Merge branch 'AndreasFMueller:master' into master

61 files changed, 1998 insertions, 187 deletions

diff --git a/buch/papers/nav/Makefile.inc b/buch/papers/nav/Makefile.inc
index b30377e..5e86543 100644
--- a/buch/papers/nav/Makefile.inc
+++ b/buch/papers/nav/Makefile.inc
@@ -6,9 +6,10 @@
 dependencies-nav =						\
 	papers/nav/packages.tex					\
 	papers/nav/main.tex					\
-	papers/nav/references.bib				\
-	papers/nav/teil0.tex					\
-	papers/nav/teil1.tex					\
-	papers/nav/teil2.tex					\
-	papers/nav/teil3.tex
+	papers/nav/einleitung.tex				\
+	papers/nav/flatearth.tex				\
+	papers/nav/nautischesdreieck.tex			\
+	papers/nav/sincos.tex					\
+	papers/nav/trigo.tex					\
+	papers/nav/references.bib
 
diff --git a/buch/papers/nav/bilder/dreieck.pdf b/buch/papers/nav/bilder/dreieck.pdf
new file mode 100644
index 0000000..9d630aa
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/bilder/dreieck.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/bilder/dreieck.png b/buch/papers/nav/bilder/dreieck.png
new file mode 100644
index 0000000..2b02105
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/bilder/dreieck.png
diff --git a/buch/papers/nav/bilder/ephe.png b/buch/papers/nav/bilder/ephe.png
new file mode 100644
index 0000000..3f99a36
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/bilder/ephe.png
diff --git a/buch/papers/nav/bilder/kugel1.png b/buch/papers/nav/bilder/kugel1.png
new file mode 100644
index 0000000..b3188b7
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/bilder/kugel1.png
diff --git a/buch/papers/nav/bilder/kugel2.png b/buch/papers/nav/bilder/kugel2.png
new file mode 100644
index 0000000..057740f
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/bilder/kugel2.png
diff --git a/buch/papers/nav/bilder/kugel3.png b/buch/papers/nav/bilder/kugel3.png
new file mode 100644
index 0000000..97066a2
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/bilder/kugel3.png
diff --git a/buch/papers/nav/bilder/projektion.png b/buch/papers/nav/bilder/projektion.png
new file mode 100644
index 0000000..5dcc0c8
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/bilder/projektion.png
diff --git a/buch/papers/nav/bilder/recht.jpg b/buch/papers/nav/bilder/recht.jpg
new file mode 100644
index 0000000..3f60370
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/bilder/recht.jpg
diff --git a/buch/papers/nav/bilder/sextant.jpg b/buch/papers/nav/bilder/sextant.jpg
new file mode 100644
index 0000000..53dd784
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/bilder/sextant.jpg
diff --git a/buch/papers/nav/einleitung.tex b/buch/papers/nav/einleitung.tex
new file mode 100644
index 0000000..8eb4481
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/einleitung.tex
@@ -0,0 +1,9 @@
+
+
+\section{Einleitung}
+Heutzutage ist die Navigation ein Teil des Lebens. 
+Man sendet dem Kollegen seinen eigenen Standort, um sich das ewige Erklären zu sparen oder gibt die Adresse des Ziels ein, damit man seinen Aufenthaltsort zum Beispiel auf einer riesigen Wiese am See findet. 
+Dies wird durch Technologien wie Funknavigation, welches ein auf Laufzeitmessung beruhendes Hyperbelverfahren mit Langwellen ist, oder die verbreitete Satellitennavigation, welche vier Satelliten für eine Messung zur Standortbestimmung nutzt.
+Vor all diesen technologischen Fortschritten gab es lediglich die Astronavigation, welche heute noch auf Schiffen verwendet wird im Falle eines Stromausfalls. 
+Aber wie funktioniert die Navigation mit den Sternen? Welche Hilfsmittel benötigt man, welche Rolle spielt die Mathematik und weshalb kann die Erde nicht flach sein? 
+In diesem Kapitel werden genau diese Fragen mithilfe des nautischen Dreiecks, der sphärischen Trigonometrie und einigen Hilfsmitteln und Messgeräten beantwortet.
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/nav/flatearth.tex b/buch/papers/nav/flatearth.tex
new file mode 100644
index 0000000..3b08e8d
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/flatearth.tex
@@ -0,0 +1,27 @@
+
+
+\section{Warum ist die Erde nicht flach?}
+
+\begin{figure}
+	\begin{center}
+		\includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/projektion.png}
+		\caption[Mercator Projektion]{Mercator Projektion}
+	\end{center}	
+\end{figure}
+
+Es gibt heutzutage viele Beweise dafür, dass die Erde eine Kugel ist. 
+Die Fotos von unserem	Planeten oder die Berichte der Astronauten. 
+Aber schon vor ca. 2300 Jahren hat Aristoteles bemerkt, dass Schiffe im Horizont verschwinden und die einzige Erklärung dafür die Kugelgestalt der Erde ist.
+Auch der Erdschatten bei einer Mondfinsternis ist immer rund.
+Eratosthenes konnte etwa 100 Jahre später den Erdumfang berechnen. 
+Er beobachtete, dass die Sonne in Syene mittags im Zenit steht und gleichzeitig in Alexandria unter einem Winkel einfällt. 
+Mithilfe der Trigonometrie konnte er mit dem Abstand der Städte und dem Einfallswinkel den Umfang berechnen.
+
+Der Kartograph Gerhard Mercator projizierte die Erdkugel wie in Abbildung 21.1 dargestellt auf ein Papier und erstellte so eine winkeltreue Karte. 
+Jedoch wurden die Länder, die einen grösseren Abstand zum Äquator haben vergrössert, damit die Winkel stimmen können. 
+Wurde man also nun davon ausgehen, dass die Erde flach ist so würden wir nie dort ankommen wo wir es wollen.
+Dies sieht man zum Beispiel sehr gut, wenn man die Anwendung Google Earth und eine Weltkarte vergleicht. 
+Grönland ist auf der Weltkarte so gross wie Afrika. 
+In der Anwendung Google Earth jedoch ist Grönland etwa so gross wie Algerien. 
+Das liegt daran, das man die 3D – Weltkarte nicht einfach auslegen kann. 
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/Makefile b/buch/papers/nav/images/Makefile
index a0d7b34..da4defa 100644
--- a/buch/papers/nav/images/Makefile
+++ b/buch/papers/nav/images/Makefile
@@ -3,9 +3,121 @@
 #
 # (c) 2022
 #
+all:	dreiecke3d
 
 dreieck.pdf:	dreieck.tex dreieckdata.tex macros.tex
 	pdflatex dreieck.tex
 
 dreieckdata.tex:	pk.m
 	octave pk.m
+
+DREIECKE = 								\
+	dreieck1.pdf 							\
+	dreieck2.pdf 							\
+	dreieck3.pdf 							\
+	dreieck4.pdf							\
+	dreieck5.pdf 							\
+	dreieck6.pdf 							\
+	dreieck7.pdf
+
+dreiecke:	$(DREIECKE)
+
+dreieck1.pdf:	dreieck1.tex dreieckdata.tex macros.tex
+	pdflatex dreieck1.tex
+
+dreieck2.pdf:	dreieck2.tex dreieckdata.tex macros.tex
+	pdflatex dreieck2.tex
+
+dreieck3.pdf:	dreieck3.tex dreieckdata.tex macros.tex
+	pdflatex dreieck3.tex
+
+dreieck4.pdf:	dreieck4.tex dreieckdata.tex macros.tex
+	pdflatex dreieck4.tex
+
+dreieck5.pdf:	dreieck5.tex dreieckdata.tex macros.tex
+	pdflatex dreieck5.tex
+
+dreieck6.pdf:	dreieck6.tex dreieckdata.tex macros.tex
+	pdflatex dreieck6.tex
+
+dreieck7.pdf:	dreieck7.tex dreieckdata.tex macros.tex
+	pdflatex dreieck7.tex
+
+DREIECKE3D =								\
+	dreieck3d1.pdf							\
+	dreieck3d2.pdf							\
+	dreieck3d3.pdf							\
+	dreieck3d4.pdf							\
+	dreieck3d5.pdf							\
+	dreieck3d6.pdf							\
+	dreieck3d7.pdf							\
+	dreieck3d8.pdf
+
+dreiecke3d: $(DREIECKE3D)
+
+POVRAYOPTIONS = -W1080 -H1080
+#POVRAYOPTIONS = -W480 -H480
+
+dreieck3d1.png:	dreieck3d1.pov common.inc
+	povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Odreieck3d1.png dreieck3d1.pov
+dreieck3d1.jpg:	dreieck3d1.png
+	convert dreieck3d1.png -density 300 -units PixelsPerInch dreieck3d1.jpg
+dreieck3d1.pdf:	dreieck3d1.tex dreieck3d1.jpg
+	pdflatex dreieck3d1.tex
+
+dreieck3d2.png:	dreieck3d2.pov common.inc
+	povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Odreieck3d2.png dreieck3d2.pov
+dreieck3d2.jpg:	dreieck3d2.png
+	convert dreieck3d2.png -density 300 -units PixelsPerInch dreieck3d2.jpg
+dreieck3d2.pdf:	dreieck3d2.tex dreieck3d2.jpg
+	pdflatex dreieck3d2.tex
+
+dreieck3d3.png:	dreieck3d3.pov common.inc
+	povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Odreieck3d3.png dreieck3d3.pov
+dreieck3d3.jpg:	dreieck3d3.png
+	convert dreieck3d3.png -density 300 -units PixelsPerInch dreieck3d3.jpg
+dreieck3d3.pdf:	dreieck3d3.tex dreieck3d3.jpg
+	pdflatex dreieck3d3.tex
+
+dreieck3d4.png:	dreieck3d4.pov common.inc
+	povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Odreieck3d4.png dreieck3d4.pov
+dreieck3d4.jpg:	dreieck3d4.png
+	convert dreieck3d4.png -density 300 -units PixelsPerInch dreieck3d4.jpg
+dreieck3d4.pdf:	dreieck3d4.tex dreieck3d4.jpg
+	pdflatex dreieck3d4.tex
+
+dreieck3d5.png:	dreieck3d5.pov common.inc
+	povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Odreieck3d5.png dreieck3d5.pov
+dreieck3d5.jpg:	dreieck3d5.png
+	convert dreieck3d5.png -density 300 -units PixelsPerInch dreieck3d5.jpg
+dreieck3d5.pdf:	dreieck3d5.tex dreieck3d5.jpg
+	pdflatex dreieck3d5.tex
+
+dreieck3d6.png:	dreieck3d6.pov common.inc
+	povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Odreieck3d6.png dreieck3d6.pov
+dreieck3d6.jpg:	dreieck3d6.png
+	convert dreieck3d6.png -density 300 -units PixelsPerInch dreieck3d6.jpg
+dreieck3d6.pdf:	dreieck3d6.tex dreieck3d6.jpg
+	pdflatex dreieck3d6.tex
+
+dreieck3d7.png:	dreieck3d7.pov common.inc
+	povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Odreieck3d7.png dreieck3d7.pov
+dreieck3d7.jpg:	dreieck3d7.png
+	convert dreieck3d7.png -density 300 -units PixelsPerInch dreieck3d7.jpg
+dreieck3d7.pdf:	dreieck3d7.tex dreieck3d7.jpg
+	pdflatex dreieck3d7.tex
+
+dreieck3d8.png:	dreieck3d8.pov common.inc
+	povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Odreieck3d8.png dreieck3d8.pov
+dreieck3d8.jpg:	dreieck3d8.png
+	convert dreieck3d8.png -density 300 -units PixelsPerInch dreieck3d8.jpg
+dreieck3d8.pdf:	dreieck3d8.tex dreieck3d8.jpg
+	pdflatex dreieck3d8.tex
+
+dreieck3d9.png:	dreieck3d9.pov common.inc
+	povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Odreieck3d9.png dreieck3d9.pov
+dreieck3d9.jpg:	dreieck3d9.png
+	convert dreieck3d9.png -density 300 -units PixelsPerInch dreieck3d9.jpg
+dreieck3d9.pdf:	dreieck3d9.tex dreieck3d9.jpg
+	pdflatex dreieck3d9.tex
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/common.inc b/buch/papers/nav/images/common.inc
new file mode 100644
index 0000000..2c0ae6e
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/common.inc
@@ -0,0 +1,187 @@
+//
+// common.inc -- 3d Darstellung
+//
+// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+#version 3.7;
+#include "colors.inc"
+
+global_settings {
+	assumed_gamma 1
+}
+
+#declare imagescale = 0.034;
+
+#declare O = <0, 0, 0>;
+#declare A = vnormalize(< 0, 1, 0>);
+#declare B = vnormalize(< 1, 2, -8>);
+#declare C = vnormalize(< 5, 1, 0>);
+#declare P = vnormalize(< 5, -1, -7>);
+
+camera {
+	location <40, 20, -20>
+	look_at <0, 0.24, -0.20>
+	right x * imagescale
+	up y * imagescale
+}
+
+light_source {
+	<10, 10, -40> color White
+	area_light <1,0,0> <0,0,1>, 10, 10
+	adaptive 1
+	jitter
+}
+
+sky_sphere {
+	pigment {
+		color rgb<1,1,1>
+	}
+}
+
+//
+// draw an arrow from <from> to <to> with thickness <arrowthickness> with
+// color <c>
+//
+#macro arrow(from, to, arrowthickness, c)
+#declare arrowdirection = vnormalize(to - from);
+#declare arrowlength = vlength(to - from);
+union {
+        sphere {
+                from, 1.1 * arrowthickness
+        }
+        cylinder {
+                from,
+                from + (arrowlength - 5 * arrowthickness) * arrowdirection,
+                arrowthickness
+        }
+        cone {
+                from + (arrowlength - 5 * arrowthickness) * arrowdirection,
+                2 * arrowthickness,
+                to,
+                0
+        }
+        pigment {
+                color c
+        }
+        finish {
+                specular 0.9
+                metallic
+        }
+}
+#end
+
+#macro grosskreis(normale, staerke)
+union {
+	#declare v1 = vcross(normale, <normale.x, normale.z, normale.y>);
+	#declare v1 = vnormalize(v1);
+	#declare v2 = vnormalize(vcross(v1, normale));
+	#declare phisteps = 100;
+	#declare phistep = pi / phisteps;
+	#declare phi = 0;
+	#declare p1 = v1;
+	#while (phi < 2 * pi - phistep/2)
+		sphere { p1, staerke }
+		#declare phi = phi + phistep;
+		#declare p2 = v1 * cos(phi) + v2 * sin(phi);
+		cylinder { p1, p2, staerke }
+		#declare p1 = p2;
+	#end
+}
+#end
+
+#macro seite(p, q, staerke)
+	#declare n = vcross(p, q);
+	intersection {
+		grosskreis(n, staerke)
+		plane { -vcross(n, q) * vdot(vcross(n, q), p), 0 }
+		plane { -vcross(n, p) * vdot(vcross(n, p), q), 0 }
+	}
+#end
+
+#macro winkel(w, p, q, staerke, r)
+	#declare n = vnormalize(w);
+	#declare pp = vnormalize(p - vdot(n, p) * n);
+	#declare qq = vnormalize(q - vdot(n, q) * n);
+	intersection {
+		sphere { O, 1 + staerke }
+		cone { O, 0, 1.2 * vnormalize(w), r }
+		plane { -vcross(n, qq) * vdot(vcross(n, qq), pp), 0 }
+		plane { -vcross(n, pp) * vdot(vcross(n, pp), qq), 0 }
+	}
+#end
+
+#macro punkt(p, staerke)
+	sphere { p, 1.5 * staerke }
+#end
+
+#macro dreieck(p, q, r, farbe)
+	#declare n1 = vnormalize(vcross(p, q));
+	#declare n2 = vnormalize(vcross(q, r));
+	#declare n3 = vnormalize(vcross(r, p));
+	intersection {
+		plane { n1, 0 }
+		plane { n2, 0 }
+		plane { n3, 0 }
+		sphere { <0, 0, 0>, 1 + 0.001 }
+		pigment {
+			color farbe
+		}
+		finish {
+			metallic
+			specular 0.4
+		}
+	}
+#end
+
+#macro ebenerwinkel(a, p, q, s, r, farbe)
+	#declare n = vnormalize(-vcross(p, q));
+	#declare np = vnormalize(-vcross(p, n));
+	#declare nq = -vnormalize(-vcross(q, n));
+//	arrow(a, a + n, 0.02, White)
+//	arrow(a, a + np, 0.01, Red)
+//	arrow(a, a + nq, 0.01, Blue)
+	intersection {
+		cylinder { a - (s/2) * n, a + (s/2) * n, r }
+		plane { np, vdot(np, a) }
+		plane { nq, vdot(nq, a) }
+		pigment {
+			farbe
+		}
+		finish {
+			metallic
+			specular 0.5
+		}
+	}
+#end
+
+#macro komplement(a, p, q, s, r, farbe)
+	#declare n = vnormalize(-vcross(p, q));
+//	arrow(a, a + n, 0.015, Orange)
+	#declare m = vnormalize(-vcross(q, n));
+//	arrow(a, a + m, 0.015, Pink)
+	ebenerwinkel(a, p, m, s, r, farbe)
+#end
+
+#declare fett = 0.015;
+#declare fein = 0.010;
+
+#declare klein = 0.3;
+#declare gross = 0.4;
+
+#declare dreieckfarbe = rgb<0.6,0.6,0.6>;
+#declare rot = rgb<0.8,0.2,0.2>;
+#declare gruen = rgb<0,0.6,0>;
+#declare blau = rgb<0.2,0.2,0.8>;
+
+#declare kugelfarbe = rgb<0.8,0.8,0.8>;
+#declare kugeltransparent = rgbt<0.8,0.8,0.8,0.5>;
+
+#macro kugel(farbe)
+sphere {
+	<0, 0, 0>, 1
+	pigment {
+		color farbe
+	}
+}
+#end
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck1.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck1.pdf
new file mode 100644
index 0000000..5bdf23d
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck1.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck1.tex b/buch/papers/nav/images/dreieck1.tex
new file mode 100644
index 0000000..436314c
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck1.tex
@@ -0,0 +1,59 @@
+%
+% dreieck.tex -- sphärische Dreiecke für Positionsbestimmung
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc}
+\begin{document}
+
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+
+\def\skala{1}
+
+\def\punkt#1#2{
+	\fill[color=#2] #1 circle[radius=0.08];
+}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\input{dreieckdata.tex}
+\input{macros.tex}
+
+\winkelAlpha{red}
+\winkelGamma{blue}
+\winkelBeta{darkgreen}
+
+\seiteC{black}
+\seiteB{black}
+\seiteA{black}
+
+%\seiteL{gray}
+\seitePB{gray}
+\seitePC{gray}
+
+\draw[line width=1.4pt] \kanteAB;
+\draw[line width=1.4pt] \kanteAC;
+%\draw[color=gray] \kanteAP;
+\draw[line width=1.4pt] \kanteBC;
+\draw[color=gray] \kanteBP;
+\draw[color=gray] \kanteCP;
+
+\punkt{(A)}{black};
+\punkt{(B)}{black};
+\punkt{(C)}{black};
+\punkt{(P)}{gray};
+
+\node at (A) [above] {$A$};
+\node at (B) [left] {$B$};
+\node at (C) [right] {$C$};
+\node[color=gray] at (P) [below] {$P$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck2.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck2.pdf
new file mode 100644
index 0000000..a872b25
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck2.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck2.tex b/buch/papers/nav/images/dreieck2.tex
new file mode 100644
index 0000000..99aabb7
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck2.tex
@@ -0,0 +1,59 @@
+%
+% dreieck2.tex -- sphärische Dreiecke für Positionsbestimmung
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc}
+\begin{document}
+
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+
+\def\skala{1}
+
+\def\punkt#1#2{
+	\fill[color=#2] #1 circle[radius=0.08];
+}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\input{dreieckdata.tex}
+\input{macros.tex}
+
+%\winkelAlpha{red}
+%\winkelGamma{blue}
+%\winkelBeta{darkgreen}
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+\seiteC{black}
+\seiteB{black}
+%\seiteA{black}
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+%\seiteL{gray}
+\seitePB{gray}
+\seitePC{gray}
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+\draw[line width=1.4pt] \kanteAB;
+\draw[line width=1.4pt] \kanteAC;
+%\draw[color=gray] \kanteAP;
+\draw[line width=1.4pt] \kanteBC;
+\draw[color=gray] \kanteBP;
+\draw[color=gray] \kanteCP;
+
+\punkt{(A)}{black};
+\punkt{(B)}{black};
+\punkt{(C)}{black};
+\punkt{(P)}{gray};
+
+\node at (A) [above] {$A$};
+\node at (B) [left] {$B$};
+\node at (C) [right] {$C$};
+\node[color=gray] at (P) [below] {$P$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck3.pdf
new file mode 100644
index 0000000..65070c6
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3.tex b/buch/papers/nav/images/dreieck3.tex
new file mode 100644
index 0000000..0cf5363
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3.tex
@@ -0,0 +1,59 @@
+%
+% dreieck.tex -- sphärische Dreiecke für Positionsbestimmung
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc}
+\begin{document}
+
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+
+\def\skala{1}
+
+\def\punkt#1#2{
+	\fill[color=#2] #1 circle[radius=0.08];
+}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\input{dreieckdata.tex}
+\input{macros.tex}
+
+\winkelAlpha{red}
+%\winkelGamma{blue}
+%\winkelBeta{darkgreen}
+
+\seiteC{black}
+\seiteB{black}
+%\seiteA{black}
+
+%\seiteL{gray}
+\seitePB{gray}
+\seitePC{gray}
+
+\draw[line width=1.4pt] \kanteAB;
+\draw[line width=1.4pt] \kanteAC;
+%\draw[color=gray] \kanteAP;
+\draw[line width=1.4pt] \kanteBC;
+\draw[color=gray] \kanteBP;
+\draw[color=gray] \kanteCP;
+
+\punkt{(A)}{black};
+\punkt{(B)}{black};
+\punkt{(C)}{black};
+\punkt{(P)}{gray};
+
+\node at (A) [above] {$A$};
+\node at (B) [left] {$B$};
+\node at (C) [right] {$C$};
+\node[color=gray] at (P) [below] {$P$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pdf
new file mode 100644
index 0000000..015bce7
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pov
new file mode 100644
index 0000000..e491075
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pov
@@ -0,0 +1,58 @@
+//
+// dreiecke3d.pov
+//
+// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+#include "common.inc"
+
+union {
+	seite(A, B, fett)
+	seite(B, C, fett)
+	seite(A, C, fett)
+	punkt(A, fett)
+	punkt(B, fett)
+	punkt(C, fett)
+	punkt(P, fein)
+	seite(B, P, fein)
+	seite(C, P, fein)
+	pigment {
+		color dreieckfarbe
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
+object {
+	winkel(A, B, C, fein, gross)
+	pigment {
+		color rot
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
+object {
+	winkel(B, C, A, fein, gross)
+	pigment {
+		color gruen
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
+object {
+	winkel(C, A, B, fein, gross)
+	pigment {
+		color blau
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.tex b/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.tex
new file mode 100644
index 0000000..799b21a
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.tex
@@ -0,0 +1,53 @@
+%
+% dreieck3d1.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{times}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{graphics}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\usepackage{ifthen}
+\begin{document}
+
+\newboolean{showgrid}
+\setboolean{showgrid}{false}
+\def\breite{4}
+\def\hoehe{4}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+
+% Povray Bild
+\node at (0,0) {\includegraphics[width=8cm]{dreieck3d1.jpg}};
+
+% Gitter
+\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{
+\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw                            (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\fill (0,0) circle[radius=0.05];
+}{}
+
+\node at (0.7,3.8) {$A$};
+\node at (-3.4,-0.8) {$B$};
+\node at (3.3,-2.1) {$C$};
+\node at (-1.4,-3.5) {$P$};
+
+\node at (-1.9,2.1) {$c$};
+\node at (-0.2,-1.2) {$a$};
+\node at (2.6,1.5) {$b$};
+
+\node at (-2.6,-2.2) {$p_b$};
+\node at (1,-2.9) {$p_c$};
+
+\node at (0.7,3) {$\alpha$};
+\node at (-2.5,-0.5) {$\beta$};
+\node at (2.3,-1.2) {$\gamma$};
+
+\end{tikzpicture}
+
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pdf
new file mode 100644
index 0000000..6b3f09d
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pov
new file mode 100644
index 0000000..c0625ce
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pov
@@ -0,0 +1,26 @@
+//
+// dreiecke3d.pov
+//
+// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+#include "common.inc"
+
+union {
+	seite(A, B, fett)
+	seite(B, C, fett)
+	seite(A, C, fett)
+	punkt(A, fett)
+	punkt(B, fett)
+	punkt(C, fett)
+	punkt(P, fein)
+	seite(B, P, fein)
+	seite(C, P, fein)
+	pigment {
+		color dreieckfarbe
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.tex b/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.tex
new file mode 100644
index 0000000..0f6e10c
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.tex
@@ -0,0 +1,53 @@
+%
+% dreieck3d2.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{times}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{graphics}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\usepackage{ifthen}
+\begin{document}
+
+\newboolean{showgrid}
+\setboolean{showgrid}{false}
+\def\breite{4}
+\def\hoehe{4}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+
+% Povray Bild
+\node at (0,0) {\includegraphics[width=8cm]{dreieck3d2.jpg}};
+
+% Gitter
+\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{
+\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw                            (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\fill (0,0) circle[radius=0.05];
+}{}
+
+\node at (0.7,3.8) {$A$};
+\node at (-3.4,-0.8) {$B$};
+\node at (3.3,-2.1) {$C$};
+\node at (-1.4,-3.5) {$P$};
+
+\node at (-1.9,2.1) {$c$};
+%\node at (-0.2,-1.2) {$a$};
+\node at (2.6,1.5) {$b$};
+
+\node at (-2.6,-2.2) {$p_b$};
+\node at (1,-2.9) {$p_c$};
+
+%\node at (0.7,3) {$\alpha$};
+%\node at (-2.5,-0.5) {$\beta$};
+%\node at (2.3,-1.2) {$\gamma$};
+
+\end{tikzpicture}
+
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pdf
new file mode 100644
index 0000000..7d79455
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pov
new file mode 100644
index 0000000..b6f64d5
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pov
@@ -0,0 +1,37 @@
+//
+// dreiecke3d.pov
+//
+// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+#include "common.inc"
+
+union {
+	seite(A, B, fett)
+	seite(B, C, fett)
+	seite(A, C, fett)
+	punkt(A, fett)
+	punkt(B, fett)
+	punkt(C, fett)
+	punkt(P, fein)
+	seite(B, P, fein)
+	seite(C, P, fein)
+	pigment {
+		color dreieckfarbe
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
+object {
+	winkel(A, B, C, fein, gross)
+	pigment {
+		color rot
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.tex b/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.tex
new file mode 100644
index 0000000..a047b1b
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.tex
@@ -0,0 +1,53 @@
+%
+% dreieck3d3.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{times}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{graphics}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\usepackage{ifthen}
+\begin{document}
+
+\newboolean{showgrid}
+\setboolean{showgrid}{false}
+\def\breite{4}
+\def\hoehe{4}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+
+% Povray Bild
+\node at (0,0) {\includegraphics[width=8cm]{dreieck3d3.jpg}};
+
+% Gitter
+\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{
+\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw                            (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\fill (0,0) circle[radius=0.05];
+}{}
+
+\node at (0.7,3.8) {$A$};
+\node at (-3.4,-0.8) {$B$};
+\node at (3.3,-2.1) {$C$};
+\node at (-1.4,-3.5) {$P$};
+
+\node at (-1.9,2.1) {$c$};
+%\node at (-0.2,-1.2) {$a$};
+\node at (2.6,1.5) {$b$};
+
+\node at (-2.6,-2.2) {$p_b$};
+\node at (1,-2.9) {$p_c$};
+
+\node at (0.7,3) {$\alpha$};
+%\node at (-2.5,-0.5) {$\beta$};
+%\node at (2.3,-1.2) {$\gamma$};
+
+\end{tikzpicture}
+
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pdf
new file mode 100644
index 0000000..e1ea757
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pov
new file mode 100644
index 0000000..b6f17e3
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pov
@@ -0,0 +1,37 @@
+//
+// dreiecke3d.pov
+//
+// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+#include "common.inc"
+
+union {
+	seite(A, B, fein)
+	seite(A, C, fein)
+	punkt(A, fein)
+	punkt(B, fett)
+	punkt(C, fett)
+	punkt(P, fett)
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+	seite(B, P, fett)
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+	pigment {
+		color dreieckfarbe
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
+object {
+	winkel(B, C, P, fein, gross)
+	pigment {
+		color rgb<0.6,0.4,0.2>
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.tex b/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.tex
new file mode 100644
index 0000000..d49fb66
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.tex
@@ -0,0 +1,54 @@
+%
+% dreieck3d4.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{times}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{graphics}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\usepackage{ifthen}
+\begin{document}
+
+\newboolean{showgrid}
+\setboolean{showgrid}{false}
+\def\breite{4}
+\def\hoehe{4}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+
+% Povray Bild
+\node at (0,0) {\includegraphics[width=8cm]{dreieck3d4.jpg}};
+
+% Gitter
+\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{
+\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw                            (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\fill (0,0) circle[radius=0.05];
+}{}
+
+\node at (0.7,3.8) {$A$};
+\node at (-3.4,-0.8) {$B$};
+\node at (3.3,-2.1) {$C$};
+\node at (-1.4,-3.5) {$P$};
+
+%\node at (-1.9,2.1) {$c$};
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+\node at (-2.6,-2.2) {$p_b$};
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+
+%\node at (0.7,3) {$\alpha$};
+%\node at (-2.5,-0.5) {$\beta$};
+%\node at (2.3,-1.2) {$\gamma$};
+\node at (-2.3,-1.5) {$\beta_1$};
+
+\end{tikzpicture}
+
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pdf
new file mode 100644
index 0000000..0c86d36
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pov
new file mode 100644
index 0000000..188f181
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pov
@@ -0,0 +1,26 @@
+//
+// dreiecke3d.pov
+//
+// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+#include "common.inc"
+
+union {
+	seite(A, B, fein)
+	seite(A, C, fein)
+	punkt(A, fein)
+	punkt(B, fett)
+	punkt(C, fett)
+	punkt(P, fett)
+	seite(B, C, fett)
+	seite(B, P, fett)
+	seite(C, P, fett)
+	pigment {
+		color dreieckfarbe
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
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+}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.tex b/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.tex
new file mode 100644
index 0000000..8011b37
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.tex
@@ -0,0 +1,53 @@
+%
+% dreieck3d5.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{times}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{graphics}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\usepackage{ifthen}
+\begin{document}
+
+\newboolean{showgrid}
+\setboolean{showgrid}{false}
+\def\breite{4}
+\def\hoehe{4}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+
+% Povray Bild
+\node at (0,0) {\includegraphics[width=8cm]{dreieck3d5.jpg}};
+
+% Gitter
+\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{
+\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw                            (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\fill (0,0) circle[radius=0.05];
+}{}
+
+\node at (0.7,3.8) {$A$};
+\node at (-3.4,-0.8) {$B$};
+\node at (3.3,-2.1) {$C$};
+\node at (-1.4,-3.5) {$P$};
+
+%\node at (-1.9,2.1) {$c$};
+%\node at (-0.2,-1.2) {$a$};
+%\node at (2.6,1.5) {$b$};
+
+\node at (-2.6,-2.2) {$p_b$};
+\node at (1,-2.9) {$p_c$};
+
+%\node at (0.7,3) {$\alpha$};
+%\node at (-2.5,-0.5) {$\beta$};
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+
+\end{tikzpicture}
+
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d6.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d6.pov
new file mode 100644
index 0000000..191a1e7
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d6.pov
@@ -0,0 +1,37 @@
+//
+// dreiecke3d.pov
+//
+// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+#include "common.inc"
+
+union {
+	seite(A, B, fett)
+	seite(A, C, fett)
+	seite(B, P, fett)
+	seite(C, P, fett)
+	seite(A, P, fett)
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+object {
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+
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d6.tex b/buch/papers/nav/images/dreieck3d6.tex
new file mode 100644
index 0000000..bbca2ca
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d6.tex
@@ -0,0 +1,55 @@
+%
+% dreieck3d6.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{times}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{graphics}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\usepackage{ifthen}
+\begin{document}
+
+\newboolean{showgrid}
+\setboolean{showgrid}{false}
+\def\breite{4}
+\def\hoehe{4}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+
+% Povray Bild
+\node at (0,0) {\includegraphics[width=8cm]{dreieck3d6.jpg}};
+
+% Gitter
+\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{
+\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw                            (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\fill (0,0) circle[radius=0.05];
+}{}
+
+\node at (0.7,3.8) {$A$};
+\node at (-3.4,-0.8) {$B$};
+\node at (3.3,-2.1) {$C$};
+\node at (-1.4,-3.5) {$P$};
+
+\node at (-1.9,2.1) {$c$};
+%\node at (-0.2,-1.2) {$a$};
+\node at (2.6,1.5) {$b$};
+\node at (-0.7,0.3) {$l$};
+
+\node at (-2.6,-2.2) {$p_b$};
+\node at (1,-2.9) {$p_c$};
+
+%\node at (0.7,3) {$\alpha$};
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+%\node at (2.3,-1.2) {$\gamma$};
+\node at (-2.4,-0.6) {$\kappa$};
+
+\end{tikzpicture}
+
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d7.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d7.pov
new file mode 100644
index 0000000..aae5c6c
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d7.pov
@@ -0,0 +1,39 @@
+//
+// dreiecke3d.pov
+//
+// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+#include "common.inc"
+
+union {
+	seite(A, C, fett)
+	seite(A, P, fett)
+	seite(C, P, fett)
+
+	seite(A, B, fein)
+	seite(B, C, fein)
+	seite(B, P, fein)
+	punkt(A, fett)
+	punkt(C, fett)
+	punkt(P, fett)
+	punkt(B, fein)
+	pigment {
+		color dreieckfarbe
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
+object {
+	winkel(A, P, C, fein, gross)
+	pigment {
+		color rgb<0.4,0.4,1>
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
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+}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d7.tex b/buch/papers/nav/images/dreieck3d7.tex
new file mode 100644
index 0000000..4027a8b
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d7.tex
@@ -0,0 +1,55 @@
+%
+% dreieck3d7.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{times}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{graphics}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\usepackage{ifthen}
+\begin{document}
+
+\newboolean{showgrid}
+\setboolean{showgrid}{false}
+\def\breite{4}
+\def\hoehe{4}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+
+% Povray Bild
+\node at (0,0) {\includegraphics[width=8cm]{dreieck3d7.jpg}};
+
+% Gitter
+\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{
+\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw                            (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\fill (0,0) circle[radius=0.05];
+}{}
+
+\node at (0.7,3.8) {$A$};
+\node at (-3.4,-0.8) {$B$};
+\node at (3.3,-2.1) {$C$};
+\node at (-1.4,-3.5) {$P$};
+
+\node at (-1.9,2.1) {$c$};
+\node at (-0.2,-1.2) {$a$};
+\node at (2.6,1.5) {$b$};
+\node at (-0.7,0.3) {$l$};
+
+\node at (-2.6,-2.2) {$p_b$};
+\node at (1,-2.9) {$p_c$};
+
+%\node at (0.7,3) {$\alpha$};
+%\node at (-2.5,-0.5) {$\beta$};
+%\node at (2.3,-1.2) {$\gamma$};
+\node at (0.8,3.1) {$\omega$};
+
+\end{tikzpicture}
+
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.jpg b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.jpg
new file mode 100644
index 0000000..52bd25e
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.jpg
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pdf
new file mode 100644
index 0000000..9d630aa
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pov
new file mode 100644
index 0000000..9e9921a
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pov
@@ -0,0 +1,96 @@
+//
+// dreiecke3d8.pov
+//
+// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+#include "common.inc"
+
+union {
+	seite(A, B, fett)
+	seite(B, C, fett)
+	seite(A, C, fett)
+	seite(A, P, fein)
+	seite(B, P, fett)
+	seite(C, P, fett)
+	punkt(A, fett)
+	punkt(B, fett)
+	punkt(C, fett)
+	punkt(P, fett)
+	pigment {
+		color dreieckfarbe
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
+object {
+	winkel(A, B, C, fein, klein)
+	pigment {
+		color rot
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
+object {
+	winkel(B, C, A, fein, klein)
+	pigment {
+		color gruen
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
+object {
+	winkel(C, A, B, fein, gross)
+	pigment {
+		color blau
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
+object {
+	winkel(A, P, C, fein/2, gross)
+	pigment {
+		color rgb<0.8,0,0.8>
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
+object {
+	winkel(B, P, C, fein, klein)
+	pigment {
+		color rgb<1,0.8,0>
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
+object {
+	winkel(B, P, A, fein/2, gross)
+	pigment {
+		color rgb<0.4,0.6,0.8>
+	}
+	finish {
+		specular 0.95
+		metallic
+	}
+}
+
+dreieck(A, B, C, White)
+
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.tex b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.tex
new file mode 100644
index 0000000..c59c7b0
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.tex
@@ -0,0 +1,57 @@
+%
+% dreieck3d8.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{times}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{graphics}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\usepackage{ifthen}
+\begin{document}
+
+\newboolean{showgrid}
+\setboolean{showgrid}{false}
+\def\breite{4}
+\def\hoehe{4}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+
+% Povray Bild
+\node at (0,0) {\includegraphics[width=8cm]{dreieck3d8.jpg}};
+
+% Gitter
+\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{
+\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw                            (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\fill (0,0) circle[radius=0.05];
+}{}
+
+\node at (0.7,3.8) {$A$};
+\node at (-3.4,-0.8) {$B$};
+\node at (3.3,-2.1) {$C$};
+\node at (-1.4,-3.5) {$P$};
+
+\node at (-1.9,2.1) {$c$};
+\node at (-0.2,-1.2) {$a$};
+\node at (2.6,1.5) {$b$};
+\node at (-0.8,0) {$l$};
+
+\node at (-2.6,-2.2) {$p_b$};
+\node at (1,-2.9) {$p_c$};
+
+\node at (0.7,3.3) {$\alpha$};
+\node at (0.8,2.85) {$\omega$};
+\node at (-2.6,-0.6) {$\beta$};
+\node at (2.3,-1.2) {$\gamma$};
+\node at (-2.6,-1.3) {$\beta_1$};
+\node at (-2.1,-0.8) {$\kappa$};
+
+\end{tikzpicture}
+
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d9.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d9.pov
new file mode 100644
index 0000000..24d3843
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d9.pov
@@ -0,0 +1,66 @@
+//
+// dreiecke3d8.pov
+//
+// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+#include "common.inc"
+
+//union {
+//	seite(A, B, fein)
+//	seite(B, C, fein)
+//	seite(A, C, fein)
+//	seite(A, P, fein)
+//	seite(B, P, fett)
+//	seite(C, P, fett)
+//	punkt(A, fein)
+//	punkt(B, fett)
+//	punkt(C, fett)
+//	punkt(P, fett)
+//	pigment {
+//		color dreieckfarbe
+//	}
+//	finish {
+//		specular 0.95
+//		metallic
+//	}
+//}
+
+//dreieck(A, B, C, White)
+
+kugel(kugeltransparent)
+
+ebenerwinkel(O, C, P, 0.01, 1.001, rot)
+ebenerwinkel(P, C, P, 0.01, 0.3, rot)
+komplement(P, C, P, 0.01, 0.3, Yellow)
+
+ebenerwinkel(O, B, P, 0.01, 1.001, blau)
+ebenerwinkel(P, B, P, 0.01, 0.3, blau)
+komplement(P, B, P, 0.01, 0.3, Green)
+
+arrow(B, 1.5 * B, 0.015, White)
+arrow(C, 1.5 * C, 0.015, White)
+arrow(P, 1.5 * P, 0.015, White)
+
+union {
+	cylinder { O, P, 0.7 * fein }
+
+	cylinder { P, P + 3 * B, 0.7 * fein }
+	cylinder { O, B + 3 * B, 0.7 * fein }
+
+	cylinder { P, P + 3 * C, 0.7 * fein }
+	cylinder { O, C + 3 * C, 0.7 * fein }
+
+	pigment {
+		color White
+	}
+}
+
+#declare imagescale = 0.044;
+
+camera {
+	location <40, 20, -20>
+	look_at <0, 0.24, -0.20>
+	right x * imagescale
+	up y * imagescale
+}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck4.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck4.pdf
new file mode 100644
index 0000000..4871a1e
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck4.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck4.tex b/buch/papers/nav/images/dreieck4.tex
new file mode 100644
index 0000000..19a7d12
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck4.tex
@@ -0,0 +1,64 @@
+%
+% dreieck4.tex -- sphärische Dreiecke für Positionsbestimmung
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc}
+\begin{document}
+
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+
+\def\skala{1}
+
+\def\punkt#1#2{
+	\fill[color=#2] #1 circle[radius=0.08];
+}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\input{dreieckdata.tex}
+\input{macros.tex}
+
+%\winkelKappa{gray}
+
+%\winkelAlpha{red}
+%\winkelGamma{blue}
+%\winkelBeta{darkgreen}
+
+%\winkelOmega{gray}
+\winkelBetaEins{brown}
+
+%\seiteC{gray}
+%\seiteB{gray}
+%\seiteL{gray}
+
+\seiteA{black}
+\seitePB{black}
+\seitePC{black}
+
+\draw[color=gray] \kanteAB;
+\draw[color=gray] \kanteAC;
+%\draw[color=gray] \kanteAP;
+\draw[color=black,line width=1.4pt] \kanteBC;
+\draw[color=black,line width=1.4pt] \kanteBP;
+\draw[color=black,line width=1.4pt] \kanteCP;
+
+\punkt{(A)}{gray};
+\punkt{(B)}{black};
+\punkt{(C)}{black};
+\punkt{(P)}{black};
+
+\node[color=gray] at (A) [above] {$A$};
+\node at (B) [left] {$B$};
+\node at (C) [right] {$C$};
+\node at (P) [below] {$P$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck5.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck5.pdf
new file mode 100644
index 0000000..cf686e0
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck5.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck5.tex b/buch/papers/nav/images/dreieck5.tex
new file mode 100644
index 0000000..d1117d1
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck5.tex
@@ -0,0 +1,64 @@
+%
+% dreieck4.tex -- sphärische Dreiecke für Positionsbestimmung
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc}
+\begin{document}
+
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+
+\def\skala{1}
+
+\def\punkt#1#2{
+	\fill[color=#2] #1 circle[radius=0.08];
+}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\input{dreieckdata.tex}
+\input{macros.tex}
+
+%\winkelKappa{gray}
+
+%\winkelAlpha{red}
+%\winkelGamma{blue}
+%\winkelBeta{darkgreen}
+
+%\winkelOmega{gray}
+%\winkelBetaEins{brown}
+
+%\seiteC{gray}
+%\seiteB{gray}
+%\seiteL{gray}
+
+%\seiteA{black}
+\seitePB{black}
+\seitePC{black}
+
+\draw[color=gray] \kanteAB;
+\draw[color=gray] \kanteAC;
+%\draw[color=gray] \kanteAP;
+\draw[color=black,line width=1.4pt] \kanteBC;
+\draw[color=black,line width=1.4pt] \kanteBP;
+\draw[color=black,line width=1.4pt] \kanteCP;
+
+\punkt{(A)}{gray};
+\punkt{(B)}{black};
+\punkt{(C)}{black};
+\punkt{(P)}{black};
+
+\node[color=gray] at (A) [above] {$A$};
+\node at (B) [left] {$B$};
+\node at (C) [right] {$C$};
+\node at (P) [below] {$P$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck6.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck6.pdf
new file mode 100644
index 0000000..7efd673
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck6.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck6.tex b/buch/papers/nav/images/dreieck6.tex
new file mode 100644
index 0000000..87db1c2
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck6.tex
@@ -0,0 +1,64 @@
+%
+% dreieck6.tex -- sphärische Dreiecke für Positionsbestimmung
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc}
+\begin{document}
+
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+
+\def\skala{1}
+
+\def\punkt#1#2{
+	\fill[color=#2] #1 circle[radius=0.08];
+}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\input{dreieckdata.tex}
+\input{macros.tex}
+
+\winkelKappa{gray}
+
+%\winkelAlpha{red}
+%\winkelGamma{blue}
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+
+%\winkelOmega{gray}
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+
+\seiteC{black}
+\seiteB{black}
+%\seiteA{gray}
+
+\seiteL{black}
+\seitePB{black}
+\seitePC{black}
+
+\draw[color=black,line width=1.4pt] \kanteAB;
+\draw[color=black,line width=1.4pt] \kanteAC;
+\draw[color=black,line width=1.4pt] \kanteAP;
+%\draw[color=gray] \kanteBC;
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+\draw[color=black,line width=1.4pt] \kanteCP;
+
+\punkt{(A)}{black};
+\punkt{(B)}{black};
+\punkt{(C)}{black};
+\punkt{(P)}{black};
+
+\node at (A) [above] {$A$};
+\node at (B) [left] {$B$};
+\node at (C) [right] {$C$};
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+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck7.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck7.pdf
new file mode 100644
index 0000000..aa83e28
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck7.pdf
diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck7.tex b/buch/papers/nav/images/dreieck7.tex
new file mode 100644
index 0000000..f084708
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/images/dreieck7.tex
@@ -0,0 +1,64 @@
+%
+% dreieck.tex -- sphärische Dreiecke für Positionsbestimmung
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc}
+\begin{document}
+
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+
+\def\skala{1}
+
+\def\punkt#1#2{
+	\fill[color=#2] #1 circle[radius=0.08];
+}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\input{dreieckdata.tex}
+\input{macros.tex}
+
+%\winkelKappa{gray}
+
+%\winkelAlpha{red}
+%\winkelGamma{blue}
+%\winkelBeta{darkgreen}
+
+\winkelOmega{gray}
+%\winkelBetaEins{brown}
+
+\seiteC{black}
+\seiteB{black}
+\seiteA{gray}
+
+\seiteL{black}
+\seitePB{gray}
+\seitePC{black}
+
+\draw[color=gray] \kanteAB;
+\draw[color=black,line width=1.4pt] \kanteAC;
+\draw[color=black,line width=1.4pt] \kanteAP;
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+
+\punkt{(A)}{black};
+\punkt{(B)}{gray};
+\punkt{(C)}{black};
+\punkt{(P)}{black};
+
+\node at (A) [above] {$A$};
+\node[color=gray] at (B) [left] {$B$};
+\node at (C) [right] {$C$};
+\node at (P) [below] {$P$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/nav/main.tex b/buch/papers/nav/main.tex
index e11e2c0..4c52547 100644
--- a/buch/papers/nav/main.tex
+++ b/buch/papers/nav/main.tex
@@ -3,34 +3,20 @@
 %
 % (c) 2020 Hochschule Rapperswil
 %
-\chapter{Thema\label{chapter:nav}}
-\lhead{Thema}
+\chapter{Sphärische Navigation\label{chapter:nav}}
+\lhead{Sphärische Navigation}
 \begin{refsection}
-\chapterauthor{Hans Muster}
+\chapterauthor{Enez Erdem und Marc Kühne}
 
-Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes
-\begin{itemize}
-\item
-Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt.
-Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet.
-\item
-Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende
-Optionen werden gelöscht. 
-Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen.
-\item
-Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. 
-Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen
-in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt 
-anzuwenden.
-\item 
-Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren
-Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern.
-\end{itemize}
 
-\input{papers/nav/teil0.tex}
-\input{papers/nav/teil1.tex}
-\input{papers/nav/teil2.tex}
-\input{papers/nav/teil3.tex}
+
+\input{papers/nav/einleitung.tex}
+\input{papers/nav/flatearth.tex}
+\input{papers/nav/sincos.tex}
+\input{papers/nav/trigo.tex}
+\input{papers/nav/nautischesdreieck.tex}
+
 
 \printbibliography[heading=subbibliography]
 \end{refsection}
+
diff --git a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex
new file mode 100644
index 0000000..36e9c99
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex
@@ -0,0 +1,200 @@
+\section{Das Nautische Dreieck}
+\subsection{Definition des Nautischen Dreiecks}
+Die Himmelskugel ist eine gedachte Kugel, welche die Erde und dessen Beobachter umgibt und als Rechenfläche für Koordinaten in der Astronomie und Geodäsie dient.
+Der Zenit ist jener Punkt, der vom Erdmittelpunkt durch denn eigenen Standort an die Himmelskugel verlängert wird.
+Ein Gestirn ist ein Planet oder ein Fixstern, zu welchen es diverse Jahrbücher mit allen astronomischen Eigenschaften gibt. 
+Der Himmelspol ist der Nordpol an die Himmelskugel projiziert.
+Das nautische Dreieck hat die Ecken Zenit, Gestirn und Himmelspol, wie man in der Abbildung 21.5 sehen kann.
+
+Ursprünglich ist das nautische Dreieck ein Hilfsmittel der sphärischen Astronomie um die momentane Position eines Fixsterns oder Planeten an der Himmelskugel zu bestimmen. 
+
+\subsection{Das Bilddreieck}
+\begin{figure}
+	\begin{center}
+		\includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel3.png}
+		\caption[Nautisches Dreieck]{Nautisches Dreieck}
+	\end{center}
+\end{figure}
+ Man kann das nautische Dreieck auf die Erdkugel projizieren.
+Dieses Dreieck nennt man dann Bilddreieck. 
+Als Bildpunkt wird in der astronomischen Navigation der Punkt bezeichnet, an dem eine gedachte Linie vom Mittelpunkt eines beobachteten Gestirns zum Mittelpunkt der Erde die Erdoberfläche schneidet. 
+Die Projektion auf der Erdkugel hat die Ecken Nordpol, Standort und Bildpunkt.
+
+\section{Standortbestimmung ohne elektronische Hilfsmittel}
+Um den eigenen Standort herauszufinden, wird in diesem Kapitel die Projektion des nautische Dreiecks auf die Erdkugel zur Hilfe genommen. 
+Mithilfe eines Sextanten, einem Jahrbuch und der sphärischen Trigonometrie kann man dann die Längen- und Breitengrade des eigenen Standortes bestimmen.
+Was ein Sextant und ein Jahrbuch ist, wird im Abschnitt 21.6.3 erklärt.
+\begin{figure}
+	\begin{center}
+		\includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/dreieck.pdf}
+		\caption[Dreieck für die Standortbestimmung]{Dreieck für die Standortbestimmung}
+	\end{center}
+\end{figure}
+
+
+
+
+\subsection{Ecke $P$ und $A$}
+Unser eigener Standort ist der gesuchte Ecke $P$ und die Ecke $A$ ist in unserem Fall der Nordpol.
+Der Vorteil an der Idee des nautischen Dreiecks ist, dass eine Ecke immer der Nordpol ist. 
+Somit ist diese Ecke immer bekannt und nur deswegen sind die Zusammenhänge von Rektaszension, Sternzeit und Deklination so einfach.
+
+\subsection{Ecke $B$ und $C$ - Bildpunkt $X$ und $Y$}
+Für die Standortermittlung benötigt man als weiteren Punkt ein Gestirn bzw. seinen Bildpunkt auf der Erdkugel. 
+Damit das trigonometrische Rechnen einfacher wird, werden hier zwei Gestirne zur Hilfe genommen.
+Es gibt diverse Gestirne, die man nutzen kann wie zum Beispiel die Sonne, der Mond oder die vier Navigationsplaneten Venus, Mars, Jupiter und Saturn.
+
+Die Bildpunkte von den beiden Gestirnen $X$ und $Y$ bilden die beiden Ecken $B$ und $C$ im Dreieck der Abbildung 21.5.
+\subsection{Ephemeriden}
+Zu all diesen Gestirnen gibt es Ephemeriden. 
+Diese enthalten die Rektaszensionen und Deklinationen in Abhängigkeit von der Zeit.
+
+\begin{figure}
+	\begin{center}
+		\includegraphics[width=\textwidth]{papers/nav/bilder/ephe.png}
+		\caption[Nautical Almanac Mai 2002]{Nautical Almanac Mai 2002}
+	\end{center}
+\end{figure}
+
+\subsubsection{Deklination}
+Die Deklination $\delta$ beschreibt den Winkel zwischen dem Himmelsäquator und Gestirn und entspricht dem Breitengrad des Gestirns.
+
+\subsubsection{Rektaszension und Sternzeit}
+Die Rektaszension $\alpha$ gibt an, in welchem Winkel das Gestirn zum Frühlingspunkt, welcher der Nullpunkt auf dem Himmelsäquator ist, steht und geht vom Koordinatensystem der Himmelskugel aus.
+
+Die Tatsache, dass sich die Himmelskugel  ca. vier Minuten schneller um die eigene Achse dreht als die Erdkugel, stellt hier ein kleines Problem dar.
+Die Lösung ist die Sternzeit. 
+Mit dieser können wir die schnellere Drehung der Himmelskugel ausgleichen und können die am Frühlingspunkt (21. März) 12:00 Uhr ist die Sternzeit $\theta = 0$. 
+
+Die Sternzeit geht vom Frühlungspunkt aus, an welchem die Sonne den Himmelsäquator schneidet.
+Für die Standortermittlung auf der Erdkugel ist es am einfachsten, wenn man die Sternzeit von Greenwich berechnet. 
+Für die Sternzeit von Greenwich $\theta$ braucht man als erstes das Julianische Datum $T$ vom aktuellen Tag, welches sich leicht nachschlagen lässt.
+Im Anschluss berechnet man die Sternzeit von Greenwich
+
+\[\theta = 6^h 41^m 50^s,54841 + 8640184^s,812866 \cdot T + 0^s,093104 \cdot T^2 - 0^s,0000062 \cdot T^3.\]
+
+Wenn man die Sternzeit von Greenwich ausgerechnet hat, kann man den Längengrad des Gestirns $\lambda = \theta - \alpha$ bestimmen, wobei $\alpha$ die Rektaszension und $\theta$ die Sternzeit von Greenwich ist.
+Dies gilt analog auch für das zweite Gestirn.
+\subsubsection{Sextant}
+Ein Sextant ist ein nautisches Messinstrument, mit dem man den Winkel zwischen der Blickrichtung zu weit entfernten Objekten bestimmen kann. Es wird vor allem der Winkelabstand zu Gestirnen gemessen. 
+Man benutzt ihn vor allem für die astronomische Navigation auf See.
+
+\begin{figure}
+	\begin{center}
+		\includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/sextant.jpg}
+		\caption[Sextant]{Sextant}
+	\end{center}
+\end{figure}
+\subsubsection{Eingeschaften}
+Für das nautische Dreieck gibt es folgende Eigenschaften:
+\begin{center}
+	\begin{tabular}{ l c l }
+		Legende && Name / Beziehung \\ 
+		\hline
+		$\alpha$ && Rektaszension \\  
+		$\delta$ && Deklination \\
+		$\theta$ && Sternzeit von Greenwich\\
+		$\phi$  &&  Geographische Breite\\
+		$\tau=\theta-\alpha$ && Stundenwinkel und Längengrad des Gestirns. \\
+		$a$ &&      Azimut\\
+		$h$ &&      Höhe
+	\end{tabular}
+\end{center}
+\begin{center}
+	\begin{tabular}{ l c l }
+		Eigenschaften \\
+		\hline
+		Seitenlänge Zenit zu Himmelspol= && $\frac{\pi}{2} - \phi$  \\  
+		Seitenlänge Himmelspol zu Gestirn= && $\frac{\pi}{2} - \delta$  \\
+		Seitenlänge Himmelspol zu Gestirn= && $\frac{\pi}{2} - h$ \\
+		Winkel von Zenit zu Himmelsnordpol zu Gestirn=  &&  $\pi-\alpha$\\
+		Winkel von Himmelsnordpol zu Zenit zu Gestirn= && $\tau$\\
+	\end{tabular}
+\end{center}
+\subsection{Bestimmung des eigenen Standortes $P$}
+Nun hat man die Koordinaten der beiden Gestirne und man weiss die Koordinaten des Nordpols.
+Damit wir unseren Standort bestimmen können, bilden wir zuerst das Dreieck $ABC$, dann das Dreieck $BPC$ und zum Schluss noch das Dreieck $ABP$.
+Mithilfe dieser Dreiecken können wir die einfachen Sätze der sphärischen Trigonometrie anwenden und benötigen lediglich ein Ephemeride zu den Gestirnen und einen Sextant.
+
+\begin{figure}
+	\begin{center}
+		\includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/dreieck.pdf}
+		\caption[Dreieck für die Standortbestimmung]{Dreieck für die Standortbestimmung}
+	\end{center}
+\end{figure}
+
+
+\subsubsection{Dreieck $ABC$}
+
+\begin{center}
+	\begin{tabular}{ c c c }
+		Ecke && Name  \\ 
+		\hline
+		$A$ && Nordpol \\  
+		$B$ && Bildpunkt des Gestirns $X$ \\
+		$C$&& Bildpunkt des Gestirns $Y$
+	\end{tabular}
+\end{center}
+
+Mit unserem erlangten Wissen können wir nun alle Seiten des Dreiecks $ABC$ berechnen.
+
+Die Seite vom Nordpol zum Bildpunkt $X$ sei $c$.
+Dann ist $c = \frac{\pi}{2} - \delta_1$. 
+
+Die Seite vom Nordpol zum Bildpunkt $Y$ sei $b$.
+Dann ist $b = \frac{\pi}{2} - \delta_2$. 
+
+Der Innenwinkel bei der Ecke, wo der Nordpol ist sei $\alpha$.
+Dann ist $ \alpha = |\lambda_1 - \lambda_2|$. 
+
+mit 
+\begin{center}
+	\begin{tabular}{ c c c }
+		Ecke && Name  \\ 
+		\hline
+		$\delta_1$ && Deklination vom Bildpunkt $X$ \\  
+		$\delta_2$ && Deklination vom Bildpunk $Y$ \\
+		$\lambda_1 $&& Längengrad vom Bildpunkt $X$\\
+		$\lambda_2$ && Längengrad vom Bildpunkt $Y$
+	\end{tabular}
+\end{center}
+
+Nun haben wir die beiden Seiten $c$ und $b$ und den Winkel $\alpha$, der sich zwischen diesen Seiten befindet. 
+Mithilfe des Seiten-Kosinussatzes 
+$\cos(a) = \cos(b)\cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c)\cdot \cos(\alpha)$ 
+können wir nun die dritte Seitenlänge bestimmen. 
+Es ist darauf zu achten, dass hier natürlich die Seitenlängen in Bogenmass sind und dementsprechend der Kosinus und Sinus verwendet wird. 
+
+Jetzt fehlen noch die beiden anderen Innenwinkel $\beta$ und\ $\gamma$.
+Diese bestimmen wir mithilfe des Sinussatzes \[\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}.\]
+Hier muss man aufpassen, dass man Seite von Winkel unterscheiden kann. 
+Im Zähler sind die Seiten, im Nenner die Winkel. 
+Somit ist \[\beta =\sin^{-1} [\sin(b) \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\sin(a)}].\]
+
+Schlussendlich haben wir die Seiten $a,b\ und \ c$, die Ecken A,B und C und die Winkel $\alpha$, $\beta$  und  $\gamma$ bestimmt und somit das ganze Kugeldreieck $ABC$ berechnet.
+
+\subsubsection{Dreieck $BPC$}
+Wir bilden nun ein zweites Dreieck, welches die Ecken $B$ und $C$ des ersten Dreiecks besitzt. 
+Die dritte Ecke ist der eigene Standort $P$.
+Unser Standort definiere sich aus einer geographischen Breite $\delta$ und einer geographischen Länge $\lambda$. 
+
+Die Seite von $P$ zu $B$ sei $pb$ und die Seite von $P$ zu $C$ sei $pc$.
+Die beiden Seitenlängen kann man mit dem Sextant messen und durch eine einfache Formel bestimmen, nämlich $pb=\frac{\pi}{2} - h_{B}$ und $pc=\frac{\pi}{2} - h_{C}$ 
+
+mit $h_B=$ Höhe von Gestirn in $B$ und $h_C=$ Höhe von Gestirn in $C$ mit Sextant gemessen.
+
+Zum Schluss müssen wir noch den Winkel $\beta_1$ mithilfe des Seiten-Kosinussatzes \[\cos(pb)=\cos(pc)\cdot\cos(a)+\sin(pc)\cdot\sin(a)\cdot\cos(\beta_1)\]  mit den bekannten Seiten $pc$, $pb$ und $a$ bestimmen. 
+\subsubsection{Dreieck $ABP$}
+Nun muss man eine Verbindungslinie ziehen zwischen $P$ und $A$. Die Länge $l$ dieser Linie entspricht der gesuchten geographischen Breite $\delta$. Diese lässt sich mithilfe des Dreiecks $ABP$, den bekannten Seiten $c$ und $pb$ und des Seiten-Kosinussatzes berechnen.
+Für den Seiten-Kosinussatz benötigt es noch $\kappa=\beta + \beta_1$.
+Somit ist \[\cos(l) = \cos(c)\cdot \cos(pb) + \sin(c) \cdot \sin(pb) \cdot \cos(\kappa)\]
+und
+\[
+\delta  =\cos^{-1} [\cos(c) \cdot \cos(pb) + \sin(c) \cdot \sin(pb) \cdot \cos(\kappa)].
+\]
+
+Für die Geographische Länge $\lambda$ des eigenen Standortes muss man den Winkel $\omega$, welcher sich im Dreieck $ACP$ in der Ecke bei $A$ befindet. 
+Mithilfe des Sinussatzes \[\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}\] können wir das bestimmen. 
+Somit ist \[ \omega=\sin^{-1}[\sin(pc) \cdot \frac{\sin(\gamma)}{\sin(l)}] \]und unsere gesuchte geographische Länge schlussendlich 
+\[\lambda=\lambda_1 - \omega\]
+wobei $\lambda_1$ die Länge des Bildpunktes $X$ von $C$ ist.
diff --git a/buch/papers/nav/packages.tex b/buch/papers/nav/packages.tex
index 9faa48d..f2e6132 100644
--- a/buch/papers/nav/packages.tex
+++ b/buch/papers/nav/packages.tex
@@ -8,3 +8,5 @@
 % following example
 %\usepackage{packagename}
 
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{cancel}
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/nav/sincos.tex b/buch/papers/nav/sincos.tex
new file mode 100644
index 0000000..a1653e8
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/sincos.tex
@@ -0,0 +1,23 @@
+
+
+
+\section{Sphärische Navigation und Winkelfunktionen}
+Es gibt Hinweise, dass sich schon die Babylonier und Ägypter vor 4000 Jahren sich mit Problemen der sphärischen Trigonometrie beschäftigt haben um den Lauf von Gestirnen zu berechnen. 
+Jedoch konnten sie dieses Problem nicht lösen. 
+
+Die Geschichte der sphärischen Trigonometrie ist daher eng mit der Astronomie verknüpft. Ca. 350 vor Christus dachten die Griechen über Kugelgeometrie nach und sie wurde zu einer Hilfswissenschaft der Astronomen. 
+Zwischen 190 v. Chr. und 120 v. Chr. lebte ein griechischer Astronom names Hipparchos. 
+Dieser entwickelte unter anderem die Chordentafeln, welche die Chord - Funktionen, auch Chord genannt, beinhalten und im Abschnitt 3.1.1 beschrieben sind. 
+Chord ist der Vorgänger der Sinusfunktion und galt damals als wichtigste Grundlage der Trigonometrie.
+In dieser Zeit wurden auch die ersten Sternenkarten angefertigt. Damals kannte man die Sinusfunktionen noch nicht. 
+
+Aus Indien stammten die ersten Ansätze zu den Kosinussätzen.
+Aufbauend auf den indischen und griechischen Forschungen entwickeln die Araber um das 9. Jahrhundert den Sinussatz. 
+Die Definition der trigonometrischen Funktionen ermöglicht nur, rechtwinklige Dreiecke zu berechnen. 
+Die Beziehung zwischen Seiten und Winkeln sind komplizierter und als Sinus- und Kosinussätze bekannt.
+Doch ein paar weitere Jahrhunderte vergingen bis zu diesem Thema wieder verstärkt Forschung betrieben wurde, da im 15. Jahrhundert grosse Entdeckungsreisen, hauptsächlich per Schiff, erfolgten und die Orientierung mit Sternen vermehrt an Wichtigkeit gewann.
+Man nutzte für die Kartographie nun die Kugelgeometrie, um die Genauigkeit zu erhöhen.
+Der Sinussatz, die Tangensfunktion und der neu entwickelte Seitenkosinussatz wurden in dieser Zeit bereits verwendet und im darauffolgenden Jahrhundert folgte der Winkelkosinussatz. 
+
+Durch weitere mathematische Entwicklungen wie den Logarithmus wurden im Laufe des nächsten Jahrhunderts viele neue Methoden und kartographische Anwendungen der Kugelgeometrie entdeckt. 
+Im 19. und 20. Jahrhundert wurden weitere nicht-euklidische Geometrien entwickelt und die sphärische Trigonometrie fand auch ihre Anwendung in der Relativitätstheorie.
\ No newline at end of file
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deleted file mode 100644
index f3323a9..0000000
--- a/buch/papers/nav/teil0.tex
+++ /dev/null
@@ -1,22 +0,0 @@
-%
-% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 0\label{nav:section:teil0}}
-\rhead{Teil 0}
-Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
-nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam
-erat, sed diam voluptua \cite{nav:bibtex}.
-At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum.
-Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum
-dolor sit amet.
-
-Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
-nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam
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-At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum.  Stet clita
-kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit
-amet.
-
-
diff --git a/buch/papers/nav/teil1.tex b/buch/papers/nav/teil1.tex
deleted file mode 100644
index 996202f..0000000
--- a/buch/papers/nav/teil1.tex
+++ /dev/null
@@ -1,55 +0,0 @@
-%
-% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 1
-\label{nav:section:teil1}}
-\rhead{Problemstellung}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo.
-Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit
-aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione
-voluptatem sequi nesciunt
-\begin{equation}
-\int_a^b x^2\, dx
-=
-\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b
-=
-\frac{b^3-a^3}3.
-\label{nav:equation1}
-\end{equation}
-Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet,
-consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora
-incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem.
-
-Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis
-suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur?
-Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit
-esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum
-fugiat quo voluptas nulla pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{nav:subsection:finibus}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}.
-
-Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio
-\ref{nav:section:loesung}.
-Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil
-impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis
-voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus
-\ref{nav:section:folgerung}.
-Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum
-necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et
-molestiae non recusandae.
-Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis
-voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus
-asperiores repellat.
-
-
diff --git a/buch/papers/nav/teil2.tex b/buch/papers/nav/teil2.tex
deleted file mode 100644
index 5a52e03..0000000
--- a/buch/papers/nav/teil2.tex
+++ /dev/null
@@ -1,40 +0,0 @@
-%
-% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2 
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 2 
-\label{nav:section:teil2}}
-\rhead{Teil 2}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{nav:subsection:bonorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
-
-
diff --git a/buch/papers/nav/teil3.tex b/buch/papers/nav/teil3.tex
deleted file mode 100644
index 2b5d2d5..0000000
--- a/buch/papers/nav/teil3.tex
+++ /dev/null
@@ -1,40 +0,0 @@
-%
-% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 3
-\label{nav:section:teil3}}
-\rhead{Teil 3}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{nav:subsection:malorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
-
-
diff --git a/buch/papers/nav/trigo.tex b/buch/papers/nav/trigo.tex
new file mode 100644
index 0000000..aca8bd2
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/trigo.tex
@@ -0,0 +1,133 @@
+
+\section{Sphärische Trigonometrie}
+\subsection{Das Kugeldreieck}
+Damit man die Definition des Kugeldreiecks versteht, müssen wir zuerst Begriffe wie Grosskreisebene und Grosskreisbögen verstehen.
+Ein Grosskreis ist ein grösstmöglicher Kreis auf einer Kugeloberfläche.
+Sein Mittelpunkt fällt immer mit dem Mittelpunkt der Kugel zusammen und ein Schnitt auf dem Großkreis teilt die Kugel in jedem Fall in zwei gleich grosse Hälften.
+Da es unendlich viele Möglichkeiten gibt, eine Kugel so zu zerschneiden, dass die Schnittebene den Kugelmittelpunkt trifft, gibt es auch unendlich viele Grosskreise.
+Grosskreisbögen sind die kürzesten Verbindungslinien zwischen zwei Punkten auf der Kugel.
+
+Werden drei voneinander verschiedene Punkte, die sich nicht auf derselben Grosskreisebene befinden, mit Grosskreisbögen verbunden werden, so entsteht ein Kugeldreieck $ABC$.
+Für ein Kugeldreieck gilt, dass die Summe der drei Seiten kleiner als $2\pi$ aber grösser als 0 ist.
+$A$, $B$ und $C$ sind die Ecken des Dreiecks und dessen Seiten sind die Grosskreisbögen zwischen den Eckpunkten (siehe Abbildung 21.2). 
+
+Da die Länge der Grosskreisbögen wegen der Abhängigkeit vom Kugelradius ungeeignet ist, wird die Grösse einer Seite mit dem zugehörigen Mittelpunktwinkel des Grosskreisbogens angegeben. 
+Laut dieser Definition ist die Seite $c$ der Winkel $AMB$, wobei der Punkt $M$ die Erdmitte ist.
+
+Man kann bei Kugeldreiecken nicht so einfach unterscheiden, was Innen oder Aussen ist. 
+Wenn man drei Eckpunkte miteinander verbindet, ergeben sich immer 16 Kugeldreiecke. 
+
+\begin{figure}
+	\begin{center}
+		\includegraphics[width=6cm]{papers/nav/bilder/kugel1.png}
+		\caption[Das Kugeldreieck]{Das Kugeldreieck}
+	\end{center}
+	
+\end{figure}
+
+\subsection{Rechtwinkliges Dreieck und rechtseitiges Dreieck}
+In der sphärischen Trigonometrie gibt es eine Symetrie zwischen Seiten und Winkel, also zu jedem Satz über Seiten und Winkel gibt es einen entsprechenden Satz, mit dem man Winkel durch Seiten und Seiten durch Winkel ersetzt hat.
+
+Wie auch im ebenen Dreieck gibt es beim Kugeldreieck auch ein rechtwinkliges Kugeldreieck, bei dem ein Winkel $\frac{\pi}{2}$ ist. 
+Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine Seitenlänge $\frac{\pi}{2}$ lang sein muss, wie man in der Abbildung 21.3 sehen kann.
+
+\begin{figure}
+	
+	\begin{center}
+		\includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/recht.jpg}
+		\caption[Rechtseitiges Kugeldreieck]{Rechtseitiges Kugeldreieck}
+	\end{center}	
+\end{figure}
+
+\subsection{Winkelsumme und Flächeninhalt}
+\begin{figure}
+	
+	\begin{center}
+		\includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel2.png}
+		\caption[Winkelangabe im Kugeldreieck]{Winkelangabe im Kugeldreieck}
+	\end{center}	
+\end{figure}
+
+
+Die Winkel eines Kugeldreiecks sind die, welche die Halbtangenten in den Eckpunkten einschliessen. 
+Für die Summe der Innenwinkel gilt
+\begin{align}
+	\alpha+\beta+\gamma &= \frac{F}{r^2} + \pi \quad \text{und} \quad \alpha+\beta+\gamma > \pi, \nonumber
+\end{align}
+wobei $F$ der Flächeninhalt des Kugeldreiecks ist.
+\subsubsection{Sphärischer Exzess}
+Der sphärische Exzess
+\begin{align}
+	\epsilon = \alpha+\beta+\gamma - \pi \nonumber
+\end{align}  
+beschreibt die Abweichung der Innenwinkelsumme von $\pi$ und ist proportional zum Flächeninhalt des Kugeldreiecks.
+
+\subsubsection{Flächeninnhalt}
+Mithilfe des Radius $r$ und dem sphärischen Exzess $\epsilon$ gilt für den Flächeninhalt 
+\[ F=\frac{\pi \cdot r^2}{\frac{\pi}{2}} \cdot \epsilon\].
+
+\subsection{Seiten und Winkelberechnung}
+Es gibt in der sphärischen Trigonometrie eigentlich gar keinen Satz des Pythagoras, wie man ihn aus der zweidimensionalen Geometrie kennt.
+Es gibt aber auch einen Satz, der alle drei Seiten eines rechtwinkligen Kugeldreiecks, nicht aber für das rechtseitige Kugeldreieck, in eine Beziehung bringt und zum jetzigen Punkt noch unklar ist, weshalb dieser Satz so aussieht.
+Die Approximation folgt noch. 
+Es gilt nämlich:
+\begin{align}
+	\cos c = \cos a \cdot \cos b \quad \text{wenn}  \nonumber &
+	\quad \alpha = \frac{\pi}{2} \nonumber
+\end{align}
+
+\subsubsection{Approximation von kleinen Dreiecken}
+Die Sätze in der ebenen Trigonometrie sind eigentlich Approximationen der sphärischen Trigonometrie.
+So ist der Sinussatz in der Ebene nur eine Annäherung des sphärischen Sinussatzes. Das Gleiche gilt für den Kosinussatz und dem Satz des Pythagoras.
+So kann mit dem Taylorpolynom 2. Grades den Sinus und den Kosinus vom Sphärischen in die Ebene approximieren: 
+\begin{align}
+	\sin(a) &\approx a \nonumber \intertext{und}
+	\cos(a)&\approx 1-\frac{a^2}{2}.\nonumber
+\end{align}
+Es gibt ebenfalls folgende Approximierung der Seiten von der Sphäre in die Ebene:
+\begin{align}
+	a &\approx \sin(a) \nonumber \intertext{und}
+	a^2 &\approx 1-\cos(a). \nonumber
+\end{align}
+Die Korrespondenzen zwischen der ebenen- und sphärischen Trigonometrie werden in den kommenden Abschnitten erläutert.
+
+\subsubsection{Sphärischer Satz des Pythagoras}
+Die Korrespondenz \[ a^2 \approx 1-cos(a)\] liefert unter Anderem einen entsprechenden Satz des Pythagoras, nämlich
+
+\begin{align}
+	\cos(a)\cdot \cos(b) &= \cos(c)  \\
+	\bigg[1-\frac{a^2}{2}\bigg] \cdot \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg] &= 1-\frac{c^2}{2} \\
+	\xcancel{1}- \frac{a^2}{2} - \frac{b^2}{2} + \xcancel{\frac{a^2b^2}{4}}&= \xcancel{1}- \frac{c^2}{2} \intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen} 
+	-a^2-b^2 &=-c^2\\
+	a^2+b^2&=c^2
+\end{align}
+
+\subsubsection{Sphärischer Sinussatz}
+Den sphärischen Sinussatz 
+\begin{align}
+	\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)} \nonumber
+\end{align}
+kann man ebenfalls mit der Korrespondenz \[a \approx \sin(a) \] zum entsprechenden ebenen Sinussatz \[\frac{a}{\sin (\alpha)} =\frac{b}{\sin (\beta)} = \frac{c}{\sin (\gamma)}\] approximieren.
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+
+\subsubsection{Sphärische Kosinussätze}
+In der sphärischen Trigonometrie gibt es den Seitenkosinussatz
+\begin{align}
+	\cos \ a = \cos b \cdot \cos c + \sin b \cdot \sin c \cdot \cos \alpha \nonumber
+\end{align} %Seitenkosinussatz
+und den Winkelkosinussatz
+
+\begin{align}
+	\cos \gamma = -\cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos c, \nonumber
+\end{align} der nur in der sphärischen Trigonometrie vorhanden ist.
+
+Analog gibt es auch beim Seitenkosinussatz eine Korrespondenz zu \[ a^2 \leftrightarrow 1-\cos(a),\] die den ebenen Kosinussatz herleiten lässt, nämlich
+\begin{align}
+	\cos(a)&= \cos(b)\cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c)\cdot \cos(\alpha)  \\
+	1-\frac{a^2}{2} &= \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg]\bigg[1-\frac{c^2}{2}\bigg]+bc\cdot\cos(\alpha) \\
+	\xcancel{1}-\frac{a^2}{2} &= \xcancel{1}-\frac{b^2}{2}-\frac{c^2}{2} \xcancel{+\frac{b^2c^2}{4}}+bc \cdot \cos(\alpha)\intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen}
+	a^2&=b^2+c^2-2bc \cdot \cos(\alpha)
+\end{align}
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