Merge remote-tracking branch 'upstream/master'

13 files changed, 384 insertions, 28 deletions

diff --git a/buch/papers/parzyl/images/Makefile b/buch/papers/parzyl/images/Makefile
new file mode 100644
index 0000000..4bd13ec
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/parzyl/images/Makefile
@@ -0,0 +1,16 @@
+#
+# Makefile to build 3d images
+#
+# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller
+#
+
+all:	halfplane.pdf
+
+halfplane.pdf:	halfplane.tex halfplane.jpg
+	pdflatex halfplane.tex
+halfplane.png:	halfplane.pov
+	povray +A0.1 -W1920 -H1080 -Ohalfplane.png halfplane.pov
+halfplane.jpg: halfplane.png Makefile
+	convert -extract 1280x1080+340+0 halfplane.png \
+		-density 300 -units PixelsPerInch halfplane.jpg
+
diff --git a/buch/papers/parzyl/images/common.inc b/buch/papers/parzyl/images/common.inc
new file mode 100644
index 0000000..28aed2b
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/parzyl/images/common.inc
@@ -0,0 +1,64 @@
+//
+// common.inc -- some common useful tools for drawing 3d images
+//
+// (c) 2018 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+//
+
+//
+// draw a right angle quarter circle at point <o> with legs <v1> and <v2> and 
+// color <c>
+//
+#declare rechterwinkelradius = 0.5;
+#declare rechterwinkelthickness = 0.01;
+#macro rechterwinkel(o, v1, v2, c)
+intersection {
+	sphere { o, rechterwinkelradius }
+	#declare rnormale = vnormalize(vcross(v1, v2));
+	plane { rnormale, vdot(o, rnormale) + rechterwinkelthickness * rechterwinkelradius / 0.5 }
+	plane { -rnormale, -vdot(o, rnormale) + rechterwinkelthickness * rechterwinkelradius / 0.5 }
+	plane { -v1, -vdot(o, v1) }
+	plane { -v2, -vdot(o, v2) }
+	pigment {
+		color c
+	}
+}
+sphere { o + 0.45 * (vnormalize(v1) +vnormalize(v2)) * rechterwinkelradius,
+	0.05 * rechterwinkelradius / 0.5
+	pigment {
+		color c
+	}
+}
+#end
+
+//
+// draw an arrow from <from> to <to> with thickness <arrowthickness> with
+// color <c>
+//
+#macro arrow(from, to, arrowthickness, c)
+        #declare arrowdirection = vnormalize(to - from);
+        #declare arrowlength = vlength(to - from);
+        union { 
+                sphere {
+                        from, 1.1 * arrowthickness
+                }
+                cylinder {
+                        from,
+                        from + (arrowlength - 5 * arrowthickness) * arrowdirection,                     
+                        arrowthickness
+                }
+                cone {  
+                        from + (arrowlength - 5 * arrowthickness) * arrowdirection,                     
+                        2 * arrowthickness,
+                        to,
+                        0
+                }
+                pigment {
+                        color c
+                }
+                finish {
+                        specular 0.9
+                        metallic
+                }
+        }
+#end
+
diff --git a/buch/papers/parzyl/images/halfplane.jpg b/buch/papers/parzyl/images/halfplane.jpg
new file mode 100644
index 0000000..8cb5ae3
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/parzyl/images/halfplane.jpg
diff --git a/buch/papers/parzyl/images/halfplane.pdf b/buch/papers/parzyl/images/halfplane.pdf
new file mode 100644
index 0000000..7275810
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/parzyl/images/halfplane.pdf
diff --git a/buch/papers/parzyl/images/halfplane.png b/buch/papers/parzyl/images/halfplane.png
new file mode 100644
index 0000000..5beefa0
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/parzyl/images/halfplane.png
diff --git a/buch/papers/parzyl/images/halfplane.pov b/buch/papers/parzyl/images/halfplane.pov
new file mode 100644
index 0000000..419bb67
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/parzyl/images/halfplane.pov
@@ -0,0 +1,201 @@
+//
+// 3dimage.pov
+//
+// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller
+//
+#version 3.7;
+#include "colors.inc"
+#include "skies.inc"
+#include "common.inc"
+
+global_settings {
+        assumed_gamma 1
+}
+
+#declare imagescale = 0.63;
+#declare ar = 0.02;
+
+#declare Cameracenter = <5,3,-4>;
+#declare Worldpoint = <0,-0.80, 0>;
+#declare Lightsource = < 7,10,-3>;
+#declare Lightdirection = vnormalize(Lightsource - Worldpoint);
+#declare Lightaxis1 = vnormalize(vcross(Lightdirection, <0,1,0>));
+#declare Lightaxis2 = vnormalize(vcross(Lightaxis1, Lightdirection));
+
+camera {
+	location Cameracenter
+	look_at Worldpoint
+	right 16/9 * x * imagescale
+	up y * imagescale
+}
+
+light_source {
+	Lightsource color White
+	area_light Lightaxis1 Lightaxis2, 10, 10
+	adaptive 1
+	jitter
+}
+
+sky_sphere {
+	pigment {
+		color White
+	}
+}
+
+arrow( <-2.1, 0,   0 >, < 2.2, 0,   0 >, ar, White)
+arrow( < 0,  -1.1, 0 >, < 0, 1.3, 0 >, ar, White)
+arrow( < 0,   0,  -2 >, < 0, 0,   2.2 >, ar, White)
+
+#declare planecolor = rgb<0.2,0.6,1.0>;
+#declare r = 0.01;
+
+#macro planebox()
+	box { <-2.1,-1.1,-2.1>, <0,1.1,2.1> }
+#end
+
+intersection {
+	plane { <0, 0,  1>, 0.001 }
+	plane { <0, 0, -1>, 0.001 }
+	planebox()
+	pigment {
+		color planecolor transmit 0.3
+	}
+	finish {
+		metallic
+		specular 0.95
+	}
+}
+
+#declare Xstep = 0.2;
+
+intersection {
+	union {
+		#declare X = 0;
+		#while (X > -2.5)
+			cylinder { <X,-3,0>, <X,+3,0>, r }
+			#declare X = X - Xstep;
+		#end
+
+		#declare Y = Xstep;
+		#while (Y < 2.5)
+			cylinder { <-3,  Y, 0>, <0,  Y, 0>, r }
+			cylinder { <-3, -Y, 0>, <0, -Y, 0>, r }
+			#declare Y = Y + Xstep;
+		#end
+	}
+	planebox()
+	pigment {
+		color planecolor
+	}
+	finish {
+		metallic
+		specular 0.95
+	}
+}
+
+#declare parammin = -4;
+#declare parammax = 4;
+#declare paramsteps = 100;
+#declare paramstep = (parammax - parammin) / paramsteps;
+
+#macro punkt(sigma, tau, Z)
+	<
+		0.5 * (tau*tau - sigma*sigma)
+		Z,
+		sigma * tau,
+	>
+#end
+
+#macro sigmasurface(sigma, farbe)
+	#declare taumin1 = 2/sigma;
+	#declare taumin2 = sqrt(4+sigma*sigma);
+	#if (taumin1 > taumin2)
+		#declare taumin = -taumin2;
+	#else
+		#declare taumin = -taumin1;
+	#end
+	
+	mesh {
+		#declare tau = taumin;
+		#declare taumax = -taumin;
+		#declare taustep = (taumax - taumin) / paramsteps;
+		#while (tau < taumax - taustep/2)
+			triangle {
+				punkt(sigma, tau,           -1),
+				punkt(sigma, tau,            0),
+				punkt(sigma, tau + taustep, -1)
+			}
+			triangle {
+				punkt(sigma, tau + taustep, -1),
+				punkt(sigma, tau + taustep,  0),
+				punkt(sigma, tau,            0)
+			}
+			#declare tau = tau + taustep;
+		#end
+		pigment {
+			color farbe
+		}
+		finish {
+			specular 0.9
+			metallic
+		}
+	}
+
+	union {
+		#declare tau = taumin;
+		#declare taumax = -taumin;
+		#declare taustep = (taumax - taumin) / paramsteps;
+		#while (tau < taumax - taustep/2)
+			sphere { punkt(sigma, tau, 0), r }
+			cylinder {
+				punkt(sigma, tau,           0),
+				punkt(sigma, tau + taustep, 0),
+				r
+			}
+			#declare tau = tau + taustep;
+		#end
+		sphere { punkt(sigma, tau, 0), r }
+		pigment {
+			color farbe
+		}
+		finish {
+			specular 0.9
+			metallic
+		}
+		
+	}
+#end
+
+#declare greensurfacecolor = rgb<0.6,1.0,0.6>;
+#declare redsurfacecolor = rgb<1.0,0.6,0.6>;
+
+sigmasurface(0.25, greensurfacecolor)
+sigmasurface(0.5,  greensurfacecolor)
+sigmasurface(0.75, greensurfacecolor)
+sigmasurface(1,    greensurfacecolor)
+sigmasurface(1.25, greensurfacecolor)
+sigmasurface(1.5,  greensurfacecolor)
+sigmasurface(1.75, greensurfacecolor)
+sigmasurface(2,    greensurfacecolor)
+
+union {
+	sigmasurface(0.25, redsurfacecolor)
+	sigmasurface(0.5,  redsurfacecolor)
+	sigmasurface(0.75, redsurfacecolor)
+	sigmasurface(1.00, redsurfacecolor)
+	sigmasurface(1.25, redsurfacecolor)
+	sigmasurface(1.5,  redsurfacecolor)
+	sigmasurface(1.75, redsurfacecolor)
+	sigmasurface(2,    redsurfacecolor)
+	rotate <0, 180, 0>
+}
+
+box { <-2,-1,-2>, <2,-0.99,2> 
+	pigment {
+		color rgb<1.0,0.8,0.6> transmit 0.8
+	}
+	finish {
+		specular 0.9
+		metallic
+	}
+}
diff --git a/buch/papers/parzyl/images/halfplane.tex b/buch/papers/parzyl/images/halfplane.tex
new file mode 100644
index 0000000..e470057
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/parzyl/images/halfplane.tex
@@ -0,0 +1,41 @@
+%
+% halfplane.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{times}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{graphics}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\usepackage{ifthen}
+\begin{document}
+
+\newboolean{showgrid}
+\setboolean{showgrid}{false}
+\def\breite{5}
+\def\hoehe{4}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+
+% Povray Bild
+\node at (0,0) {\includegraphics[width=10cm]{halfplane.jpg}};
+
+% Gitter
+\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{
+\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw                            (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\fill (0,0) circle[radius=0.05];
+}{}
+
+\node at (0,3.7) {$z$};
+\node at (3.3,-0.3) {$x$};
+\node at (2.7,2.5) {$y$};
+
+\end{tikzpicture}
+
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/parzyl/img/Plane_2D.png b/buch/papers/parzyl/img/Plane_2D.png
new file mode 100644
index 0000000..f55e3cf
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/parzyl/img/Plane_2D.png
diff --git a/buch/papers/parzyl/references.bib b/buch/papers/parzyl/references.bib
index 390d5ed..9639d0b 100644
--- a/buch/papers/parzyl/references.bib
+++ b/buch/papers/parzyl/references.bib
@@ -65,4 +65,13 @@
 	year = {2022},
 	month = {8},
 	day = {17}
+}
+
+@online{parzyl:scalefac,
+	title = {An introduction to curvlinear orthogonal coordinates},
+	url = {http://dslavsk.sites.luc.edu/courses/phys301/classnotes/scalefactorscomplete.pdf},
+	date = {2022-08-18},
+	year = {2022},
+	month = {08},
+	day = {18}
 }
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
index 8be936d..f9e34d5 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
@@ -19,8 +19,8 @@ Die partielle Differentialgleichung
 \begin{equation}
 	\Delta f = \lambda f
 \end{equation}
-ist als Helmholtz-Gleichung bekannt und beschreibt das Eigenwert Problem für den Laplace-Operator. 
-Sie ist eine der Gleichungen welche auftritt wenn die Wellengleichung
+ist als Helmholtz-Gleichung bekannt und beschreibt das Eigenwertproblem für den Laplace-Operator. 
+Sie ist eine der Gleichungen, welche auftritt, wenn die Wellengleichung
 \begin{equation}
 	\left ( \nabla^2 - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}  \right ) u(\textbf{r},t)
 	=
@@ -95,12 +95,13 @@ und
     konstantes $\sigma$ und die grünen ein konstantes $\tau$.}
     \label{parzyl:fig:cordinates}
 \end{figure}
-Abbildung \ref{parzyl:fig:cordinates} zeigt das Parabolische Koordinatensystem.
+Abbildung \ref{parzyl:fig:cordinates} zeigt das parabolische Koordinatensystem.
 Das parabolische Zylinderkoordinatensystem entsteht wenn die Parabeln aus der
 Ebene gezogen werden. 
+Die Flächen mit $\tau = 0$ oder $\sigma = 0$ stellen somit Halbebenen entlang der $z$-Achse dar.
 
 Um in diesem Koordinatensystem integrieren und differenzieren zu 
-können braucht es die Skalierungsfaktoren $h_{\tau}$, $h_{\sigma}$ und $h_{z}$.
+können braucht es die Skalierungsfaktoren $h_{\tau}$, $h_{\sigma}$ und $h_{z}$ \cite{parzyl:scalefac}.
 
 Eine infinitessimal kleine Distanz $ds$ zwischen zwei Punkten
 kann im kartesischen Koordinatensystem mit
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
index 13d8109..0e1ad1b 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
@@ -13,13 +13,13 @@ Die Lösung ist somit
 	i(z) 
 	= 
 	A\cos{ 
-		\left ( 
-		\sqrt{\lambda + \mu}z
+		\left ( z
+		\sqrt{\lambda + \mu}
 		\right )}
 	+
 	B\sin{ 
-		\left ( 
-		\sqrt{\lambda + \mu}z
+		\left ( z
+		\sqrt{\lambda + \mu}
 		\right )}.
 \end{equation}
 Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} werden in \cite{parzyl:whittaker}
@@ -51,7 +51,7 @@ mit Hilfe der Whittaker Gleichung gelöst.
         M_{k, -m} \left(x\right)
     \end{equation*}
     gehören zu den Whittaker Funktionen und sind Lösungen
-    von der Whittaker Differentialgleichung
+    der Whittaker Differentialgleichung
     \begin{equation}
         \frac{d^2W}{d x^2} +
         \biggl( -\frac{1}{4}  + \frac{k}{x} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{x^2} \biggr) W = 0.
@@ -94,8 +94,8 @@ $w$ als Lösung haben.
 %         ({\textstyle \frac{3}{4}} 
 %              - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2).
 %\end{align}
-
-In der Literatur gibt es verschiedene Standartlösungen für 
+\subsection{Standardlösungen}
+In der Literatur gibt es verschiedene Standardlösungen für 
 \eqref{parzyl:eq:weberDiffEq}, wobei die Differentialgleichung jeweils 
 unterschiedlich geschrieben wird.
 Whittaker und Watson zeigen in \cite{parzyl:whittaker} die Lösung
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
index 573432a..5ba9de8 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
@@ -9,15 +9,27 @@
 
 Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld einer semi-infiniten Platte, wie in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte} gezeigt, finden will.
 \begin{figure}
-	 \centering
-	\includegraphics[width=0.9\textwidth]{papers/parzyl/img/plane.pdf}
-	\caption{Semi-infinite Leiterplatte}
-	\label{parzyl:fig:leiterplatte}
+	\centering
+	\begin{minipage}{.7\textwidth}
+		 \centering
+		\includegraphics[width=\textwidth]{papers/parzyl/images/halfplane.pdf}
+		\caption{Semi-infinite Leiterplatte}
+		\label{parzyl:fig:leiterplatte}
+	\end{minipage}%
+	\begin{minipage}{.25\textwidth}
+		\centering
+	\includegraphics[width=\textwidth]{papers/parzyl/img/Plane_2D.png}
+	\caption{Semi-infinite Leiterplatte dargestellt in 2D}
+	\label{parzyl:fig:leiterplatte_2d}
+	\end{minipage}
 \end{figure}
-Das dies so ist kann im zwei Dimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Linie, was man in Abbildung TODO sieht.
+Die Äquipotentiallinien sind dabei in rot ,die des elektrischen Feldes in grün und semi-infinite Platte ist in blau dargestellt.
+Das dies so ist kann im Zweidimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Halbgerade, was man in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte_2d} sieht.
+
+
 Jede komplexe Funktion $F(z)$ kann geschrieben werden als
 \begin{equation}
-	F(s) = U(x,y) + iV(x,y) \qquad s \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}.
+	F(s) = U(x,y) + iV(x,y) \quad s = x + iy \qquad s \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}.
 \end{equation}  
 Dabei müssen, falls die Funktion differenzierbar ist, die Cauchy-Riemann Differentialgleichungen 
 \begin{equation}
@@ -49,23 +61,31 @@ Aus dieser Bedingung folgt
 	0
 	}_{\displaystyle{\nabla^2V(x,y) = 0}}.
 \end{equation}
-Zusätzlich kann auch gezeigt werden, dass die Funktion $F(z)$ eine winkeltreue Abbildung ist. 
+Zusätzlich kann auch gezeigt werden, dass die Funktion $F(z)$ eine winkeltreue Abbildung ist.
+
+ 
 Der Zusammenhang zum elektrischen Feld ist jetzt, dass das Potential an einem quellenfreien Punkt gegeben ist als 
 \begin{equation}
 	\nabla^2\phi(x,y) = 0.
 \end{equation}
-Dies ist eine Bedingung welche differenzierbare Funktionen, wie in Gleichung \eqref{parzyl_e_feld_zweite_ab} gezeigt wird, bereits besitzen. 
+Dies ist eine Bedingung, welche differenzierbare Funktionen, wie in Gleichung \eqref{parzyl_e_feld_zweite_ab} gezeigt wird, bereits besitzen. 
+
+
 Nun kann zum Beispiel $U(x,y)$ als das Potential angeschaut werden
 \begin{equation}
 	\phi(x,y) = U(x,y).
 \end{equation}
-Orthogonal zum Potential ist das elektrische Feld
+Orthogonal zu den Äquipotenzialfläche sind die Feldlinien des elektrische Feld
 \begin{equation}
 	E(x,y) = V(x,y).
 \end{equation}
+
+
 Um nun zu den parabolische Zylinderkoordinaten zu gelangen muss nur noch eine geeignete 
 komplexe Funktion $F(s)$ gefunden werden, 
 welche eine semi-infinite Platte beschreiben kann.
+
+
 Die gesuchte Funktion in diesem Fall ist
 \begin{equation}
 	F(s) 
@@ -83,6 +103,8 @@ Dies kann umgeformt werden zu
 	i\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}}_{V(x,y)}
 	.
 \end{equation}
+
+
 Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden, 
 indem man die Funktion, welche das Potential beschreibt, gleich eine Konstante setzt,
 \begin{equation}
@@ -93,7 +115,9 @@ Die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als
 	\tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}
 \end{equation}
 beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun, wie man vom 
-kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt. 
+kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt.
+
+ 
 Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst 
 \begin{equation}
 	x = \sigma \tau,
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil3.tex b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
index 166eebf..1b59ed9 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil3.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
@@ -12,9 +12,9 @@
 %Die parabolischen Zylinderfunktionen, welche in Gleichung \ref{parzyl:eq:solution_dgl} gegeben sind, 
 %können auch als Potenzreihen geschrieben werden
 Die parabolischen Zylinderfunktionen können auch als Potenzreihen geschrieben werden.
-Im folgenden Abschnitt werden die Terme welche nur von $n$ oder $a$ abhängig sind vernachlässigt.
-Die parabolischen Zylinderfunktionen sind Linearkombinationen aus einem geraden Teil $w_1(\alpha, x)$ 
-und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, x)$, welche als Potenzreihe
+Parabolische Zylinderfunktionen sind Linearkombinationen 
+$A(\alpha)w_1(\alpha, x) + B(\alpha)w_2(\alpha, x)$ aus einem geraden Teil $w_1(\alpha, x)$ 
+und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, x)$, welche als Potenzreihen
 \begin{align}
 	w_1(\alpha,x)
 	&=  
@@ -51,7 +51,7 @@ und
 	= 
 	xe^{-\frac{x^2}{4}}
 	\sum^{\infty}_{n=0}
-	\frac{\left ( \frac{3}{4} - k \right )_{n}}{\left ( \frac{3}{2}\right )_{n}}
+	\frac{\left ( \frac{1}{2} + \alpha \right )_{n}}{\left ( \frac{3}{2}\right )_{n}}
 	\frac{\left ( \frac{1}{2} x^2\right )^n}{n!} \\
 	&=
 	e^{-\frac{x^2}{4}}
@@ -67,9 +67,9 @@ und
 \end{align}
 sind.
 Die Potenzreihen sind in der regel unendliche Reihen. 
-Es gibt allerdings die Möglichkeit für bestimmte $\alpha$ das die Terme in der Klammer gleich null werden 
+Es gibt allerdings die Möglichkeit, dass für bestimmte $\alpha$ die Terme in der Klammer gleich null werden 
 und die Reihe somit eine endliche Anzahl $n$ Summanden hat.
-Dies geschieht bei $w_1(\alpha,x)$ falls
+Dies geschieht bei $w_1(\alpha,x)$, falls
 \begin{equation}
 	\alpha =  -n \qquad n \in \mathbb{N}_0
 \end{equation}
@@ -77,7 +77,7 @@ und bei $w_2(\alpha,x)$ falls
 \begin{equation}
 	\alpha = -\frac{1}{2} - n \qquad n \in \mathbb{N}_0.
 \end{equation}
-Der Wert des von $\alpha$ ist abhängig, ob man $D_n(x)$ oder $U(a,x)$ / $V(a,x)$ verwendet.
+Der Wert von $\alpha$ ist abhängig, ob man $D_n(x)$, $U(a,x)$ oder $V(a,x)$ verwendet.
 Bei $D_n(x)$ gilt $\alpha = -{\textstyle \frac{1}{2}} n$ und bei $U(a,z)$ oder $V(a,x)$ gilt 
 $\alpha = {\textstyle \frac{1}{2}} a + {\textstyle \frac{1}{4}}$.
 \subsection{Ableitung}