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author | Nicolas Tobler <nicolas.tobler@ost.ch> | 2022-08-23 22:33:40 +0200 |
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diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex index 4b251db..3bf9257 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex @@ -4,88 +4,114 @@ % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % \section{Einleitung\label{parzyl:section:teil0}} -\rhead{Teil 0} -Die Laplace-Gleichung ist eine wichtige Gleichung in der Physik. -Mit ihr lässt sich zum Beispiel das elektrische Feld in einem ladungsfreien Raum bestimmen. -In diesem Kapitel wird die Lösung der Laplace-Gleichung im -parabolischen Zylinderkoordinatensystem genauer untersucht. -\subsection{Laplace Gleichung} -Die partielle Differentialgleichung +\rhead{Einleitung} +%Die Laplace-Gleichung ist eine wichtige Gleichung in der Physik. +%Mit ihr lässt sich zum Beispiel das elektrische Feld in einem ladungsfreien Raum bestimmen. +%In diesem Kapitel wird die Lösung der Laplace-Gleichung im +%parabolischen Zylinderkoordinatensystem genauer untersucht. +Die Helmholtz-Gleichung ist eine wichtige Gleichung in der Physik. +Mit ihr lässt sich zum Beispiel das Verhalten von elektromagnetischen Wellen beschreiben. +In diesem Kapitel werden die Lösungen der Helmholtz-Gleichung im parabolischen Zylinderkoordinatensystem, +die parabolischen Zylinderfunktionen, genauer untersucht. + +\subsection{Helmholtz-Gleichung} +Die partielle Differentialgleichung \begin{equation} - \Delta f = 0 + \Delta f = \lambda f \end{equation} -ist als Laplace-Gleichung bekannt. -Sie ist eine spezielle Form der Poisson-Gleichung +ist als Helmholtz-Gleichung bekannt und beschreibt das Eigenwertproblem für den Laplace-Operator. +Sie ist eine der Gleichungen, welche auftritt, wenn die Wellengleichung \begin{equation} - \Delta f = g + \left ( \nabla^2 - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right ) u(\textbf{r},t) + = + 0 \end{equation} -mit g als beliebige Funktion. -In der Physik hat die Laplace-Gleichung in verschieden Gebieten -verwendet, zum Beispiel im Elektromagnetismus. -Das Gaussche Gesetz in den Maxwellgleichungen +mit Hilfe von Separation \begin{equation} - \nabla \cdot E = \frac{\varrho}{\epsilon_0} -\label{parzyl:eq:max1} -\end{equation} -besagt das die Divergenz eines Elektrischen Feldes an einem -Punkt gleich der Ladung an diesem Punkt ist. -Das elektrische Feld ist hierbei der Gradient des elektrischen -Potentials + u(\textbf{r},t) = A(\textbf{r})T(t) +\end{equation} +in zwei Differentialgleichungen aufgeteilt wird. Die Helmholtz-Gleichung ist der Teil, +welcher zeitunabhängig ist \begin{equation} - \nabla \phi = E. + \nabla^2 A(\textbf{r}) = \lambda A(\textbf{r}). \end{equation} -Eingesetzt in \eqref{parzyl:eq:max1} resultiert -\begin{equation} - \nabla \cdot \nabla \phi = \Delta \phi = \frac{\varrho}{\epsilon_0}, -\end{equation} -was eine Possion-Gleichung ist. -An Ladungsfreien Stellen, ist der rechte Teil der Gleichung $0$. + +%\subsection{Laplace Gleichung} +%Die partielle Differentialgleichung +%\begin{equation} +% \Delta f = 0 +%\end{equation} +%ist als Laplace-Gleichung bekannt. +%Sie ist eine spezielle Form der Poisson-Gleichung +%\begin{equation} +% \Delta f = g +%\end{equation} +%mit $g$ als beliebiger Funktion. +%In der Physik hat die Laplace-Gleichung in verschiedenen Gebieten +%verwendet, zum Beispiel im Elektromagnetismus. +%Das Gaussche Gesetz in den Maxwellgleichungen +%\begin{equation} +% \nabla \cdot E = \frac{\varrho}{\epsilon_0} +%\label{parzyl:eq:max1} +%\end{equation} +%besagt, dass die Divergenz eines elektrischen Feldes an einem +%Punkt gleich der Ladungsdichte an diesem Punkt ist. +%Das elektrische Feld ist hierbei der Gradient des elektrischen +%Potentials +%\begin{equation} +% \nabla \phi = E. +%\end{equation} +%Eingesetzt in \eqref{parzyl:eq:max1} resultiert +%\begin{equation} +% \nabla \cdot \nabla \phi = \Delta \phi = \frac{\varrho}{\epsilon_0}, +%\end{equation} +%was eine Poisson-Gleichung ist. +%An ladungsfreien Stellen ist der rechte Teil der Gleichung $0$. \subsection{Parabolische Zylinderkoordinaten \label{parzyl:subsection:finibus}} -Im parabolischen Zylinderkoordinatensystem bilden parabolische Zylinder die Koordinatenflächen. +Das parabolischen Zylinderkoordinatensystem \cite{parzyl:coordinates} ist ein krummliniges Koordinatensystem, +bei dem parabolische Zylinder die Koordinatenflächen bilden. Die Koordinate $(\sigma, \tau, z)$ sind in kartesischen Koordinaten ausgedrückt mit \begin{align} - x & = \sigma \tau \\ + x & = \frac{1}{2}\left(\tau^2 - \sigma^2\right) \\ \label{parzyl:coordRelationsa} - y & = \frac{1}{2}\left(\tau^2 - \sigma^2\right) \\ + y & = \sigma \tau\\ z & = z. \label{parzyl:coordRelationse} \end{align} -Wird $\tau$ oder $\sigma$ konstant gesetzt resultieren die Parabeln +Wird $\sigma$ oder $\tau$ konstant gesetzt, resultieren die Parabeln \begin{equation} - y = \frac{1}{2} \left( \frac{x^2}{\sigma^2} - \sigma^2 \right) + x = \frac{1}{2} \left( \frac{y^2}{\sigma^2} - \sigma^2 \right) \end{equation} und \begin{equation} - y = \frac{1}{2} \left( -\frac{x^2}{\tau^2} + \tau^2 \right). + x = \frac{1}{2} \left( -\frac{y^2}{\tau^2} + \tau^2 \right). \end{equation} \begin{figure} \centering - \includegraphics[scale=0.4]{papers/parzyl/img/koordinaten.png} - \caption{Das parabolische Koordinatensystem. Die roten Parabeln haben ein - konstantes $\sigma$ und die grünen ein konstantes $\tau$.} + \includegraphics[scale=0.32]{papers/parzyl/img/coordinates.png} + \caption{Das parabolische Koordinatensystem. Die grünen Parabeln haben ein + konstantes $\sigma$ und die roten ein konstantes $\tau$.} \label{parzyl:fig:cordinates} \end{figure} - -Abbildung \ref{parzyl:fig:cordinates} zeigt das Parabolische Koordinatensystem. +Abbildung \ref{parzyl:fig:cordinates} zeigt das parabolische Koordinatensystem. Das parabolische Zylinderkoordinatensystem entsteht wenn die Parabeln aus der Ebene gezogen werden. +Die Flächen mit $\tau = 0$ oder $\sigma = 0$ stellen somit Halbebenen entlang der $z$-Achse dar. Um in diesem Koordinatensystem integrieren und differenzieren zu -können braucht es die Skalierungsfaktoren $h_{\tau}$, $h_{\sigma}$ und $h_{z}$. +können braucht es die Skalierungsfaktoren $h_{\tau}$, $h_{\sigma}$ und $h_{z}$ \cite{parzyl:scalefac}. -\dots - -Wird eine infinitessimal kleine Distanz $ds$ zwischen zwei Punkten betrachtet -kann dies im kartesischen Koordinatensystem mit +Eine infinitessimal kleine Distanz $ds$ zwischen zwei Punkten +kann im kartesischen Koordinatensystem mit \begin{equation} \left(ds\right)^2 = \left(dx\right)^2 + \left(dy\right)^2 + \left(dz\right)^2 \label{parzyl:eq:ds} \end{equation} ausgedrückt werden. -Das Skalierungsfaktoren werden so bestimmt, dass +Die Skalierungsfaktoren werden in einem orthogonalen Koordinatensystem so bestimmt, dass \begin{equation} \left(ds\right)^2 = \left(h_{\sigma}d\sigma\right)^2 + \left(h_{\tau}d\tau\right)^2 + \left(h_z dz\right)^2 @@ -98,15 +124,15 @@ von \eqref{parzyl:coordRelationsa} - \eqref{parzyl:coordRelationse} als dx &= \frac{\partial x }{\partial \sigma} d\sigma + \frac{\partial x }{\partial \tau} d\tau + \frac{\partial x }{\partial \tilde{z}} d \tilde{z} - = \tau d\sigma + \sigma d \tau \\ + = \tau d\tau - \sigma d \sigma \\ dy &= \frac{\partial y }{\partial \sigma} d\sigma + \frac{\partial y }{\partial \tau} d\tau + \frac{\partial y }{\partial \tilde{z}} d \tilde{z} - = \tau d\tau - \sigma d \sigma \\ + = \tau d\sigma + \sigma d \tau \\ dz &= \frac{\partial \tilde{z} }{\partial \sigma} d\sigma + \frac{\partial \tilde{z} }{\partial \tau} d\tau + \frac{\partial \tilde{z} }{\partial \tilde{z}} d \tilde{z} - = d \tilde{z} \\ + = d \tilde{z} \end{align} substituiert. Wird diese Gleichung in der Form von \eqref{parzyl:eq:dspara} @@ -120,21 +146,21 @@ geschrieben, resultiert Daraus ergeben sich die Skalierungsfaktoren \begin{align} h_{\sigma} &= \sqrt{\sigma^2 + \tau^2}\\ - h_{\sigma} &= \sqrt{\sigma^2 + \tau^2}\\ + h_{\tau} &= \sqrt{\sigma^2 + \tau^2}\\ h_{z} &= 1. \end{align} \subsection{Differentialgleichung} Möchte man eine Differentialgleichung im parabolischen -Zylinderkoordinatensystem aufstellen müssen die Skalierungsfaktoren +Zylinderkoordinatensystem aufstellen, müssen die Skalierungsfaktoren mitgerechnet werden. -Der Laplace Operator ist dadurch gegeben als +Der Laplace Operator wird dadurch zu \begin{equation} \Delta f = \frac{1}{\sigma^2 + \tau^2} \left( \frac{\partial^2 f}{\partial \sigma ^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial \tau ^2} \right) - + \frac{\partial^2 f}{\partial z}. + + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}. \label{parzyl:eq:laplaceInParZylCor} \end{equation} \subsubsection{Lösung der Helmholtz-Gleichung im parabolischen Zylinderfunktion} @@ -181,8 +207,7 @@ Diese partielle Differentialgleichung kann mit Hilfe von Separation gelöst werd \begin{equation} f(\sigma,\tau,z) = g(\sigma)h(\tau)i(z) \end{equation} -gesetzt. -Was dann schlussendlich zu den Differentialgleichungen +gesetzt, was dann schlussendlich zu den Differentialgleichungen \begin{equation}\label{parzyl:sep_dgl_1} g''(\sigma) - @@ -216,26 +241,12 @@ und + \mu \right ) - i(\tau) + i(z) = 0 \end{equation} führt. -Wobei die Lösung von \eqref{parzyl:sep_dgl_3} -\begin{equation} - i(z) - = - A\cos{ - \left ( - \sqrt{\lambda + \mu}z - \right )} - + - B\sin{ - \left ( - \sqrt{\lambda + \mu}z - \right )} -\end{equation} -ist und \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} die sogenannten Weberschen Differentialgleichungen sind, welche die parabolischen Zylinder Funktionen als Lösung haben. + |