Merge branch 'master' of https://github.com/AndreasFMueller/SeminarSpezielleFunktionen

4 files changed, 314 insertions, 251 deletions

diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
index 3bf9257..eb1a152 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
@@ -30,12 +30,11 @@ mit Hilfe von Separation
 \begin{equation}
 	u(\textbf{r},t) = A(\textbf{r})T(t)
 \end{equation} 
-in zwei Differentialgleichungen aufgeteilt wird. Die Helmholtz-Gleichung ist der Teil, 
-welcher zeitunabhängig ist
+in zwei Differentialgleichungen aufgeteilt wird. Die Helmholtz-Gleichung ist der Teil
 \begin{equation}
-	\nabla^2 A(\textbf{r}) = \lambda A(\textbf{r}).
+	\nabla^2 A(\textbf{r}) = \lambda A(\textbf{r}),
 \end{equation}
-
+welcher zeitunabhängig ist.
 %\subsection{Laplace Gleichung}
 %Die partielle Differentialgleichung
 %\begin{equation}
@@ -71,7 +70,7 @@ welcher zeitunabhängig ist
 \label{parzyl:subsection:finibus}}
 Das parabolischen Zylinderkoordinatensystem \cite{parzyl:coordinates} ist ein krummliniges Koordinatensystem, 
 bei dem parabolische Zylinder die Koordinatenflächen bilden.
-Die Koordinate $(\sigma, \tau, z)$ sind in kartesischen Koordinaten ausgedrückt mit
+Die Koordinate $(\sigma, \tau, z)$ sind in kartesischen Koordinaten ausgedrückt durch
 \begin{align}
     x & = \frac{1}{2}\left(\tau^2 - \sigma^2\right) \\
     \label{parzyl:coordRelationsa}
@@ -103,8 +102,8 @@ Die Flächen mit $\tau = 0$ oder $\sigma = 0$ stellen somit Halbebenen entlang d
 Um in diesem Koordinatensystem integrieren und differenzieren zu 
 können braucht es die Skalierungsfaktoren $h_{\tau}$, $h_{\sigma}$ und $h_{z}$ \cite{parzyl:scalefac}.
 
-Eine infinitessimal kleine Distanz $ds$ zwischen zwei Punkten
-kann im kartesischen Koordinatensystem mit
+Eine infinitesimal kleine Distanz $ds$ zwischen zwei Punkten
+kann im kartesischen Koordinatensystem als
 \begin{equation}
     \left(ds\right)^2 = \left(dx\right)^2 + \left(dy\right)^2 + 
     \left(dz\right)^2
@@ -188,7 +187,7 @@ gelöst wird.
 %	+ 
 %	\frac{\partial^2}{\partial z^2}.
 %\end{equation}
-Mit dem Laplace Operator aus \eqref{parzyl:eq:laplaceInParZylCor} lautet die Helmholtz Gleichung
+Mit dem Laplace Operator aus \eqref{parzyl:eq:laplaceInParZylCor} lautet die Helmholtz-Gleichung
 \begin{equation}
 	\Delta f(\sigma, \tau, z)
 	=
@@ -245,8 +244,9 @@ und
 	=
 	0
 \end{equation}
-führt.
-
+führt. $\lambda$ und $\mu$ sind dabei die Separationskonstanten. 
+\eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} sind auch 
+als Webersche Differentialgleichungen bekannt.
 
 
 
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
index 0e1ad1b..e6a55b2 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
@@ -6,7 +6,7 @@
 \section{Lösung
 \label{parzyl:section:teil1}}
 \rhead{Lösung}
-
+\subsection{Lösung harmonischer Oszillator}
 \eqref{parzyl:sep_dgl_3} beschriebt einen ungedämpften harmonischen Oszillator.
 Die Lösung ist somit
 \begin{equation}
@@ -22,43 +22,83 @@ Die Lösung ist somit
 		\sqrt{\lambda + \mu}
 		\right )}.
 \end{equation}
+\subsection{Lösung der Weberschen Differentialgleichung}
 Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} werden in \cite{parzyl:whittaker}
 mit Hilfe der Whittaker Gleichung gelöst.
+\begin{satz}
+	Die Funktionen 
+	\begin{equation}
+		 M_{k,m}(x) = 
+		    e^{-x/2} x^{m+1/2} \,
+		    {}_{1} F_{1}
+		    (
+		        {\textstyle \frac{1}{2}} 
+		        + m - k, 1 + 2m; x) \qquad x \in \mathbb{C}
+		 \label{parzyl:eq:sol_diffEq_1}
+	\end{equation}
+	und damit auch die Linearkombinationen 
+	 \begin{equation}
+		        W_{k,m}(x) = \frac{
+		            \Gamma \left( -2m\right)
+		        }{
+		            \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} - m - k\right)
+		        }
+		        M_{-k, m} \left(x\right)
+		        +
+		        \frac{
+		            \Gamma \left( 2m\right)
+		        }{
+		            \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} + m - k\right)
+		        }
+		       M_{k, -m} \left(x\right)
+		      \label{parzyl:eq:sol_diffEq_2}
+	\end{equation}
+	sind Lösungen der Differentialgleichung 
+	\begin{equation}
+		        \frac{d^2W}{d x^2} +
+		        \biggl( -\frac{1}{4}  + \frac{k}{x} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{x^2} \biggr) W = 0.
+		        \label{parzyl:eq:whitDiffEq}
+	\end{equation}
+	
+\end{satz}
 \begin{definition}
-    Die Funktionen
-    \begin{equation*}
-        M_{k,m}(x) = 
-    e^{-x/2} x^{m+1/2} \,
-    {}_{1} F_{1}
-    (
-        {\textstyle \frac{1}{2}} 
-        + m - k, 1 + 2m; x) \qquad x \in \mathbb{C}
-    \end{equation*}
-    und
-    \begin{equation*}
-        W_{k,m}(x) = \frac{
-            \Gamma \left( -2m\right)
-        }{
-            \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} - m - k\right)
-        }
-        M_{-k, m} \left(x\right)
-        +
-        \frac{
-            \Gamma \left( 2m\right)
-        }{
-            \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} + m - k\right)
-        }
-        M_{k, -m} \left(x\right)
-    \end{equation*}
-    gehören zu den Whittaker Funktionen und sind Lösungen
-    der Whittaker Differentialgleichung
-    \begin{equation}
-        \frac{d^2W}{d x^2} +
-        \biggl( -\frac{1}{4}  + \frac{k}{x} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{x^2} \biggr) W = 0.
-        \label{parzyl:eq:whitDiffEq}
-    \end{equation}
-
+	Die Differentialgleichung \ref{parzyl:eq:whitDiffEq}  heisst Whittaker-Differentialgleichung. Die Funktionen \ref{parzyl:eq:sol_diffEq_1} und \ref{parzyl:eq:sol_diffEq_2} sind Teil der Familie der Whittaker-Funktionen.
 \end{definition}
+%\begin{definition}
+%    Die Funktionen
+%    \begin{equation*}
+%        M_{k,m}(x) = 
+%    e^{-x/2} x^{m+1/2} \,
+%    {}_{1} F_{1}
+%    (
+%        {\textstyle \frac{1}{2}} 
+%        + m - k, 1 + 2m; x) \qquad x \in \mathbb{C}
+%    \end{equation*}
+%    und
+%    \begin{equation*}
+%        W_{k,m}(x) = \frac{
+%            \Gamma \left( -2m\right)
+%        }{
+%            \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} - m - k\right)
+%        }
+%        M_{-k, m} \left(x\right)
+%        +
+%        \frac{
+%            \Gamma \left( 2m\right)
+%        }{
+%            \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} + m - k\right)
+%        }
+%        M_{k, -m} \left(x\right)
+%    \end{equation*}
+%    gehören zu den Whittaker Funktionen und sind Lösungen
+%    der Whittaker Differentialgleichung
+%    \begin{equation}
+%        \frac{d^2W}{d x^2} +
+%        \biggl( -\frac{1}{4}  + \frac{k}{x} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{x^2} \biggr) W = 0.
+%        \label{parzyl:eq:whitDiffEq}
+%    \end{equation}
+%
+%\end{definition}
 Es wird nun die Differentialgleichung bestimmt, welche
 \begin{equation}
     w = x^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} x^2\right)
@@ -123,6 +163,8 @@ Mit $M_{k,m}(x)$ geschrieben resultiert
         }
         M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}x^2\right).
 \end{equation}
+
+
 In \cite{parzyl:abramowitz-stegun} sind zwei Lösungen $U(a, x)$ und $V(a,x)$ 
 \begin{align}
     U(a,x) &= 
@@ -161,7 +203,7 @@ der Differentialgleichung
 \begin{equation}
     \frac{d^2 y}{d x^2} - \left(\frac{1}{4} x^2 + a\right) y = 0
 \end{equation}
-beschrieben. Die Lösungen $U(a,z)$ und $V(a, z)$ können auch mit $D_n(z)$
+beschrieben. Die Lösungen $U(a,z)$ und $V(a, z)$ können auch durch $D_n(z)$
 ausgedrückt werden
 \begin{align}
     U(a,x) &= D_{-a-1/2}(x) \\
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
index 0cf4283..1b63c8e 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
@@ -3,134 +3,105 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Anwendung in der Physik 
-\label{parzyl:section:teil2}}
-\rhead{Anwendung in der Physik}
+\section{Eigenschaften
+	\label{parzyl:section:Eigenschaften}}
+\rhead{Eigenschaften}
 
-Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld einer semi-infiniten Platte, wie in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte} gezeigt, finden will.
-\begin{figure}
-	\centering
-	\begin{minipage}{.7\textwidth}
-		 \centering
-		\includegraphics[width=\textwidth]{papers/parzyl/images/halfplane.pdf}
-		\caption{Semi-infinite Leiterplatte}
-		\label{parzyl:fig:leiterplatte}
-	\end{minipage}%
-	\begin{minipage}{.25\textwidth}
-		\centering
-	\includegraphics[width=\textwidth]{papers/parzyl/img/Plane_2D.png}
-	\caption{Semi-infinite Leiterplatte dargestellt in 2D}
-	\label{parzyl:fig:leiterplatte_2d}
-	\end{minipage}
-\end{figure}
-Die Äquipotentiallinien sind dabei in rot ,die des elektrischen Feldes in grün und semi-infinite Platte ist in blau dargestellt.
-Das dies so ist kann im Zweidimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Halbgerade, was man in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte_2d} sieht.
-
-
-Jede komplexe Funktion $F(z)$ kann geschrieben werden als
-\begin{equation}
-	F(s) = U(x,y) + iV(x,y) \quad s = x + iy \qquad s \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}.
-\end{equation}  
-Dabei müssen, falls die Funktion differenzierbar ist, die Cauchy-Riemann Differentialgleichungen 
-\begin{equation}
-	\frac{\partial U(x,y)}{\partial x} 
-	=
-	\frac{\partial V(x,y)}{\partial y} 
-	\qquad
-	\frac{\partial V(x,y)}{\partial x}
-	=
-	-\frac{\partial U(x,y)}{\partial y}
-\end{equation}
-gelten.
-Aus dieser Bedingung folgt 
-\begin{equation}
-	\label{parzyl_e_feld_zweite_ab}
-	\underbrace{
-	\frac{\partial^2 U(x,y)}{\partial x^2}
-	+ 
-	\frac{\partial^2 U(x,y)}{\partial y^2}
-	=
-	0
-	}_{\displaystyle{\nabla^2U(x,y)=0}}
-	\qquad
-	\underbrace{
-	\frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial x^2}
-	+
-	\frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial y^2}
-	=
-	0
-	}_{\displaystyle{\nabla^2V(x,y) = 0}}.
-\end{equation}
-Zusätzlich kann auch gezeigt werden, dass die Funktion $F(z)$ eine winkeltreue Abbildung ist.
-
- 
-Der Zusammenhang zum elektrischen Feld ist jetzt, dass das Potential an einem quellenfreien Punkt gegeben ist als 
-\begin{equation}
-	\nabla^2\phi(x,y) = 0.
-\end{equation}
-Dies ist eine Bedingung, welche differenzierbare Funktionen, wie in Gleichung \eqref{parzyl_e_feld_zweite_ab} gezeigt wird, bereits besitzen. 
-
-
-Nun kann zum Beispiel $U(x,y)$ als das Potential angeschaut werden
-\begin{equation}
-	\phi(x,y) = U(x,y).
-\end{equation}
-Orthogonal zu den Äquipotenzialfläche sind die Feldlinien des elektrische Feld
-\begin{equation}
-	E(x,y) = V(x,y).
-\end{equation}
-
-
-Um nun zu den parabolische Zylinderkoordinaten zu gelangen muss nur noch eine geeignete 
-komplexe Funktion $F(s)$ gefunden werden, 
-welche eine semi-infinite Platte beschreiben kann.
-
-
-Die gesuchte Funktion in diesem Fall ist
-\begin{equation}
-	F(s) 
-	= 
-	\sqrt{s} 
+\subsection{Potenzreihenentwicklung
+	\label{parzyl:potenz}}
+%Die parabolischen Zylinderfunktionen, welche in Gleichung \ref{parzyl:eq:solution_dgl} gegeben sind, 
+%können auch als Potenzreihen geschrieben werden
+Die parabolischen Zylinderfunktionen können auch als Potenzreihen geschrieben werden.
+Parabolische Zylinderfunktionen sind Linearkombinationen 
+$A(\alpha)w_1(\alpha, x) + B(\alpha)w_2(\alpha, x)$ aus einem geraden Teil $w_1(\alpha, x)$ 
+und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, x)$, welche als Potenzreihen
+\begin{align}
+	w_1(\alpha,x)
+	&=  
+	e^{-x^2/4} \,
+	{}_{1} F_{1}
+	(
+	\alpha, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2) 
 	= 
-	\sqrt{x + iy}.
-\end{equation}
-Dies kann umgeformt werden zu
-\begin{equation}
-	F(s) 
+	e^{-\frac{x^2}{4}}
+	\sum^{\infty}_{n=0}
+	\frac{\left ( \alpha \right )_{n}}{\left ( \frac{1}{2}\right )_{n}}
+	\frac{\left ( \frac{1}{2} x^2\right )^n}{n!} \\
+	&=
+	e^{-\frac{x^2}{4}}
+	\left ( 
+	1 
+	+
+	\left ( 2\alpha \right )\frac{x^2}{2!}
+	+
+	\left ( 2\alpha \right )\left ( 2 + 2\alpha \right )\frac{x^4}{4!}  
+	+
+	\dots
+	\right )
+\end{align}
+und
+\begin{align}
+	w_2(\alpha,x)
+	&=  
+	xe^{-x^2/4} \,
+	{}_{1} F_{1}
+	(
+	{\textstyle \frac{1}{2}} 
+	+ \alpha, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2) 
 	= 
-	\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}}_{U(x,y)} 
-	+ 
-	i\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}}_{V(x,y)}
-	.
-\end{equation}
+	xe^{-\frac{x^2}{4}}
+	\sum^{\infty}_{n=0}
+	\frac{\left ( \frac{1}{2} + \alpha \right )_{n}}{\left ( \frac{3}{2}\right )_{n}}
+	\frac{\left ( \frac{1}{2} x^2\right )^n}{n!} \\
+	&=
+	e^{-\frac{x^2}{4}}
+	\left ( 
+	x 
+	+
+	\left ( 1 + 2\alpha \right )\frac{x^3}{3!}
+	+
+	\left ( 1 + 2\alpha \right )\left ( 3 + 2\alpha \right )\frac{x^5}{5!}  
+	+
+	\dots
+	\right )
+\end{align}
+sind.
 
 
-Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden, 
-indem man die Funktion, welche das Potential beschreibt, gleich eine Konstante setzt,
+Die Potenzreihen sind in der Regel unendliche Reihen. 
+Es gibt allerdings die Möglichkeit, dass für bestimmte $\alpha$ die Terme in der Klammer gleich null werden 
+und die Reihe somit eine endliche Anzahl $n$ Summanden hat.
+Dies geschieht bei $w_1(\alpha,x)$, falls
 \begin{equation}
+	\alpha =  -n \qquad n \in \mathbb{N}_0
 %	\sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}.
 	c_1 = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}.
 \end{equation}
-Die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als
+und bei $w_2(\alpha,x)$ falls
 \begin{equation}
-%	\tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}
-	c_2 = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}
+	\alpha = -\frac{1}{2} - n \qquad n \in \mathbb{N}_0.
 \end{equation}
-beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun, wie man vom 
-kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt.
-%Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst 
-%\begin{equation}
-%	x = \sigma \tau,
-%\end{equation}
+Der Wert von $\alpha$ ist abhängig, ob man $D_n(x)$, $U(a,x)$ oder $V(a,x)$ verwendet.
+Bei $D_n(x)$ gilt $\alpha = -{\textstyle \frac{1}{2}} n$ und bei $U(a,z)$ oder $V(a,x)$ gilt 
+$\alpha = {\textstyle \frac{1}{2}} a + {\textstyle \frac{1}{4}}$.
+\subsection{Ableitung}
+Die Ableitungen $\frac{\partial w_1(\alpha, x)}{\partial x}$ und $\frac{\partial w_2(\alpha, x)}{\partial x}$ 
+können mit den Eigenschaften der hypergeometrischen Funktionen in Abschnitt 
+\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:stammableitung} berechnet werden. 
+Zusammen mit der Produktregel ergeben sich die Ableitungen
+\begin{equation}
+	\frac{\partial w_1(\alpha,x)}{\partial x} = 2\alpha w_2(\alpha + \frac{1}{2}, x) - \frac{1}{2} x w_1(\alpha, x),
+\end{equation} 
+und
 %\begin{equation}
-%	y = \frac{1}{2}\left ( \tau^2 - \sigma^2 \right ),
+%	\frac{\partial w_2(z,k)}{\partial z} = w_1(z, k -\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} z w_2(z,k).
 %\end{equation}
-%so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann.
-Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst 
-\begin{align}
-	x &=  c_1^2 - c_2^2 ,\\
-	y &= 2c_1 c_2,
-\end{align}
-so beschreiben sie mit $\tau = c_1 \sqrt{2}$ und $\sigma = c_2 \sqrt{2}$ die Beziehung 
-zwischen dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem und dem kartesischen Koordinatensystem.
-
+\begin{equation}
+	\frac{\partial w_2(\alpha,x)}{\partial x} = e^{-x^2/4} \left(
+	x^{-1} w_2(\alpha, x) - \frac{x}{2} w_2(\alpha, x) + 2 x^2 \left(\frac{\alpha + 1}{3}\right)
+	{}_{1} F_{1} (
+	{\textstyle \frac{3}{2}} 
+	+ \alpha, {\textstyle \frac{5}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2)
+	\right)
+\end{equation}
+Nach dem selben Vorgehen können weitere Ableitungen berechnet werden.
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil3.tex b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
index 1b59ed9..12c28fe 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil3.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
@@ -3,102 +3,152 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Eigenschaften
-\label{parzyl:section:Eigenschaften}}
-\rhead{Eigenschaften}
 
-\subsection{Potenzreihenentwicklung
-	\label{parzyl:potenz}}
-%Die parabolischen Zylinderfunktionen, welche in Gleichung \ref{parzyl:eq:solution_dgl} gegeben sind, 
-%können auch als Potenzreihen geschrieben werden
-Die parabolischen Zylinderfunktionen können auch als Potenzreihen geschrieben werden.
-Parabolische Zylinderfunktionen sind Linearkombinationen 
-$A(\alpha)w_1(\alpha, x) + B(\alpha)w_2(\alpha, x)$ aus einem geraden Teil $w_1(\alpha, x)$ 
-und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, x)$, welche als Potenzreihen
-\begin{align}
-	w_1(\alpha,x)
-	&=  
-	e^{-x^2/4} \,
-	{}_{1} F_{1}
-	(
-	\alpha, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2) 
-	= 
-	e^{-\frac{x^2}{4}}
-	\sum^{\infty}_{n=0}
-	\frac{\left ( \alpha \right )_{n}}{\left ( \frac{1}{2}\right )_{n}}
-	\frac{\left ( \frac{1}{2} x^2\right )^n}{n!} \\
-	&=
-	e^{-\frac{x^2}{4}}
-	\left ( 
-	1 
-	+
-	\left ( 2\alpha \right )\frac{x^2}{2!}
-	+
-	\left ( 2\alpha \right )\left ( 2 + 2\alpha \right )\frac{x^4}{4!}  
-	+
-	\dots
-	\right )
-\end{align}
-und
-\begin{align}
-	w_2(\alpha,x)
-	&=  
-	xe^{-x^2/4} \,
-	{}_{1} F_{1}
-	(
-	{\textstyle \frac{1}{2}} 
-	+ \alpha, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2) 
-	= 
-	xe^{-\frac{x^2}{4}}
-	\sum^{\infty}_{n=0}
-	\frac{\left ( \frac{1}{2} + \alpha \right )_{n}}{\left ( \frac{3}{2}\right )_{n}}
-	\frac{\left ( \frac{1}{2} x^2\right )^n}{n!} \\
-	&=
-	e^{-\frac{x^2}{4}}
-	\left ( 
-	x 
-	+
-	\left ( 1 + 2\alpha \right )\frac{x^3}{3!}
-	+
-	\left ( 1 + 2\alpha \right )\left ( 3 + 2\alpha \right )\frac{x^5}{5!}  
-	+
-	\dots
-	\right )
-\end{align}
-sind.
-Die Potenzreihen sind in der regel unendliche Reihen. 
-Es gibt allerdings die Möglichkeit, dass für bestimmte $\alpha$ die Terme in der Klammer gleich null werden 
-und die Reihe somit eine endliche Anzahl $n$ Summanden hat.
-Dies geschieht bei $w_1(\alpha,x)$, falls
+\section{Anwendung in der Physik 
+	\label{parzyl:section:teil2}}
+\rhead{Anwendung in der Physik}
+
+Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld einer semi-infiniten Platte, wie in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte} gezeigt, finden will.
+\begin{figure}
+	\centering
+	\includegraphics[width=0.8\textwidth]{papers/parzyl/images/halfplane.pdf}
+	\caption{Semi-infinite Leiterplatte}
+	\label{parzyl:fig:leiterplatte}
+\end{figure}
+Die Äquipotentiallinien sind dabei in rot ,die des elektrischen Feldes in grün und semi-infinite Platte ist in blau dargestellt.
+Das dies so ist kann im Zweidimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Halbgerade, was man in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte_2d} sieht.
+\begin{figure}
+	\centering
+	\includegraphics[width=0.6\textwidth]{papers/parzyl/img/Plane_2D.png}
+	\caption{Semi-infinite Leiterplatte dargestellt in 2D}
+	\label{parzyl:fig:leiterplatte_2d}
+\end{figure}
+
+Jede komplexe Funktion $F(z)$ kann geschrieben werden als
+\begin{equation}
+	F(s) = U(x,y) + iV(x,y) \quad s = x + iy \qquad s \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}.
+\end{equation}  
+Dabei müssen, falls die Funktion differenzierbar ist, die Cauchy-Riemann Differentialgleichungen 
 \begin{equation}
-	\alpha =  -n \qquad n \in \mathbb{N}_0
+	\frac{\partial U(x,y)}{\partial x} 
+	=
+	\frac{\partial V(x,y)}{\partial y} 
+	\qquad
+	\frac{\partial V(x,y)}{\partial x}
+	=
+	-\frac{\partial U(x,y)}{\partial y}
 \end{equation}
-und bei $w_2(\alpha,x)$ falls
+gelten.
+Aus dieser Bedingung folgt 
+\begin{equation}
+	\label{parzyl_e_feld_zweite_ab}
+	\underbrace{
+		\frac{\partial^2 U(x,y)}{\partial x^2}
+		+ 
+		\frac{\partial^2 U(x,y)}{\partial y^2}
+		=
+		0
+	}_{\displaystyle{\nabla^2U(x,y)=0}}
+	\qquad
+	\underbrace{
+		\frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial x^2}
+		+
+		\frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial y^2}
+		=
+		0
+	}_{\displaystyle{\nabla^2V(x,y) = 0}}.
+\end{equation}
+Zusätzlich kann auch gezeigt werden, dass die Funktion $F(z)$ eine winkeltreue Abbildung ist.
+
+
+Der Zusammenhang zum elektrischen Feld ist jetzt, dass das Potential an einem quellenfreien Punkt gegeben ist als 
+\begin{equation}
+	\nabla^2\phi(x,y) = 0.
+\end{equation}
+Dies ist eine Bedingung, welche differenzierbare Funktionen, wie in Gleichung \eqref{parzyl_e_feld_zweite_ab} gezeigt wird, bereits besitzen. 
+
+
+Nun kann zum Beispiel $U(x,y)$ als das Potential angeschaut werden:
+\begin{equation}
+	\phi(x,y) = U(x,y).
+\end{equation}
+Orthogonal zu den Äquipotenzialflächen sind die Feldlinien des elektrische Feld
+\begin{equation}
+	E(x,y) = V(x,y).
+\end{equation}
+
+
+Um nun zu den parabolische Zylinderkoordinaten zu gelangen, muss nur noch eine geeignete 
+komplexe Funktion $F(s)$ gefunden werden, 
+welche eine semi-infinite Platte beschreiben kann.
+
+
+Die gesuchte Funktion in diesem Fall ist
 \begin{equation}
-	\alpha = -\frac{1}{2} - n \qquad n \in \mathbb{N}_0.
+	F(s) 
+	= 
+	\sqrt{s} 
+	= 
+	\sqrt{x + iy}.
 \end{equation}
-Der Wert von $\alpha$ ist abhängig, ob man $D_n(x)$, $U(a,x)$ oder $V(a,x)$ verwendet.
-Bei $D_n(x)$ gilt $\alpha = -{\textstyle \frac{1}{2}} n$ und bei $U(a,z)$ oder $V(a,x)$ gilt 
-$\alpha = {\textstyle \frac{1}{2}} a + {\textstyle \frac{1}{4}}$.
-\subsection{Ableitung}
-Die Ableitungen $\frac{\partial w_1(\alpha, x)}{\partial x}$ und $\frac{\partial w_2(\alpha, x)}{\partial x}$ 
-können mit den Eigenschaften der hypergeometrischen Funktionen in Abschnitt 
-\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:stammableitung} berechnet werden. 
-Zusammen mit der Produktregel ergeben sich die Ableitungen
+Dies kann umgeformt werden zu
 \begin{equation}
-	\frac{\partial w_1(\alpha,x)}{\partial x} = 2\alpha w_2(\alpha + \frac{1}{2}, x) - \frac{1}{2} x w_1(\alpha, x),
-\end{equation} 
-und
+	F(s) 
+	= 
+	\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}}_{U(x,y)} 
+	+ 
+	i\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}}_{V(x,y)}
+	.
+\end{equation}
+
+
+%Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden, 
+%indem man die Funktion, welche das Potential beschreibt, gleich eine Konstante setzt,
+%\begin{equation}
+%	\sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}.
+%\end{equation}
+%Die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als
 %\begin{equation}
-%	\frac{\partial w_2(z,k)}{\partial z} = w_1(z, k -\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} z w_2(z,k).
+%	\tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}
 %\end{equation}
+%beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun, wie man vom 
+%kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt.
+
+Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden, 
+indem man die Funktion, welche das Potential beschreibt, gleich eine Konstante setzt,
 \begin{equation}
-	\frac{\partial w_2(\alpha,x)}{\partial x} = e^{-x^2/4} \left(
-		x^{-1} w_2(\alpha, x) - \frac{x}{2} w_2(\alpha, x) + 2 x^2 \left(\frac{\alpha + 1}{3}\right)
-		{}_{1} F_{1} (
-	{\textstyle \frac{3}{2}} 
-	+ \alpha, {\textstyle \frac{5}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2)
-	\right)
+%	\sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}.
+	c_1 = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}.
 \end{equation}
-Nach dem selben Vorgehen können weitere Ableitungen berechnet werden.
+Die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als
+\begin{equation}
+%	\tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}
+	c_2 = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}
+\end{equation}
+beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun, wie man vom 
+kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt.
+%Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst 
+%\begin{equation}
+%	x = \sigma \tau,
+%\end{equation}
+%\begin{equation}
+%	y = \frac{1}{2}\left ( \tau^2 - \sigma^2 \right ),
+%\end{equation}
+%so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann.
+Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst 
+\begin{align}
+	x &=  c_1^2 - c_2^2 ,\\
+	y &= 2c_1 c_2,
+\end{align}
+so beschreiben sie mit $\tau = c_1 \sqrt{2}$ und $\sigma = c_2 \sqrt{2}$ die Beziehung 
+zwischen dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem und dem kartesischen Koordinatensystem.
 
+Nun wurde gezeigt wieso sich das parabolische Zylinderkoordinatensystem am besten eignet um das Potential und das elektrische Feld einer semi-infiniten Leiterplatte zu beschreien. Falls man nun die Helmholtz-Gleichung in diesem Bereich lösen müsste, da man zum Beispiel am Verhalten einer elektromagnetischne Welle in der Nähe der Platte interessiert wäre, so würde man auf die parabolischen Zylinderfunktionen kommen. 
+%Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst 
+%\begin{equation}
+%	x = \sigma \tau,
+%\end{equation}
+%\begin{equation}
+%	y = \frac{1}{2}\left ( \tau^2 - \sigma^2 \right ),
+%\end{equation}
+%so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann.
\ No newline at end of file