$ & $50.256027^\circ$ \\ 
+		Arktur &\\
+		& Rektaszension $RA_{Arktur}$& $214.17558^\circ$ \\
+		& Deklination $DEC_{Arktur}$& $19.063222^\circ$ \\
+		& Höhe $h_b$ & $47.427444^\circ$ \\  
+	\end{tabular}
+\end{center}
+\subsection{Koordinaten der Bildpunkte}
+Als erstes benötigen wir die Koordinaten der Bildpunkte von Arktur und Deneb. 
+$\delta$ ist die Breite, $\lambda$ die Länge.
+\begin{align}
+\delta_{Deneb}&=DEC_{Deneb} = \underline{\underline{45.361194^\circ}} \nonumber \\ 
+\lambda_{Deneb}&=RA_{Deneb} - s = 310.55058^\circ -118.610804^\circ =\underline{\underline{191.939776^\circ}}   \nonumber \\ 
+\delta_{Arktur}&=DEC_{Arktur} =  \underline{\underline{19.063222^\circ}} \nonumber \\ 
+\lambda_{Arktur}&=RA_{Arktur} - s = 214.17558^\circ -118.610804^\circ = \underline{\underline{5.5647759^\circ}}  \nonumber  
+\end{align}
+
+
+\subsection{Dreiecke definieren}
+\begin{figure} 
+	\begin{center}
+	\includegraphics[width=6cm]{papers/nav/bilder/beispiele1.pdf}
+	\includegraphics[width=6cm]{papers/nav/bilder/beispiele2.pdf}
+	\caption{Arktur-Deneb; Spica-Altiar}
+\end{center}
+\end{figure}
+Das Festlegen der Dreiecke ist essenziell für die korrekten Berechnungen.
+Ein Problem, welches in der Theorie nicht berücksichtigt wurde ist, dass der Punkt $P$ nicht zwingend unterhalb der Seite $a$ sein muss. 
+Wenn man das nicht berücksichtigt, erhält man falsche oder keine Ergebnisse. 
+In der Realität weiss man jedoch ungefähr auf welchem Breitengrad man ist, so kann man relativ einfach entscheiden, ob der eigene Standort über $a$ ist oder nicht.
+Beim unserem genutzten Paar Arktur-Deneb ist dies kein Problem, da der Punkt unterhalb der Seite $a$ liegt. 
+Würde man aber das Paar Altair-Spica nehmen, liegt $P$ über $a$ (vgl. Abbildung 21.11) und man müsste trigonometrisch anders vorgehen. 
+
+\subsection{Dreieck $ABC$}
+\begin{wrapfigure}{R}{5.6cm}
+	\includegraphics{papers/nav/bilder/position2.pdf}
+	\caption{Dreieck ABC}
+\end{wrapfigure}
+Nun berechnen wir alle Seitenlängen $a$, $b$, $c$ und die Innnenwinkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$
+Wir können $b$ und $c$ mit den geltenten Zusammenhängen des nautischen Dreiecks wie folgt bestimmen:
+\begin{align}
+	b=90^\circ-DEC_{Deneb} = 90^\circ - 45.361194^\circ = \underline{\underline{44.638806^\circ}}\nonumber \\
+	c=90^\circ-DEC_{Arktur} = 90^\circ - 19.063222^\circ = \underline{\underline{70.936778^\circ}} \nonumber 
+\end{align}
+Um $a$ zu bestimmen, benötigen wir zuerst den Winkel \[\alpha= RA_{Deneb} - RA_{Arktur} = 310.55058^\circ -214.17558^\circ = \underline{\underline{96.375^\circ}}.\]
+Danach nutzen wir den sphärischen Winkelkosinussatz, um  $a$ zu berechnen:
+\begin{align}
+	a &= \cos^{-1}(\cos(b) \cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c) \cdot \cos(\alpha)) \nonumber \\
+	 &= \cos^{-1}(\cos(44.638806) \cdot \cos(70.936778) + \sin(44.638806) \cdot \sin(70.936778) \cdot \cos(96.375)) \nonumber \\
+	 &= \underline{\underline{80.8707801^\circ}} \nonumber
+\end{align}
+Für $\beta$ und $\gamma$ nutzen wir den sphärischen Seitenkosinussatz:
+\begin{align}
+	\beta &= \cos^{-1}  \bigg[\frac{\cos(b)-\cos(a) \cdot \cos(c)}{\sin(a) \cdot \sin(c)}\bigg] \nonumber \\
+	&= \cos^{-1}  \bigg[\frac{\cos(44.638806)-\cos(80.8707801) \cdot \cos(70.936778)}{\sin(80.8707801) \cdot \sin(70.936778)}\bigg] \nonumber \\
+	&= \underline{\underline{45.0115314^\circ}} \nonumber
+\end{align}
+
+	\begin{align}
+	\gamma &=  \cos^{-1}  \bigg[\frac{\cos(c)-\cos(b) \cdot \cos(a)}{\sin(a) \cdot \sin(b)}\bigg] \nonumber \\
+	&=  \cos^{-1}  \bigg[\frac{\cos(70.936778)-\cos(44.638806) \cdot \cos(80.8707801)}{\sin(80.8707801) \cdot \sin(44.638806)}\bigg] \nonumber \\
+	&=\underline{\underline{72.0573328^\circ}} \nonumber
+\end{align}
+\subsection{Dreieck $BPC$}
+\begin{wrapfigure}{R}{5.6cm}
+	\includegraphics{papers/nav/bilder/position3.pdf}
+	\caption{Dreieck BPC}
+\end{wrapfigure}
+Als nächstes berechnen wir die Seiten $h_b$, $h_c$ und die Innenwinkel $\beta_1$ und $\gamma_1$.
+\begin{align}
+	h_b&=90^\circ - h_b \nonumber \\
+	&= 90^\circ - 47.42744^\circ \nonumber \\
+	&= \underline{\underline{42.572556^\circ}} \nonumber
+\end{align}
+\begin{align}
+	h_c &= 90^\circ - h_c \nonumber \\
+	&= 90^\circ - 50.256027^\circ \nonumber \\
+	&= \underline{\underline{39.743973^\circ}} \nonumber
+\end{align}
+\begin{align}
+	\beta_1 &= \cos^{-1}  \bigg[\frac{\cos(h_c)-\cos(a) \cdot \cos(h_b)}{\sin(a) \cdot \sin(h_b)}\bigg] \nonumber \\
+	&= \cos^{-1}  \bigg[\frac{\cos(39.743973)-\cos(80.8707801) \cdot \cos(42.572556)}{\sin(80.8707801) \cdot \sin(42.572556)}\bigg] \nonumber \\
+	&=\underline{\underline{12.5211127^\circ}} \nonumber
+\end{align}
+\begin{align}
+	\gamma_1 &= \cos^{-1}  \bigg[\frac{\cos(h_b)-\cos(a) \cdot \cos(h_c)}{\sin(a) \cdot \sin(h_c)}\bigg] \nonumber \\
+	&= \cos^{-1}  \bigg[\frac{\cos(42.572556)-\cos(80.8707801) \cdot \cos(39.743973)}{\sin(80.8707801) \cdot \sin(39.743973)}\bigg] \nonumber \\
+	&=\underline{\underline{13.2618475^\circ}} \nonumber
+\end{align}
+
+\subsection{Dreieck $ABP$}
+\begin{wrapfigure}{R}{5.6cm}
+	\includegraphics{papers/nav/bilder/position4.pdf}
+	\caption{Dreieck ABP}
+\end{wrapfigure}
+Als erster müssen wir den Winkel $\beta_2$ berechnen:
+\begin{align}
+	\beta_2 &= \beta + \beta_1 = 45.011513^\circ + 12.5211127^\circ \nonumber \\
+	&=\underline{\underline{44.6687451^\circ}} \nonumber
+\end{align}
+Danach können wir mithilfe von $\beta_2$, $c$ und $h_b$ die Seite $l$ berechnen:
+\begin{align}
+	l &= \cos^{-1}(\cos(c) \cdot \cos(h_b) + \sin(c) \cdot \sin(h_b) \cdot \cos(\beta_2)) \nonumber \\
+	&= \cos^{-1}(\cos(70.936778) \cdot \cos(42.572556) + \sin(70.936778) \cdot \sin(42.572556) \cdot \cos(57.5326442)) \nonumber \\
+	&= \underline{\underline{54.2833404^\circ}} \nonumber
+\end{align}
+Damit wir gleich den Längengrad berechnen können, benötigen wir noch den Winkel $\omega$:
+\begin{align}
+	\omega &= \cos^{-1}  \bigg[\frac{\cos(h_b)-\cos(c) \cdot \cos(l)}{\sin(c) \cdot \sin(l)}\bigg] \nonumber \\
+	&=\cos^{-1}  \bigg[\frac{\cos(42.572556)-\cos(70.936778) \cdot \cos(54.2833404)}{\sin(70.936778) \cdot \sin(54.2833404)}\bigg] \nonumber \\
+	&= \underline{\underline{44.6687451^\circ}} \nonumber
+\end{align}
+
+\subsection{Längengrad und Breitengrad bestimmen}
+
+\begin{align}
+	\delta &= 90^\circ - l \nonumber \\
+	&= 90^\circ - 54.2833404 \nonumber \\
+	&= \underline{\underline{35.7166596^\circ}} \nonumber
+\end{align}
+\begin{align}
+	\lambda &= \lambda_{Arktur} + \omega \nonumber \\
+	&= 95.5647759^\circ + 44.6687451^\circ \nonumber \\
+	&= \underline{\underline{140.233521^\circ}} \nonumber
+\end{align}
+Wie wir sehen, stimmen die berechneten Koordinaten mit den Koordinaten des Punktes, an welchem gemessen wurde überein. 
+
+\subsection{Fazit}
+Die theoretische Anleitung im Abschnitt 21.6 scheint grundsätzlich zu funktionieren. 
+Allerdings gab es zwei interessante Probleme.
+
+Einerseits das Problem, ob der Punkt P sich oberhalb oder unterhalb von $a$ befindet. 
+Da wir eigentlich wussten, wo der gesuchte Punkt P ist, konnten wir das Dreieck anhand der Koordinaten der Bildpunkte richtig aufstellen. 
+In der Praxis muss man aber schon wissen, auf welchem Breitengrad man ungefähr ist. 
+Dies weis man in der Regeln aber, da die eigene Breite die Höhe des Polarsterns ist.
+Diese Höhe wird mit dem Sextant gemessen.
+
+Andererseits ist da noch ein Problem mit dem Sinussatz.
+Beim Sinussatz gibt es immer zwei Lösungen, weil \[ \sin(\pi-a)=\sin(a).\]
+Da kann es sein (und war in unserem Fall auch so), dass man das falsche Ergebnis erwischt. 
+Durch diese Erkenntnis haben wir nur Kosinussätze verwendet und dies ebenfalls im Abschnitt 21.6 abgeändert, da es für den Leser auch relevant sein kann, wenn er es Probieren möchte.
+
+
+
+
diff --git a/buch/papers/nav/bsp2.tex b/buch/papers/nav/bsp2.tex
new file mode 100644
index 0000000..8d9083b
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/bsp2.tex
@@ -0,0 +1,236 @@
+\section{Beispielrechnung}
+\rhead{Beispielrechnung}
+
+\subsection{Einführung}
+In diesem Abschnitt wird die Theorie vom Abschnitt \ref{sta} in einem Praxisbeispiel angewendet. 
+Wir haben die Deklination, Rektaszension, Höhe der beiden Planeten Deneb und Arktur und die Sternzeit von Greenwich als Ausgangslage.
+Die Deklinationen und Rektaszensionen sind von einem vergangenen Datum und die Höhe der Gestirne und die Sternzeit wurden digital in einer Stadt in Japan mit den Koordinaten 35.716672 N, 140.233336 E bestimmt.
+Wir werden nachrechnen, dass wir mit unserer Methode genau auf diese Koordinaten kommen.
+\subsection{Vorgehen}
+Unser Vorgehen erschliesst sich aus unserer Methode, die wir im Abschnitt \ref{p} theoretisch erklärt haben.
+\begin{compactenum}
+\item
+Koordinaten der Bildpunkte der Gestirne bestimmen 
+\item
+Dreiecke aufzeichnen und richtig beschriften
+\item
+Dreieck ABC bestimmmen
+\item
+Dreieck BPC bestimmen 
+\item
+Dreieck ABP bestimmen 
+\item
+Geographische Breite bestimmen
+\item
+Geographische Länge bestimmen
+\end{compactenum}
+
+\subsection{Ausgangslage}
+\hbox to\textwidth{%
+\begin{minipage}{8.4cm}
+Die Rektaszension und die Sternzeit sind in der Regel in Stunden angegeben.
+Für die Umrechnung in Grad kann folgender Zusammenhang verwendet werden:
+\[
+\text{Stunden} \cdot 15 = \text{Grad}.
+\]
+Dies wurde hier bereits gemacht.
+\begin{center}
+\begin{tabular}{l l >{$}l<{$}}
+Sternzeit $s$ & $118.610804^\circ$ \\
+Deneb   &\\
+	& Rektaszension $RA_{\text{Deneb}}$ & 310.55058^\circ\\
+	& Deklination $DEC_{\text{Deneb}}$  & \phantom{0}45.361194^\circ \\
+	& Höhe $h_c$                        & \phantom{0}50.256027^\circ \\ 
+Arktur  &\\
+	& Rektaszension $RA_{\text{Arktur}}$& 214.17558^\circ \\
+	& Deklination $DEC_{\text{Arktur}}$ & \phantom{0}19.063222^\circ \\
+	& Höhe $h_b$                        & \phantom{0}47.427444^\circ \\  
+\end{tabular}
+\end{center}
+\end{minipage}%
+\hfill%
+\raisebox{-2cm}{\includegraphics{papers/nav/bilder/position1.pdf}}%
+}
+\medskip
+
+\subsection{Koordinaten der Bildpunkte}
+Als erstes benötigen wir die Koordinaten der Bildpunkte von Arktur und Deneb. 
+$\delta$ ist die Breite, $\lambda$ die Länge.
+\begin{align}
+\delta_{\text{Deneb}}&=DEC_{\text{Deneb}} = \underline{\underline{45.361194^\circ}} \nonumber \\ 
+\lambda_{\text{Deneb}}&=RA_{\text{Deneb}} - s = 310.55058^\circ -118.610804^\circ =\underline{\underline{191.939776^\circ}}   \nonumber \\ 
+\delta_{\text{Arktur}}&=DEC_{\text{Arktur}} =  \underline{\underline{19.063222^\circ}} \nonumber \\ 
+\lambda_{\text{Arktur}}&=RA_{\text{Arktur}} - s = 214.17558^\circ -118.610804^\circ = \underline{\underline{5.5647759^\circ}}  \nonumber  
+\end{align}
+
+
+\subsection{Dreiecke definieren}
+\begin{figure} 
+\hbox{%
+\includegraphics{papers/nav/bilder/beispiele1.pdf}%
+\hfill%
+\includegraphics{papers/nav/bilder/beispiele2.pdf}}
+\caption{Arktur-Deneb; Spica-Altiar
+\label{nav:beispiele}}
+\end{figure}
+Das Festlegen der Dreiecke ist essenziell für die korrekten Berechnungen.
+Ein Problem, welches in der Theorie nicht berücksichtigt wurde ist, dass der Punkt $P$ nicht zwingend unterhalb der Seite $a$ sein muss. 
+Wenn man das nicht berücksichtigt, erhält man falsche oder keine Ergebnisse. 
+In der Realität weiss man jedoch ungefähr auf welchem Breitengrad man ist, so kann man relativ einfach entscheiden, ob der eigene Standort über $a$ ist oder nicht.
+Beim unserem genutzten Paar Arktur-Deneb ist dies kein Problem, da der Punkt unterhalb der Seite $a$ liegt. 
+Würde man aber das Paar Altair-Spica nehmen, liegt $P$ über $a$
+(vgl. Abbildung\ref{nav:beispiele}) und man müsste trigonometrisch
+anders vorgehen. 
+
+\subsection{Dreieck $ABC$}
+\vspace*{-3mm}
+\hbox to\textwidth{%
+\begin{minipage}{8.4cm}%
+Nun berechnen wir alle Seitenlängen $a$, $b$, $c$ und die
+Innnenwinkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$.
+Wir können $b$ und $c$ mit den geltenten Zusammenhängen des nautischen Dreiecks wie folgt bestimmen:
+\begin{align*}
+b
+&=
+90^\circ-DEC_{\text{Deneb}}
+=
+90^\circ - 45.361194^\circ
+\\
+&=
+\underline{\underline{44.638806^\circ}}
+\\
+c
+&=
+90^\circ-DEC_{\text{Arktur}}
+=
+90^\circ - 19.063222^\circ
+\\
+&=
+\underline{\underline{70.936778^\circ}}
+\end{align*}
+\end{minipage}%
+\hfill%
+\raisebox{-2.4cm}{\includegraphics{papers/nav/bilder/position2.pdf}}%
+}
+Um $a$ zu bestimmen, benötigen wir zuerst den Winkel
+\begin{align*}
+\alpha
+&=
+RA_{\text{Deneb}} - RA_{\text{Arktur}}
+=
+310.55058^\circ -214.17558^\circ
+\\
+&=
+\underline{\underline{96.375^\circ}}.
+\end{align*}
+Danach nutzen wir den sphärischen Winkelkosinussatz, um  $a$ zu berechnen:
+\begin{align*}
+	a &= \cos^{-1}(\cos(b) \cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c) \cdot \cos(\alpha)) \\
+	 &= \cos^{-1}(\cos(44.638806^\circ) \cdot \cos(70.936778^\circ) + \sin(44.638806^\circ) \cdot \sin(70.936778^\circ) \cdot \cos(96.375^\circ)) \\
+	 &= \underline{\underline{80.8707801^\circ}}
+\end{align*}
+Für $\beta$ und $\gamma$ nutzen wir den sphärischen Seitenkosinussatz:
+\begin{align*}
+	\beta &= \cos^{-1}  \bigg[\frac{\cos(b)-\cos(a) \cdot \cos(c)}{\sin(a) \cdot \sin(c)}\bigg] \\
+	&= \cos^{-1}  \bigg[\frac{\cos(44.638806^\circ)-\cos(80.8707801^\circ) \cdot \cos(70.936778^\circ)}{\sin(80.8707801^\circ) \cdot \sin(70.936778^\circ)}\bigg] \\
+	&= \underline{\underline{45.0115314^\circ}} 
+\\
+\gamma &=  \cos^{-1}  \bigg[\frac{\cos(c)-\cos(b) \cdot \cos(a)}{\sin(a) \cdot \sin(b)}\bigg] \\
+	&=  \cos^{-1}  \bigg[\frac{\cos(70.936778^\circ)-\cos(44.638806^\circ) \cdot \cos(80.8707801^\circ)}{\sin(80.8707801^\circ) \cdot \sin(44.638806^\circ)}\bigg] \\
+	&=\underline{\underline{72.0573328^\circ}} 
+\end{align*}
+
+
+
+\subsection{Dreieck $BPC$}
+\vspace*{-4mm}
+\hbox to\textwidth{%
+\begin{minipage}{8.4cm}%
+Als nächstes berechnen wir die Seiten $h_B$, $h_B$ und die Innenwinkel $\beta_1$ und $\gamma_1$.
+\begin{align*}
+h_B&=90^\circ - pbb 
+	= 90^\circ - 47.42744^\circ \\
+	&= \underline{\underline{42.572556^\circ}} 
+\\
+	h_C &= 90^\circ - pc 
+	= 90^\circ - 50.256027^\circ \\
+	&= \underline{\underline{39.743973^\circ}} 
+\end{align*}
+\end{minipage}%
+\hfill%
+\raisebox{-2.8cm}{\includegraphics{papers/nav/bilder/position3.pdf}}%
+}
+\begin{align*}
+\beta_1 &= \cos^{-1}  \bigg[\frac{\cos(h_c)-\cos(a) \cdot \cos(h_B)}{\sin(a) \cdot \sin(h_B)}\bigg] \\
+	&= \cos^{-1}  \bigg[\frac{\cos(39.743973^\circ)-\cos(80.8707801^\circ) \cdot \cos(42.572556^\circ)}{\sin(80.8707801^\circ) \cdot \sin(42.572556^\circ)}\bigg] \\
+	&=\underline{\underline{12.5211127^\circ}} 
+\\
+\gamma_1 &= \cos^{-1}  \bigg[\frac{\cos(h_b)-\cos(a) \cdot \cos(h_C)}{\sin(a) \cdot \sin(h_C)}\bigg] \\
+	&= \cos^{-1}  \bigg[\frac{\cos(42.572556^\circ)-\cos(80.8707801^\circ) \cdot \cos(39.743973^\circ)}{\sin(80.8707801^\circ) \cdot \sin(39.743973^\circ)}\bigg] \\
+	&=\underline{\underline{13.2618475^\circ}} 
+\end{align*}
+
+\subsection{Dreieck $ABP$}
+\vspace*{-2mm}
+\hbox to\textwidth{%
+\begin{minipage}{8.4cm}%
+Als erstes müssen wir den Winkel $\beta_2$ berechnen:
+\begin{align*}
+	\beta_2 &= \beta + \beta_1 = 45.011513^\circ + 12.5211127^\circ \\
+	&=\underline{\underline{44.6687451^\circ}} 
+\end{align*}
+Danach können wir mithilfe von $\beta_2$, $c$ und $h_B$ die Seite $l$ berechnen:
+\begin{align*}
+l
+&=
+\cos^{-1}(\cos(c) \cdot \cos(h_B)
+          + \sin(c) \cdot \sin(h_B) \cdot \cos(\beta_2)) \\
+&=
+\cos^{-1}(\cos(70.936778^\circ) \cdot \cos(42.572556^\circ)\\
+&\qquad + \sin(70.936778^\circ) \cdot \sin(42.572556^\circ) \cdot \cos(57.5326442^\circ)) \\
+&= \underline{\underline{54.2833404^\circ}} 
+\end{align*}
+\end{minipage}%
+\hfill%
+\raisebox{-2.0cm}{\includegraphics{papers/nav/bilder/position4.pdf}}%
+}
+
+\medskip
+
+Damit wir gleich den Längengrad berechnen können, benötigen wir noch den Winkel $\omega$:
+\begin{align*}
+	\omega &= \cos^{-1}  \bigg[\frac{\cos(h_B)-\cos(c) \cdot \cos(l)}{\sin(c) \cdot \sin(l)}\bigg] \\
+	&=\cos^{-1}  \bigg[\frac{\cos(42.572556^\circ)-\cos(70.936778^\circ) \cdot \cos(54.2833404^\circ)}{\sin(70.936778^\circ) \cdot \sin(54.2833404^\circ)}\bigg] \\
+	&= \underline{\underline{44.6687451^\circ}} 
+\end{align*}
+
+\subsection{Längengrad und Breitengrad bestimmen}
+
+\begin{align*}
+\delta &= 90^\circ - l &
+	\lambda &= \lambda_{\text{Arktur}} + \omega \\
+&= 90^\circ - 54.2833404 &
+	&= 95.5647759^\circ + 44.6687451^\circ \\
+&= \underline{\underline{35.7166596^\circ}} &
+	&= \underline{\underline{140.233521^\circ}} 
+\end{align*}
+Wie wir sehen, stimmen die berechneten Koordinaten mit den Koordinaten des Punktes, an welchem gemessen wurde überein. 
+
+\subsection{Fazit}
+Die theoretische Anleitung im Abschnitt \ref{sta} scheint grundsätzlich zu funktionieren. 
+Allerdings gab es zwei interessante Probleme.
+
+Einerseits das Problem, ob der Punkt $P$ sich oberhalb oder unterhalb von $a$ befindet. 
+Da wir eigentlich wussten, wo der gesuchte Punkt $P$ ist, konnten wir das Dreieck anhand der Koordinaten der Bildpunkte richtig aufstellen. 
+In der Praxis muss man aber schon wissen, auf welchem Breitengrad man ungefähr ist. 
+Dies weis man in der Regeln aber, da die eigene Breite die Höhe des Polarsterns ist.
+Diese Höhe wird mit dem Sextant gemessen.
+
+Andererseits ist da noch ein Problem mit dem Sinussatz.
+Beim Sinussatz gibt es immer zwei Lösungen, weil \[ \sin(\pi-a)=\sin(a).\]
+Da kann es sein (und war in unserem Fall auch so), dass man das falsche Ergebnis erwischt. 
+Wegen dieser Erkenntnis haben wir nur Kosinussätze verwendet und dies ebenfalls im Abschnitt \ref{sta} abgeändert, da es für den Leser auch relevant sein kann, wenn er es Probieren möchte.
+
+
+
+
diff --git a/buch/papers/nav/einleitung.tex b/buch/papers/nav/einleitung.tex
new file mode 100644
index 0000000..c778d5c
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/einleitung.tex
@@ -0,0 +1,10 @@
+
+
+\section{Einleitung}
+\rhead{Einleitung}
+Heutzutage ist die Navigation ein Teil des Lebens. 
+Man sendet dem Kollegen seinen eigenen Standort, um sich das ewige Erklären zu sparen oder gibt die Adresse des Ziels ein, damit man seinen Aufenthaltsort zum Beispiel auf einer riesigen Wiese am See findet. 
+Dies wird durch Technologien wie Funknavigation, welches ein auf Laufzeitmessung beruhendes Hyperbelverfahren mit Langwellen ist, oder die verbreitete Satellitennavigation, welche vier Satelliten für eine Messung zur Standortbestimmung nutzt.
+Vor all diesen technologischen Fortschritten gab es lediglich die Astronavigation, welche heute noch auf Schiffen verwendet wird im Falle eines Stromausfalls. 
+Aber wie funktioniert die Navigation mit den Sternen? Welche Hilfsmittel benötigt man, welche Rolle spielt die Mathematik und weshalb kann die Erde nicht flach sein? 
+In diesem Kapitel werden genau diese Fragen mithilfe des nautischen Dreiecks, der sphärischen Trigonometrie und einigen Hilfsmitteln und Messgeräten beantwortet.
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/nav/flatearth.tex b/buch/papers/nav/flatearth.tex
new file mode 100644
index 0000000..9745cdc
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/flatearth.tex
@@ -0,0 +1,28 @@
+
+
+\section{Warum ist die Erde nicht flach?}
+\rhead{Warum ist die Erde nicht flach?}
+\begin{figure}
+	\begin{center}
+		\includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/projektion.png}
+		\caption[Mercator Projektion]{Mercator Projektion}
+		\label{merc}
+	\end{center}	
+\end{figure}
+
+Es gibt heutzutage viele Beweise dafür, dass die Erde eine Kugel ist. 
+Die Fotos von unserem	Planeten oder die Berichte der Astronauten. 
+Aber schon vor ca. 2300 Jahren hat Aristoteles bemerkt, dass Schiffe im Horizont verschwinden und die einzige Erklärung dafür die Kugelgestalt der Erde ist.
+Auch der Erdschatten bei einer Mondfinsternis ist immer rund.
+Eratosthenes konnte etwa 100 Jahre später den Erdumfang berechnen. 
+Er beobachtete, dass die Sonne in Syene mittags im Zenit steht und gleichzeitig in Alexandria unter einem Winkel einfällt. 
+Mithilfe der Trigonometrie konnte er mit dem Abstand der Städte und dem Einfallswinkel den Umfang berechnen.
+
+Der Kartograph Gerhard Mercator projizierte die Erdkugel wie in Abbildung \ref{merc} dargestellt auf ein Papier und erstellte so eine winkeltreue Karte. 
+Jedoch wurden die Länder, die einen grösseren Abstand zum Äquator haben vergrössert, damit die Winkel stimmen können. 
+Wurde man also nun davon ausgehen, dass die Erde flach ist so würden wir nie dort ankommen wo wir es wollen.
+Dies sieht man zum Beispiel sehr gut, wenn man die Anwendung Google Earth und eine Weltkarte vergleicht. 
+Grönland ist auf der Weltkarte so gross wie Afrika. 
+In der Anwendung Google Earth jedoch ist Grönland etwa so gross wie Algerien. 
+Das liegt daran, das man die 3D – Weltkarte nicht einfach auslegen kann. 
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/2k_earth_daymap.png b/buch/papers/nav/images/2k_earth_daymap.png
new file mode 100644
index 0000000..4d55da8
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/2k_earth_daymap.png
diff --git a/buch/papers/nav/images/Makefile b/buch/papers/nav/images/Makefile
new file mode 100644
index 0000000..39bfbcf
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/Makefile
@@ -0,0 +1,130 @@
+#
+# Makefile to build images 
+#
+# (c) 2022
+#
+all:	dreiecke3d
+
+dreieck.pdf:	dreieck.tex dreieckdata.tex macros.tex
+	pdflatex dreieck.tex
+
+dreieckdata.tex:	pk.m
+	octave pk.m
+
+DREIECKE = 								\
+	dreieck1.pdf 							\
+	dreieck2.pdf 							\
+	dreieck3.pdf 							\
+	dreieck4.pdf							\
+	dreieck5.pdf 							\
+	dreieck6.pdf 							\
+	dreieck7.pdf
+
+dreiecke:	$(DREIECKE)
+
+dreieck1.pdf:	dreieck1.tex dreieckdata.tex macros.tex
+	pdflatex dreieck1.tex
+
+dreieck2.pdf:	dreieck2.tex dreieckdata.tex macros.tex
+	pdflatex dreieck2.tex
+
+dreieck3.pdf:	dreieck3.tex dreieckdata.tex macros.tex
+	pdflatex dreieck3.tex
+
+dreieck4.pdf:	dreieck4.tex dreieckdata.tex macros.tex
+	pdflatex dreieck4.tex
+
+dreieck5.pdf:	dreieck5.tex dreieckdata.tex macros.tex
+	pdflatex dreieck5.tex
+
+dreieck6.pdf:	dreieck6.tex dreieckdata.tex macros.tex
+	pdflatex dreieck6.tex
+
+dreieck7.pdf:	dreieck7.tex dreieckdata.tex macros.tex
+	pdflatex dreieck7.tex
+
+DREIECKE3D =								\
+	dreieck3d1.pdf							\
+	dreieck3d2.pdf							\
+	dreieck3d3.pdf							\
+	dreieck3d4.pdf							\
+	dreieck3d5.pdf							\
+	dreieck3d6.pdf							\
+	dreieck3d7.pdf							\
+	dreieck3d8.pdf	
+
+dreiecke3d: $(DREIECKE3D)
+
+POVRAYOPTIONS = -W1080 -H1080
+#POVRAYOPTIONS = -W480 -H480
+
+dreieck3d1.png:	dreieck3d1.pov common.inc macros.inc
+	povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Odreieck3d1.png dreieck3d1.pov
+dreieck3d1.jpg:	dreieck3d1.png
+	convert dreieck3d1.png -density 300 -units PixelsPerInch dreieck3d1.jpg
+dreieck3d1.pdf:	dreieck3d1.tex dreieck3d1.jpg
+	pdflatex dreieck3d1.tex
+
+dreieck3d2.png:	dreieck3d2.pov common.inc macros.inc
+	povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Odreieck3d2.png dreieck3d2.pov
+dreieck3d2.jpg:	dreieck3d2.png
+	convert dreieck3d2.png -density 300 -units PixelsPerInch dreieck3d2.jpg
+dreieck3d2.pdf:	dreieck3d2.tex dreieck3d2.jpg
+	pdflatex dreieck3d2.tex
+
+dreieck3d3.png:	dreieck3d3.pov common.inc macros.inc
+	povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Odreieck3d3.png dreieck3d3.pov
+dreieck3d3.jpg:	dreieck3d3.png
+	convert dreieck3d3.png -density 300 -units PixelsPerInch dreieck3d3.jpg
+dreieck3d3.pdf:	dreieck3d3.tex dreieck3d3.jpg
+	pdflatex dreieck3d3.tex
+
+dreieck3d4.png:	dreieck3d4.pov common.inc macros.inc
+	povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Odreieck3d4.png dreieck3d4.pov
+dreieck3d4.jpg:	dreieck3d4.png
+	convert dreieck3d4.png -density 300 -units PixelsPerInch dreieck3d4.jpg
+dreieck3d4.pdf:	dreieck3d4.tex dreieck3d4.jpg
+	pdflatex dreieck3d4.tex
+
+dreieck3d5.png:	dreieck3d5.pov common.inc macros.inc
+	povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Odreieck3d5.png dreieck3d5.pov
+dreieck3d5.jpg:	dreieck3d5.png
+	convert dreieck3d5.png -density 300 -units PixelsPerInch dreieck3d5.jpg
+dreieck3d5.pdf:	dreieck3d5.tex dreieck3d5.jpg
+	pdflatex dreieck3d5.tex
+
+dreieck3d6.png:	dreieck3d6.pov common.inc macros.inc
+	povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Odreieck3d6.png dreieck3d6.pov
+dreieck3d6.jpg:	dreieck3d6.png
+	convert dreieck3d6.png -density 300 -units PixelsPerInch dreieck3d6.jpg
+dreieck3d6.pdf:	dreieck3d6.tex dreieck3d6.jpg
+	pdflatex dreieck3d6.tex
+
+dreieck3d7.png:	dreieck3d7.pov common.inc macros.inc
+	povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Odreieck3d7.png dreieck3d7.pov
+dreieck3d7.jpg:	dreieck3d7.png
+	convert dreieck3d7.png -density 300 -units PixelsPerInch dreieck3d7.jpg
+dreieck3d7.pdf:	dreieck3d7.tex dreieck3d7.jpg
+	pdflatex dreieck3d7.tex
+
+dreieck3d8.png:	dreieck3d8.pov common.inc macros.inc
+	povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Odreieck3d8.png dreieck3d8.pov
+dreieck3d8.jpg:	dreieck3d8.png
+	convert dreieck3d8.png -density 300 -units PixelsPerInch dreieck3d8.jpg
+dreieck3d8.pdf:	dreieck3d8.tex dreieck3d8.jpg
+	pdflatex dreieck3d8.tex
+
+dreieck3d9.png:	dreieck3d9.pov common.inc macros.inc
+	povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Odreieck3d9.png dreieck3d9.pov
+dreieck3d9.jpg:	dreieck3d9.png
+	convert dreieck3d9.png -density 300 -units PixelsPerInch dreieck3d9.jpg
+dreieck3d9.pdf:	dreieck3d9.tex dreieck3d9.jpg
+	pdflatex dreieck3d9.tex
+
+dreieck3d10.png:	dreieck3d10.pov common.inc macros.inc
+	povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Odreieck3d10.png dreieck3d10.pov
+dreieck3d10.jpg:	dreieck3d10.png
+	convert dreieck3d10.png -density 300 -units PixelsPerInch dreieck3d10.jpg
+dreieck3d10.pdf:	dreieck3d10.tex dreieck3d10.jpg macros.inc
+	pdflatex dreieck3d10.tex
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/2k_earth_daymap.png b/buch/papers/nav/images/beispiele/2k_earth_daymap.png
new file mode 100644
index 0000000..4d55da8
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/2k_earth_daymap.png
diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/Makefile b/buch/papers/nav/images/beispiele/Makefile
new file mode 100644
index 0000000..9546c8e
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/Makefile
@@ -0,0 +1,38 @@
+#
+# Makefile to build images 
+#
+# (c) 2022
+#
+all:	beispiele
+
+POSITION =								\
+	beispiele1.pdf							\
+	beispiele2.pdf							\
+	beispiele3.pdf	
+
+beispiele: $(POSITION)
+
+POVRAYOPTIONS = -W1080 -H1080
+#POVRAYOPTIONS = -W480 -H480
+
+beispiele1.png:	beispiele1.pov common.inc geometrie.inc ../macros.inc
+	povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Obeispiele1.png beispiele1.pov
+beispiele1.jpg:	beispiele1.png
+	convert beispiele1.png -density 300 -units PixelsPerInch beispiele1.jpg
+beispiele1.pdf:	beispiele1.tex common.tex beispiele1.jpg
+	pdflatex beispiele1.tex
+
+beispiele2.png:	beispiele2.pov common.inc geometrie.inc ../macros.inc
+	povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Obeispiele2.png beispiele2.pov
+beispiele2.jpg:	beispiele2.png
+	convert beispiele2.png -density 300 -units PixelsPerInch beispiele2.jpg
+beispiele2.pdf:	beispiele2.tex common.tex beispiele2.jpg
+	pdflatex beispiele2.tex
+
+beispiele3.png:	beispiele3.pov common.inc geometrie.inc ../macros.inc
+	povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Obeispiele3.png beispiele3.pov
+beispiele3.jpg:	beispiele3.png
+	convert beispiele3.png -density 300 -units PixelsPerInch beispiele3.jpg
+beispiele3.pdf:	beispiele3.tex common.tex beispiele3.jpg
+	pdflatex beispiele3.tex
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.pdf b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.pdf
new file mode 100644
index 0000000..1f91809
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.pov b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.pov
new file mode 100644
index 0000000..7fb3de2
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.pov
@@ -0,0 +1,12 @@
+//
+// beispiele1.pov
+//
+// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+#include "common.inc"
+
+#declare Stern1 = Deneb;
+#declare Stern2 = Arktur;
+
+#include "geometrie.inc"
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.tex b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.tex
new file mode 100644
index 0000000..0dfae2f
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.tex
@@ -0,0 +1,49 @@
+%
+% beispiele1.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{times}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{graphics}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc}
+\usepackage{ifthen}
+\begin{document}
+
+\input{common.tex}
+
+\newboolean{showgrid}
+\setboolean{showgrid}{false}
+\def\breite{4}
+\def\hoehe{4}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=0.8125]
+
+% Povray Bild
+\node at (0,0) {\includegraphics[width=6.5cm]{beispiele1.jpg}};
+
+% Gitter
+\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{
+\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw                            (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\fill (0,0) circle[radius=0.05];
+}{}
+
+\labelA
+\labelP
+\labelDeneb
+\labelArktur
+\labelhDeneb
+\labelhArktur
+\labellone
+\labeldDeneb
+\labeldArktur
+
+\end{tikzpicture}
+
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.pdf b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.pdf
new file mode 100644
index 0000000..4b28f2f
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.pov b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.pov
new file mode 100644
index 0000000..b69f0f9
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.pov
@@ -0,0 +1,12 @@
+//
+// beispiele1.pov
+//
+// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+#include "common.inc"
+
+#declare Stern1 = Altair;
+#declare Stern2 = Spica;
+
+#include "geometrie.inc"
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.tex b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.tex
new file mode 100644
index 0000000..04c1e4d
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.tex
@@ -0,0 +1,50 @@
+%
+% beispiele2.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{times}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{graphics}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc}
+\usepackage{ifthen}
+\begin{document}
+
+\input{common.tex}
+
+\newboolean{showgrid}
+\setboolean{showgrid}{false}
+\def\breite{4}
+\def\hoehe{4}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=0.8125]
+
+% Povray Bild
+\node at (0,0) {\includegraphics[width=6.5cm]{beispiele2.jpg}};
+
+% Gitter
+\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{
+\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw                            (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\fill (0,0) circle[radius=0.05];
+}{}
+
+\labelA
+\labelP
+\labelAltair
+\labelSpica
+\labelhAltair
+\labelhSpica
+\labelltwo
+\labeldAltair
+\labeldSpica
+
+
+\end{tikzpicture}
+
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele3.pdf b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele3.pdf
new file mode 100644
index 0000000..049ccdf
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele3.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele3.pov b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele3.pov
new file mode 100644
index 0000000..af9a468
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele3.pov
@@ -0,0 +1,12 @@
+//
+// beispiele1.pov
+//
+// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+#include "common.inc"
+
+#declare Stern1 = Deneb;
+#declare Stern2 = Altair;
+
+#include "geometrie.inc"
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele3.tex b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele3.tex
new file mode 100644
index 0000000..2573199
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele3.tex
@@ -0,0 +1,49 @@
+%
+% beispiele3.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{times}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{graphics}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc}
+\usepackage{ifthen}
+\begin{document}
+
+\input{common.tex}
+
+\newboolean{showgrid}
+\setboolean{showgrid}{false}
+\def\breite{4}
+\def\hoehe{4}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+
+% Povray Bild
+\node at (0,0) {\includegraphics[width=8cm]{beispiele3.jpg}};
+
+% Gitter
+\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{
+\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw                            (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\fill (0,0) circle[radius=0.05];
+}{}
+
+\labelA
+\labelP
+\labelDeneb
+\labelAltair
+\labelhDeneb
+\labelhAltair
+\labellone
+%\labeldDeneb
+%\labeldAltair
+
+\end{tikzpicture}
+
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/common.inc b/buch/papers/nav/images/beispiele/common.inc
new file mode 100644
index 0000000..51fbd1f
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/common.inc
@@ -0,0 +1,50 @@
+//
+// common.inc -- 3d Darstellung
+//
+// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+#version 3.7;
+#include "colors.inc"
+#include "../macros.inc"
+
+global_settings {
+	assumed_gamma 1
+}
+
+#declare imagescale = 0.034;
+
+camera {
+	location <40, 20, -20>
+	look_at <0, 0.24, -0.20>
+	right x * imagescale
+	up y * imagescale
+}
+
+light_source {
+	<30, 10, -40> color White
+	area_light <1,0,0> <0,0,1>, 10, 10
+	adaptive 1
+	jitter
+}
+
+sky_sphere {
+	pigment {
+		color rgb<1,1,1>
+	}
+}
+
+erde(0)
+achse(fein, White)
+koordinatennetz(gitterfarbe, 9, 0.001)
+
+union {
+        punkt(Sakura, fett)
+        pigment {
+                color rot
+        }
+        finish {
+                metallic
+                specular 0.9
+        }
+}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/common.tex b/buch/papers/nav/images/beispiele/common.tex
new file mode 100644
index 0000000..81dc037
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/common.tex
@@ -0,0 +1,79 @@
+%
+% common.tex
+%
+% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+
+\def\labelA{\node at (0.7,3.8) {$A$};}
+
+\def\labelSpica{
+	\node at (-3.6,-2.8) {Spica};
+}
+\def\labelAltair{
+	\node at (3.0,-2.3) {Altair};
+}
+\def\labelArktur{
+	\node at (-3.3,-0.7) {Arktur};
+}
+\def\labelDeneb{
+	\node at (3.4,0.9) {Deneb};
+}
+
+\def\labelP{\node at (0,-0.2) {$P$};}
+
+\def\labellone{\node at (0.1,1.9) {$l$};}
+\def\labelltwo{\node at (0.1,2.0) {$l$};}
+
+\def\labelhSpica{
+	\coordinate (Spica) at (-1.8,-0.3);
+	\node at (Spica) {$h_{\text{Spica}}\mathstrut$};
+}
+\def\labelhAltair{
+	\coordinate (Altair) at (1.1,-1.0);
+	\node at (Altair) {$h_{\text{Altair}}\mathstrut$};
+}
+\def\labelhArktur{
+	\coordinate (Arktur) at (-1.3,-0.3);
+	\node at (Arktur) {$h_{\text{Arktur}}\mathstrut$};
+}
+\def\labelhDeneb{
+	\coordinate (Deneb) at (1.6,0.45);
+	\node at (Deneb) {$h_{\text{Deneb}}\mathstrut$};
+}
+
+\def\labeldSpica{
+	\coordinate (dSpica) at (-1.5,2.6);
+	\fill[color=white,opacity=0.5]
+		($(dSpica)+(-1.8,0.13)$)
+		rectangle
+		($(dSpica)+(-0.06,0.60)$);
+	\node at (dSpica) [above left]
+		{$90^\circ-\delta_{\text{Spica}}\mathstrut$};
+}
+\def\labeldAltair{
+	\coordinate (dAltair) at (2.0,2.1);
+	\fill[color=white,opacity=0.5]
+		($(dAltair)+(0.10,0.10)$)
+		rectangle
+		($(dAltair)+(2.0,0.60)$);
+	\node at (dAltair) [above right]
+		{$90^\circ-\delta_{\text{Altair}}\mathstrut$};
+}
+\def\labeldArktur{
+	\coordinate (dArktur) at (-1.2,2.5);
+	\fill[color=white,opacity=0.5]
+		($(dArktur)+(-1.8,0.10)$)
+		rectangle
+		($(dArktur)+(-0.06,0.55)$);
+	\node at (dArktur) [above left]
+		{$90^\circ-\delta_{\text{Arktur}}\mathstrut$};
+}
+\def\labeldDeneb{
+	\coordinate (dDeneb) at (2.0,2.8);
+	\fill[color=white,opacity=0.5]
+		($(dDeneb)+(0.05,0.60)$)
+		rectangle
+		($(dDeneb)+(1.87,0.10)$);
+	\node at (dDeneb) [above right]
+		{$90^\circ-\delta_{\text{Deneb}}\mathstrut$};
+}
diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/geometrie.inc b/buch/papers/nav/images/beispiele/geometrie.inc
new file mode 100644
index 0000000..2f6084e
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/geometrie.inc
@@ -0,0 +1,41 @@
+union {
+	punkt(A, fett)
+	punkt(Stern1, fein)
+	punkt(Stern2, fein)
+	seite(Stern1, Stern2, fein)
+	pigment {
+		color kugelfarbe
+	}
+	finish {
+		metallic
+		specular 0.9
+	}
+}
+
+union {
+	seite(A, Stern1, fein)
+	seite(A, Stern2, fein)
+	seite(Stern1, Sakura, fein)
+	seite(Stern2, Sakura, fein)
+	winkel(A, Stern1, Stern2, 0.5*fein, gross)
+	pigment {
+		color bekannt
+	}
+	finish {
+		metallic
+		specular 0.9
+	}
+}
+
+union {
+	seite(A, Sakura, fein)
+	winkel(A, Sakura, Stern1, 0.5*fett, klein)
+	pigment {
+		color unbekannt
+	}
+	finish {
+		metallic
+		specular 0.9
+	}
+}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/common.inc b/buch/papers/nav/images/common.inc
new file mode 100644
index 0000000..7b861de
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/common.inc
@@ -0,0 +1,35 @@
+//
+// common.inc -- 3d Darstellung
+//
+// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+#version 3.7;
+#include "colors.inc"
+#include "macros.inc"
+
+global_settings {
+	assumed_gamma 1
+}
+
+#declare imagescale = 0.034;
+
+camera {
+	location <40, 20, -20>
+	look_at <0, 0.24, -0.20>
+	right x * imagescale
+	up y * imagescale
+}
+
+light_source {
+	<30, 10, -40> color White
+	area_light <1,0,0> <0,0,1>, 10, 10
+	adaptive 1
+	jitter
+}
+
+sky_sphere {
+	pigment {
+		color rgb<1,1,1>
+	}
+}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck.tex b/buch/papers/nav/images/dreieck.tex
new file mode 100644
index 0000000..55f6a81
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck.tex
@@ -0,0 +1,68 @@
+%
+% dreieck.tex -- sphärische Dreiecke für Positionsbestimmung
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc}
+\begin{document}
+
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+
+\def\skala{1}
+
+\def\punkt#1#2{
+	\fill[color=#2] #1 circle[radius=0.08];
+}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\input{dreieckdata.tex}
+\input{macros.tex}
+
+\def\punktbeschriftung{
+	\node at (A) [above] {$A$};
+	\node at (B) [left] {$B$};
+	\node at (C) [right] {$C$};
+	\node at (P) [below] {$P$};
+}
+
+\winkelKappa{gray}
+
+\winkelAlpha{red}
+\winkelGamma{blue}
+\winkelBeta{darkgreen}
+
+\winkelOmega{gray}
+\winkelBetaEins{brown}
+
+\seiteC{black}
+\seiteB{black}
+\seiteA{black}
+
+\seiteL{gray}
+\seitePB{gray}
+\seitePC{gray}
+
+\draw[line width=1.4pt] \kanteAB;
+\draw[line width=1.4pt] \kanteAC;
+\draw[color=gray] \kanteAP;
+\draw[line width=1.4pt] \kanteBC;
+\draw[color=gray] \kanteBP;
+\draw[color=gray] \kanteCP;
+
+\punkt{(A)}{black};
+\punkt{(B)}{black};
+\punkt{(C)}{black};
+\punkt{(P)}{gray};
+
+\punktbeschriftung
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck1.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck1.pdf
new file mode 100644
index 0000000..5bdf23d
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck1.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck1.tex b/buch/papers/nav/images/dreieck1.tex
new file mode 100644
index 0000000..436314c
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck1.tex
@@ -0,0 +1,59 @@
+%
+% dreieck.tex -- sphärische Dreiecke für Positionsbestimmung
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc}
+\begin{document}
+
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+
+\def\skala{1}
+
+\def\punkt#1#2{
+	\fill[color=#2] #1 circle[radius=0.08];
+}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\input{dreieckdata.tex}
+\input{macros.tex}
+
+\winkelAlpha{red}
+\winkelGamma{blue}
+\winkelBeta{darkgreen}
+
+\seiteC{black}
+\seiteB{black}
+\seiteA{black}
+
+%\seiteL{gray}
+\seitePB{gray}
+\seitePC{gray}
+
+\draw[line width=1.4pt] \kanteAB;
+\draw[line width=1.4pt] \kanteAC;
+%\draw[color=gray] \kanteAP;
+\draw[line width=1.4pt] \kanteBC;
+\draw[color=gray] \kanteBP;
+\draw[color=gray] \kanteCP;
+
+\punkt{(A)}{black};
+\punkt{(B)}{black};
+\punkt{(C)}{black};
+\punkt{(P)}{gray};
+
+\node at (A) [above] {$A$};
+\node at (B) [left] {$B$};
+\node at (C) [right] {$C$};
+\node[color=gray] at (P) [below] {$P$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck2.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck2.pdf
new file mode 100644
index 0000000..a872b25
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck2.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck2.tex b/buch/papers/nav/images/dreieck2.tex
new file mode 100644
index 0000000..99aabb7
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck2.tex
@@ -0,0 +1,59 @@
+%
+% dreieck2.tex -- sphärische Dreiecke für Positionsbestimmung
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc}
+\begin{document}
+
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+
+\def\skala{1}
+
+\def\punkt#1#2{
+	\fill[color=#2] #1 circle[radius=0.08];
+}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\input{dreieckdata.tex}
+\input{macros.tex}
+
+%\winkelAlpha{red}
+%\winkelGamma{blue}
+%\winkelBeta{darkgreen}
+
+\seiteC{black}
+\seiteB{black}
+%\seiteA{black}
+
+%\seiteL{gray}
+\seitePB{gray}
+\seitePC{gray}
+
+\draw[line width=1.4pt] \kanteAB;
+\draw[line width=1.4pt] \kanteAC;
+%\draw[color=gray] \kanteAP;
+\draw[line width=1.4pt] \kanteBC;
+\draw[color=gray] \kanteBP;
+\draw[color=gray] \kanteCP;
+
+\punkt{(A)}{black};
+\punkt{(B)}{black};
+\punkt{(C)}{black};
+\punkt{(P)}{gray};
+
+\node at (A) [above] {$A$};
+\node at (B) [left] {$B$};
+\node at (C) [right] {$C$};
+\node[color=gray] at (P) [below] {$P$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck3.pdf
new file mode 100644
index 0000000..65070c6
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3.tex b/buch/papers/nav/images/dreieck3.tex
new file mode 100644
index 0000000..0cf5363
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3.tex
@@ -0,0 +1,59 @@
+%
+% dreieck.tex -- sphärische Dreiecke für Positionsbestimmung
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc}
+\begin{document}
+
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+
+\def\skala{1}
+
+\def\punkt#1#2{
+	\fill[color=#2] #1 circle[radius=0.08];
+}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\input{dreieckdata.tex}
+\input{macros.tex}
+
+\winkelAlpha{red}
+%\winkelGamma{blue}
+%\winkelBeta{darkgreen}
+
+\seiteC{black}
+\seiteB{black}
+%\seiteA{black}
+
+%\seiteL{gray}
+\seitePB{gray}
+\seitePC{gray}
+
+\draw[line width=1.4pt] \kanteAB;
+\draw[line width=1.4pt] \kanteAC;
+%\draw[color=gray] \kanteAP;
+\draw[line width=1.4pt] \kanteBC;
+\draw[color=gray] \kanteBP;
+\draw[color=gray] \kanteCP;
+
+\punkt{(A)}{black};
+\punkt{(B)}{black};
+\punkt{(C)}{black};
+\punkt{(P)}{gray};
+
+\node at (A) [above] {$A$};
+\node at (B) [left] {$B$};
+\node at (C) [right] {$C$};
+\node[color=gray] at (P) [below] {$P$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pdf
new file mode 100644
index 0000000..fecaece
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pov
new file mode 100644
index 0000000..336161c
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pov
@@ -0,0 +1,61 @@
+//
+// dreiecke3d.pov
+//
+// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+#version 3.7;
+#include "common.inc"
+
+kugel(kugeldunkel)
+
+union {
+	seite(A, B, fett)
+	seite(B, C, fett)
+	seite(A, C, fett)
+	punkt(A, fett)
+	punkt(B, fett)
+	punkt(C, fett)
+	punkt(P, fein)
+	seite(B, P, fein)
+	seite(C, P, fein)
+	pigment {
+		color dreieckfarbe
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
+object {
+	winkel(A, B, C, fein, gross)
+	pigment {
+		color rot
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
+object {
+	winkel(B, C, A, fein, gross)
+	pigment {
+		color gruen
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
+object {
+	winkel(C, A, B, fein, gross)
+	pigment {
+		color blau
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.tex b/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.tex
new file mode 100644
index 0000000..799b21a
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.tex
@@ -0,0 +1,53 @@
+%
+% dreieck3d1.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{times}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{graphics}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\usepackage{ifthen}
+\begin{document}
+
+\newboolean{showgrid}
+\setboolean{showgrid}{false}
+\def\breite{4}
+\def\hoehe{4}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+
+% Povray Bild
+\node at (0,0) {\includegraphics[width=8cm]{dreieck3d1.jpg}};
+
+% Gitter
+\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{
+\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw                            (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\fill (0,0) circle[radius=0.05];
+}{}
+
+\node at (0.7,3.8) {$A$};
+\node at (-3.4,-0.8) {$B$};
+\node at (3.3,-2.1) {$C$};
+\node at (-1.4,-3.5) {$P$};
+
+\node at (-1.9,2.1) {$c$};
+\node at (-0.2,-1.2) {$a$};
+\node at (2.6,1.5) {$b$};
+
+\node at (-2.6,-2.2) {$p_b$};
+\node at (1,-2.9) {$p_c$};
+
+\node at (0.7,3) {$\alpha$};
+\node at (-2.5,-0.5) {$\beta$};
+\node at (2.3,-1.2) {$\gamma$};
+
+\end{tikzpicture}
+
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d10.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d10.pov
new file mode 100644
index 0000000..2dd7c79
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d10.pov
@@ -0,0 +1,46 @@
+//
+// dreiecke3d10.pov
+//
+// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+#include "common.inc"
+
+erde()
+
+#declare Stern1 = Deneb;
+#declare Stern2 = Spica;
+
+koordinatennetz(gitterfarbe, 9, 0.001)
+
+union {
+	seite(A, Stern1, 0.5*fein)
+	seite(A, Stern2, 0.5*fein)
+	seite(A, Sakura, 0.5*fein)
+	seite(Stern1, Sakura, 0.5*fein)
+	seite(Stern2, Sakura, 0.5*fein)
+	seite(Stern1, Stern2, 0.5*fein)
+
+	punkt(A, fein)
+	punkt(Sakura, fett)
+	punkt(Deneb, fein)
+	punkt(Spica, fein)
+	punkt(Altair, fein)
+	punkt(Arktur, fein)
+	pigment {
+		color Red
+	}
+}
+
+//arrow(<-1.3,0,0>, <1.3,0,0>, fein, White)
+arrow(<0,-1.3,0>, <0,1.3,0>, fein, White)
+//arrow(<0,0,-1.3>, <0,0,1.3>, fein, White)
+
+#declare imagescale = 0.044;
+
+camera {
+	location <40, 20, -20>
+	look_at <0, 0.24, -0.20>
+	right x * imagescale
+	up y * imagescale
+}
+
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new file mode 100644
index 0000000..28af5fe
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pov
new file mode 100644
index 0000000..9e57d22
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pov
@@ -0,0 +1,28 @@
+//
+// dreiecke3d.pov
+//
+// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+#include "common.inc"
+
+kugel(kugeldunkel)
+
+union {
+	seite(A, B, fett)
+	seite(B, C, fett)
+	seite(A, C, fett)
+	punkt(A, fett)
+	punkt(B, fett)
+	punkt(C, fett)
+	punkt(P, fein)
+	seite(B, P, fein)
+	seite(C, P, fein)
+	pigment {
+		color dreieckfarbe
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.tex b/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.tex
new file mode 100644
index 0000000..0f6e10c
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.tex
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+%
+% dreieck3d2.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{times}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{graphics}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\usepackage{ifthen}
+\begin{document}
+
+\newboolean{showgrid}
+\setboolean{showgrid}{false}
+\def\breite{4}
+\def\hoehe{4}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+
+% Povray Bild
+\node at (0,0) {\includegraphics[width=8cm]{dreieck3d2.jpg}};
+
+% Gitter
+\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{
+\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw                            (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\fill (0,0) circle[radius=0.05];
+}{}
+
+\node at (0.7,3.8) {$A$};
+\node at (-3.4,-0.8) {$B$};
+\node at (3.3,-2.1) {$C$};
+\node at (-1.4,-3.5) {$P$};
+
+\node at (-1.9,2.1) {$c$};
+%\node at (-0.2,-1.2) {$a$};
+\node at (2.6,1.5) {$b$};
+
+\node at (-2.6,-2.2) {$p_b$};
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+
+%\node at (0.7,3) {$\alpha$};
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+
+\end{tikzpicture}
+
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pdf
new file mode 100644
index 0000000..4fc4fc1
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pov
new file mode 100644
index 0000000..bde780b
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pov
@@ -0,0 +1,39 @@
+//
+// dreiecke3d.pov
+//
+// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+#include "common.inc"
+
+kugel(kugeldunkel)
+
+union {
+	seite(A, B, fett)
+	seite(B, C, fett)
+	seite(A, C, fett)
+	punkt(A, fett)
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+	punkt(C, fett)
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+	seite(B, P, fein)
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+		color dreieckfarbe
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
+object {
+	winkel(A, B, C, fein, gross)
+	pigment {
+		color rot
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.tex b/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.tex
new file mode 100644
index 0000000..a047b1b
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.tex
@@ -0,0 +1,53 @@
+%
+% dreieck3d3.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{times}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{graphics}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\usepackage{ifthen}
+\begin{document}
+
+\newboolean{showgrid}
+\setboolean{showgrid}{false}
+\def\breite{4}
+\def\hoehe{4}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+
+% Povray Bild
+\node at (0,0) {\includegraphics[width=8cm]{dreieck3d3.jpg}};
+
+% Gitter
+\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{
+\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw                            (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\fill (0,0) circle[radius=0.05];
+}{}
+
+\node at (0.7,3.8) {$A$};
+\node at (-3.4,-0.8) {$B$};
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+
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+
+\node at (-2.6,-2.2) {$p_b$};
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+
+\node at (0.7,3) {$\alpha$};
+%\node at (-2.5,-0.5) {$\beta$};
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+
+\end{tikzpicture}
+
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pdf
new file mode 100644
index 0000000..0d57fc2
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pov
new file mode 100644
index 0000000..08f266b
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pov
@@ -0,0 +1,39 @@
+//
+// dreiecke3d.pov
+//
+// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+#include "common.inc"
+
+kugel(kugelfarbe)
+
+union {
+	seite(A, B, fein)
+	seite(A, C, fein)
+	punkt(A, fein)
+	punkt(B, fett)
+	punkt(C, fett)
+	punkt(P, fett)
+	seite(B, C, fett)
+	seite(B, P, fett)
+	seite(C, P, fett)
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+		color dreieckfarbe
+	}
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+		specular 0.95
+		metallic
+	}
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+
+object {
+	winkel(B, C, P, fein, gross)
+	pigment {
+		color rgb<0.6,0.4,0.2>
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.tex b/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.tex
new file mode 100644
index 0000000..d49fb66
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.tex
@@ -0,0 +1,54 @@
+%
+% dreieck3d4.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{times}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{graphics}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\usepackage{ifthen}
+\begin{document}
+
+\newboolean{showgrid}
+\setboolean{showgrid}{false}
+\def\breite{4}
+\def\hoehe{4}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+
+% Povray Bild
+\node at (0,0) {\includegraphics[width=8cm]{dreieck3d4.jpg}};
+
+% Gitter
+\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{
+\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw                            (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\fill (0,0) circle[radius=0.05];
+}{}
+
+\node at (0.7,3.8) {$A$};
+\node at (-3.4,-0.8) {$B$};
+\node at (3.3,-2.1) {$C$};
+\node at (-1.4,-3.5) {$P$};
+
+%\node at (-1.9,2.1) {$c$};
+\node at (-0.2,-1.2) {$a$};
+%\node at (2.6,1.5) {$b$};
+
+\node at (-2.6,-2.2) {$p_b$};
+\node at (1,-2.9) {$p_c$};
+
+%\node at (0.7,3) {$\alpha$};
+%\node at (-2.5,-0.5) {$\beta$};
+%\node at (2.3,-1.2) {$\gamma$};
+\node at (-2.3,-1.5) {$\beta_1$};
+
+\end{tikzpicture}
+
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pdf
new file mode 100644
index 0000000..a5dd0ae
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pov
new file mode 100644
index 0000000..1aac0dc
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pov
@@ -0,0 +1,28 @@
+//
+// dreiecke3d.pov
+//
+// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+#include "common.inc"
+
+kugel(kugeldunkel)
+
+union {
+	seite(A, B, fein)
+	seite(A, C, fein)
+	punkt(A, fein)
+	punkt(B, fett)
+	punkt(C, fett)
+	punkt(P, fett)
+	seite(B, C, fett)
+	seite(B, P, fett)
+	seite(C, P, fett)
+	pigment {
+		color dreieckfarbe
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.tex b/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.tex
new file mode 100644
index 0000000..8011b37
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.tex
@@ -0,0 +1,53 @@
+%
+% dreieck3d5.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{times}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{graphics}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\usepackage{ifthen}
+\begin{document}
+
+\newboolean{showgrid}
+\setboolean{showgrid}{false}
+\def\breite{4}
+\def\hoehe{4}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+
+% Povray Bild
+\node at (0,0) {\includegraphics[width=8cm]{dreieck3d5.jpg}};
+
+% Gitter
+\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{
+\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw                            (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\fill (0,0) circle[radius=0.05];
+}{}
+
+\node at (0.7,3.8) {$A$};
+\node at (-3.4,-0.8) {$B$};
+\node at (3.3,-2.1) {$C$};
+\node at (-1.4,-3.5) {$P$};
+
+%\node at (-1.9,2.1) {$c$};
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+
+\node at (-2.6,-2.2) {$p_b$};
+\node at (1,-2.9) {$p_c$};
+
+%\node at (0.7,3) {$\alpha$};
+%\node at (-2.5,-0.5) {$\beta$};
+%\node at (2.3,-1.2) {$\gamma$};
+
+\end{tikzpicture}
+
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d6.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d6.pov
new file mode 100644
index 0000000..6bbd1a9
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d6.pov
@@ -0,0 +1,39 @@
+//
+// dreiecke3d.pov
+//
+// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+#include "common.inc"
+
+kugel(kugeldunkel)
+
+union {
+	seite(A, B, fett)
+	seite(A, C, fett)
+	seite(B, P, fett)
+	seite(C, P, fett)
+	seite(A, P, fett)
+	punkt(A, fett)
+	punkt(B, fett)
+	punkt(C, fett)
+	punkt(P, fett)
+	pigment {
+		color dreieckfarbe
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
+object {
+	winkel(B, A, P, fein, gross)
+	pigment {
+		color rgb<0.6,0.2,0.6>
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+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
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+}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d6.tex b/buch/papers/nav/images/dreieck3d6.tex
new file mode 100644
index 0000000..bbca2ca
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d6.tex
@@ -0,0 +1,55 @@
+%
+% dreieck3d6.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{times}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{graphics}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\usepackage{ifthen}
+\begin{document}
+
+\newboolean{showgrid}
+\setboolean{showgrid}{false}
+\def\breite{4}
+\def\hoehe{4}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+
+% Povray Bild
+\node at (0,0) {\includegraphics[width=8cm]{dreieck3d6.jpg}};
+
+% Gitter
+\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{
+\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw                            (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\fill (0,0) circle[radius=0.05];
+}{}
+
+\node at (0.7,3.8) {$A$};
+\node at (-3.4,-0.8) {$B$};
+\node at (3.3,-2.1) {$C$};
+\node at (-1.4,-3.5) {$P$};
+
+\node at (-1.9,2.1) {$c$};
+%\node at (-0.2,-1.2) {$a$};
+\node at (2.6,1.5) {$b$};
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+
+\node at (-2.6,-2.2) {$p_b$};
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+
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+%\node at (2.3,-1.2) {$\gamma$};
+\node at (-2.4,-0.6) {$\kappa$};
+
+\end{tikzpicture}
+
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d7.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d7.pov
new file mode 100644
index 0000000..45dc5d6
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d7.pov
@@ -0,0 +1,41 @@
+//
+// dreiecke3d.pov
+//
+// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+#include "common.inc"
+
+kugel(kugeldunkel)
+
+union {
+	seite(A, C, fett)
+	seite(A, P, fett)
+	seite(C, P, fett)
+
+	seite(A, B, fein)
+	seite(B, C, fein)
+	seite(B, P, fein)
+	punkt(A, fett)
+	punkt(C, fett)
+	punkt(P, fett)
+	punkt(B, fein)
+	pigment {
+		color dreieckfarbe
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
+object {
+	winkel(A, P, C, fein, gross)
+	pigment {
+		color rgb<0.4,0.4,1>
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+}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d7.tex b/buch/papers/nav/images/dreieck3d7.tex
new file mode 100644
index 0000000..4027a8b
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d7.tex
@@ -0,0 +1,55 @@
+%
+% dreieck3d7.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{times}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{graphics}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\usepackage{ifthen}
+\begin{document}
+
+\newboolean{showgrid}
+\setboolean{showgrid}{false}
+\def\breite{4}
+\def\hoehe{4}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+
+% Povray Bild
+\node at (0,0) {\includegraphics[width=8cm]{dreieck3d7.jpg}};
+
+% Gitter
+\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{
+\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw                            (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\fill (0,0) circle[radius=0.05];
+}{}
+
+\node at (0.7,3.8) {$A$};
+\node at (-3.4,-0.8) {$B$};
+\node at (3.3,-2.1) {$C$};
+\node at (-1.4,-3.5) {$P$};
+
+\node at (-1.9,2.1) {$c$};
+\node at (-0.2,-1.2) {$a$};
+\node at (2.6,1.5) {$b$};
+\node at (-0.7,0.3) {$l$};
+
+\node at (-2.6,-2.2) {$p_b$};
+\node at (1,-2.9) {$p_c$};
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+%\node at (0.7,3) {$\alpha$};
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+
+\end{tikzpicture}
+
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.jpg b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.jpg
new file mode 100644
index 0000000..f24ea33
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.jpg
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pdf
new file mode 100644
index 0000000..da3b110
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pov
new file mode 100644
index 0000000..dae7f67
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pov
@@ -0,0 +1,97 @@
+//
+// dreiecke3d8.pov
+//
+// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+#include "common.inc"
+
+union {
+	seite(A, B, fett)
+	seite(B, C, fett)
+	seite(A, C, fett)
+	seite(A, P, fein)
+	seite(B, P, fett)
+	seite(C, P, fett)
+	punkt(A, fett)
+	punkt(B, fett)
+	punkt(C, fett)
+	punkt(P, fett)
+	pigment {
+		color dreieckfarbe
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
+object {
+	winkel(A, B, C, fein, klein)
+	pigment {
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+	}
+	finish {
+		specular 0.95
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+	}
+}
+
+object {
+	winkel(B, C, A, fein, klein)
+	pigment {
+		color gruen
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
+object {
+	winkel(C, A, B, fein, gross)
+	pigment {
+		color blau
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
+object {
+	winkel(A, P, C, fein/2, gross)
+	pigment {
+		color rgb<0.8,0,0.8>
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
+object {
+	winkel(B, P, C, fein, klein)
+	pigment {
+		color rgb<1,0.8,0>
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
+object {
+	winkel(B, P, A, fein/2, gross)
+	pigment {
+		color rgb<0.4,0.6,0.8>
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
+dreieck(A, B, C, White)
+
+kugel(kugeldunkel)
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.tex b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.tex
new file mode 100644
index 0000000..c59c7b0
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.tex
@@ -0,0 +1,57 @@
+%
+% dreieck3d8.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{times}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{graphics}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\usepackage{ifthen}
+\begin{document}
+
+\newboolean{showgrid}
+\setboolean{showgrid}{false}
+\def\breite{4}
+\def\hoehe{4}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+
+% Povray Bild
+\node at (0,0) {\includegraphics[width=8cm]{dreieck3d8.jpg}};
+
+% Gitter
+\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{
+\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw                            (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\fill (0,0) circle[radius=0.05];
+}{}
+
+\node at (0.7,3.8) {$A$};
+\node at (-3.4,-0.8) {$B$};
+\node at (3.3,-2.1) {$C$};
+\node at (-1.4,-3.5) {$P$};
+
+\node at (-1.9,2.1) {$c$};
+\node at (-0.2,-1.2) {$a$};
+\node at (2.6,1.5) {$b$};
+\node at (-0.8,0) {$l$};
+
+\node at (-2.6,-2.2) {$p_b$};
+\node at (1,-2.9) {$p_c$};
+
+\node at (0.7,3.3) {$\alpha$};
+\node at (0.8,2.85) {$\omega$};
+\node at (-2.6,-0.6) {$\beta$};
+\node at (2.3,-1.2) {$\gamma$};
+\node at (-2.6,-1.3) {$\beta_1$};
+\node at (-2.1,-0.8) {$\kappa$};
+
+\end{tikzpicture}
+
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d9.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d9.pov
new file mode 100644
index 0000000..24d3843
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d9.pov
@@ -0,0 +1,66 @@
+//
+// dreiecke3d8.pov
+//
+// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+#include "common.inc"
+
+//union {
+//	seite(A, B, fein)
+//	seite(B, C, fein)
+//	seite(A, C, fein)
+//	seite(A, P, fein)
+//	seite(B, P, fett)
+//	seite(C, P, fett)
+//	punkt(A, fein)
+//	punkt(B, fett)
+//	punkt(C, fett)
+//	punkt(P, fett)
+//	pigment {
+//		color dreieckfarbe
+//	}
+//	finish {
+//		specular 0.95
+//		metallic
+//	}
+//}
+
+//dreieck(A, B, C, White)
+
+kugel(kugeltransparent)
+
+ebenerwinkel(O, C, P, 0.01, 1.001, rot)
+ebenerwinkel(P, C, P, 0.01, 0.3, rot)
+komplement(P, C, P, 0.01, 0.3, Yellow)
+
+ebenerwinkel(O, B, P, 0.01, 1.001, blau)
+ebenerwinkel(P, B, P, 0.01, 0.3, blau)
+komplement(P, B, P, 0.01, 0.3, Green)
+
+arrow(B, 1.5 * B, 0.015, White)
+arrow(C, 1.5 * C, 0.015, White)
+arrow(P, 1.5 * P, 0.015, White)
+
+union {
+	cylinder { O, P, 0.7 * fein }
+
+	cylinder { P, P + 3 * B, 0.7 * fein }
+	cylinder { O, B + 3 * B, 0.7 * fein }
+
+	cylinder { P, P + 3 * C, 0.7 * fein }
+	cylinder { O, C + 3 * C, 0.7 * fein }
+
+	pigment {
+		color White
+	}
+}
+
+#declare imagescale = 0.044;
+
+camera {
+	location <40, 20, -20>
+	look_at <0, 0.24, -0.20>
+	right x * imagescale
+	up y * imagescale
+}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck4.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck4.pdf
new file mode 100644
index 0000000..4871a1e
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck4.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck4.tex b/buch/papers/nav/images/dreieck4.tex
new file mode 100644
index 0000000..19a7d12
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck4.tex
@@ -0,0 +1,64 @@
+%
+% dreieck4.tex -- sphärische Dreiecke für Positionsbestimmung
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc}
+\begin{document}
+
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+
+\def\skala{1}
+
+\def\punkt#1#2{
+	\fill[color=#2] #1 circle[radius=0.08];
+}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\input{dreieckdata.tex}
+\input{macros.tex}
+
+%\winkelKappa{gray}
+
+%\winkelAlpha{red}
+%\winkelGamma{blue}
+%\winkelBeta{darkgreen}
+
+%\winkelOmega{gray}
+\winkelBetaEins{brown}
+
+%\seiteC{gray}
+%\seiteB{gray}
+%\seiteL{gray}
+
+\seiteA{black}
+\seitePB{black}
+\seitePC{black}
+
+\draw[color=gray] \kanteAB;
+\draw[color=gray] \kanteAC;
+%\draw[color=gray] \kanteAP;
+\draw[color=black,line width=1.4pt] \kanteBC;
+\draw[color=black,line width=1.4pt] \kanteBP;
+\draw[color=black,line width=1.4pt] \kanteCP;
+
+\punkt{(A)}{gray};
+\punkt{(B)}{black};
+\punkt{(C)}{black};
+\punkt{(P)}{black};
+
+\node[color=gray] at (A) [above] {$A$};
+\node at (B) [left] {$B$};
+\node at (C) [right] {$C$};
+\node at (P) [below] {$P$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck5.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck5.pdf
new file mode 100644
index 0000000..cf686e0
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck5.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck5.tex b/buch/papers/nav/images/dreieck5.tex
new file mode 100644
index 0000000..d1117d1
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck5.tex
@@ -0,0 +1,64 @@
+%
+% dreieck4.tex -- sphärische Dreiecke für Positionsbestimmung
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc}
+\begin{document}
+
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+
+\def\skala{1}
+
+\def\punkt#1#2{
+	\fill[color=#2] #1 circle[radius=0.08];
+}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\input{dreieckdata.tex}
+\input{macros.tex}
+
+%\winkelKappa{gray}
+
+%\winkelAlpha{red}
+%\winkelGamma{blue}
+%\winkelBeta{darkgreen}
+
+%\winkelOmega{gray}
+%\winkelBetaEins{brown}
+
+%\seiteC{gray}
+%\seiteB{gray}
+%\seiteL{gray}
+
+%\seiteA{black}
+\seitePB{black}
+\seitePC{black}
+
+\draw[color=gray] \kanteAB;
+\draw[color=gray] \kanteAC;
+%\draw[color=gray] \kanteAP;
+\draw[color=black,line width=1.4pt] \kanteBC;
+\draw[color=black,line width=1.4pt] \kanteBP;
+\draw[color=black,line width=1.4pt] \kanteCP;
+
+\punkt{(A)}{gray};
+\punkt{(B)}{black};
+\punkt{(C)}{black};
+\punkt{(P)}{black};
+
+\node[color=gray] at (A) [above] {$A$};
+\node at (B) [left] {$B$};
+\node at (C) [right] {$C$};
+\node at (P) [below] {$P$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck6.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck6.pdf
new file mode 100644
index 0000000..7efd673
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck6.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck6.tex b/buch/papers/nav/images/dreieck6.tex
new file mode 100644
index 0000000..87db1c2
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck6.tex
@@ -0,0 +1,64 @@
+%
+% dreieck6.tex -- sphärische Dreiecke für Positionsbestimmung
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc}
+\begin{document}
+
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+
+\def\skala{1}
+
+\def\punkt#1#2{
+	\fill[color=#2] #1 circle[radius=0.08];
+}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\input{dreieckdata.tex}
+\input{macros.tex}
+
+\winkelKappa{gray}
+
+%\winkelAlpha{red}
+%\winkelGamma{blue}
+%\winkelBeta{darkgreen}
+
+%\winkelOmega{gray}
+%\winkelBetaEins{brown}
+
+\seiteC{black}
+\seiteB{black}
+%\seiteA{gray}
+
+\seiteL{black}
+\seitePB{black}
+\seitePC{black}
+
+\draw[color=black,line width=1.4pt] \kanteAB;
+\draw[color=black,line width=1.4pt] \kanteAC;
+\draw[color=black,line width=1.4pt] \kanteAP;
+%\draw[color=gray] \kanteBC;
+\draw[color=black,line width=1.4pt] \kanteBP;
+\draw[color=black,line width=1.4pt] \kanteCP;
+
+\punkt{(A)}{black};
+\punkt{(B)}{black};
+\punkt{(C)}{black};
+\punkt{(P)}{black};
+
+\node at (A) [above] {$A$};
+\node at (B) [left] {$B$};
+\node at (C) [right] {$C$};
+\node at (P) [below] {$P$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck7.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck7.pdf
new file mode 100644
index 0000000..aa83e28
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck7.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck7.tex b/buch/papers/nav/images/dreieck7.tex
new file mode 100644
index 0000000..f084708
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck7.tex
@@ -0,0 +1,64 @@
+%
+% dreieck.tex -- sphärische Dreiecke für Positionsbestimmung
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc}
+\begin{document}
+
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+
+\def\skala{1}
+
+\def\punkt#1#2{
+	\fill[color=#2] #1 circle[radius=0.08];
+}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\input{dreieckdata.tex}
+\input{macros.tex}
+
+%\winkelKappa{gray}
+
+%\winkelAlpha{red}
+%\winkelGamma{blue}
+%\winkelBeta{darkgreen}
+
+\winkelOmega{gray}
+%\winkelBetaEins{brown}
+
+\seiteC{black}
+\seiteB{black}
+\seiteA{gray}
+
+\seiteL{black}
+\seitePB{gray}
+\seitePC{black}
+
+\draw[color=gray] \kanteAB;
+\draw[color=black,line width=1.4pt] \kanteAC;
+\draw[color=black,line width=1.4pt] \kanteAP;
+\draw[color=gray] \kanteBC;
+\draw[color=gray] \kanteBP;
+\draw[line width=1.4pt] \kanteCP;
+
+\punkt{(A)}{black};
+\punkt{(B)}{gray};
+\punkt{(C)}{black};
+\punkt{(P)}{black};
+
+\node at (A) [above] {$A$};
+\node[color=gray] at (B) [left] {$B$};
+\node at (C) [right] {$C$};
+\node at (P) [below] {$P$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieckdata.tex b/buch/papers/nav/images/dreieckdata.tex
new file mode 100644
index 0000000..c0fb720
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieckdata.tex
@@ -0,0 +1,16 @@
+\coordinate (P) at (0.0000,0.0000);
+\coordinate (A) at (1.0000,8.0000);
+\coordinate (B) at (-3.0000,3.0000);
+\coordinate (C) at (4.0000,4.0000);
+\def\kanteAB{(1.0000,8.0000) arc (114.77514:167.90524:7.1589)}
+\def\kanteBA{(-3.0000,3.0000) arc (167.90524:114.77514:7.1589)}
+\def\kanteAC{(1.0000,8.0000) arc (63.43495:10.30485:5.5902)}
+\def\kanteCA{(4.0000,4.0000) arc (10.30485:63.43495:5.5902)}
+\def\kanteAP{(1.0000,8.0000) arc (146.30993:199.44003:9.0139)}
+\def\kantePA{(0.0000,0.0000) arc (199.44003:146.30993:9.0139)}
+\def\kanteBC{(-3.0000,3.0000) arc (-95.90614:-67.83365:14.5774)}
+\def\kanteCB{(4.0000,4.0000) arc (-67.83365:-95.90614:14.5774)}
+\def\kanteBP{(-3.0000,3.0000) arc (-161.56505:-108.43495:4.7434)}
+\def\kantePB{(0.0000,0.0000) arc (-108.43495:-161.56505:4.7434)}
+\def\kanteCP{(4.0000,4.0000) arc (-30.96376:-59.03624:11.6619)}
+\def\kantePC{(0.0000,0.0000) arc (-59.03624:-30.96376:11.6619)}
diff --git a/buch/papers/nav/images/macros.inc b/buch/papers/nav/images/macros.inc
new file mode 100644
index 0000000..20cb2ff
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/macros.inc
@@ -0,0 +1,345 @@
+//
+// macros.inc -- 3d Darstellung
+//
+// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+#version 3.7;
+#include "colors.inc"
+
+//
+// Dimensions
+//
+#declare fett = 0.015;
+#declare fein = 0.010;
+
+#declare klein = 0.3;
+#declare gross = 0.4;
+
+//
+// colors
+//
+#declare dreieckfarbe = rgb<0.6,0.6,0.6>;
+#declare rot = rgb<0.8,0.2,0.2>;
+#declare gruen = rgb<0,0.6,0>;
+#declare blau = rgb<0.2,0.2,0.8>;
+
+#declare bekannt = rgb<0.2,0.6,1>;
+#declare unbekannt = rgb<1.0,0.6,0.8>;
+
+#declare kugelfarbe = rgb<0.8,0.8,0.8>;
+#declare kugeldunkel = rgb<0.4,0.4,0.4>;
+#declare kugeltransparent = rgbt<0.8,0.8,0.8,0.5>;
+
+#declare gitterfarbe = rgb<0.2,0.6,1>;
+#declare gitterfarbe = rgb<1.0,0.8,0>;
+
+//
+// Points Points
+//
+#declare O = <0, 0, 0>;
+#declare Nordpol = vnormalize(< 0, 1, 0>);
+#declare A = vnormalize(< 0, 1, 0>);
+#declare B = vnormalize(< 1, 2, -8>);
+#declare C = vnormalize(< 5, 1, 0>);
+#declare P = vnormalize(< 5, -1, -7>);
+
+//
+// \brief convert spherical coordinates to recctangular coordinates
+//
+// \param phi 
+// \param theta
+//
+#macro kugelpunkt(phi, theta)
+	< sin(theta) * cos(phi - pi), cos(theta), sin(theta) * sin(phi - pi) >
+#end
+
+#declare Sakura = kugelpunkt(radians(140.2325498), radians(90 -   35.71548014));
+#declare Deneb  = kugelpunkt(radians(191.9397759), radians(90 -   45.361194));
+#declare Spica  = kugelpunkt(radians(82.9868559),  radians(90 - (-11.279666)));
+#declare Altair = kugelpunkt(radians(179.3616609), radians(90 -    8.928416));
+#declare Arktur = kugelpunkt(radians(95.5647759),  radians(90 -   19.063222));
+
+//
+// draw an arrow from <from> to <to> with thickness <arrowthickness> with
+// color <c>
+//
+#macro arrow(from, to, arrowthickness, c)
+#declare arrowdirection = vnormalize(to - from);
+#declare arrowlength = vlength(to - from);
+union {
+        sphere {
+                from, 1.1 * arrowthickness
+        }
+        cylinder {
+                from,
+                from + (arrowlength - 5 * arrowthickness) * arrowdirection,
+                arrowthickness
+        }
+        cone {
+                from + (arrowlength - 5 * arrowthickness) * arrowdirection,
+                2 * arrowthickness,
+                to,
+                0
+        }
+        pigment {
+                color c
+        }
+        finish {
+                specular 0.9
+                metallic
+        }
+}
+#end
+
+#declare ntsteps = 100;
+
+//
+// \brief Draw a circle
+//
+// \param b1	basis vector for a coordinate system of the plane containing
+//		the circle
+// \param b2	the other basis vector
+// \param o	center of the circle
+// \param thick	diameter of the circular tube
+//
+#macro kreis(b1, b2, o, thick, maxwinkel)
+	#declare tpstep = pi / ntsteps;
+	#declare tp = tpstep;
+	#declare p1 = b1 + o;
+	sphere { p1, thick }
+	#declare tpstep = pi/ntsteps;
+	#while (tp < (maxwinkel - tpstep/2))
+		#declare p2 = cos(tp) * b1 + sin(tp) * b2 + o;
+		cylinder { p1, p2, thick }
+		sphere { p2, thick }
+		#declare p1 = p2;
+		#declare tp = tp + tpstep;
+	#end
+	#if ((tp - tpstep) < maxwinkel)
+		#declare p2 = cos(maxwinkel) * b1 + sin(maxwinkel) * b2 + o;
+		cylinder { p1, p2, thick }
+		sphere { p2, thick }
+	#end
+#end
+
+//
+// \brief Draw a great circle
+//
+// \param normale	the normal of the plane containing the great circle
+// \param thick		diameter
+//
+#macro grosskreis(normale, thick)
+	#declare other = < normale.y, -normale.x, normale.z >;
+	#declare b1 = vnormalize(vcross(other, normale));
+	#declare b2 = vnormalize(vcross(normale, b1));
+	kreis(b1, b2, <0,0,0>, thick, 2*pi)
+#end
+
+//
+// \brief Draw a circle of latitude
+//
+// \param theta		latitude
+// \param thick		diameter
+//
+#macro breitenkreis(theta, thick)
+	#declare b1 = sin(theta) * kugelpunkt(0, pi/2);
+	#declare b2 = sin(theta) * kugelpunkt(pi/2, pi/2);
+	#declare o = < 0, cos(theta), 0 >;
+	kreis(b1, b2, o, thick, 2*pi)
+#end
+
+//
+// \brief Draw the great circle connecting the two points
+//
+// \param p		first point
+// \param q		second point
+// \param staerke	diameter
+//
+
+#macro seite(p, q, staerke)
+	#declare s1 = vnormalize(p);
+	#declare s2 = vnormalize(q);
+	#declare w = acos(vdot(s1, s2));
+	#declare n = vnormalize(vcross(p, q));
+	#declare s2 = vnormalize(vcross(n, s1));
+	kreis(s1, s2, O, staerke, w)
+#end
+
+//
+// \brief Draw an angle
+//
+// \param w		the edge where the angle is located
+// \param p		point on the first leg
+// \param q		point on the second leg
+// \param r		diameter of the angle
+//
+#macro winkel(w, p, q, staerke, r)
+	#declare n = vnormalize(w);
+	#declare pp = vnormalize(p - vdot(n, p) * n);
+	#declare qq = vnormalize(q - vdot(n, q) * n);
+	intersection {
+		sphere { O, 1 + staerke }
+		cone { O, 0, 1.2 * vnormalize(w), r }
+		plane { -vcross(n, qq) * vdot(vcross(n, qq), pp), 0 }
+		plane { -vcross(n, pp) * vdot(vcross(n, pp), qq), 0 }
+	}
+#end
+
+//
+// \brief Draw a point on the sphere as a circle
+//
+// \param p		the point
+// \param staerke	the diameter of the point
+//
+#macro punkt(p, staerke)
+	sphere { p, 1.5 * staerke }
+#end
+
+//
+// \brief Draw a circle as a part of the differently colored cutout from 
+//        the sphere
+//
+// \param p		first point of the triangle
+// \param q		second point of the triangle
+// \param r		third point of the triangle
+// \param farbe		color
+//
+#macro dreieck(p, q, r, farbe)
+	#declare n1 = vnormalize(vcross(p, q));
+	#declare n2 = vnormalize(vcross(q, r));
+	#declare n3 = vnormalize(vcross(r, p));
+	intersection {
+		plane { n1, 0 }
+		plane { n2, 0 }
+		plane { n3, 0 }
+		sphere { <0, 0, 0>, 1 + 0.001 }
+		pigment {
+			color farbe
+		}
+		finish {
+			metallic
+			specular 0.4
+		}
+	}
+#end
+
+//
+// \brief 
+//
+// \param a		axis of the angle
+// \param p		first leg
+// \param q		second leg
+// \param s		thickness of the angle disk
+// \param r		radius of the angle disk
+// \param farbe		color
+//
+#macro ebenerwinkel(a, p, q, s, r, farbe)
+	#declare n = vnormalize(-vcross(p, q));
+	#declare np = vnormalize(-vcross(p, n));
+	#declare nq = -vnormalize(-vcross(q, n));
+//	arrow(a, a + n, 0.02, White)
+//	arrow(a, a + np, 0.01, Red)
+//	arrow(a, a + nq, 0.01, Blue)
+	intersection {
+		cylinder { a - (s/2) * n, a + (s/2) * n, r }
+		plane { np, vdot(np, a) }
+		plane { nq, vdot(nq, a) }
+		pigment {
+			farbe
+		}
+		finish {
+			metallic
+			specular 0.5
+		}
+	}
+#end
+
+//
+// \brief Show the complement angle
+//
+//
+#macro komplement(a, p, q, s, r, farbe)
+	#declare n = vnormalize(-vcross(p, q));
+//	arrow(a, a + n, 0.015, Orange)
+	#declare m = vnormalize(-vcross(q, n));
+//	arrow(a, a + m, 0.015, Pink)
+	ebenerwinkel(a, p, m, s, r, farbe)
+#end
+
+//
+// \brief Show a coordinate grid on the sphere
+//
+// \param farbe		the color of the grid
+// \param thick		the line thickness
+//
+#macro koordinatennetz(farbe, netzschritte, thick)
+union {
+	// circles of latitude
+	#declare theta = pi/(2*netzschritte);
+	#declare thetastep = pi/(2*netzschritte);
+	#while (theta < pi - thetastep/2)
+		breitenkreis(theta, thick)
+		#declare theta = theta + thetastep;
+	#end
+	// cirles of longitude
+	#declare phi = 0;
+	#declare phistep = pi/(2*netzschritte);
+	#while (phi < pi-phistep/2)
+		grosskreis(kugelpunkt(phi, pi/2), thick)
+		#declare phi = phi + phistep;
+	#end
+	pigment {
+		color farbe
+	}
+	finish {
+		specular 0.9
+		metallic
+	}
+}
+#end
+
+//
+// \brief Display a color of given color
+//
+// \param farbe		the color
+//
+#macro kugel(farbe)
+sphere {
+	<0, 0, 0>, 1
+	pigment {
+		color farbe
+	}
+}
+#end
+
+//
+// \brief Display the earth 
+//
+#macro erde(winkel)
+sphere {
+	<0, 0, 0>, 1
+	pigment {
+		image_map {
+			png "2k_earth_daymap.png" gamma 1.0
+			map_type 1
+		}
+	}
+	rotate <0,winkel,0>
+}
+#end
+
+//
+// achse
+//
+#macro achse(durchmesser, farbe)
+	cylinder {
+		< 0, -1.2, 0 >, <0, 1.2, 0 >, durchmesser
+		pigment {
+			color farbe
+		}
+		finish {
+			specular 0.9
+			metallic
+		}
+	}
+#end
diff --git a/buch/papers/nav/images/macros.tex b/buch/papers/nav/images/macros.tex
new file mode 100644
index 0000000..69a620d
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/macros.tex
@@ -0,0 +1,54 @@
+\def\winkelAlpha#1{
+	\begin{scope}
+		\clip (A) circle[radius=1.1];
+		\fill[color=#1!20] \kanteAB -- \kanteCA -- cycle;
+	\end{scope}
+	\node[color=#1] at ($(A)+(222:0.82)$) {$\alpha$};
+}
+
+\def\winkelOmega#1{
+	\begin{scope}
+		\clip (A) circle[radius=0.7];
+		\fill[color=#1!20] \kanteAP -- \kanteCA -- cycle;
+	\end{scope}
+	\node[color=#1] at ($(A)+(285:0.50)$) {$\omega$};
+}
+
+\def\winkelGamma#1{
+	\begin{scope}
+		\clip (C) circle[radius=1.0];
+		\fill[color=#1!20] \kanteCA -- \kanteBC -- cycle;
+	\end{scope}
+	\node[color=#1] at ($(C)+(155:0.60)$) {$\gamma$};
+}
+
+\def\winkelKappa#1{
+	\begin{scope}
+		\clip (B) circle[radius=1.2];
+		\fill[color=#1!20] \kanteBP -- \kanteAB -- cycle;
+	\end{scope}
+	\node[color=#1] at ($(B)+(15:1.00)$) {$\kappa$};
+}
+
+\def\winkelBeta#1{
+	\begin{scope}
+		\clip (B) circle[radius=0.8];
+		\fill[color=#1!20] \kanteBC -- \kanteAB -- cycle;
+	\end{scope}
+	\node[color=#1] at ($(B)+(35:0.40)$) {$\beta$};
+}
+
+\def\winkelBetaEins#1{
+	\begin{scope}
+		\clip (B) circle[radius=0.8];
+		\fill[color=#1!20] \kanteBP -- \kanteCB -- cycle;
+	\end{scope}
+	\node[color=#1] at ($(B)+(330:0.60)$) {$\beta_1$};
+}
+
+\def\seiteC#1{ \node[color=#1] at (-1.9,5.9) {$c$}; }
+\def\seiteB#1{ \node[color=#1] at (3.2,6.5) {$b$}; }
+\def\seiteL#1{ \node[color=#1] at (-0.2,4.5) {$l$}; }
+\def\seiteA#1{ \node[color=#1] at (2,3) {$a$}; }
+\def\seitePB#1{ \node[color=#1] at (-2.1,1) {$p_b$}; }
+\def\seitePC#1{ \node[color=#1] at (2.5,1.5) {$p_c$}; }
diff --git a/buch/papers/nav/images/pk.m b/buch/papers/nav/images/pk.m
new file mode 100644
index 0000000..6e89e9a
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/pk.m
@@ -0,0 +1,55 @@
+#
+# pk.m -- Punkte und Kanten für sphärisches Dreieck
+#
+# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+
+A = [  1, 8 ];
+B = [ -3, 3 ];
+C = [  4, 4 ];
+P = [  0, 0 ];
+
+global fn;
+fn = fopen("dreieckdata.tex", "w");
+
+fprintf(fn, "\\coordinate (P) at (%.4f,%.4f);\n", P(1,1), P(1,2));
+fprintf(fn, "\\coordinate (A) at (%.4f,%.4f);\n", A(1,1), A(1,2));
+fprintf(fn, "\\coordinate (B) at (%.4f,%.4f);\n", B(1,1), B(1,2));
+fprintf(fn, "\\coordinate (C) at (%.4f,%.4f);\n", C(1,1), C(1,2));
+
+function retval = seite(A, B, l, nameA, nameB)
+	global fn;
+	d = fliplr(B - A);
+	d(1, 2) = -d(1, 2);
+	# Zentrum
+	C = 0.5 * (A + B) + l * d;
+	# Radius:
+	r = hypot(C(1,1)-A(1,1), C(1,2)-A(1,2))
+	# Winkel von
+	winkelvon = atan2(A(1,2)-C(1,2),A(1,1)-C(1,1));
+	# Winkel bis
+	winkelbis = atan2(B(1,2)-C(1,2),B(1,1)-C(1,1));
+	if (abs(winkelvon - winkelbis) > pi)
+		if (winkelbis < winkelvon)
+			winkelbis = winkelbis + 2 * pi
+		else
+			winkelvon = winkelvon + 2 * pi
+		end
+	end
+	# Kurve
+	fprintf(fn, "\\def\\kante%s%s{(%.4f,%.4f) arc (%.5f:%.5f:%.4f)}\n",
+		nameA, nameB,
+		A(1,1), A(1,2), winkelvon * 180 / pi, winkelbis * 180 / pi, r);
+	fprintf(fn, "\\def\\kante%s%s{(%.4f,%.4f) arc (%.5f:%.5f:%.4f)}\n",
+		nameB, nameA,
+		B(1,1), B(1,2), winkelbis * 180 / pi, winkelvon * 180 / pi, r);
+endfunction
+
+seite(A, B, -1, "A", "B");
+seite(A, C, 1, "A", "C");
+seite(A, P, -1, "A", "P");
+seite(B, C, -2, "B", "C");
+seite(B, P, -1, "B", "P");
+seite(C, P, 2, "C", "P");
+
+fclose(fn);
diff --git a/buch/papers/nav/images/position/2k_earth_daymap.png b/buch/papers/nav/images/position/2k_earth_daymap.png
new file mode 100644
index 0000000..4d55da8
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/position/2k_earth_daymap.png
diff --git a/buch/papers/nav/images/position/Makefile b/buch/papers/nav/images/position/Makefile
new file mode 100644
index 0000000..eed2e56
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/position/Makefile
@@ -0,0 +1,69 @@
+#
+# Makefile to build images 
+#
+# (c) 2022
+#
+all:	position
+
+POSITION =								\
+	position1.pdf position1-small.pdf				\
+	position2.pdf position2-small.pdf				\
+	position3.pdf position3-small.pdf				\
+	position4.pdf position4-small.pdf				\
+	position5.pdf position5-small.pdf	
+
+position: $(POSITION)
+
+POVRAYOPTIONS = -W1080 -H1080
+#POVRAYOPTIONS = -W480 -H480
+
+position1.png:	position1.pov common.inc ../macros.inc
+	povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Oposition1.png position1.pov
+position1.jpg:	position1.png
+	convert position1.png -density 300 -units PixelsPerInch position1.jpg
+position1.pdf:	position1.tex common.tex position1.jpg
+	pdflatex position1.tex
+
+position2.png:	position2.pov common.inc ../macros.inc
+	povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Oposition2.png position2.pov
+position2.jpg:	position2.png
+	convert position2.png -density 300 -units PixelsPerInch position2.jpg
+position2.pdf:	position2.tex common.tex position2.jpg
+	pdflatex position2.tex
+
+position3.png:	position3.pov common.inc ../macros.inc
+	povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Oposition3.png position3.pov
+position3.jpg:	position3.png
+	convert position3.png -density 300 -units PixelsPerInch position3.jpg
+position3.pdf:	position3.tex common.tex position3.jpg
+	pdflatex position3.tex
+
+position4.png:	position4.pov common.inc ../macros.inc
+	povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Oposition4.png position4.pov
+position4.jpg:	position4.png
+	convert position4.png -density 300 -units PixelsPerInch position4.jpg
+position4.pdf:	position4.tex common.tex position4.jpg
+	pdflatex position4.tex
+
+position5.png:	position5.pov common.inc ../macros.inc
+	povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Oposition5.png position5.pov
+position5.jpg:	position5.png
+	convert position5.png -density 300 -units PixelsPerInch position5.jpg
+position5.pdf:	position5.tex common.tex position5.jpg
+	pdflatex position5.tex
+
+position1-small.pdf:	position1-small.tex common.tex position1.jpg
+	pdflatex position1-small.tex
+position2-small.pdf:	position2-small.tex common.tex position2.jpg
+	pdflatex position2-small.tex
+position3-small.pdf:	position3-small.tex common.tex position3.jpg
+	pdflatex position3-small.tex
+position4-small.pdf:	position4-small.tex common.tex position4.jpg
+	pdflatex position4-small.tex
+position5-small.pdf:	position5-small.tex common.tex position5.jpg
+	pdflatex position5-small.tex
+
+test:	test.pdf
+
+test.pdf:	test.tex $(POSITION)
+	pdflatex test.tex
diff --git a/buch/papers/nav/images/position/common-small.tex b/buch/papers/nav/images/position/common-small.tex
new file mode 100644
index 0000000..9430608
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/position/common-small.tex
@@ -0,0 +1,32 @@
+%
+% common.tex
+%
+% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+
+\def\labelA{\node at (0.7,3.8) {$A$};}
+\def\labelB{\node at (-3.4,-0.8) {$B$};}
+\def\labelC{\node at (3.3,-2.1) {$C$};}
+\def\labelP{\node at (-1.4,-3.5) {$P$};}
+
+\def\labelc{\node at (-1.9,2.1) {$c$};}
+\def\labela{\node at (-0.2,-1.2) {$a$};}
+\def\labelb{\node at (2.6,1.5) {$b$};}
+
+\def\labelhb{\node at (-2.6,-2.2) {$h_B$};}
+\def\labelhc{\node at (1,-2.9) {$h_C$};}
+\def\labell{\node at (-0.7,0.3) {$l$};}
+
+\def\labelalpha{\node at (0.6,2.85) {$\alpha$};}
+\def\labelbeta{\node at (-2.5,-0.5) {$\beta$};}
+\def\labelgamma{\node at (2.3,-1.2) {$\gamma$};}
+\def\labelomega{\node at (0.85,3.3) {$\omega$};}
+
+\def\labelgammaone{\node at (2.1,-2.0) {$\gamma_1$};}
+\def\labelgammatwo{\node at (2.3,-1.3) {$\gamma_2$};}
+\def\labelbetaone{\node at (-2.4,-1.4) {$\beta_1$};}
+\def\labelbetatwo{\node at (-2.5,-0.8) {$\beta_2$};}
+
+\def\labelomegalinks{\node at (0.25,3.25) {$\omega$};}
+\def\labelomegarechts{\node at (0.85,3.1) {$\omega$};}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/position/common.inc b/buch/papers/nav/images/position/common.inc
new file mode 100644
index 0000000..56e2836
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/position/common.inc
@@ -0,0 +1,39 @@
+//
+// common.inc -- 3d Darstellung
+//
+// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+#version 3.7;
+#include "colors.inc"
+#include "../macros.inc"
+
+global_settings {
+	assumed_gamma 1
+}
+
+#declare imagescale = 0.034;
+
+camera {
+	location <40, 20, -20>
+	look_at <0, 0.24, -0.20>
+	right x * imagescale
+	up y * imagescale
+}
+
+light_source {
+	<30, 10, -40> color White
+	area_light <1,0,0> <0,0,1>, 10, 10
+	adaptive 1
+	jitter
+}
+
+sky_sphere {
+	pigment {
+		color rgb<1,1,1>
+	}
+}
+
+//kugel(kugeldunkel)
+erde(-100)
+koordinatennetz(gitterfarbe, 9, 0.001)
+achse(fein, White)
diff --git a/buch/papers/nav/images/position/common.tex b/buch/papers/nav/images/position/common.tex
new file mode 100644
index 0000000..9430608
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/position/common.tex
@@ -0,0 +1,32 @@
+%
+% common.tex
+%
+% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+
+\def\labelA{\node at (0.7,3.8) {$A$};}
+\def\labelB{\node at (-3.4,-0.8) {$B$};}
+\def\labelC{\node at (3.3,-2.1) {$C$};}
+\def\labelP{\node at (-1.4,-3.5) {$P$};}
+
+\def\labelc{\node at (-1.9,2.1) {$c$};}
+\def\labela{\node at (-0.2,-1.2) {$a$};}
+\def\labelb{\node at (2.6,1.5) {$b$};}
+
+\def\labelhb{\node at (-2.6,-2.2) {$h_B$};}
+\def\labelhc{\node at (1,-2.9) {$h_C$};}
+\def\labell{\node at (-0.7,0.3) {$l$};}
+
+\def\labelalpha{\node at (0.6,2.85) {$\alpha$};}
+\def\labelbeta{\node at (-2.5,-0.5) {$\beta$};}
+\def\labelgamma{\node at (2.3,-1.2) {$\gamma$};}
+\def\labelomega{\node at (0.85,3.3) {$\omega$};}
+
+\def\labelgammaone{\node at (2.1,-2.0) {$\gamma_1$};}
+\def\labelgammatwo{\node at (2.3,-1.3) {$\gamma_2$};}
+\def\labelbetaone{\node at (-2.4,-1.4) {$\beta_1$};}
+\def\labelbetatwo{\node at (-2.5,-0.8) {$\beta_2$};}
+
+\def\labelomegalinks{\node at (0.25,3.25) {$\omega$};}
+\def\labelomegarechts{\node at (0.85,3.1) {$\omega$};}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position1-small.pdf b/buch/papers/nav/images/position/position1-small.pdf
new file mode 100644
index 0000000..ba7755f
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/position/position1-small.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position1-small.tex b/buch/papers/nav/images/position/position1-small.tex
new file mode 100644
index 0000000..05fad44
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/position/position1-small.tex
@@ -0,0 +1,55 @@
+%
+% position1-small.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{times}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{graphics}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\usepackage{ifthen}
+\begin{document}
+
+\input{common-small.tex}
+
+\newboolean{showgrid}
+\setboolean{showgrid}{false}
+\def\breite{4}
+\def\hoehe{4}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=0.625]
+
+% Povray Bild
+\node at (0,0) {\includegraphics[width=5cm]{position1.jpg}};
+
+% Gitter
+\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{
+\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw                            (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\fill (0,0) circle[radius=0.05];
+}{}
+
+\labelA
+\labelB
+\labelC
+\labelP
+
+\labelc
+\labela
+\labelb
+\labell
+
+\labelhb
+\labelhc
+
+\labelalpha
+\labelomega
+
+\end{tikzpicture}
+
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position1.pdf b/buch/papers/nav/images/position/position1.pdf
new file mode 100644
index 0000000..fc4f760
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/position/position1.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position1.pov b/buch/papers/nav/images/position/position1.pov
new file mode 100644
index 0000000..a79a9f1
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/position/position1.pov
@@ -0,0 +1,71 @@
+//
+// position1.pov
+//
+// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+#version 3.7;
+#include "common.inc"
+
+union {
+	seite(B, C, fett)
+	punkt(A, fett)
+	punkt(B, fett)
+	punkt(C, fett)
+	punkt(P, fett)
+	pigment {
+		color dreieckfarbe
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
+union {
+	seite(A, P, fett)
+	pigment {
+		color rot
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
+
+union {
+	seite(A, B, fett)
+	seite(A, C, fett)
+	seite(B, P, fett)
+	seite(C, P, fett)
+	pigment {
+		color bekannt
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
+object {
+	winkel(A, B, C, fein, gross)
+	pigment {
+		color bekannt
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
+object {
+	winkel(A, P, C, fett, klein)
+	pigment {
+		color rot
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position1.tex b/buch/papers/nav/images/position/position1.tex
new file mode 100644
index 0000000..d6c21c3
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/position/position1.tex
@@ -0,0 +1,55 @@
+%
+% dreieck3d1.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{times}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{graphics}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\usepackage{ifthen}
+\begin{document}
+
+\input{common.tex}
+
+\newboolean{showgrid}
+\setboolean{showgrid}{false}
+\def\breite{4}
+\def\hoehe{4}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+
+% Povray Bild
+\node at (0,0) {\includegraphics[width=8cm]{position1.jpg}};
+
+% Gitter
+\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{
+\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw                            (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\fill (0,0) circle[radius=0.05];
+}{}
+
+\labelA
+\labelB
+\labelC
+\labelP
+
+\labelc
+\labela
+\labelb
+\labell
+
+\labelhb
+\labelhc
+
+\labelalpha
+\labelomega
+
+\end{tikzpicture}
+
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position2-small.pdf b/buch/papers/nav/images/position/position2-small.pdf
new file mode 100644
index 0000000..3333dd4
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/position/position2-small.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position2-small.tex b/buch/papers/nav/images/position/position2-small.tex
new file mode 100644
index 0000000..e5c33cf
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/position/position2-small.tex
@@ -0,0 +1,53 @@
+%
+% position2-small.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{times}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{graphics}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\usepackage{ifthen}
+\begin{document}
+
+\input{common-small.tex}
+
+\newboolean{showgrid}
+\setboolean{showgrid}{false}
+\def\breite{4}
+\def\hoehe{4}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=0.625]
+
+% Povray Bild
+\node at (0,0) {\includegraphics[width=5cm]{position2.jpg}};
+
+% Gitter
+\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{
+\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw                            (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\fill (0,0) circle[radius=0.05];
+}{}
+
+\labelA
+\labelB
+\labelC
+
+\labelc
+\labela
+\labelb
+
+\begin{scope}[yshift=0.3cm,xshift=0.1cm]
+\labelalpha
+\end{scope}
+\labelbeta
+\labelgamma
+
+\end{tikzpicture}
+
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position2.pdf b/buch/papers/nav/images/position/position2.pdf
new file mode 100644
index 0000000..dbd2ea9
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/position/position2.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position2.pov b/buch/papers/nav/images/position/position2.pov
new file mode 100644
index 0000000..2abcd94
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/position/position2.pov
@@ -0,0 +1,70 @@
+//
+// position3.pov
+//
+// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+#version 3.7;
+#include "common.inc"
+
+dreieck(A, B, C, kugelfarbe)
+
+union {
+	punkt(A, fett)
+	punkt(B, fett)
+	punkt(C, fett)
+	pigment {
+		color dreieckfarbe
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
+union {
+	seite(A, B, fett)
+	seite(A, C, fett)
+	pigment {
+		color bekannt
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
+union {
+	seite(B, C, fett)
+	pigment {
+		color unbekannt
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
+object {
+	winkel(A, B, C, fein, gross)
+	pigment {
+		color bekannt
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
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+}
+
+union {
+	winkel(B, C, A, fein, gross)
+	winkel(C, A, B, fein, gross)
+	pigment {
+		color unbekannt
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+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position2.tex b/buch/papers/nav/images/position/position2.tex
new file mode 100644
index 0000000..339592c
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/position/position2.tex
@@ -0,0 +1,53 @@
+%
+% position2.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{times}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{graphics}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\usepackage{ifthen}
+\begin{document}
+
+\input{common.tex}
+
+\newboolean{showgrid}
+\setboolean{showgrid}{false}
+\def\breite{4}
+\def\hoehe{4}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+
+% Povray Bild
+\node at (0,0) {\includegraphics[width=8cm]{position2.jpg}};
+
+% Gitter
+\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{
+\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
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+\draw                            (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\fill (0,0) circle[radius=0.05];
+}{}
+
+\labelA
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+\labelC
+
+\labelc
+\labela
+\labelb
+
+\begin{scope}[yshift=0.3cm,xshift=0.1cm]
+\labelalpha
+\end{scope}
+\labelbeta
+\labelgamma
+
+\end{tikzpicture}
+
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position3-small.pdf b/buch/papers/nav/images/position/position3-small.pdf
new file mode 100644
index 0000000..fae0b85
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/position/position3-small.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position3-small.tex b/buch/papers/nav/images/position/position3-small.tex
new file mode 100644
index 0000000..4f7b0e9
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/position/position3-small.tex
@@ -0,0 +1,51 @@
+%
+% position3-small.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{times}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{graphics}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\usepackage{ifthen}
+\begin{document}
+
+\input{common-small.tex}
+
+\newboolean{showgrid}
+\setboolean{showgrid}{false}
+\def\breite{4}
+\def\hoehe{4}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=0.625]
+
+% Povray Bild
+\node at (0,0) {\includegraphics[width=5cm]{position3.jpg}};
+
+% Gitter
+\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{
+\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
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+\draw                            (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\fill (0,0) circle[radius=0.05];
+}{}
+
+\labelB
+\labelC
+\labelP
+
+\labela
+
+\labelhb
+\labelhc
+
+\labelbetaone
+\labelgammaone
+
+\end{tikzpicture}
+
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position3.pdf b/buch/papers/nav/images/position/position3.pdf
new file mode 100644
index 0000000..2c940d2
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/position/position3.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position3.pov b/buch/papers/nav/images/position/position3.pov
new file mode 100644
index 0000000..f6823eb
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/position/position3.pov
@@ -0,0 +1,48 @@
+//
+// position3.pov
+//
+// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+#version 3.7;
+#include "common.inc"
+
+dreieck(B, P, C, kugelfarbe)
+
+union {
+	punkt(B, fett)
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+
diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position3.tex b/buch/papers/nav/images/position/position3.tex
new file mode 100644
index 0000000..d5480da
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/position/position3.tex
@@ -0,0 +1,51 @@
+%
+% dreieck3d1.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{times}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{graphics}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\usepackage{ifthen}
+\begin{document}
+
+\input{common.tex}
+
+\newboolean{showgrid}
+\setboolean{showgrid}{false}
+\def\breite{4}
+\def\hoehe{4}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+
+% Povray Bild
+\node at (0,0) {\includegraphics[width=8cm]{position3.jpg}};
+
+% Gitter
+\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{
+\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
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+\draw                            (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\fill (0,0) circle[radius=0.05];
+}{}
+
+\labelB
+\labelC
+\labelP
+
+\labela
+
+\labelhb
+\labelhc
+
+\labelbetaone
+\labelgammaone
+
+\end{tikzpicture}
+
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position4-small.pdf b/buch/papers/nav/images/position/position4-small.pdf
new file mode 100644
index 0000000..ac80c46
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/position/position4-small.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position4-small.tex b/buch/papers/nav/images/position/position4-small.tex
new file mode 100644
index 0000000..e06523b
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/position/position4-small.tex
@@ -0,0 +1,50 @@
+%
+% position4-small.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{times}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{graphics}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\usepackage{ifthen}
+\begin{document}
+
+\input{common-small.tex}
+
+\newboolean{showgrid}
+\setboolean{showgrid}{false}
+\def\breite{4}
+\def\hoehe{4}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=0.625]
+
+% Povray Bild
+\node at (0,0) {\includegraphics[width=5cm]{position4.jpg}};
+
+% Gitter
+\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{
+\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw                            (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\fill (0,0) circle[radius=0.05];
+}{}
+
+\labelA
+\labelB
+\labelP
+
+\labelc
+\labell
+\labelhb
+
+\labelomegalinks
+\labelbetatwo
+
+\end{tikzpicture}
+
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position4.pdf b/buch/papers/nav/images/position/position4.pdf
new file mode 100644
index 0000000..8eeeaac
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/position/position4.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position4.pov b/buch/papers/nav/images/position/position4.pov
new file mode 100644
index 0000000..80628f9
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/position/position4.pov
@@ -0,0 +1,69 @@
+//
+// position4.pov
+//
+// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+#version 3.7;
+#include "common.inc"
+
+dreieck(A, B, P, kugelfarbe)
+
+union {
+	punkt(A, fett)
+	punkt(B, fett)
+	punkt(P, fett)
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+		color dreieckfarbe
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
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+
+union {
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+	pigment {
+		color unbekannt
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
+
+union {
+	seite(A, B, fett)
+	seite(B, P, fett)
+	pigment {
+		color bekannt
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
+object {
+	winkel(B, P, A, fein, gross)
+	pigment {
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+	finish {
+		specular 0.95
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+
+object {
+	winkel(A, B, P, fein, gross)
+	pigment {
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+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
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diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position4.tex b/buch/papers/nav/images/position/position4.tex
new file mode 100644
index 0000000..27c1757
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/position/position4.tex
@@ -0,0 +1,50 @@
+%
+% position4.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{times}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
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+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
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+\node at (0,0) {\includegraphics[width=8cm]{position4.jpg}};
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+% Gitter
+\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{
+\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
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+\draw                            (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\fill (0,0) circle[radius=0.05];
+}{}
+
+\labelA
+\labelB
+\labelP
+
+\labelc
+\labell
+\labelhb
+
+\labelomegalinks
+\labelbetatwo
+
+\end{tikzpicture}
+
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position5-small.pdf b/buch/papers/nav/images/position/position5-small.pdf
new file mode 100644
index 0000000..afe120e
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/position/position5-small.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position5-small.tex b/buch/papers/nav/images/position/position5-small.tex
new file mode 100644
index 0000000..0a0e229
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+++ b/buch/papers/nav/images/position/position5-small.tex
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+%
+% position5-small.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{times}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{graphics}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
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+
+\input{common-small.tex}
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+\newboolean{showgrid}
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+}{}
+
+\labelA
+\labelC
+\labelP
+
+\labelb
+\labell
+\labelhc
+
+\labelomegarechts
+\labelgammatwo
+
+\end{tikzpicture}
+
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/position/position5.pdf b/buch/papers/nav/images/position/position5.pdf
new file mode 100644
index 0000000..05a64cb
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/position/position5.pdf
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+++ b/buch/papers/nav/images/position/position5.pov
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+//
+// position5.pov
+//
+// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+#version 3.7;
+#include "common.inc"
+
+dreieck(A, P, C, kugelfarbe)
+
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+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
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+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{times}
+\usepackage{amsmath}
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+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{graphics}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\usepackage{ifthen}
+\begin{document}
+
+\input{common.tex}
+
+\newboolean{showgrid}
+\setboolean{showgrid}{false}
+\def\breite{4}
+\def\hoehe{4}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+
+% Povray Bild
+\node at (0,0) {\includegraphics[width=8cm]{position5.jpg}};
+
+% Gitter
+\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{
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+\fill (0,0) circle[radius=0.05];
+}{}
+
+\labelA
+\labelC
+\labelP
+
+\labelb
+\labell
+\labelhc
+
+\labelomegarechts
+\labelgammatwo
+
+\end{tikzpicture}
+
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/position/test.tex b/buch/papers/nav/images/position/test.tex
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+% test.tex
+%
+% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[12pt]{article}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
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+\usepackage[ngerman]{babel}
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+
+\begin{wrapfigure}{R}{5.6cm}
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+\end{wrapfigure}
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+
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+
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+ut purus mattis mauris
+
+\end{document}
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index e11e2c0..f993559 100644
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@@ -3,34 +3,21 @@
 %
 % (c) 2020 Hochschule Rapperswil
 %
-\chapter{Thema\label{chapter:nav}}
-\lhead{Thema}
+\chapter{Sphärische Navigation\label{chapter:nav}}
+\lhead{Sphärische Navigation}
 \begin{refsection}
-\chapterauthor{Hans Muster}
+\chapterauthor{Enez Erdem und Marc Kühne}
 
-Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes
-\begin{itemize}
-\item
-Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt.
-Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet.
-\item
-Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende
-Optionen werden gelöscht. 
-Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen.
-\item
-Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. 
-Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen
-in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt 
-anzuwenden.
-\item 
-Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren
-Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern.
-\end{itemize}
 
-\input{papers/nav/teil0.tex}
-\input{papers/nav/teil1.tex}
-\input{papers/nav/teil2.tex}
-\input{papers/nav/teil3.tex}
+
+\input{papers/nav/einleitung.tex}
+\input{papers/nav/flatearth.tex}
+\input{papers/nav/sincos.tex}
+\input{papers/nav/trigo.tex}
+\input{papers/nav/nautischesdreieck.tex}
+\input{papers/nav/bsp2.tex}
+
 
 \printbibliography[heading=subbibliography]
 \end{refsection}
+
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new file mode 100644
index 0000000..32d1b8b
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex
@@ -0,0 +1,172 @@
+\section{Das Nautische Dreieck}
+\rhead{Das nautische Dreieck}
+\subsection{Definition des Nautischen Dreiecks}
+Die Himmelskugel ist eine gedachte Kugel, welche die Erde und dessen Beobachter umgibt und als Rechenfläche für Koordinaten in der Astronomie und Geodäsie dient.
+Der Zenit ist jener Punkt, der vom Erdmittelpunkt durch denn eigenen Standort an die Himmelskugel verlängert wird.
+Als Gestirne kommen Sterne und Planeten in Frage, zu welchen in diversen Jahrbüchern die für die Navigation nötigen Daten publiziert sind.
+Der Himmelspol ist der Nordpol an die Himmelskugel projiziert.
+Das nautische Dreieck hat die Ecken Zenit, Gestirn und Himmelspol, wie man in der Abbildung \ref{naut} sehen kann.
+
+Ursprünglich ist das nautische Dreieck ein Hilfsmittel der sphärischen Astronomie um die momentane Position eines Fixsterns oder Planeten an der Himmelskugel zu bestimmen. 
+
+\subsection{Das Bilddreieck}
+\begin{figure}
+	\begin{center}
+		\includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel3.png}
+		\caption[Nautisches Dreieck]{Nautisches Dreieck}
+		\label{naut}
+	\end{center}
+\end{figure}
+ Man kann das nautische Dreieck auf die Erdkugel projizieren.
+Dieses Dreieck nennt man dann Bilddreieck. 
+Als Bildpunkt wird in der astronomischen Navigation der Punkt bezeichnet, an dem eine gedachte Linie vom Mittelpunkt eines beobachteten Gestirns zum Mittelpunkt der Erde die Erdoberfläche schneidet. 
+Die Projektion des nautischen Dreiecks auf die Erdkugel hat die Ecken Nordpol, Standort und Bildpunkt.
+
+\section{Standortbestimmung ohne elektronische Hilfsmittel}
+\label{sta}
+Um den eigenen Standort herauszufinden, wird in diesem Kapitel die Projektion des nautische Dreiecks auf die Erdkugel zur Hilfe genommen. 
+Mithilfe eines Sextanten, einem Jahrbuch und der sphärischen Trigonometrie kann man dann die Längen- und Breitengrade des eigenen Standortes bestimmen.
+Was ein Sextant und ein Jahrbuch ist, wird im Abschnitt \ref{ephe} erklärt.
+\begin{figure}
+	\begin{center}
+		\includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/dreieck.pdf}
+		\caption[Dreieck für die Standortbestimmung]{Dreieck für die Standortbestimmung}
+		\label{d1}
+	\end{center}
+\end{figure}
+
+
+
+
+\subsection{Ecke $P$ und $A$}
+Unser eigener Standort ist der gesuchte Ecke $P$ und die Ecke $A$ ist in unserem Fall der Nordpol.
+Der Vorteil an der Idee des nautischen Dreiecks ist, dass eine Ecke immer der Nordpol ist. 
+Somit ist diese Ecke immer bekannt und nur deswegen sind die Zusammenhänge von Rektaszension, Sternzeit und Deklination so einfach.
+
+\subsection{Ecke $B$ und $C$ - Bildpunkt von $X$ und $Y$}
+Für die Standortermittlung benötigt man als weiteren Punkt ein Gestirn bzw. seinen Bildpunkt auf der Erdkugel. 
+Damit das trigonometrische Rechnen einfacher wird, werden hier zwei Gestirne zur Hilfe genommen.
+Es gibt diverse Gestirne, die man nutzen kann wie zum Beispiel die Sonne, der Mond oder die vier Navigationsplaneten Venus, Mars, Jupiter und Saturn.
+
+Die Bildpunkte von den beiden Gestirnen $X$ und $Y$ bilden die beiden Ecken $B$ und $C$ im Dreieck der Abbildung \ref{d1}.
+\subsection{Ephemeriden}
+\label{ephe}
+Zu all diesen Gestirnen gibt es Ephemeridentabellen. 
+Diese Tabellen enthalten die Rektaszensionen und Deklinationen in Abhängigkeit von der Zeit.
+
+\begin{figure}
+	\begin{center}
+		\includegraphics[width=\textwidth]{papers/nav/bilder/ephe.png}
+		\caption[Nautical Almanac Mai 2002]{Nautical Almanac Mai 2002}
+	\end{center}
+\end{figure}
+
+\subsubsection{Deklination}
+Die Deklination $\delta$ beschreibt den Winkel zwischen dem Himmelsäquator und Gestirn und entspricht dem Breitengrad des Gestirns.
+
+\subsubsection{Rektaszension und Sternzeit}
+Die Rektaszension $\alpha$ gibt an, in welchem Winkel das Gestirn zum Frühlingspunkt, welcher der Nullpunkt auf dem Himmelsäquator ist, steht und geht vom Koordinatensystem der Himmelskugel aus.
+
+Die Tatsache, dass sich die Himmelskugel  ca. vier Minuten schneller um die eigene Achse dreht als die Erdkugel, stellt hier ein kleines Problem dar.
+Die Lösung ist die Sternzeit $\theta$. 
+Mit dieser können wir die schnellere Drehung der Himmelskugel ausgleichen.
+Die Sternzeit geht vom Frühlungspunkt aus, an welchem die Sonne den Himmelsäquator schneidet und $\theta=0$ ist. 
+Für die Standortermittlung auf der Erdkugel ist es am einfachsten, wenn man die Sternzeit von Greenwich berechnet. 
+Für die Sternzeit von Greenwich $\theta$ braucht man als erstes das Julianische Datum $T$ vom aktuellen Tag, welches sich leicht nachschlagen lässt.
+Im Anschluss berechnet man die Sternzeit von Greenwich
+
+\[\theta = 6^h 41^m 50^s.54841 + 8640184^s.812866 \cdot T + 0^s.093104 \cdot T^2 - 0^s.0000062 \cdot T^3.\]
+
+Wenn man die Sternzeit von Greenwich ausgerechnet hat, kann man den Längengrad des Gestirns $\lambda = \theta - \alpha$ bestimmen, wobei $\alpha$ die Rektaszension und $\theta$ die Sternzeit von Greenwich ist.
+Dies gilt analog auch für das zweite Gestirn.
+\subsubsection{Sextant}
+Ein Sextant ist ein nautisches Messinstrument, mit dem man den Winkel zwischen der Blickrichtung zu weit entfernten Objekten bestimmen kann. Es wird vor allem der Winkelabstand vom Horizont zum Gestirn gemessen. 
+Man benutzt ihn vor allem für die astronomische Navigation auf See.
+
+\begin{figure}
+	\begin{center}
+		\includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/sextant.jpg}
+		\caption[Sextant]{Sextant}
+	\end{center}
+\end{figure}
+\subsection{Bestimmung des eigenen Standortes $P$} \label{p}
+Wir nehmen die Abbildung \ref{d2} zur Hilfe.
+Nun hat man die Koordinaten der beiden Gestirne und man weiss die Koordinaten des Nordpols.
+Damit wir unseren Standort bestimmen können, bilden wir zuerst das Dreieck $ABC$, dann das Dreieck $BPC$ und zum Schluss noch das Dreieck $ABP$.
+Auf diese Dreiecke können wir die einfachen Sätze der sphärischen Trigonometrie anwenden und benötigen lediglich ein Ephemeride zu den Gestirnen und einen Sextant.
+
+\begin{figure}
+	\begin{center}
+		\includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/dreieck.pdf}
+		\caption[Dreieck für die Standortbestimmung]{Dreieck für die Standortbestimmung}
+		\label{d2}
+	\end{center}
+\end{figure}
+
+\subsubsection{Dreieck $ABC$}
+
+\begin{center}
+	\begin{tabular}{ l l l }
+		Ecke && Name  \\ 
+		\hline
+		$A$ && Nordpol \\  
+		$B$ && Bildpunkt des Gestirns $X$ \\
+		$C$&& Bildpunkt des Gestirns $Y$
+	\end{tabular}
+\end{center}
+
+Mit unserem erlangten Wissen können wir nun alle Seiten des Dreiecks $ABC$ berechnen.
+Dazu sind die folgenden vorbereiteten Berechnungen nötigt:
+
+\begin{enumerate}
+	\item Die Seite vom Nordpol zum Bildpunkt $X$ sei $c$, dann ist $c = \frac{\pi}{2} - \delta_1$.  
+	\item Die Seite vom Nordpol zum Bildpunkt $Y$ sei $b$, dann ist $b = \frac{\pi}{2} - \delta_2$.
+	\item Der Innenwinkel bei der Ecke, wo der Nordpol ist sei $\alpha$, dann ist $ \alpha = |\lambda_1 - \lambda_2|$.
+\end{enumerate}
+
+mit 
+\begin{center}
+	\begin{tabular}{ l l l }
+		Ecke && Name  \\ 
+		\hline
+		$\delta_1$ && Deklination vom Bildpunkt $X$ \\  
+		$\delta_2$ && Deklination vom Bildpunk $Y$ \\
+		$\lambda_1 $&& Längengrad vom Bildpunkt $X$\\
+		$\lambda_2$ && Längengrad vom Bildpunkt $Y$
+	\end{tabular}
+\end{center}
+
+Nun haben wir die beiden Seiten $c$ und $b$ und den Winkel $\alpha$, der sich zwischen diesen Seiten befindet. 
+Mithilfe des Seiten-Kosinussatzes 
+$\cos(a) = \cos(b)\cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c)\cdot \cos(\alpha)$ 
+können wir nun die dritte Seitenlänge bestimmen. 
+Es ist darauf zu achten, dass hier natürlich die Seitenlängen in Bogenmass sind und dementsprechend der Kosinus und Sinus verwendet wird. 
+
+Jetzt fehlen noch die beiden anderen Innenwinkel $\beta$ und\ $\gamma$.
+Diese bestimmen wir mithilfe des Kosinussatzes: \[\beta=\cos^{-1}  \bigg[\frac{\cos(b)-\cos(a) \cdot \cos(c)}{\sin(a) \cdot \sin(c)}\bigg]\] und \[\gamma =  \cos^{-1}  \bigg[\frac{\cos(c)-\cos(b) \cdot \cos(a)}{\sin(a) \cdot \sin(b)}\bigg]\].
+
+Schlussendlich haben wir die Seiten $a$, $b$ und $c$, die Ecken $A$,$B$ und $C$ und die Winkel $\alpha$, $\beta$  und  $\gamma$ bestimmt und somit das ganze Kugeldreieck $ABC$ berechnet.
+
+\subsubsection{Dreieck $BPC$}
+Wir bilden nun ein zweites Dreieck, welches die Ecken $B$ und $C$ des ersten Dreiecks besitzt. 
+Die dritte Ecke ist der eigene Standort $P$.
+Unser Standort definiere sich aus einer geographischen Breite $\delta$ und einer geographischen Länge $\lambda$. 
+
+Die Seite von $P$ zu $B$ sei $pb$ und die Seite von $P$ zu $C$ sei $pc$.
+Die beiden Seitenlängen kann man mit dem Sextant messen und durch eine einfache Formel bestimmen, nämlich $pb=\frac{\pi}{2} - h_{B}$ und $pc=\frac{\pi}{2} - h_{C}$ 
+mit $h_B=$ Höhe von Gestirn in $B$ und $h_C=$ Höhe von Gestirn in $C$ mit Sextant gemessen.
+
+Zum Schluss müssen wir noch den Winkel $\beta_1$ mithilfe des Seiten-Kosinussatzes \[\cos(pb)=\cos(pc)\cdot\cos(a)+\sin(pc)\cdot\sin(a)\cdot\cos(\beta_1)\]  mit den bekannten Seiten $pc$, $pb$ und $a$ bestimmen. 
+\subsubsection{Dreieck $ABP$}
+Nun muss man eine Verbindungslinie des Standorts zwischen $P$ und $A$ ziehen. Die Länge $l$ dieser Linie entspricht der gesuchten geographischen Breite $\delta$. Diese lässt sich mithilfe des Dreiecks $ABP$, den bekannten Seiten $c$ und $pb$ und des Seiten-Kosinussatzes berechnen.
+Für den Seiten-Kosinussatz benötigt es noch $\kappa=\beta + \beta_1$.
+Somit ist \[\cos(l) = \cos(c)\cdot \cos(pb) + \sin(c) \cdot \sin(pb) \cdot \cos(\kappa)\]
+und
+\[
+\delta  =\cos^{-1} [\cos(c) \cdot \cos(pb) + \sin(c) \cdot \sin(pb) \cdot \cos(\kappa)].
+\]
+
+Für die geographische Länge $\lambda$ des eigenen Standortes nutzt man den Winkel $\omega$, welcher sich im Dreieck $ACP$ in der Ecke bei $A$ befindet. 
+Mithilfe des Kosinussatzes können wir \[\omega = \cos^{-1}  \bigg[\frac{\cos(pb)-\cos(c) \cdot \cos(l)}{\sin(c) \cdot \sin(l)}\bigg]\] berechnen und bekommen schlussendlich die geographische Länge 
+\[\lambda=\lambda_1 - \omega,\]
+wobei $\lambda_1$ die Länge des Bildpunktes $X$ von $C$ ist.
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index 9faa48d..bedaccd 100644
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@@ -8,3 +8,5 @@
 % following example
 %\usepackage{packagename}
 
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{cancel}
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index 236323b..c67aaac 100644
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+++ b/buch/papers/nav/references.bib
@@ -32,4 +32,10 @@
         pages = {607--627},
         url = {https://doi.org/10.1016/j.acha.2017.11.004}
 }
+@online{nav:winkel,
+	editor={Unbekannt},
+	title = {Sphärische Trigonometrie},
+	year={2022},
+	url = {https://de.wikipedia.org/wiki/Sphärische_Trigonometrie}
+}
 
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index 0000000..b64d100
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/sincos.tex
@@ -0,0 +1,24 @@
+
+
+
+\section{Sphärische Navigation und Winkelfunktionen}
+\rhead{Sphärische Navigation und Winkelfunktionen}
+Es gibt Hinweise, dass sich schon die Babylonier und Ägypter vor 4000 Jahren mit Problemen der sphärischen Trigonometrie beschäftigt haben, um den Lauf von Gestirnen zu berechnen. 
+Jedoch konnten sie dieses Problem nicht lösen. 
+Die Geschichte der sphärischen Trigonometrie ist daher eng mit der Astronomie verknüpft. Ca. 350 BCE dachten die Griechen über Kugelgeometrie nach, sie wurde damit zu einer Hilfswissenschaft der Astronomen. 
+
+Zwischen 190 v. Chr. und 120 v. Chr. lebte ein griechischer Astronom namens Hipparchos. 
+Dieser entwickelte unter anderem die Chordentafeln, welche die Chordfunktionen, auch Chord genannt, beinhalten.
+Chord ist der Vorgänger der Sinusfunktion und galt damals als wichtigste Grundlage der Trigonometrie.
+In dieser Zeit wurden auch die ersten Sternenkarten angefertigt. Damals kannte man die Sinusfunktionen noch nicht. 
+
+Die Definition der trigonometrischen Funktionen aus Griechenland ermöglicht nur, rechtwinklige Dreiecke zu berechnen.
+Aus Indien stammten die ersten Ansätze zu den Kosinussätzen.
+Aufbauend auf den indischen und griechischen Forschungen entwickeln die Araber um das 9. Jahrhundert den Sinussatz.  
+Die Beziehung zwischen Seiten und Winkeln sind komplizierter und als Sinus- und Kosinussätze bekannt.
+Doch ein paar weitere Jahrhunderte vergingen bis zu diesem Thema wieder verstärkt Forschung betrieben wurde, da im 15. Jahrhundert grosse Entdeckungsreisen, hauptsächlich per Schiff, erfolgten und die Orientierung mit Sternen vermehrt an Wichtigkeit gewann.
+Man nutzte für die Kartographie nun die Kugelgeometrie, um die Genauigkeit zu erhöhen.
+Der Sinussatz, die Tangensfunktion und der neu entwickelte Seitenkosinussatz wurden in dieser Zeit bereits verwendet und im darauffolgenden Jahrhundert folgte der Winkelkosinussatz. 
+
+Durch weitere mathematische Entwicklungen wie den Logarithmus wurden im Laufe des nächsten Jahrhunderts viele neue Methoden und kartographische Anwendungen der Kugelgeometrie entdeckt. 
+Im 19. und 20. Jahrhundert wurden weitere nicht-euklidische Geometrien entwickelt und die sphärische Trigonometrie fand auch ihre Anwendung in der Relativitätstheorie.
\ No newline at end of file
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deleted file mode 100644
index f3323a9..0000000
--- a/buch/papers/nav/teil0.tex
+++ /dev/null
@@ -1,22 +0,0 @@
-%
-% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 0\label{nav:section:teil0}}
-\rhead{Teil 0}
-Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
-nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam
-erat, sed diam voluptua \cite{nav:bibtex}.
-At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum.
-Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum
-dolor sit amet.
-
-Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
-nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam
-erat, sed diam voluptua.
-At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum.  Stet clita
-kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit
-amet.
-
-
diff --git a/buch/papers/nav/teil1.tex b/buch/papers/nav/teil1.tex
deleted file mode 100644
index 996202f..0000000
--- a/buch/papers/nav/teil1.tex
+++ /dev/null
@@ -1,55 +0,0 @@
-%
-% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 1
-\label{nav:section:teil1}}
-\rhead{Problemstellung}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo.
-Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit
-aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione
-voluptatem sequi nesciunt
-\begin{equation}
-\int_a^b x^2\, dx
-=
-\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b
-=
-\frac{b^3-a^3}3.
-\label{nav:equation1}
-\end{equation}
-Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet,
-consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora
-incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem.
-
-Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis
-suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur?
-Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit
-esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum
-fugiat quo voluptas nulla pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{nav:subsection:finibus}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}.
-
-Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio
-\ref{nav:section:loesung}.
-Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil
-impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis
-voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus
-\ref{nav:section:folgerung}.
-Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum
-necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et
-molestiae non recusandae.
-Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis
-voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus
-asperiores repellat.
-
-
diff --git a/buch/papers/nav/teil2.tex b/buch/papers/nav/teil2.tex
deleted file mode 100644
index 5a52e03..0000000
--- a/buch/papers/nav/teil2.tex
+++ /dev/null
@@ -1,40 +0,0 @@
-%
-% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2 
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 2 
-\label{nav:section:teil2}}
-\rhead{Teil 2}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{nav:subsection:bonorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
-
-
diff --git a/buch/papers/nav/teil3.tex b/buch/papers/nav/teil3.tex
deleted file mode 100644
index 2b5d2d5..0000000
--- a/buch/papers/nav/teil3.tex
+++ /dev/null
@@ -1,40 +0,0 @@
-%
-% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 3
-\label{nav:section:teil3}}
-\rhead{Teil 3}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{nav:subsection:malorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
-
-
diff --git a/buch/papers/nav/trigo.tex b/buch/papers/nav/trigo.tex
new file mode 100644
index 0000000..483b612
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/trigo.tex
@@ -0,0 +1,140 @@
+
+\section{Sphärische Trigonometrie}
+\rhead{Sphärische Trigonometrie}
+
+\subsection{Das Kugeldreieck}
+Damit man die Definition des Kugeldreiecks versteht, müssen wir zuerst Begriffe wie Grosskreisebene und Grosskreisbögen verstehen.
+Ein Grosskreis ist ein grösstmöglicher Kreis auf einer Kugeloberfläche.
+Sein Mittelpunkt fällt immer mit dem Mittelpunkt der Kugel zusammen und ein Schnitt auf dem Großkreis teilt die Kugel in jedem Fall in zwei gleich grosse Hälften.
+Da es unendlich viele Möglichkeiten gibt, eine Kugel so zu zerschneiden, dass die Schnittebene den Kugelmittelpunkt trifft, gibt es auch unendlich viele Grosskreise.
+Grosskreisbögen sind die kürzesten Verbindungslinien zwischen zwei Punkten auf der Kugel.
+
+Da die Länge der Grosskreisbögen wegen der Abhängigkeit vom Kugelradius ungeeignet ist, wird die Grösse einer Seite mit dem zugehörigen Mittelpunktwinkel des Grosskreisbogens angegeben. 
+Laut dieser Definition ist die Seite $c$ der Winkel $AMB$, wobei der Punkt $M$ die Erdmitte ist.
+
+Man kann bei Kugeldreiecken nicht so einfach unterscheiden, was Innen oder Aussen ist. 
+Wenn man drei Eckpunkte miteinander verbindet, ergeben sich immer 16 Kugeldreiecke. 
+
+Werden drei voneinander verschiedene Punkte, die sich nicht auf derselben Grosskreisebene befinden, mit Grosskreisbögen verbunden werden, so entsteht ein Kugeldreieck $ABC$.
+Für ein Kugeldreieck gilt, dass die Summe der drei Seiten kleiner als $3\pi$ aber grösser als 0 ist.
+$A$, $B$ und $C$ sind die Ecken des Dreiecks und dessen Seiten sind die Grosskreisbögen zwischen den Eckpunkten (siehe Abbildung \ref{kugel}). 
+
+\begin{figure}
+	\begin{center}
+		\includegraphics[width=3.5cm]{papers/nav/bilder/kugel1.png}
+		\caption[Das Kugeldreieck]{Das Kugeldreieck}
+		\label{kugel}
+	\end{center}
+	
+\end{figure}
+
+\subsection{Rechtwinkliges Dreieck und rechtseitiges Dreieck}
+In der sphärischen Trigonometrie gibt es eine Symmetrie zwischen Seiten und Winkeln, also zu jedem Satz über Seiten und Winkel gibt es einen entsprechenden Satz, mit dem man Winkel durch Seiten und Seiten durch Winkel ersetzt hat.
+
+Wie auch im ebenen Dreieck gibt es beim Kugeldreieck auch ein rechtwinkliges Kugeldreieck, bei dem ein Winkel $\frac{\pi}{2}$ ist. 
+Ein rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine Seitenlänge $\frac{\pi}{2}$ lang sein muss, wie man in der Abbildung \ref{recht} sehen kann.
+
+\begin{figure}
+	
+	\begin{center}
+		\includegraphics[width=5cm]{papers/nav/bilder/recht.jpg}
+		\caption[Rechtseitiges und rechtwinkliges Kugeldreieck]{Rechtseitiges und rechtwinkliges Kugeldreieck}
+		\label{recht}
+	\end{center}	
+\end{figure}
+
+\subsection{Winkelsumme und Flächeninhalt}
+\label{trigo}
+%\begin{figure} ----- Brauche das Bild eigentlich nicht!
+	
+%	\begin{center}
+%		\includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel2.png}
+%		\caption[Winkelangabe im Kugeldreieck]{Winkelangabe im Kugeldreieck}
+%	\end{center}	
+%\end{figure}
+
+
+Die Winkel eines Kugeldreiecks sind die, welche die Halbtangenten in den Eckpunkten einschliessen. 
+Für die Summe der Innenwinkel gilt
+\begin{align}
+	\alpha+\beta+\gamma &= \frac{F}{r^2} + \pi \quad \text{und} \quad \alpha+\beta+\gamma > \pi, \nonumber
+\end{align}
+wobei $F$ der Flächeninhalt des Kugeldreiecks ist.
+\subsubsection{Sphärischer Exzess}
+Der sphärische Exzess
+\begin{align}
+	\epsilon = \alpha+\beta+\gamma - \pi \nonumber
+\end{align}  
+beschreibt die Abweichung der Innenwinkelsumme von $\pi$ und ist proportional zum Flächeninhalt des Kugeldreiecks.
+
+\subsubsection{Flächeninnhalt}
+Mithilfe des Radius $r$ und dem sphärischen Exzess $\epsilon$ gilt für den Flächeninhalt 
+\[ F=\frac{\pi \cdot r^2}{\frac{\pi}{2}} \cdot \epsilon = 2 \cdot r^2 \cdot \epsilon.\]
+
+In diesem Kapitel sind keine Begründungen für die erhaltenen Resultate im Abschnitt \ref{trigo} zu erwarten und können in der Referenz \cite{nav:winkel} nachgeschlagen werden.
+\subsection{Seiten und Winkelberechnung}
+Es gibt in der sphärischen Trigonometrie eigentlich gar keinen Satz des Pythagoras, wie man ihn aus der zweidimensionalen Geometrie kennt.
+Es gibt aber einen Satz, der alle drei Seiten eines rechtwinkligen Kugeldreiecks in eine Beziehung bringt. Dieser Satz gilt jedoch nicht für das rechtseitige Kugeldreieck.
+Die Approximation im nächsten Abschnitt wird erklären, warum man dies als eine Form des Satzes des Pythagoras sehen kann.
+Es gilt nämlich:
+\begin{align}
+	\cos c = \cos a \cdot \cos b \quad \text{wenn}  \nonumber &
+	\quad \alpha = \frac{\pi}{2}. \nonumber
+\end{align}
+
+\subsubsection{Approximation von kleinen Dreiecken}
+Die Sätze in der ebenen Trigonometrie sind eigentlich Approximationen der sphärischen Trigonometrie.
+So ist der Sinussatz in der Ebene nur eine Annäherung des sphärischen Sinussatzes. Das Gleiche gilt für den Kosinussatz und dem Satz des Pythagoras.
+So kann mit dem Taylorpolynom 2. Grades den Sinus und den Kosinus vom Sphärischen in die Ebene approximieren: 
+\begin{align}
+	\sin(a) &\approx a \nonumber \intertext{und}
+	\cos(a)&\approx 1-\frac{a^2}{2}.\nonumber
+\end{align}
+Es gibt ebenfalls folgende Approximierung der Seiten von der Sphäre in die Ebene:
+\begin{align}
+	a &\approx \sin(a) \nonumber \intertext{und}
+	\frac{a^2}{2} &\approx 1-\cos(a). \nonumber
+\end{align}
+Die Korrespondenzen zwischen der ebenen und sphärischen Trigonometrie werden in den kommenden Abschnitten erläutert.
+
+\subsubsection{Sphärischer Satz des Pythagoras}
+Die Korrespondenz \[ a^2 \approx 1- \cos(a)\] liefert unter anderem einen entsprechenden Satz des Pythagoras, nämlich
+
+\begin{align*}
+	\cos(a)\cdot \cos(b) &= \cos(c),  \\
+	\bigg[1-\frac{a^2}{2}\bigg] \cdot \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg] &= 1-\frac{c^2}{2}. 
+	\intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen:} 
+	\xcancel{1}- \frac{a^2}{2} - \frac{b^2}{2} + \xcancel{\frac{a^2b^2}{4}}&= \xcancel{1}- \frac{c^2}{2}  \\
+	-a^2-b^2 &=-c^2\\
+	a^2+b^2&=c^2.
+\end{align*}
+Dies ist der wohlbekannte ebene Satz des Pythagoras.
+
+\subsubsection{Sphärischer Sinussatz}
+Den sphärischen Sinussatz 
+\begin{align}
+	\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)} \nonumber
+\end{align}
+kann man ebenfalls mit der Korrespondenz \[a \approx \sin(a) \] zum entsprechenden ebenen Sinussatz \[\frac{a}{\sin (\alpha)} =\frac{b}{\sin (\beta)} = \frac{c}{\sin (\gamma)}\] approximieren.
+
+
+\subsubsection{Sphärische Kosinussätze}
+In der sphärischen Trigonometrie gibt es den Seitenkosinussatz
+\begin{align}
+	\cos \ a = \cos b \cdot \cos c + \sin b \cdot \sin c \cdot \cos \alpha \nonumber
+\end{align} %Seitenkosinussatz
+und den Winkelkosinussatz
+\begin{align}
+	\cos \gamma = -\cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos c, \nonumber
+\end{align} der nur in der sphärischen Trigonometrie vorhanden ist.
+
+Analog gibt es auch beim Seitenkosinussatz eine Korrespondenz zu \[ a^2 \leftrightarrow 1-\cos(a),\] die den ebenen Kosinussatz herleiten lässt, nämlich
+\begin{align}
+	\cos(a)&= \cos(b)\cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c)\cdot \cos(\alpha)  \\
+	1-\frac{a^2}{2} &= \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg]\bigg[1-\frac{c^2}{2}\bigg]+bc\cdot\cos(\alpha). \intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen:}
+	\xcancel{1}-\frac{a^2}{2} &= \xcancel{1}-\frac{b^2}{2}-\frac{c^2}{2} \xcancel{+\frac{b^2c^2}{4}}+bc \cdot \cos(\alpha)\\
+	a^2&=b^2+c^2-2bc \cdot \cos(\alpha).
+\end{align}
+
+
+ 
\ No newline at end of file